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Full text of "Théorie analytique des probabilités;"

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THÉORIE 


ANALYTIQUE  -^  / 


DES  PROBABILITÉS. 


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THÉORIE 

ANALYTIQUE 

DES  PROBABILITÉS; 

Par  m.  le  comte  laplace, 

Pair  de  France;  Grand-Officier  de  la  JLégîon-d'Hooneur;  Grand'Croix 
de  l'Ordre  de  la  Réunion;  Membre  de  l'Institut  royal  et  du  Bureau  des  " 
Longitudes  de  France;  des  Sociétés  royales  de  Londres  et  de  Gottingue; 
des  AcadéDÙea  des  Sciences  de  Russie,  de  Danemarck ,  de  Suède ,  de 
Prusse,  d'Italie,  etc. 


SECONDE  ÉDmON, 

^EVtlE   ET    AUGMENTÉE  PAR   L'AUTEUR. 


PARIS, 

M""  T"  COURCIEB.,  Imprimeur  -  Libraire  pour  les  Blathcmatiques 
et  la  Marine,  quai  des  Augustins,  n'  67. 

i8i4. 


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THÉORIE  ANALYTIQUE 

DES  PROBABILITÉS. 


?,-^    INTRODUCTIOJN. 


J  E  Tai3  présenter  dans  cette  Introduction,  les  prmcipes  du  calcul 
des  probabilités,  et  les  résultats  généraux  auxquels  je  suis  paireou 
dans  cet  ouvrage,  en  les  appliquant  aux  questions  le^  plus  impor- 
tantes de  la  vie ,  qui  ne  sont  en  e£fet,  pour  la  plupart,  que  des  pro- 
blèmes de  probabilité.  On  peut  même  dire ,  à  parler  en  rigueur , 
que  presque  tontes  nos  connaissances  ne  sont  que  probables;  et 
dans  le  petit  nombre  des  cboses  que  nous  pouvons  savoir  avec 
certitude ,  dans  les  sciences  mathématiques  elles-mêmes ,  les  moyens 
de  parvenir  à  la  vérité,  sont  fondés  sur  les  probabilités;  eosorta 
que  le  système  entier  des  connaissances  faïunaines  se  rattache  à  la 
théorie  exposée  dans  cet  ouvrage.  On  verra  sans  doute  avec  inté- 
rêt, qu'en  ne  consid^'ant  même  dans  les  principes  étemels  de  la 
raison,  de  la  justice  et  de  l'humanité,  que  les  chances  heureuses 
qui  leur  sont  constamment  attachées;  il  y  a  un  grand  avantage  à 
suivre  ces  princçes,  et  de  graves  înconvéniens  à  s'en  écarter  ;  leurs 
chances,  comme  celles  qui  sont  fevorables  aux  loteries,  finissant 
toi^ours  par  prévaloir  au  milieu  des  oscillations  du  hasard.  Je  désire 
que  les  réflexions  répandues  dans  cette  IntroducLion ,  puissent  m^ 
riter  l'attention  des  philosophes,  et  la  diriger  vers  un  objet  si  digne 
de  les  occuper. 


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^  INTRODUCTION. 

De  la  Probabilité. 

Tous  les  évéuemens,  ceux  même  qui  par  leur  petitesse,  semblent 
^ne  pas  teuir  aux  grandes  lois  de  la  nature,  en  sont  une  suite  aussi 
ziécessaire  que  les  révolutions  du  soleil  Dans  rignorauce  des  liens 
qui  les  massent  au.  système  entier  de  rumyera,  on  ksa  &it  dé- 
pendre des  causes  Eudes,  ou  du  hasard,  suivant  qu'ils  anÎTaient 
et  se  succédaient  arec  régularité ,  ou  sans  ordre  apparent  ;  mais 
.ces.  causes  imaginaires  ont  été  successivement  reculées  avec  les 
bornes  de  nos  connaissances ,  et  disparaissent  entièrement  devant 
la  saine  philosophie  qui  ne  voit  en  elles,  que  l'expression  de  l'igno- 
rance où  nous  sommes  des  véritables  causes. 

Les  évcnemens  actuels  ont  avec  les  précédens,  une  liaison  fondée 
sur  le  principe  évident,  qu'une  chose  ne  peut  pas  commencer  d'être, 
çans  une  cause  qui  la  produise.  Cet  axiome  connu  sous  le  nom 
de  principe  de  la  raison  suffisante  y  &%t&ûA  aux  actions  même 
les  plus  indifférentes.  La  volonté  la  plus  libre  ne  peut  sans  un  motif 
détenmoaut,  leur  donner  naissance;  car  si  toutes  les  circonstances 
de  deux  positions  étant  exactement  les  mêmes,  elle  agissait  dan» 
Fune  et  s'abstenait  d'agir  dans  Tautre,  sou  choix  serait  un  e£fet 
sans  cause  ;  elle  serait  alors,  dît  Leibnitz,  le  hasard  aveugle  des 
^icuriens.  L'opinion  contraire  est  une  illusion  de  ?esprit  qui 
perdant  de  vue ,  les  raisons  fugitives  du  choi^  de  la  volcûté  dans 
les  choses  indififêrentes,  se  persuade  qu'elle  s'est  déterminée  d'elle- 
même  et  sans  motiis. 

rVous  devons  donc  envisager  l'état  présent  de  l'univers ,  comme 
l'effet  de  son  état  antérieur,  et  comme  la  cause  de  celui  qui  va 
suivre.  Une  intelligence  qui  pour  un  instant  donné,  connaîtrait 
toutes  les  forces  dont  la  nature  est  animée ,  et  la  situation  re^ec- 
tive  des  êtres  qui  la  composent,  si  d'ailleurs  elle  était  assez  vaste 
pout  soumettre  ces  donnéesà  l'analyse,  embrasserait  dans  la  même 
formule,  les  mouvemejis  des  plus  grands  corps  de  l'univers  et  ceux 
du  plus  léger  atome  :  rien  ne  serait  incertain  pour  elle,  et  l'avenir 
comme  le  passé,  serait  présent  à  ses  yeux.  L'esprit  humain  offre 
dans  la  perfection  qull  a  su  donner  à  l'astronomie ,  uue  Ëiible  esquisse 


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INTRODUCTION.  flj 

i»  cette  intellîgesiee.  Ses  découvertes  en  mécaidqne  et  en  géométrie , 
jointes  à  celle  de  la  pesanteur  unirerselle^  l'ont  mis  à  portée  de 
comi^eodre  dans  les  mêmes  expressions  analytiques ,  les  étaU 
passés  et  ûiturs  d«  système  du  monde.  £n  appliquant  la  même 
méthode  à  quelques  autres  c^ets  de  ses  connaissances,  il  est  par- 
venu à  ramener  à  des  lois  générales,  les  phénomènes  observés, 
età  (K^oir  ceux  que  des  drconstances  données  doivent  fkire  éclore. 
Tous  ses  efitorts  daas  la  recherche  de  la  vérité ,  tendent  à  le  rap- 
{MTocher  sans  cesse  de  TintèingeDee  que  nons  venons  de  concevoir, 
mais  dont  il  restera  toujours  infiniment  éloigné.  Cette  tendance 
propre  à  l'espèce  humaine,  est  ce  qui  la  rend  supérieure  aux  ani- 
maux; et  ses  progrès  en  ce  genre,  distingacot  les  tiatiuas  et  les 
siècles ,  et  ftHident  leur  véritable  gloire. 

Rappd(His-nou8  qu'autrefois  et  à  une  époque  qui  rfest  pas  encore 
bien  reculée ,  une  phiie  ou  une  sécheresse  extrême ,  une  comète 
traînant  après  elle  une  queue  fort  étendue,  les  édipses ,  les  aurores 
twréales  et  génàalementtous  les  phénomènes  extraordinairesétaient 
regardés  comme  autant  de  signes  de  ht  colère  céleste.  On  taivoquait 
le  ciel  pour  détourner  leur  fnneste  in&uence.  On  né  le  priait  point 
de  suspendre  le  cours  des  planètes  et  du  soleil  :  Pobservation  eût 
bientât  Mt  sentir  lluutilité  de  ces  prières.  Mais  parce  que  ces  phé- 
nomènes arrivant  et  disparaissant  à  de  longs  intervalles ,  semblaient 
contrarier  l'ordre  de  la  nature  j  on  supposait  qoR  le  ciel  les  disait  naître 
<t  les  modifiait  à  son  gré ,  pour  punir  les  crimes  de  la  terre.  Ainsi  la 
longue  queue  de  la  comète  de  i456  répandit  la  terreur  dans  VEur- 
rope,  déjà  consternée  par  les  succès  rapides  des  Turcs  qiû  venaient 
de  renverser  le  Bas-Enîpire  ;  et  le  pape  Callixte  ordonna  des  prières 
publiques  dans  lesquellrâ  on  conjmvit  la  comète  et  les  Turcs.  Cet 
astre,  après  quatre  de  ses  révolutioi»,  a  excité  parmi  nous  un 
intérêt  bien  ^^r^it.  La  counaissance  des  lois  du  système  du 
monde,  acquise  dans  cet  intervalle,  avait  dissipé  les  craintes  en- 
fentées  par  llgnorance  des  vrais  rapports  de  l%omme  avec  funi- 
vers  ;  et  Halley  ayant  reccmnu  l'identité  de  la  comète ,  avec  celles 
des  années  i53i,  1607  et  168a,  il  annonça  son  prodiain  retour 
poyr  la  fin  de  1768  ou  te  commencement  de  1759.  Le  monde  savant 
attendit  avec  impatience,  ce  retoor  qui  devut  confirmer  Tune  des 


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if  INTRODUCTION, 

plus  grandes  découvertes  que  Toq  eût  fiiitea  dans  les  sciences ,  et 
accomplir  la  prédiction  de  Sénèque ,  lorsqu'il  a  dit-va  parlant  da 
la  révolution  de  ces  astres  qui  descendent  d'une  énorme  distance: 
ce  Le  jour  viendra  que  par  une  étude  .slûvie  de  plusieurs  siècles, 
j>  les  choses  actuellement  cachées  paraîtront  avdc  évidence ,  et  I4 
j>  postérité  s'étonnera  que  des  vérité  si  claires  nous  aient  échappé-n 
Clâiraut  entreprit  alors  de  soumettre  à  l'analyse ,  les  perturbations 
que  la  comète  avait  éprouvée^  par  l'action  des  deux  plus  grosses 
planètes,  Jupiter  et  Saturne  :  après  d'immenses  calculs,  il  fixa  son 
prochain  passage  au  périhélie,  vers  le  commencement  d'avril  1769, 
ce  que  rohservation  ne  tarda  pas  à  vérifier.  La  régularité  que  l'astro- 
nomie nous  inontrp  dnns  le  moavement  des  comètes ,  a  lieu  sans 
aucun  doute,  dans  tous  les  phénomènes.  La  courbe  décrite  par 
une  simple  molécule  d'air  ou  de  vapeurs,  est  réglée  d'une  manière 
aussi  certaine,  que  les  orbites  planétaires  :  il, n'y  9  de  diâërence 
entre  elles,  que  celle  qu'y  met  notre  ignorance. 

La  probabilité  est  relative  en  partie  à  cette  i^orance,  et  en 
partie  à  nos  connaissance^  Nous  savons  que  sur  trois  ou  un  plua 
grand  nombre  d'événemens ,  un  seul  doit  arriver  ;  mais  rien  ne 
porte  à  croire  que  l'un  d'eux  arrivera  plutôt  que  les  autres.  Dans 
cet  état  d'indécision ,  il  nous  est  impossible  de  prcuoocer  avec 
certitude  sur  leur  arrivée.  Il  est  cependant  probable  qu'un  de  ce» 
événemens  pris  à  volonté ,  n'arrivera  pas  ;  parce  que  nous  vojoos 
plusieurs  cas  également  possibles  qui  exduenit  scm  «dstence ,  tandis 
qu'un  seul  la  &vorise. 

La  théorie  des  hasards  consiste  à  réduire  tous  les  événemens  du 
même  genre,  à  un  certain  nombre  de  cas  également  possibles,  c'est-. 
à-dire,  tels  que  nous  soyons  également  indécis  sur  leur  existence;  et. 
à  déterminer  le  nombre  des  cas  favorables  à  l'événement  dont  on 
cherche  la  probabilité.  Le  rapport  de  ce  nombre  à  celui  de  tous  les 
cas  possibles ,  est  la  mesure  de  cette  probabilité  qui  n'est  ainsi  qu'une 
firaction  dont  le  numérateur  est  le  nombre  des  cas  fevorables ,  et 
dont  le  dénominateur  est  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles. 

La  notion  [arécédente  de  la  probabilité  suppose  qu'en  Ëusant 
croître  dans  le  même  rapport ,  le  nombre  des  cas  Ëtvorables  „  et 
celui  de  tous  les  cas  possibles^  la  probabilité  reste  la  même.  Pour 


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ÎNTROl>UCTtON.  *r 

ft*én  tontaincre,  que  Ton  considère  deux  urnes  A  et  B ,  dont  la 
première  contienne  quatre  boules  blanches  et  deux  noires,  et 
dont  la  seconde  nerenfenne  que  deux  boules  blanches  et  unenoire< 
On  peut  imaginer  les  deux  boules  noires  de  la  première  urne, 
attachées  à  un  fil  qui  se  rompt  au  moment  où  Pbn  saisit  Tune 
d'elles ,  et  les  quatre  boules  blanches  formant  deux  systèmes  Sem- 
blables. Toutes  les  chances  qui  feront  saisir  l'une  des  boules  du 
système  noir,  amèneront  une  boule  noire.  Si  l'on  conçoit  main- 
tenant que  les  fils  qui  unissent  les  boules,  ne  se  rompent  point ^ 
il  est  clair  que  le  nombre  des  chances  possibles  ne  changera  pas , 
non  plus  que  celui  des  chances  favorables  à  l'extraction  des  boules 
noires;  seulement,  on  tirera  de  l'urne,  deux  boules  à-la-fois;  la 
probabilité  d'extraire  une  boule  noire  de  l'urne ,  sera  donc  la  même 
qu'auparavant.  Mais  alors,  on  a  évidemment  le  cas  de  l'ume  B, 
avec  la  seule  différence ,  que  les  trois  bonnes  de  cette  dernière  ume> 
sont  remplacées  par  trois  système?  de  deux  boules  invariablement 
unies.  Ici  les  cas  également  possibles  ne  sont  pas  les- extractions 
des  boules  j  ce  sont  les  chances  qui  les  amènent  et  dont  la  somme 
siçposée  la  même  pour  chaque  urne ,  «st  répartie  sur  six  boule» 
dans  la  première ,  et  sur  trois  dans  la  seconde. 

Quand  tous  les  cas  sont  Ëivorables  à  un  événement,  sa  pro- 
babilité se  change  en  certitude,  et  son  expression  devient  égale  à 
h:imté.  Sons  ce  rapport,  la  certitude  et  la  probabilité  sont  com- 
parables, quoiqu'il  j  ait  une  difiërence  essentielle  ojtre  les  deux 
états  de  l'esprit ,  lorsqu'une  vérité  lui  est  rigoureusement  démon- 
trée ,  ou  lorsqu'il  aperçoit  encore  une  petite  source  d'erreur. 

Bans  les  choses  qui  ne  sont  que  vraisemblables ,  la  différence 
des  données  que  chaque  homme  a  sur  dles,  est  une  des  causes 
principales  de  la  diversité  des  opinions  que  l'on  voit  régner  sur 
les  mêmes  objets.  Supposons ,  par  exemple ,  que  l'on  ait  trois  urnes 
A,  B,  C,  dont  l'une  ne  contienne  que  des  boules  nckes ,  tandis 
que  les  deux  autres  ne  reufenuent  que  des  boules  blanches.  On 
doit  tirer  une  boule  de  l'urne  C,  et  l'oia  demande  la  probabSité  que 
cette  boule  sera  noire.  Si  l'on  ignore  quelle  est  ceUe  des  troi» 
urnes,  qui  ne  renferme  que  des  boules  nwres,  eusorte  que  l'on  n'ait 
aucune  raison,  de  croire  qu'elle  est  plutôt  G ,  que  B  ou  A  ;  ces 


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vj  -INTRODUCTION. 

trois  hypothèses  paraîtront  également  possibles;  et  comme  mi^ 
boule  noire  ne  peut  être  extraite  que  dans  la  première,  la  pror 
babiUté  de  l'extraire  est  égale  à  un  tiers.  Si  Ton  sait  que  l'unie  A 
ne  contient  que  des  boules  blanches»  Pindécision  ne  porte  plus  alors 
que  sur  les  unes  B  et  C,  et  la  probabiUté  que  la  boule  extraite 
de  Tume  G  sera  noire  y  est  un  demu  Enfin  cette  probalùlité  se  change 
en  certitude ,  si  l'on  est  assuré  que  les  urnes  A  et  B  ne  cMitiaaneat 
que  des  boules  blandies. 

C'est  ainsi  que  le  même  Ëiit  récité  devant  une  nombreuse  assenw 
blée,  obtient  divers  degrés  de  croysmce»  suivant  l'étendue  des 
connaissances  des  auditeurs.  Si  rhunnie  qui  le  reporte ,  en  est 
intimement  persuadé,  «t  si  par  sou  état  et  ecmcaractére,  il  in^nre 
une  grande  confiance;  son  récit,  quelqn'extraordinaire  qu'il  soit, 
aura  par  rapport  aux  auditeurs  dépourvus  de  lumières,  le  même 
degré  de  vraisemblance,  qu'un  fiiit  ordinaire  rapporté  par  le  même 
homme ,  et  Us  lui  ajouteront  une  foi  entière.  Cependant  si  quel-: 
qu'on  d'eux  a  eu  occasion  d'entendre  le  même  Ëiit  rejeté  par  d'antrea 
honunes^alement  respectables,  il SQia dans  le  doute;  et  le  Ëdtsera 
jugé  faux,  par  les  auditeurs  éclairés  qui  le  trouveront  contraire  ^ 
soit  à  des  &it8  bien  avérés ,  soât  aux  lois  immuables  de  la  natore. 

C'est  à  l'influence  de  ropinion  de  ceux  que  la  multitude  juge  les 
plus  instruits,  et  à  qui  elle  a  coutume  de  donner  sa  confiance 
sur  les  plus  importans  objets  de  la  vie  ,  qu'est  dne  la  propagation 
de  ces  erreurs  qui ,  dans  les  temps  d'ignorance ,  ont  couvert  la  Êice 
du  monde.  L'astrologie  nous  en  offre  un  ^and  exemple.  Ces  erreurs 
inculquées  dès  l'enfance,  adoptées  sans  examen,,  et  n'ayant  pour 
base  que  la  croyance  universelle ,  se  sont  maintenues  pendant 
très-long'temps;  jusqu'à  ce  qu'enfin  le  progrès  des  sciences  les 
■ait  détruites  dans  l'esprit  des  hommes  édairés,  dont  ensuite  l'opi- 
nion les  a.  fait  disparaître  chez  le  peuple  même,  par  le  pouvoir  de 
l'imitation  et  de  l'habitude,  qiù  les  avait  si  généralement  répandues. 
Ce  pouvoir,  le  plus  poissant  ressort  du  monde  moral,  établit  et 
conserve  dans  toute  une  nation,  des  idées  entièrement  ctmtraires 
à  celles  qu'il  maintient  ailleurs  avec  le  même  empire.  Quelle  indul- 
gence ne  devons-nous  donc  pas  avoir  pour  les  opinions  différentes 
des  ndtres;  puisque  cette  d^rence  ne  dépend  souvent  que  des 


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TOTRODUCTION.  "  tîj 

■  points  de  vue  divers  où  les  circmistances  nous  oat  pXatéa  î  Éclai- 
rons ceux  que  bous  ne  jugeons  pas  soiSBamnient  instruits }  mais 
anparaTant, exatoinons sévèrement  DM proiwes  opinions,  etpesons 
avec  impartialité,  leurs  probabilités  respectives. 

La  différence  des  (^inions  ^pend  encore  de  la  manière  dont 
dbacon  détermine  tlnèuence  des  données  qui  lui  sont  connues. 
La  théorie  des  prt^abitités  tient  à  des  considérations  si  délicates, 
qu'il  n'est  pas  suriHrenant  qu'avec  le»  mêmes  données,  deux  per- 
sonnes trouvent  des  résultats  difierens,  surtout  dans  les  questions 
très  -  compliquées.  Exposons  ici  les  principes  généraux  de  cette 
théorie. 

Prirtcipes  généraux  du  Calcul  des  Prohabiiités. 

Le  premier  de  ces  principes  est  la  di^nition  même,  de  la  pro-i«'  priocr».. 
babUité  qui,  c<Hiime  on  Ta  vu,  est  le  ra[^rt  du  n(»nbre  des  cas 
fevc^rables  à  c^ui  de  tous  les  cas  possiliJes. 

Mais  cela  suppose  les  divers  cas ,  également  posaiUes.  S|ils,ne  n<  prindpc. 
le  sont  |«s ,  on  déterminera  d'abord  leurs  posabilités  respectives 
dont  la  juste  appréciation  est  nn-des  points  les  plus  délicats  de  la 
théorie  des  hasards.  Alors  la  probabilité  _sera  la  somme  des  possi* 
bilités  de  "chaque  cas  favorable.  Édaircissons  ce  principe  par  un 
exemple. 

Supposons  que  r<m  [H*0)ette  en  VeàCf  une  pièce  large  et  très- 
mince  dont  les  deia  ^-andes  faces  opposées,  tpie  nous  nommerons 
éroix  et  pile ,  soient  parfaitement  semblables.  Cherchons  la  pro- 
babilité d'amener  croix ,  une  fois  au  moins  en  deux  coups.  Il  est 
clair  «pi'il  peut  arriver  quatre  caségalement  possibles,  savoù'jCroi* 
<au  premier  et  au  second  coup  ;  croix  au  premier  coup  et  pile  au 
second  ;  pile  au  premier  coup  et  croix  au  second  ;  enfin  pi/e  aux 
deux  coups.  Les  trois  premiers  cas  sont  favorables  à  l'événement 
dont  on  cherche  la  probabilité  qui ,  par  conséquent,  est  égale  à  ^  ; 
ensorte  qu'il  y  a  trois  contre  un  à  pari^*  que  croix  arrivera  au 
moins  une  fois  en  deux  coups. 

On  peut  ne  compter  à  ce  jeu,  que  trois  cas  diflfêrens,  savoir  , 
.  croix  au  premier  coup ,  ce  qui  dispense  d'en  jouef  nu  second  ; 


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viij  INTRODUCnON. 

pile  au  tH:<emier  coup  et  croix  au  second  ;  enfin  pile  an  preilnîer 
et  au  second  coup.  Cela  réduirait  la  probabilité  à  f ,  ai  Ton  consi- 
dérait avec  d*Alembert,  ces  trois  cas  ^  comme  étant  également 
possibles.  Mais  il  est  visible  que  la  probabilité  d'amener  croix  au 
prçmier  coup  est  ;,  tandis  que  celle  des  deux  autres  cas  est  \.  Le 
premier  cas  est  un  eTénement  simple  qui  coirespond  aux  deux 
événemens  composés ,  croix  au  premier  et  au  second  coup  y  et 
croix  au  premier  coup,  pile  au  second.  Maintenant,  si  coofonné- 
ment  au  second  principe ,  on  ajoute  la  possibilité  ^  de  croix  au 
prunier  coup ,  à  la  possibilité  ^  de  pile  arrivant  au  premier  coup 
et  croix  au  second  ;  on  aura  |  pour  la  probabilité  cherchée ,  ce  qui 
s'accorde  avec  ce  que  l'on  trouve  dans  la  supposition  où  l'on  joue 
les  deux  coups.  Cette  supposition  ne  change  rien  au  sort  de  celui 
qui  parie  pour  cet  événement  :  elle  sert  seulement  à  réduire  les 
divers  cas ,  à  des  cas  également  possibles. 
Z'^incipe.  Un  des  points  les  plus  importans  de  la  Théorie  des  Probabilités, 
et  celui  qui  prête  le  plus  aux  illusions ,  est  la  manière  dont  les 
probabilités  augmentent  ou  diminuent  par  leurs  combioaisons  mu- 
tuelles. Si  les  événemens  sont  indépendans  les  uns  des  autres ,  la 
probabilité  Te  l'existence  de  leur  ensemble,  est  le  produit  de  leurs 
probabilités  j)articu]iérè8.  .^nsi  la  probabilité  d'amener  un  as  avec 
un  seul  dé ,  étant  un  sixième }  celle  d'amener  deux  as  en  projetant 
deux  dés  à-Ia-fois,  est  un  trente -sixième.  En  efifet,  chacune  des 
£tce3  de  l'un,  pouvant  se  combiner  avec  les  six  faces  de  l'autre  ; 
il  y  a  trente-six  cas  également  possibles ,  parmi  lesquels  un  seul 
donne  les  deux  as.  Généralement ,  la  probabilité  qu'un  événement 
simple  et  dans  les  mêmes  circonstances ,  arrivera  de  suite ,  ua 
nonibre  donné  de  fois ,  est  égale  à  la  probabilité  de  cet  événement 
simple ,  élevée  à  une  puissance  indiquée  par  ce  nombre.  Ainsi  les 
puissances  successives  d'une  fraction  moindre  que  l'unité ,  dimi^ 
nuant  sans  cesse;  un  événement  qui  dépend  d'une  suite  de  pro- 
babilités fort  grandes,  peut  devenir  extrêmement  peu  Traîsemblable.' 
Supposons,  qu'un  fait  qui  sans  être  extraordinaire ,  n'a  aucune  pro- 
babilité par  lui-même,  nous  soit  transmis  par  vingt  témoins^  de- 
manière  que  le  premier  l'ait  transmis  au  secobd,  le  second  au 
troJiaièine  ^  et  mnsi  de  suite.  Supposonl  encore  que  la  probabilité  4? 


dbyGqogle 


INTRODUCTION.  ix 

chaque  témoignage  soit  ^te  à  -^  :  celle  du  Sût  sera  moindre  qu'un 
bnitième;  c'est-à-dire  qu'il  y  aura  phis  de  sept  à  parier  contre  un, 
qu'il  est  faux.  On  ne  peut  mieux  ctxnparer  cette  diminution  de  la 
probabilité,  qifà  f extinction  de  la  clarté  des  objets ,  par  l'interposi- 
tioD  de  plusieurs  mOTceaux  de  verre;  un  nombre  de  morceaux 
peu  considérable*  suffisant  pour  dérober  la  rue  d'un  ol^et  qu'un 
seul  morceau  laisse  apercevoir  d'une  manière  distincte.  Les  histo- 
riens ne  paraissent  pas  avoir  feit  assez  d'attention  à  cette  dégradation 
de  la  probabilité  des  faits,  lorsqu'ils  sont  vus  à  travers  un  grand 
nombre  de  généra  lions  sqcceesivesïplusieursévénemens  historiques, 
réputés  certains,  seraient  au  moms douteux,  si  on  les  soumettait 
à  cette  épreuve. 

Dans  les  «ciences  purement  maâiématiques ,  les  conséquences 
les  plus  Soignées  participent  de  la  certitude  du  principe  dont  elles 
dérivent.  Dans  les  applications  de  l'analyse  à  la  physique,  les  con- 
séquences ont  toute  la  certitude  des  Ëiits  mi  des  expériences.  Mais 
dans  lesisdences  morales,  oii  chaque  conséquence  n'«9t  déduite  de 
ce  qiB  la  précède ,  que  d'une  manière  vraisemblable  ;  quelque  pro- 
bables que  soient  ces  déductions,  la  chance  de  l'erreur  crott  arec 
leuv  nombre ,  et  finit  par  surpasser  la  chance  de  la  vérité ,  dans 
les  conséquences  très-éloi|^es  du  principe. 

Quand  deux  érénemens  dépendait  Tan  de  Fautre  ;  la  probabilité  iv*Ftmeipel 
de  l'événement  composé  est  le  produit  de  la  pn^bitité  du  premier 
évésonent,  pw  la  probabilité  que  cet  événement  étant  arrivé, 
(l'autre  aura  heu.  Ainsi  >  dans  le  cas  précédent  de  trois  urnes  Â, 
B ,  C ,  dont  deux  ne  contiennent  que  dies  boules  blandbes ,  et  dont 
mie  ne  renferme  que  des  boules  noires  ;  la  {HH>babilité  de  tirer  une 
boule -blanche  de  l'urne  C  est  f;  puisque  sur  trois  urnes,  deux  ne 
contiennent  que  des  boules  de  cette  couleur.  Mïiis  lorsqu'on  a 
extrait  ime  boule  blanche,  de  l'urne  C;  rindécision  relative  à  celle 
des  urnes  qui  ne  renferme  que  des  boules  noires ,  ne  portant  plu» 
que  sur  les  urnes  A  et  Bj  la  probabilité  d'extraire  une  boule 
bbnehe ,  de  l'urne  B  est  1;  le  produit  de  f  par  ^,  ou  4  est  donc  la 
prohali^té  d'extraire  à-la-fois  des  urnes  B  et  C,  deux  boules 
Hanches. 

Oujtroit  par  cet  exeruple,  rinBueoce  des  érénemens  passés  sur 
"^ 6 


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•X  INTRODUCTION. 

la  probabflâ^d^  éré&smâj».  futurs.  Car  la  probaïâlité  d'exfrft&B 
une  boute,  blanche ,  de  l'urne  B',  qui  prlmitirement  est  f,  se  réduit 
à  j,  lorsqu'on  a  extrait  uoe  boule  blanche ,  de  l'urne  C  :  elle  se 
changerait  en  certitude,  si  l'on  avait  extrait  une  boule  noire,  de 
la  même  urne;  On  déCenninera  cette  influence,  au  moyen  du  prin- 
cipe suivant,  qui  est  im  corollaire  dujgrécédenff 

V*  Pâaeipt.  ■  Si  l'on  calcule  à  priori ,  la  probabilité  de  révénement  arrivé , 
et  la  probabilité  d^ua  érénement  composé  da  cdoi-ci  et  d'un  autre 
qu'on  attend^  la  seomde  probabilité  divisée  par  la  première^  sera 
la  probabilité  de  Tévénement  attendu,  tirée  de  l'événement  observé. 
Ici  se  présente  la  question  agitée  par  quelques  philosophes, 
touchant  l'influence  du  passé  sur  la  probabilité  de  Tavenir.  Su{>- 
posons  qu'au  jeu  de  croix,  et  pi/e ,  croix  swt  arrivé  plus  souvent 
que  pile.  Par  cela  seul,  nous  serons  portés  à  croire  que  dans  la 
cotistitutioa  de  là  pièce  ,  il  existe  ime  cause  constante  qui  le  fa- 
vorise. Ainsi,  dans  la  conduite  de  la  vie,  le  honheur  constant  est 
une  preuve  d'halnleté,  qui  doit  &ire  employer  de  {Hréférence  les 
personnes  heureuses.  Mius  si  par  l'instabilité  des  circonstances, 
nous  sommes  ramenés  sans  cesse,  à  Fétat  d'une  indécision  absolue^ 
si ,  par  exemple ,  on  change  de  pièce  à  chaque  coup ,  au  jei%«de- 
croix  et  pile  ;  le  passé  ne  peut  répandre  aucune  liimîère  sur  l'avenir, 
et  il  serait  absurde  d'en  tenir  compte. 

V[*Priaeipe.  Chacnne  des  causes  auxquelles  un  événement  obeearvé,  peut  être 
attribué,  est  indiquée  avec  d'autant  plus  de  vraisemblance,  qu'il 
est  plu»  probablia  que  cette  cause  étant  supposée  exister,  l'évé- 
nemeat  aura  lieu;  laprobi^ilité  de  l'existeace  d'une  quelconque 
de  ces  causes ,  est  ^^c  une  fraction  dtmt  le  numérateur  est  la 
probabilité  de  rérénenuut,  résultante  de  cette  cause,  et  dout  le 
dénomizralieuF  est  la  somme  des  probabilités  semblables  relatives 
à  toutes  les  fsusés  :  si  ces.  diverses  causes  considérées  à  priori, 
sont  inégalement  jirob:tf>]es ,  il  &ut  au  Ueu  de  la  probabilité  de . 
^événement,  résïdtanté  de  chaque  cause,  employer  le  produit  de 
cette  jH-obabilité,  par  celle  de  la  cause  elle-^nâme.  Cest  le  principe 
fimdamental  de  cette  branche  de  l'analyse  des  hasards ,  qui  consiste 
à  remonter  des  événemens  aux  causes. 
Ce  principe  donne  la  raison  pour  laquelle  on  attribue  les  évé- 


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INTRODUCTION.  %\ 

s  régdlierSjà jone  caïue  particulière..  Quelqaes  pliilosophes 
ont  cru  qoe  ces  érénemens  sost  moins  possibles  que  les  autres , 
et  qu'an  jeu  de  croix  et  pile,  par  exemple,  la  combinaison  dans 
laquelle  croàc  arrive  vingt  fois  de  suite ,  est  moins  facile  à  la  nature , 
que  celles  où  croik  et  piie  sont  entre-mélés  d'une  ïàçon  irrégulière. 
Mais  cette  opimon  suppose  que  les  événemens  passés  influent  sur 
la  possibilité  des  événemens  futurs,  ce  qui  n'est  point  admissible.!  'r>^.nîrci!i 
Les  combinaisons  régulières  n'arrivent  ptUs  rarement,  que  parce 
qu'elles  sont  moins  nombreuses.  Si  nous  recherchons  une  cause^ 
là  où  nous  apercevons  de  la  symétrie;  ce  n'est  pas  que  nous 
regardions  un  événement  symétrique ,  comme  moins'  possible  que 
les  antres  ;  mais  cet  événement  devant  être  Yef&t  d'une  cause  ré- 
gulière t  au  cehii  da  hasard ,  la  première  de  ces  snppositiona  est 
plus  prd>able  que  la  seconde.  Vioas  voyons  sur  une  table ,  des 
caractères  dimprimerie ,  disposés  dans  cet  ordre,  CoTistantinople  ; 
-et  nous  iuge<His  que  cet  arrangement  n'est  pas  l'efifet  du  hasard , 
non  parce  qu^  est  moins  possible  que  les  autres,  puisque  si  ce 
^not  n'était  employé  dans  aucune  langue ,  nous  ne  lui  soupçon- 
nerions point  de  oause  particulière  ;  mais  ce  mot  étant  en  usage 
parmi  nous ,  il  est  incon^arablement  pins  probable  qu'une  per- 
sonne aura  disposé  ainsi  les  caractères  précédens ,  qu'il  ne  l'est 
que  cet  arrangemeat  est  dâ  au  hasard. 

C'est  ici  le  lieu  de  définir  le  mot  extraordinaire.  Nous  rangeons 
par  la  pensée ,  tons  les  événemens  possibles,  en  diverses  classes  ; 
«I  nous  r^ardons  comme  extraordinaires ,  ceux  des  classes  qui 
en  comprennent  nn  très-petit  nombre.  Ainsi ,  au  jeu  de  croix  et 
jjjfe,  Farrivée  de  croix  cent  fois  de  suite,  nous  paraît  extraor- 
dinaire, parce  que  le  nondure  presqu'înfini  des  combinaisons  qui 
peuvent  arriver  en  cent  coups,  étant  partagé  en  séries  régulières 
ou  daus  lesquelles  nous  voyons  régner  un  ordre  fecile  à  saisir,  et 
«n  séries  irrégukères;  celles-ci  sont  incomparablement  plus  nomr 
breuses.  La  sortie  d'nne  boule  blanche,  d'une  urne  qui,  sur  un 
million  de  boules,  n'en  contient  qu'une  seule  de  cette  couleur, 
les  autres  étant  noires,  nous  parait  encore  extraordÎQaire ;  parce 
que  nous  ne  formons  que  deux  classes  d'événemens ,  relatives  aux 
deux  couleurs.  Mai»  la  sortie  du  n*  79,  par  exemplo,  d'une  urne 


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jcij  ïNTRODUGTieN. 

qui  renferme  ua  millioQ  de  numéros,  nou»  semble  im  éréoemeiit 
ordinaire;  parce  que  comparant  individuellement  les  numéros,  les- 
uns  aux  autres,  sans  les  partager  en  dasses,  nous  n'avons  aucuoe 
raison  de  croire  que  Pun  d'eux  sortira  plutdt  que  les  autres. 

De  ce  qui  précède ,  nous  devons  g.énéralement  conclure  que  plu» 
un  ^t  est  extraordinaire ,  plus  il  a  besoin  ^*étre  appuyé  de  fortes 
preuves.  Car  ceux  qui  Fattestent,  pouvant  ou  tromper,  ou  av»ir 
été  trompés ,  ces  deux  causes  sont  d'autant  pbas  probables  que 
ia  réalité  du  Êtit  l'est  moins  en  elle-même.  C'est  ce  que  l'on  verra  par- 
'  ticulièrement ,  lorsque  nous  parlerons  de  là  prolrâbilité  des  témoi- 
gnages. 
■\mprioape.  I^  probabilité  d^un_éyénement„f^tur  est  la  somme  des  produite 
de  la  prohabilité  do  cliaqae  cause,  tirée  de  l'événement  observé, 
par  la  probabilité  que  cette  cause  existant ,  l'événement  lutur  aura 
ïieu.'L'exempIe  suivant  éclaircira  ce  principe. 

Imaginons  une  urne  qui  ne  renferme  que  deux  boules  dont  cha- 
cune soit  ou  blancbe,  ou  noire.  On  extrait  une  de  ces  boules,  que 
Ton  remet  ensuite  dans  Turne ,  pour  procéder  à  un  nouveau  tirage. 
Supposons  que  dans  les  deux  premiers  tirages ,  on  ait  amené  de» 
boules  blanches  ;  on  demande  la  probabilité  d'amener  encore  une 
boule  blanche  au  troisième  tirage. 

On  ne  peut  Ëiire  ici  que  ces  deux  hjpotiiéses  ;  ou  l'une  des 
boules  est  blanche,,  et  l'autre^noire;  ou  toutes  deux  sont  blanches. 
Dans  la  première  hypothèse,  la  probabilité  de  l'év^ement  observé 
est  f  ;  elle  est  l'unité  ou  la  certitude  dans  la  seconde.  Ainsi,  em 
regardant  ces  hypothèses ,  comme  autant  de  causes,  on  aura  par 
le  sixième  principe ,  ?  et  ^  pour  leurs  probabilités  respectives.  Or 
si  la  première  hypothèse  a  lieU,  la  probabilité  d'extraire  une  boule 
blanche  au  troisième  tirage  est  j;  elle  égale  l'unité ,  dans  la  seconde 
hypothèsQ  :  en  multipliant  ces  dernières  probabilité»,,  par  celles  des 
hypothèses  correspondantes,  la  somme  des  produits,  ou-^  sera 
la  probalûlité  d'extraire  une  boule  blanche  au  troisième  tirage. 

Quand  la  probabilité  d'un  événement  simple  est  inconnue ,  on 
peut  lui  supposer  également  toutes  les  valeurs  depuis  zéro  jusqu'à 
l'unité.  La  probabilité  de  chacune  de  ces  hypothèses-,  tirée  de 
l'événement  observé ,  est  par  le  sixième  princ^e,  une  fraction  dont 


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INTROBUCTIOTir.  -  tiiï 

l6  nmnératenr  est  là  probabilité  de  révénement  dans  ceUe  bypo- 
tbèse,  et  dont  le  dcnominateor  est  la  somme  des  probabilités 
semblables  relatives  à  toutes  les  hypothèses.  Ainsi  la  probabilité 
que  la  possibilité  de  rérénement  est  comprise  dans  des  limites 
données,  est  la  somme  des  fractions  comprises  dans  ces  limites. 
Maintenant,  si  Fon  multiplie  chaque  fraction,  par  la  probabilité  de 
l'événement  futur ,  déterminée  dans  l'hypothèse  correspondante  ; 
la  somme  dçs  produits  relatif  à  toutes  les  hypothèses  sera  par  le 
septième  principe ,  la  probabilité  de  l'événement  futur ,  tirée  de 
l'événement  observé.  On  trouve  ainsi  qu'un  événement  étant  arrivé 
de  suite,  un  nombre  quelcon<pie  de  Ibis;  la  probabilité  quil  arrivera 
encore  la  fois  suivante,  est  égale  à  ce  nombre  augmipté  de  l'unité , 
divisé  par  le  mênie  nombre  augmenté  de  deux  unités.  En  faisant, 
par  exemple,  remonterla  plus  ancienne  époqae  de  l'histoire,  à 
cinq  mille  ans,  ou  à  i8a63i3  jours,  elle  soleÛ s'étant  levé  constam- 
ment  dans  cet  intervalle,  à  chaque  révolution  de  vingt-quatre  heures; 
il  y  a  i836ai4  à  parier  contre  un,  qu'il  se  lèvera  encore  demain. 
Mais  ce  nombre  est  incomparablement  plus  fort  pour  celui  qui 
connaissant  par  l'ensemble  des  phénoméiies,  le  principe  r^ulateur 
des  jours  et  des  saisons,  voit  que  rien  dans  te  moment  actuel,  ne 
peut  en  arrêter  le  cours. 

Bufïon,  dans  son  Arithmétique  politique,  calcule  diffâ'emment 
la  probabilité  précédente.  Il  suppose  qu'elle  ne  dilfêre  de  l'unité , 
que  d'une  ^acâon  dont  le  numérateur  t»t  Funité,  et  dont  le  déno- 
minateur est  le  nombre  deux  élevé  à  une  puissance  égale  au  nombre 
des  jours  écoulés  depuis  l'époque.  Mais  la  vraie  manière  de  i%m«i- 
ter  des  événemens  passés,  à  la  probabilité  des  causes  et  des  évé- 
nemens  futur»,  était  inconnue  à  cet  illustre  écrivain. 

De  l'Espérance. 

La  probabilité  des  événemens  sert  à  déterminer  Tespérance  ou 
la  crainte  des  personnes  intéressées  à  leur  existence.  Le  mot 
espérance  a  diverses  acceptions:  il  exprime  généralement  Tavan- 
tage  de  celui  qui  attend  un  bien  quelconque ,  dans  des  suppositions 
qui  ne  sont  que  probables.  Cet  avantage,  dans  \&  théorie  des  fia- 


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xiv  nn'RODUCTiON. 

sards,  est  jejp&doit  de  la  somme  eapéree,  par  la  probabilité  dé 
retenir:  c'est  la  scnnine  partielle  qui  doit  reTenir^  lorequ'oD  ne  veut 
point  courir  les  risques  de  FéTénemeut,  en  supposant  que  la  réparti- 
tion se  &sse  proporti<xineUemeiit  aux  probabUÙés.  Cette  répartîtioa 
est  la  9eule  équitable,  lorsqu'on  &it  abstraction  de  toutes  circoDS- 
tances  étrai^res;  parce  qu'avec  un  égal  degré  de  probabilité,  on 
a  un  drok  égal  sur  la  8(xnme  espérée.  Nous  nommerons  cet  avan- 
tage, eip«rance  ma£A^ina<ijV«. 
vmipriai^.  Lorsqu'il  dépend  de  plusieurs  événemens  ;  on  l'obtient ,  en  pre^ 
nant  la  sonime^d^_prodmt8^eJ[a  probat^té.de.dbaque  év^ement , 
par  le  biwi^attaçhé  à  s.Q!iLârcif  é.e. 

Appîiquon^;^  principe  à  des  exemples.  St^posons  qu'au  jeu  de 
cwîx  et  pi70 ,  Paul  reçoive  deux  francs,  s'il  amène  CTvix  au  pre- 
mier coup ,  et  cinq  francs ,  s'il  ne  l'amène  qu'au  second.  En  multi- 
pliant deux  francs,  par  la  probabilité  -È  du  premier  cas ,  et  cinq  francs, 
par  la. probabilité  j  du  second  cas;  la  somme  des  produits,  ou 
deux  franca  et  un  quart  sera  l'avantage  de  PauL  C'est  la  somme 
qu'il  doit  donner  d'avance  à  celui  qui  kd  feit  cet  avantage  ;  car  pour 
l'égalité  du  jeu,  la  mise  doit  être  ^ale  k  l'avantage  qu'il  procure. 

Si  Paul  reçoit  deux  francs,  en  amenant  croix  au  premier  coup, 
et  cinq  francs  en  l'amenant  au  second  coup,  soit  qu'il  l'ait  ou  non , 
amené  au  premier;  alors  la  probabilité  d'amener  croix  au  second 
coup  y  étant  ;;  en  multipliant  deux  francs  et  cinq  francs  par  |,  la 
somme  de  ces  produits ,  donnera  trois  francs  et  demi  pour  t'avan- 
tage de  Paul ,  et  par  •conséquent  pour  sa  mise  an  jen, 
a*pRiidpr.  Dans  une  série  d'événemens  probables ,  dont  les  uns  produisent 
un  bien ,  et  les  autres  ,  une  perte;  on  aura  l'avantage  qui  en  ré- 
sulte ,  en  faisant  une  somme  des  produits  de  la  probabilité  de 
chaque  événement  favorable ,  par  le  bien  qu'il  procure  ;  et  en  re- 
tranchant de  cette  somme ,  celle  des  produits  de  la  probabilité  de 
chaque  événement  défavorable ,  par  la  perte  qui  y  est  attachée.  Si 
la  seconde  somme  r«mporte  sur  la  première,  le  bénéfice  devient 
perte,  et  Ve^érance  se  change  en  crainte. 

On  doit  toujours ,  dans  la  conduite  de  la  vie ,  feire  ensorte  d'éga- 
ler au  moins,  le  produit  du  bien  qae  l'on  espère,  parsa  probabilité, 
au  produit  semblable  relatif  à  la  perte.  Mais  il  est  nécessaire  pour 


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INTRODTJCnOJÎ.  Tf 

j  parvenir,  d'apprécier  exactement,  le»  avantages,  I^  pertts, 
et  leurs  probabilités  respectives.  Il  fout  poor  cela ,  une  graiide  joa'. 
tesse  d'esprit, un  tact  délicat,  et  une  grande  expérience  des  choses: 
il  faut  savoir  se  garantir  des  préjogés ,  des  illiosions  de  la  crainte 
et  de  l'espérance,  et  de  ces-Ëiusses  idées  de  fortune  et  de  bonheur, 
dont  la  plupart  des  hommes  bercmt  leur  arnoop-propre. 

L'application  des  principes  précédent ,  à  la  question  suivante , 
a  beaucoup  exercé  les  géomètres.  Faul  joue  à  croix  et  pile,  Avec 
la  condition  de  recevoir ,  deux  francs ,  s'il  amène  croix  au  premier 
coup;  quatre  francs^  s'il  ne  l'amène  qu'au  second  ;  huit  francs,  . 
s'il  ne  l'amène  qu'au  troisième ,  et  ainsi  de  suite.  Sa  mise  an  jeu , 
doit  être  par  le  huitième  principe,  égale  au  nombre  des  coups  ; 
ensorte  qoe  û  la  partie  contioue  à  l'infini,  la  nuse  doit  être  infinie. 
Cependant,  aucun  homme  raisonnable  ne  voudrait  exposer  à  ce 
jeu,  une  somme  même  modique,  cinquante  francs,  par  exemple. 
D'où  vient  cette  différence  entre  le  résultat  du  .calciil,  et  l'indica- 
tion du  sens  commun?  On  reconnut  bientôt,  qu'elle  tenait  à  ce 
que  l'avantage  moral  qu'un  bieu  nous  procure,  n'est  pas  propor- 
tionnel à  ce  bien,  et  qu'il  dépend  de  mille  circonstances  souvent 
très-difficiles  à  définir ,  mais  dont  la  plus  générale  et  la  plus  im- 
portante est  celle  de  la  fortune.  En  e&èt,  il  est  visible  qu'un  franc 
a  beaucoup  plus  de  prix  pour  celui  qui  n'en  a  que  cent,  que  pour 
un  millionuaire.  On  dût  donc  dans  le  bien  espéré ,  distingua-  sa 
valeur  absolqe,  de  sa  valeur  relative.  CeKe-ci  se  règle  sur  les  motifs 
qui  le  font  désirer;  au  lieu  que  la  première  en  est  indépendante. 
On  ne  peut  pas  drainer  de  principe  g^éral,  pour  apprécier  cette 
valeur  relative.  En  voici  cependant  un  proposé  par  Daniel  Banoulli, 
et  qui  pent  servûr  dans  beaucoup  de  cas.  La  valeur  relative  d'usé  x<  Pnocip*^ 
somme  infiniment  petite,  est  égale  à  sa  valeur  absolue  divisée  par 
le  bien  total  de  la  personne  intéressée.  Cela  suppose  que  tout 
homme  a  un  bien  quelconque  dont  la-  valeur  ne  peut  jamais  être 
supposée  nulle.  £n  effet,  celui  même  qui  ne  possède  rien,  donne 
toujours  à  son  existence  ,  une  valeur  au  menus  égale  à  ce  qui  lui 
est  rigoureusement  nécessaire  pour  vivre. 

Si  l'on  applique  l'analyse,  au  prihc^  que  nous  venons  d'exposer; 
on  <^tient  la  règle  suivante), 


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x¥j  INTRODUCTION. 

En  daignant  par  l'onité,  la  partie  de  la  fortune  d*Dn  indîridu,  indé- 
pendante de  ses  expectatives  ;  si  l'on  détermine  l,es  diverses  vtileurs 
que cettefortuaepeutreceToiren  vertu deceaexpectatiTes,  etleurs 
probabilités  j  le  produit  de  ces  valeurs  élevées  respectivement  aux  . 
puissances  indiquées  par  ces  probabilités,  sera  la  fortune  physique 
qui  procurerait  à  l'individu ,  le  même  avantage  moral  qu'il  reçoit 
de  la  partie  de  sa  fortune, prise  pour  unité,  et  de  ses  expectatives; 
en  retranchant  donc  l'unité ,  de  ce  produit  ;  la  di£fêrence  sera  t'ac- 
croissonent  de  la  fortune  physique ,  dû  aux  expectatives  :  nous 
nommerons  cet  accroissement ,  espérance  morale.  XI  est  facile  de 
voir  qu'elle  coïncide  avec  l'e^Fance  mathématique,  lorsque  la 
fortune  prise  pour  unité,  devient  infinie  par  rapport  aux  variations 
qu'elle  reçoit  des  expectatives.  Mais  lorsque  ces  variations  sont  une 
partie  sensible  de  cette  unité,  les  deux  espérances  peuvent  di£fêrer 
très-sensiblement  entre  elles. 

Cette  règle  conduit  à  des  résultats  conformes  aux  indîcatioDS 
du  sens  commun,  que  l'on  peut  à  ce  moyen,  apprécier  avec  qnel- 
qu'exaditude:  Ainsi  dans  la  question  précédente,  on  trouve  que  si 
la  fortune  de  Paul  est  de  deux  cents  irancs,  il  ne  doit  pas  raison- 
nablement mettre  au  jeu  plus  de  neuf  francs.  La  même  régie  conduit 
encore  à  répartir  le  danger,  sur  plusieurs  parties  S\m.  bien  que  Ton 
espère ,  plutdt  que  d'e^>oser  ce  bien  tout  entier  au  même  danger. 
Il  en  résulte  pareillement,  qu'au  jeu  le  plus  égal ,  la  perte  est  tou- 
jours relativement  plus  grande  que  le  gain;  car  le  produit  de  la 
fortune  prise  pour  unité ,  augmentée  du  gain  et  élevée  à  une  puis- 
sance égale  à  la  probabilité  du  gain ,  par  cette  unité  diminuée  de  la 
perte;  et  âevée  à  une  puissance  égale  à. la  probabilité  de  la  perte, 
est  toujours  moindre  que  la  fortune  du  joueur  avant  sa  mise  au 
jeu.  En  supposant  par  ex^nple,  cette  fortune,  de  cent  francs, 
et  que  le  joueur  en  expose  cinquante  au  jeu  de  crom  et  pUef 
sa  fortune  après  sa  mise  au  jeu ,,  peut  être  en  vertu  de  son 
expectative,  ou  de  cent  cinquante  fran<^,  ou  seulement  de  cin-r 
quante;  la  probdbiljté  de  chacun  de  ces  deux  cas  est  \;  cette 
fortune  est  donc  par  la  règle  précédente ,  égale  a  la  radne  cairée 
du  produit  de  cent  cinquante,  par  oinquante;  elle  est  ainsi  réduite 
À  quatre-TÎngt-sept  francs ,  c'eat-à-dirç  que  cette  derniers  somme 


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BSTRODUCriON.  xvu 

parocnrerait  au  jonenr ,  le  même  avantage  moral ,  qae  Tétat  de  sa 
fortune  après  sa  mise.  Le  jeu  est  donc  désavantageux,  dans  le  cas 
même  où  la  mise  est  égale  an  produit  de  la  somme  espérée  par 
sa  probaHIité.  On  peut  jager  par  là  de  rimmoralité  des  jeux  dans 
lesquels  la  somme  espérée  est  au-dessoas  de  ce  produit.  Us  ne 
subsistent  que  par  les  Ëiux  raisonnemens  et  la  cupidité  qu'ils  fo- 
mentent^ et  qui  portant  le  peuple  à  sacrifier  son  nécessaire ,  à 
des  espérances  chimériques  dont  il  est  hors  d'état  d'apprécier  lln- 
vraisemblauce ,  sont  la  source  d'une  infinité  de  maux. 

Des  Méthodes  analytiques  du  Calcul  des  Probabilités. 

L'application  des  principes  que  nous  venons  d'exposer ,  aux 
diverses  questions  de  probabilités ,  exige  d^  méthodes  dont  la  re- 
cherche a  donné  naissance  à  pluàeurs  branches  de  l'analyse ,  et 
spécialement  à  la  théorie  des  combinaisons,  et  an  calcul  des  d^é- 
rences  finies. 

'  Si  l'on  forme  le  produit  des  binômes,  rooité  plus  une  première 
lettre,  l'unité  plus  une  seconde  lettre,  l'unité  plus  une  troisième 
lettre ,  et  ainsi  de  suite  jusqu'à  n  lettres  ;  en  retranchant  l'unité  de 
.ce  produit  développé^  on  aura  la  sonune  des  combinaisons  de  toutes 
ces  lettres  prises  une  à  une ,  deux  à  deux ,  trois  à  trois,  etc.  :  chaque 
.combinaison  aura  pour  coefficient,  l'unité.  Pour  avoir  le  nombre  des 
combinaisons  de  ces  n  lettres  prises  r  à  r,  oh  observera  que  si  on 
suppose  les  lettres  égales  entre  elles,  le  produit  précédent  deviendra 
la  puissance  n'*»"  du  binôme,  un  plus  la  première  lettre  ;  et  le  nombre 
des  combinaisons  des  n  lettres  prises  r  k  r,  sera  le  coe£Qcient  de 
la  puissance  r*""  de  la  première  lettre ,  dans  le  développement  de 
ce  binôme;  on  aura  donc  ce  nombre,  par  la  formule  connue  du 
binôme. 

Si  Ton  veut  avoir  Égard  à  la  situation  respective  des  lettres,  dans 
chaque  combinaison;  on  doit  observer  qu'en  joignant  une  seconde 
lettre  à  la  première,  on  peut  la  placer  au  premier  et  au  second 
rang;  ce  qui  donne  deux  combinaisons.  Si  Ton  joint  à  ces  combi- 
naisons ,  une  troisième  lettre  ;  on  peut  lui  donner  dans  chaque  com-r 
binaison,  le  premier,  le  second  et  le  troisième  rang;  ce  qui  forme 


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iriij  INTRODUCTION. 

trois  combinaisons  relatires  à  chacune  des  deux  autres,  en  tout,  six 
combinaisons.  De  là,  il  est  aisé  de  conclure  que  le  nombre  dea 
arrangemens  differens  que  Ton  peut  donner  à  r  lettres ,  est  le  pro- 
duit dea  nombres  depuis  l'unité  jusqu'à  r.  U  Eut  donc  pour  avoir 
égard  à  la  situation  re^ective  des  lettres ,  multiplier  par  ce  pro- 
duit, le  uomlo^  des  combinaisons  des  niettres  prises  r  à  r;  ce  qui 
revient  à  supprimer  le  désominateur  du  coefficient  du  terme  du 
binôme,  qui  exprime  ce  nombre. 

Supposons  une  loterie  c<»Qpo8ée  de  n  numéros ,  et  qu'il  en  sorte 
r  à  chaque  tirage  ;  on  demande  la  probabilité  de  la  sortie  de  s  numé- 
ros donnés.,  dans  un  tirage.  Four  y  parv^iir,  on  déterminera  d'abord 
Je  nombre  des  combinaisons. des  autres  numéros  pris  r  moins  j,  àr 
moius  S'y  car  il  est  dair  qu'en  ajoutant  les  $  numéros  donnés,  à  cha- 
cune de  ces  combinaisons,  on  aura  la  sonune  de  toutesles  comlônai- 
sons  des  n  lettrespriaes  r  à  r,  et  dans  lesquels  les  s  numérosdonnés 
entrent.  ^  l'on  divise  ce  nombre,  par  celui  des  combinaisons  de 
toutes  les  lettres  prises  r  à  r;  on  aura  la  probabilité  demandée.  On 
trouve  ainsi  que  cette  probabilité  est  le  rapport  du  nombre  des 
combinaisons.de  r  lettres  prises  «  à  «,  au  nombre  des  çMnbinaisons 
de  n  lettres  prises  s  k&. 

On  peut  d'après  ce  théorème,  calculer  les  cjiances  de  la  loterie 
de  France,  et  en  conclure  ses  bénéfices.  Cette  loterie  est,  comme 
on  sait,  composée  de  90  numéros ,  dont  cinq  sortent  à  chaque 
tirage.  La  probabilité  de  la  sortie  d'an  extrait  donné,  est  en  vertu 
de  ce  théorème,  égale  à^  ou-^;  la  loterie  devrait  donc  alors  pour 
l'égalité  du  jeu ,  rendre  dix-huit  fois  la  mise.  Le  nombre  total  dea 
combinaisons  deux  à  deux,  de  90  numéros  est  4qo5,  et  il  en  sort 
dix  à  chaque  tirage  ;  «insi  la  probabilité  de  la  sortie  d'un  ambe  donné 
est  TT^s ,  la  loterie  devrait  donc  pour  un  ambe  sorti,  rendre  quatre 
cents  fois  et  demie ,  la  mise.  On  trouve  pareillement  qu'elle  devrait 
rendre  la  mise^  11748  fois  pour  un  terne,.  6iio38  fois  pour  un 
quateme,  et  43949368  fois  pour  un  quine.  I^a  loterie  est  loin  de 
faire  ces  avantages  aux  joueurs. 

Supposons  encore  dans  une  urue^  n  boules  que  l'on  puisse  ^;ale- 
meat  extraire  une  à  une,  deux,  à  deux,  trois  à  trois,  etc.;  on  a  fait 
une  de  ces  extractions,  et  Ton  demande  la  probabilité  que  le  nombre 


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INTRODUCTION.  i&x 

des  boules  extraites  est  impair.  H  suit  de  ce  qui  précède ,  que  si 
Ton  élève  le  binôme,  un  plus  un,  a  la  puissance  n;  les  termes, 
second ,  troisième ,  etc. ,  exprimeront  les  nombres  de  combinaisons 
des  n  boules ,  prises  une  à  une ,  deux  à  deux ,  etc.  ;  ainsi  la  totelité 
des  combinaisons  sera  la  puissance  nf^**"  de  deux,  moins  Nnité  :  la 
tomme  des  termes  second  ,  quaUlème ,  sixième ,  etc.  du  dévelop- 
pement du  binôme ,  6&c&  le  nombre  des  combinaisons  impaires  : 
elle  sera  visiblement,  la  moitié  de  la  dîSërenoe  des  tv*^  puissancea 
des  binômes  un  plus  un,  et  un  moins  un;  ou  la  moitié  de  la  n'*'^ 
puissance  de  deux.  Eu  retranchant  Tunîté,  de  cette  quantité,  on 
aura  le  nombre  des  combinaisons-  paires  ;  et  en  divisant  ces  déox 
nombres  de  combinaispos ,  par  leur  somme,  on  aura  les  probabi* 
fités  respectives  des  cwnbinaisons  impaires  et  paires.  Dn  voit  ainsi 
qu'il  j  a  de  l'avantage  à  parier  plutôt  pour  un  ncHnlure  impair  ds 
boules  extraites,  que  pour  un  nombre  pair. 

Mais  la  méthode  la  plus  générale  et  la  plus  directe  de  résoudre 
les  questions  de  probabilité,  consiste  à  les  faire  dépendre  d'équa-* 
lions  aux  dififêrences.  En  comparant  les  états  consécutîis  de  la 
fonction  des  variables ,  qui  exprime  la  probabilité ,  l^squ'on  feit 
crcÂtre  ces  variables,  de  leurs  difiërences  respectives;  la  question 
proposée  fournit  le  plus  souvent,  un  rapport  très-simple  entre  les 
divers  états  de  cette  fonction.  Ce  rapport  est  ce  que  l'on  nommo 
équation  aux  différences  ordinaires  ou  partielles  ;  ordinaires , 
lorsqu'il  n^  a  qu'une  variable  ;  partielles ,  lorsqu'il  y  en  a  plusieurs. 
Donnons  en  quelques  exemples. 

Trois  joueurs  dont  les  forces  sont  supposées  les  mêmes ,  jouent 
ensemble  aux  conditions  suivantes.  Celui  defrdeux  premiers  joueurs 
qui  gagne  son  adversaire  ^  joue  avec  le  troisième ,  et  s'il  le  gagne , 
la  partie  est  finie.  S'il  est  vaincu,  le  vainqueur  joue  avec  l'autre, 
et  ainsi  de  suite ,  jusqu'à  ce  que  l'un  des  joueurs  ait  gagné  consé- 
cutivement les  deux  autres  ;  ce  qui  termine  la  partie.  On  demande 
la  probabilité  que  cette  partie  s&sl  finie  dans  un  nombre  donné  de 
coups.  Oierchoos  d'abord  la  probabilité  qu'elle  finira  précisément  à 
un  coup  déterminé,  par  exemple,  au  dixième  coup.  Pour  cela,  le 
joueur  qui  la  gagne,  doit  entrer  au  jeu  au  neuvième  coup,  et  le 
gagner  itiuqi  que  le  coup  suivant,  filais  si  au  lieu,  de  gagner  le 


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K  INTRODUCTION. 

neuvième  coup,  il  était  vaincu  par  son  adversaire;  comme  cehù-cî 
a  déjà  gagné  l'autre  joueur,  hi  partie  finirait  à  ce  coup;  ainsi  la 
probabilité  qu'un  joueur  entrera  au  jeu  au  neuvième  coup,  et  le 
gagnera,  est  égale  à  celle  que  la  partie  finira,  précisément  à  ce 
coup  ;  et  comme  ce  joueur  doit  gagner  le  coup  suivant ,  pour  que 
la  partie  se  termine  au  dixième  coup ,  cette  dernière  probabilité  ne 
sera  qu'un  demi  de  la  précédente.  U  suit  de  là  que  si  l'on  considère 
cette  probabilité,  comme  une  fonction  du  numéro  du  coup  auquel 
elle  doit  finir;  cette  fiïnction  sera  la  moitié  de  la  même  fonction, 
dans  laquelle  on  a  diminué  le  numéro  ou  la  rariable,  d'une  unité. 
Cette  égalité  forme  une  de  ces  équations  que  l'on  nomn»  équations 
aux  différences  ^nies  otdinaitÉs.- 

On  peui  déténniner  &cilement  à  son  moyen,  la  probabilité  que  la 
partie  finira  précisément  à  un  coup  quelconque.  Û  est  visible  que 
la  partie  ne  peut  finir  au  plutôt,  qu'au  second  coup  ;  et  pour  cda, 
il  est  nécessaire  que  celui  des  deux  premiers  joueurs  qui  gagne  son 
adversaire,"  gagne  au  second  coup,  le  troisième  joueur.  Ainsi  la 
jïrobabitité  que  la  partie  finira  à  ce  coup ,  est  7.  De  ta ,  en  vertiï 
de  réquation  précédente,  on  conclut  que  les  probabilités -succes- 
sives de  la  fin  de  la  partie ,'  sont  \  pour  le  troisième  coup ,  ~  pour  le' 
Quatrième,  etc. ,  et  généralement  ^  élevé  à  une  puissance  moindre- 
de  l'unité,  que  le  numéro  du  coup.  Maintenant,  si  Ton  prend  la- 
somme  de  toutes  ces  puissances ,  depuis  la  première  jusqu'à  cette 
dernière  incluslyement;  on  aura  la  probabilité  que  la  partie  sera 
terminée  dans  le  nombre  de  coups  indiqué  par  ce  numéro ,  égale- 
à  l'unité  moins  la  dernière  de  ces  puissances  de  x- 

Considérons  encore  le  premier  problème  que  l'on  ait  résolu  sur 
les  probabilités,  et  que  Pascal  proposa,  de  résoudre  à  Fenuat.  Deux 
joueurs  A  et  B,  dont  les-adresses  sont  égales,  jouent  ensemble  à 
cette  condition  que  celui  qui  Iç  premier  aura  vaincu  l'autre  un 
nombre  donné  de  fois  ,  gagnera  la  partie ,  et  emportera  la  sonune 
des  nuses  au  jeu.  Après  quelques  coups,  les-  joueurs  conviennent 
de  se  retirer  sans  avoir  terminé  la  partie  ;  on  demande  de  quelle 
manière  ils  doivent  se  partager  cette  somme.  Il  est  visible  que  leurs 
parts  doivent  être  proportionnelles  à  leurs  probabilités  respectives 
de  gagner  la  partie  ;  la  question  se  réduit  donc  à  déterminer  ces 


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INTRODUCTION.  xxj 

probabilités.  EUès  dépencteùt  éridemment  des  nombres  de  points 
qui  manquent  à  chaque  joueur,  pour  atteindre  le  noitibre  donné; 
ainsi  la  proi>abiIité  de  A  est  une  fonction  de  ces  deux  nombres  que 
nous  regarderons  comme  autant  de  variables.  Si  les  deux  joueurs 
convenaient  de  jouer  un  coup  de  plus  (  convention  cfm  ne  change 
en  rien  leur  sort  )j  ou  A  le  gagnerait,  et  alors  le  nombre  des  points 
qui  lui  manque ,  serait  diminué  d'une  UEiité;  ou  le  joueur  B  gagne-' 
rait  ce  nouveau  coup ,  et  alors  le  Domt»%  des  ptnnts  qui  manquent 
à  ce  dernier  joueur,  serait  diminué  d'une  unité  j  mais  la  probabi- 
lité de  chacun  de  ces  cas  est  7;  la  fonction  cherchée  est  donc 
ég^le  à  la  moitié  de  cette  fonction  dans  laquelle  on  diminue  d'une 
tmité ,  la  première  variable^  plus  à  la  moitié  de  la  même  fonction' 
dans  laquelle  on  diminue  la  seconde  variable ,  d^one. unité.  Cette 
égalité  est  une  de  ces  équations  que  l'on  nomme  équatiom  aux 
différences  partielles. 

•  Onpeutdéterininer  à  son  moyen,  les  probabilités  dé  A,  en  par- 
tant des  plus  petits  nombres ,  et  en  observant  que  la  probabiUté  otï 
ht  fonction  qui  l'exprime,  est  égale  à  l'unité-,  lorsqu'il  ne  manque' 
aucun  point  an  joueur  A ,  ou  lorsque  la  première  variable  est  nulle  ;- 
et  que  cette  fonction  devient  nulle  avec  la  seconde  variable.  £b' 
supposant  ainsi  qu'il  ne  manque  qu'un  point  au  joueutA^  onb'ouvs 
que  sa  pirobabilité  est  ~ ,  ^ ,  | ,  etc. ,  suivant  qu'il  manque  à  B ,  ua' 
point,  ou  deux,  ou  trois,  etc.  Généralenient ,  elle  est  ak»:»  égale  à 
l'unité,  moins  I  élevé  à  une  puissance  égale  au  nombre  des  points 
qui  manquent  à  B.  On  supposera  ensuite  qu'il  manque  deux  points 
au  joueur  A ,  et  l'on  trouvera  sa  probabilité  ^ale  à  i,  ^ ,  f|,  ete», 
suivant  qu'il  manque  à  B,  un  point,  ou  deux,  ou  trois ,  etc.  On  suppo- 
sera encore  qu'il  manque  trois  points  au  joueur  A ,  et  ainsi  de  suite.- 
Cette  manière  d'obterdr  les  valeurs  successives  d'une  quantité  ^ 
au  moyen  de  son  équation  aux  dif^ences ,  est  longue  et  pénible  j 
et  les  géomèb^s  ont  cherché  des  méthodes  pour  avoir  la  fonctioQ 
générale  des  variables  qui  satisÊiit  à  cette  équation,  ensorte  que 
l'on  n'ait  besoin  pour  chaque  cas  particulier,  qtie  de  substituer  dans 
cette  fonction ,  les  valeurs  correspondantes  des  variables.  Consi- 
dérons cet  objet  d'une  manière  générale.  Pour  cela ,  concevrais 
àue  suite  de  termes  disposés  sur  une  ligne  horizontale ,  et  tels  que; 


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xxij  nîTRODUCnON. 
chacun  d'eax  dérire  des  précédens,  suirant  une  loi  donnée  :  sir^ 
posons  cette  loi  exprimée  par  une  équation  entre  plusieurs  termes 
consécutif,  et  leur  indice ,  ou  le  nombre  qui  indique  le  rang  qu'ils 
occupent  dans  la  série  :  cette  équation  est  ce  que  je  nonune  équa- 
tion aux  différences  finies  à  un  seul  indice  variable.  L'ordre 
ou  le  degré  de  cette  équati(»i ,  est  la  différence  du  rang  de  ses  deux 
termes  extrêmes.  On  peut,  à  son  moyen ,  détermiaer  successire- 
ment  les  termes  de  la  série,  et  la  continuer  indéfiniment  ;  mais  il 
Ëiut  pour  cela,  coimaltre  un  nombre  de  tenues  de  la  série ,  égal 
an  degré  de  Téquation.  Ces  termes  sont  les  constantes  arbitraires 
de  l'expression  dti  terme  général  de  la  série ,  ou  de  l'intégrale  ds 
l'équation  aux  i^Bixano«9. 

Concevons  maintenant ,  au-dessus  des  termes,  de  la  série  précé- 
dente, une  seconde  série  de  termes  ttisposés  horizontalement} 
concevons  encore ,  au-dessus  des  termes  de  la  seconde  série ,  une 
tr<Hsième  série  horizontale,  et  ainsi  de  suite  à  l'infini ,  et  suppo- 
sons les  termes  de  toutes  ces  séries ,  liés  par  une  équation  générale 
entre  plusieurs  termes  consécutifit ,  pris  tant  dans  le  sens  horizon- 
tal, que  dans  le  sens  vertical ,  et  les  nombres  qui  indiquent  leur 
rang  dans  les  deux  sens.  Cette  équation  est  ce  que  je  nomme  équa~ 
tion  aux  différences  finies  partielles  à  deux  indices  fariables. 

Concevons  pareillement  au-dessus  du  plan  qui  renferme  les  séries 
précédentes,  un  second  plan  renfermant  des  séries  semblables, 
dont  les  teïmes  soient  placés  respectivement  au-dessus  de  ceux 
que  contient  le  premier  plan.  Concevons  ensuite  au-dessus  de  ce 
second  plan ,  un  troisième  plan  renfennant  des  séries  semblables , 
et  ainsi  à  llnfini.  Supposons  tous  les  termes  de  ces  séries,  liés  par 
une  équation  enU%  plusieurs  termes  consécutifs ,  pris  tant  dans  le 
sens  de  la  longueur ,  que  dans  les  sens  de  la  largeur  et  de  la  pro- 
fondeur, et  les  trois  nombres  qui  indiquent  leur  rang  dans  ces 
trois  seus.  Cette  équation  est  co  que  je  nomme  équation  aux  diffé- 
rences finies  partielles  à  trois  indices  variables. 

Enfin ,  «a  considérant  la  chose  d'une  manière  abstraite  et  indé- 
pendante des  dimensions  de- l'espace,  concevons  généraLement  un 
système  de  grandeurs  qui  soient  fonctions  d'un  nombre  quelconque 
d'indices  variables.,  et  supposons  entre  Ces  grondeurs ,  leurs  di^i 


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INTRODUCTION.  xiiij 

rences  relatires  à  ces  indices  et  les  indices  eux-mêmes  ^  autant 
d'équations  qu'il  y  a  de  ces  grandeurs  ;  ces  équati<ms  seront  aux 
différence  fiiotes  partielles  à  on  nombre  quelconque  d'indices 
variables.  • 

On  peut  à  leur  moyen,  détenniner  successireroent  ces  gran- 
deurs. Mais  de  même  que  l'équation  i  on  seul  indice ,  exige  que 
l'on  connaisse  un  certain  nombre  de  termes  de  la  série  ;  de  même 
l'équation  à  deux  indices  exige  que  ¥oa  connaisse  une  bu  plusieurs 
lignes  de  sà'ies,  dont  les  tenues  généraux  peuvent  chacun  être 
exprimés  par  une  fonction  arbitraire  d'un  des  indices.  Pareillement, 
l'équation  à  trois  indices  exige  que  Ton  connaisse  un  ou  plusieurs 
plans  de  séries ,  dont  les  tennee  généraux  peuvent  être  exprimés 
chacun  par  mie  foncticHi  arbitraire  ^  deux  indices,  et  ainsi  de  suite. 
Daus  tous  ces  cas,  on  pourra,  par  des  éliipinaUons  successives» 
détemuner  un  terme  quiconque  des  séries.  Mais  toutes  les  équa- 
tions «Qtre  lesquelles  on  éliiaine,  étant  comprises  dans  un  même 
système  d'équati<ms  générides;  toutes  les  expresuons  des  termes 
successiâ  que  r<Hi  obtient  par  ces  Simulations ,  dMvont  être  com- 
prises dans  une  expression  g^iérale ,  fonction  des  indices  qui  dé- 
termioent  le  rang  du  term«.  Cette  expression  est  l'intégrale  de 
l'équation  proposée  aux  diSërences ,  et  sa  recherche  est  l'objet  da 
calcul  intégral.  Parmi  les  méthodes  imaginées  pour  y  parvenir  ,- 
celle  qui  me  paraît  être  la  plus  générale  et  la  plus  single ,  est  fondée 
sur  la  considération  des  foncUons  génératrices  dont  voici  l'idée. 

Si  l'on  conçoit  une  fonction  A  d'une  variable,  développée  danst 
une  série  ascendante  par  rapport  aux  puissances  de  cette  variable; 
le  coefficient  de  l'ime  quelconque  de  ces  puissances  sera  fonction 
de  l'indice  ou  exposant  de  cette  puissance.  A  est  ce  que  je  nomme 
foTiction  génératrice  de  ce  coefficient,  ou  de  la  fonction  de  l'indice. 

Maintenant,  si  l'on  multiplie  la  série  A,  par  une  fonction  linéaire 
de  la  variable,  telle ,  par  exemple ,  que  l'unité  plus  deux  fois  cette 
variable  ;  le  produit  sera  une  nouvelle  fonction  génératrice  dans 
laquelle  le  coëffident  d'une  puissance  qndconque  de  la  variable,  sera 
égal  au  coefficient  de  la  même  puissance  dans  A ,  plus  au  double  du 
coefficient  de  la  puissance  inférieure  d'une  unité.  Ainsi  la  fonction 
de  riAdice  dans  le  produit,  égalera  la  fonction  de  l'indice  dans  A , 


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xsiv  IM^ODUCTION. 

plus  le  double  de  cette  même  fônction  dans  laqaeHe  tlncGce  est 
diminué  de  ruoité.  Cette  fonction  de  rindic^  dans  le  développement 
du  produit,  peut  ainsi  être  envisagée ,  comme  une  dérÎTée  de  la 
fonction  de  l'indice  dans  A,  dérivée  que  Pofi  peut  exprimer  par  une 
caractéristique  placée  devant  cette  dernière  fonction.  La  dérivation 
indiquée  par  la  caractéristiqne,  dépend  de  la  fonction  multiplicateur, 
que  nous  désignerons  généralementpar  B ,  et  que  nous  supposerons 
développée  comme  A,  par  rapport  aux  puissances  de  la  variable. 

Si  Ton  multiplie  de  nouveau  par  B ,  le  produit  de  AparB,ceqni 
revient  à  multiplier  A  par  le  carré  de  B;  on  formera  une  troisième 
fonction  génératrice  dans  laquelle  le  coefficient  d'une  puissance  quel- 
conque de  la  yarifthlft ,  s«xa  «ne  dérivée  semblable  du  coefficient 
correspondant  dans  le  premier  produit;  on  pourra  donc  l'exprimer 
par  la  même  caractéristique  placée  devant  la  dérivée  précédente, 
et  alors  cette  caractéristique  sera  deux  fois  écrite  devant  le  coef- 
ficient c<HTespondant  dans  la  série  A;  mais  au  lieu  de  l'écrire  ainsi 
deux  fois,  on  lui  dbnne  pour  exposant,  le  nombre  deux. 

En  continuant  de  cette  manière,  onT(Ht  généralement  que  si  l'on 
multiplie  A  par  ime  puissance  n**^  de  B;  onaïu-ale  coefficient  d'une 
.puissance  quelconque  de  la  variable  dans  le  produit,  en  plaçant 
devant  le  côefficieut  c<MTespondant  de  A,  la  caractéristique  avec  n 
pour  expos£^t. 

Supposons  que  B  soit  l'unité  divisée  par  la  variable  -  alors  dans 
le  produit  de  A  par  B ,  le  coefficient  d'une  puissance  de  la  variable, 
sera  le  coefficient  de  ia  puissance  supérieure  d'une  unité  dans  A; 
d'où  il  suit  que  dans  le  produit  de  A  par  la  puissance  n'^"**  de  B, 
ce  coefficient  sera  celui  de  la  puissance  supérieure  d'un  nombre  n 
d'unités  dans  A. 

'  Si  Bestégalà,  moinsunpiusranitédiviséepar  la  variable;  alorsdans 
le  produit  de  A  par  B ,  le  coefficient  de  la  variable  sera  le  coefficient 
de  la  puissance  supérieure  d'une  unité  dans  A ,  moins  le  coefficient 
de  cette  puissa'hce;  il  sera  donc  la  différence  finie  de  ce  dernier  coef- 
ficient dans  lequel  on  fait  varier  l'indice,  de  l'unité.  Ainsi  dans  le 
produit  de  A  par  la  puissance  n'^'  de  B ,  le  coefficient  sera  la  diffé- 
rence n'*""  du  coefficient  correspondant  dans  A. 

B  étant  une  fonction  de  la  variable,  et  C  étant  une  autre  fonction 


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INTRODrcnOTT.  xxf 

de  la  même  variable;  on  pourra  coDsîdérer  B^  comme  une  fonc- 
tion de  C ,  déreloppëe  dans  une  série  ordonnée  par  rapport  aux 
poissances  de  Cj  le  produit  de  A  par  cette  série,  sera  donc  idœ- 
tigoemoit  égal  au  produit  de  AparB;  et  les  coeffîciens  d'une  même 
puissance  de  la  variable ,  seront  identiquement  égaux  dans  ces 
deux  produits.  Mais  le  premittr  de  ces  coefiiciens  est  formé  d'une 
suite  de  termes  correspondans  aux  produits  de  A  par  les  diverses 
puissances  de  C.  Dans  le  produit  de  A  par  C ,  ce  coefficient  est  une  ' 
nouvelle  dérivée  du  coefficient  correspondant  dans  A,  dérivée  que 
nous  exprimerons  par  une  nouvelle  caractéristique  placée  devant 
ce  dernier  coefficient.  En  changeant  donc  les  diverses  puissances 
de  C ,  dans  cette  nouvelle  caractériaticiue  affectée  d'exposans  égaux 

.  à  ceux  de  ces  puissances ,  et  placée  devant  le  coefficieni  com;spou- 
dent  de  A;  en  mult^liant  ensuite  par  ce  coefficient,  le  terme  indé- 
pendant de  C ,  dans  la  série  précédente  ;  on  aura  le  coefficient  relatif 
au  produit  de  A  par  le  développement  de  B ,  suivant  les  puissanceft 
de  C.  Si  Ton  ^ale  ce  coefficient,  à  celui  qui  est  relatif  au  produit 
de  A  par  B ,  et  qui  est  exprimé  par  la  première  caractéristique  placée 
devant  le  coefficient  correspondant  de  A;  on  aura  Texpressicm  de 
la  dérivée  indiquée  par  cette  caractéristique ,  daus  une  série  or- 
donnée suivant -les  exposans  de  la  nouvelle  caractéristique.  -  On 
voit  que  pour  former  cette  série ,  c'est-à-dire  pour,  repasser  des 
fonctions  g^ératrices  à  leurs  coefficiens ,  il  suffit  de  substituer  dans 
B  considéré  coame  fonction  de  C,  la. nouvelle  caractâristiqne ,  à 
la  place  de  C  ;  de  développer  ensuite  B ,  dans  une  série  ordonnée 
par  rapport  aux  puissances  de  cette  caractéristique  ;  enfin  d'écrire 
le  coefficient  d'une  puissance  indéterminée  de  la  variable  dans  A , 
à  la  suite  de  chaque  puissance  de  la  caractéristique ,  et  après  le 
premier  terme  de  la  série.  Ainsi  ce  coefficient  étant  une  fonction 
quelconque  de  llndice  de  la  puissance  de  la  variable  ;  la  transfor- 
mation d'une  dérivée  de  cette  fonction ,  indiquée  par  une  première 
caractéristique ,  dans  une  série  ordonnée  par  rapport  aux  exppsana 
successife  de  la  caractéristique  d'une  nouvelle  dérivée  de  la  même 
fonction,  se  réduit  aux  opérations  algébriques  du  développement 

des  fonctions  en  séries. 
Si  l'on  suppose  B  égal  à  l'unité  divisée  par  la  variable ,  et.Cégal 


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«yi  INTRODUCTION, 

à  cette  firaction  moltis  ma  ;  S  sora  ^al  à  Vaaiié  plue  C ,  et  le  pro- 
duit de  A  par  b  w*^  pnissaDce  de  B ,  »a^  ^al  au  produit  de  A 
par  le  dérdoppemoit  de  la  puissance  nf*^  du  binôme ,  un  plus  C  ; 
or  le  coeffici^it  d'une  puùsance  quelconque  de  k  variable ,  dans 
le  prodoôt  de  A  par  Bâevé  à  la  tv*^  puissance,  est ,  conuoe  (m  l'a 
vu,  le  oo^cient  de  ia  puissance  supérieure  de  n  tmités,  dans  A  ;  et 
ce  même  coefficient  dans  le  produit  de  A  par  une  puissance  de  C , 
est  la  diffiérence  du  m&ne  ordre,  du  ooefEicient  correspondant  dans 
A;  une  fonction  quelconque  de  l'indice  alimenté  de  n,  estdonc  égale 
aux  coeffîciens  des  termes  du  développement  de  la  puissance  n'^"*" 
du  binôme )  midtipliés  respectivement  par  la  fonction  elle-même, 
et  ses  différences  successives;  ce  qui  donne  l'interpolation  des  séries, 
au  moyen  des  di^rences  de  leurs  termes  successif. 

B  étant  toujours  supposé  égal  à  l'unité  divisée  par  la  variaMe , 
et  C  étant  une  fonction  quelconque  de  Cf^te  variable  ;  C  sera  la 
même  fonction  du  quotient  de  l'unité  divisée  par  B.  Si  de  là  on 
tire  l'cKpression  de  la  puissance  iv*^  dé  B ,  dans  une  sàie  déve* 
lo[^>ée  suivant  les  puissances  de  G;  on  aura  en  repassant  des  fonc- 
tions génératrices  aux  coeffîciens ,  une  foncticm  quelconque  de  l'in- 
dice augmenté  de  n ,  égale  à  une  série  dont  le  premier  terine  sera 
)e  premier  terme  de  la  sà-ie  précédente,  multiplié  par  la  fonction 
éUe-ménie  ;  etdontles  suivons  seront  ceux  de  la  m^ne  série ,  dans 
lesquels,  au  lieu  des  puissances  de  C ,  on  écrit  les  mêmes  puissances 
de  la  caractéristique  relative  à  C ,  suivies  de  la  ibnctiod.  Si  Ton 
suppose  un  des  termes  de  cette  nouvelle  série,  égal  à  zéro;  tous 
les  termes  suivans  seront  nuls,  et  la  somme  des  termes  jf^écédens 
sera  l'expresnon  de  la  fonction  de  l'indice  auçnenté  de  l'indéter- 
minée n-j  cette  expression  aeta  l'înt^rale  complète  de  l'équation 
aux  diflérenoes ,  indiquée  par  l'égalité  du  terme  de  la  »érie,  à  zéro  ; 
on  a  ainsi  la  iné&ode  la  plus  simple  d'int^rer  ce  goire  d'équa- 
tions. 

Concevons  présentement  qoe  A  scMt  une  fonction  de  deux  va- 
riables, (ce  que  nous  allons  dire,  s'étend  à  un  nombre  quelconque 
de  vambles  ).  En  kt  développant  dans  une  série  ordonnée  par  rap- 
port aux  puissances  de  ces  variables ,  et  à  leurs  produits  ;  le  coefficient 
du  produit  de  deux  puissances  quelconques  dans  ce  développement, 


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INTRODUCTION.  xxvii 

sera  PQe  fonctitm  des  indices  de  ces  puissances ,  dont  A  sera  ia 
foDCtioQ  génératrice. 

Si  l'on  multiplie  A  par  une  autre  fonction  B  de  ces  deux  va- 
riaUes  ;  le  coefficient  des  deux  mêmes  puissances  dans  le  produit, 
serq  lue  ^Miction  dérirée  du  coefficient  précédeotr  dérivée  quel'oa 
poiara  exprimer  par  une  caractériatiipie  ^cée  devant  ce  coçfficàeot. 
On  veira,  comme  ci^dessus,  que  le  coeffîcÎŒitcorrespondaQt,  dans 
le  produit  de  A  par  une  ptûssance  quelooiuiae  de  B,  sera  exprime 
par  cette  caractéristique ,  toujours  placée  derant  le  coefficâ^it  reiar 
tif  à  A ,  et  à  laquelle  on  donne  pour  exposuit ,  celui  de  la  puissance 
de  B.  De  là  résistent  des  théorèmes  analogues  à  ceux  qui  sont 
relatif  à  une  seule  variable.  On  pourra  déreloppar  d'une  manière 
semblable ,  une  fonction  <;^lcoiiqu6  des  4eux  Indices  ut^^eutés 
reepectirem«Qt  des  nocalH-es  n  et  n',  dans  une  série  ordonnée  par 
rappOTt  aux  puissances  d'une  cwoctiûistique,  placées  devant  la  fonc- 
lioaœns  aca'oissementd'tDgbcesj'etdontle premier  termeest celte 
foB(^n  edle-méme.  Si  Tua  des  ternes  de  oett;^  seine ,  est  égal  àzérb; 
tous  les  termes  suivans  le  ser-^Eit  par^esoest ,  et  la  somme  des 
tomes  précédens  sera  l'e^vession  de  la  Jonction  desdeux  indices 
augimen^  respectïTemeDt  des  indéterHiinées  n  et  n'  :  e^te  eApres- 
sifio  sott'Fintégrale  de  l'équation  aux  diffêresces  .finies  partielles , 
dnmée  par  cette  égalité. 

.  11  existe  tm^ours  une  fonction  des  nriables ,  telle  qu'en  la  dé- 
veloppant en  série  ,  les  «oefiGidens  des  produits  de  knrs  puissances 
ont  entre  eux  j  la  rdation  donnée  par  one  équation  aux  diffîrences 
partielles.  Cette  fonction  que  j'ai  nommée yoTic&'on  génératrice  de 
l'équation  proposée  ,^eat  souvent  &sà3it  à  obtenir  :  toutes  les  manières 
de  la  développer  en  série ,  donneront  l'intégrale  de  cette  équation , 
sons  des  formes  diverses  plus  ou  SMins  commodes  selon  tes  cïT" 
constances. 

Si  l'on  a  one  série  ordonnée  pai*  rapport  aux  puissances  d^e 
variable ,  et  telle  que  le  coefiBciezit  de  diaqne  puissance  soit ,  par 
exemple^,  la  moitié  du  coefficàent  delà  pmssanoe  précédente ;-ob 
pourra  concevoir  l'intervalle  des  deux  premiers  termes ,  rempli 
d'une  infinité  de  termes  dans  lesquels  les  puiss^iœ&de  la  variable 
croîtront  par  degrés  infiniment  petits,  depuis  zéro  jusqu'à  l'unité. 


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xtv^  .     ÏNTRODUCTÏON. 

et  auront  des  eoefficiens  arbitraires.  Les  iotervalles  des  termes 
consécutifs  suiraus  ,  seront  pareillement  remplis  d'une  infiidié 
d'autres  termes ,  mais  dépendans  des  premiers ,  de  manière  que  le 
coefficient  d^me  puissance  de  la  variaHe ,  soit  la  moitié  du  coeffi- 
cient de  la  puissance  moindre  d'ime  unité.  Le  plus  communémoit, 
on  suppose  les  interralles  des  premiers  termes  de  chaque  série  > 
rempÙs  par  des  ordonnées  pû^oliques  ;  alors  les  autres  inter- 
valles sont  remplis  d'ordonnées  semblables,  liées  aux  précédentes, 
^ar  la  loi  générale  de  la  série  qui  renferme  ainsi  toutes  les  ptôssaDces 
entières  et  actionnaires  de  la  variable. 

Supposons  maintenant  que  A  soit  wie  série  semblable,  et  qne  B 
soit  égal  à,  moins  un  plus  l'unité  dirisée  par  une  piùssance  i  entière 
ou  fractionnaire  de  la  variable.  En  représentant  par  un  plus  C , 
l'unité  divisée  par  la  variable;  B  sera  égal  h  la  quantité  suivante , 
moins  un  plus  la  puissance  i  du  binôme  un  plus  C.  Si  l'on  multiplie 
par  A,  la  puissance />'''"''  de  cette  quantité;  on  aura  un produitid^- 
tiquement  ^al  à  celui  de  A  par  la  puissance  n'*'^  de  B.  ^  l'on  dé- 
veloppe ces  puissances;  on  repassera  des  fonctions  génératrices , 
aux  coeffîciens,  i°  en  changeant  la  puissance  n**^  de  B,  miriti[diée 
par  A ,  dans  ta  dififêrence  n'*^  de  la  fonction  de  l'indice ,  relative  à 
A,  i  étant  l'accroissement  de  t'indîce;a*  en  changeant  pareillement 
le  produit  de  A  par  une  puissance  de  C  d'un  ordre  quelconque ,  dana 
nne  dififêrence  du  même  ordre ,  de  la  même  fonction  de  l'indice , 
f  unité  étant  l'accroissement  de  llndice.  On  ftura  donc  la  différence 
jiième  d'une  foncti(Hi  quelconque  de  l'indice  donttest l'accroissement, 
exprimée  par  une  série  des  difierences  de  la  même  fonction ,  dans 
lesquelles  l'unité  est  l'accroissement  de  l'indice.  On  peut  ainsi  trans^ 
former  la  caractéristique  relative  à  un  accroissement  de  l'indice, 
dans  une  série  de  caractéristiques  relatives  à  un  autre  accroisse- 
ment. 

On  voit  dans  tout  ce  qui  précède ,  qne  les  opérations  algébriqnes 
relatives  aux  transformations  des  fonctions ,  se  transportent  aux 
caractéristiques,  en  leur  donnant  pour  éxposans,  ceux  dés  quan- 
tités qui  leur  correspondent.  Cette  analogie  remarquable  et  féconde 
des  puissances  et  des  caractéristiques  «  avait  été  aperçue  par  Leîbnitz 
dans  les  expressions  diffêrentieUes.  Lagrange>  en  suivant  cet  aperça 


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INTRODUCTION.  xxîx 

de  Leibnite  dam  tous  ses  déreloppemeus,.  en  a  tiré  des  formules 
aossi  curieuses  qu'utiles  pour  l'analyse ,  mais  sans  en  donner  les 
démonstrations  qu'il  regardait  comme  difficiles.  La  théorie  des 
fonctions  génératrices  ne  laisse  rien  à  désirer  à  cet  égard,  et  de  plus 
elle  étend  à  des  caractéristiques  quelconques ,  l'analogie  que  ces 
deux  grands  géomètres  n'araient  observée  que  relatirement  aux 
puissances  et  aux  diflërences. 

Si  l'on  suppose  les  accroissemens  des  indices,  inBniment  petits; 
les  résultats  relatils  à  leurs  accroissemens  finis ,  subsisteront  tou- 
jours ,  et  se  simplifieront  en  rejetant  les  infiniment  petits  d'uD 
ordre  supérieur  à  celui  que  l'on  conserve.  Ces  passages  du  fini  à 
rinfiuimeut  petit,  ont  l'avantage  d'éclairer  les  points  délicats  de 
l'analyse  in&iitésimale ,  qui  ont  été  l'objet  de  graude»  illacuaaions 
parmi  les  géomètres.  C'est  ainsi  que  j'ai  démontré  la  possibilité 
d'introduire  des  fonctions  discontinues ,  dans  les  int^rales  des  équa- 
tions aux  diffîrentielles  partielles;  pourvu  que  la  discontinuité  n'ait 
lieu  que  pour  les  di^entielles  des  fonctions  »  de  l'ordre  de  ces 
équations.  Les  résultats  tcanscendans  du  calcul  sont ,  comme  foutes 
les  abstractions  de  ?entend«nent ,  des  signes  généraux  dont  on  n» 
peut  connaître  la  véritable  éteiidue ,  qu'en  remontant  par  l'analyse 
métaphysique,  aux  idées  élémentaires  qui  y  ont  conduit;  ce  qui 
présente  souvent  de  grandes  difficultés;  car  l'esprit  humain  ea 
éprouve  moins  encore  à  se  porter  en  avant,  qu'à  se  replier  sur 
lui-même. 

.  Le  passage  du  fini  à  Finfiniment  petit,  répand  un  grand  jour  sur 
la  métaphysique  du  calcul  diflerentiel.  On  roit  clairement  par  ce 
passage ,  que  ce  calcul  n'est  que  la  C(^paraison  des  coeffîciens  des 
mêmes  puissances  des  di£fêrentielles ,  dans  le  développement  en 
série^  de  fonctions  identiquement  égales  des  indices  augmentés  res-. 
pectivement  de  difiërentielles  indéterminées.  Les  quantités  que  l'on 
néglige  comme  étant  d'un  ordre  d'infiniment  petits, supérieur  à  celui 
que  l'on  conserve ,  et  qui  semblent  par  cette  omission  ^  ôter  à  ce 
calcul  la  rigneur  del'algébre^.De  sont  que  des  puissances  de  ces  difië- 
rentielles, d'un  ordre  supérieur  à  celuîdes  puissances  dont  on  com- 
pare les  coefficiegs  ,  et  qui  par  là ,  doivent  être  rejetées  de  cette 
comparaison  î-eûsoite  que  le  calcul  di£^ntiel  a  toute  l'exactitude 


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XXX  INTROD0CTiON. 

des  autres  opérations  algébriqaes.  Mais  dans  ses  applîcatîonB  à  la 
géométrie  et  àlamécanîqae,  il  est  indispensable  d'introduire  le  prin- 
cipe des  limites.  Far  exemple,  la  sontangente  d'une  courbe  étant  la 
limite  géométrique  de  la  swisécante ,  on  la  ligne  dont  celle-<â  approche 
sans  cesse,  à  mesure  que  les  points  d'intersection  de  la  sécante 
et  de  la  courbe  se  rapprochent  ;  Pexpression  analytique  de  la  soo^ 
tangente ,  doit  être  pareillement  la  limite  de  rexpression  analytique 
de  la  sousécante  ;  elle  est,  par  conséquent,  égale  au  premi^  tome 
de  celte  dernière  e'xpression  déreloppée  sniTam  les  puissances  de 
rinteiralle  qui  sépare  les  deux  points  d'intersection. 

On  peut  encore  envisager  la  tangente,  comme  la  droite  dont- 
réquatipn  .ammoche-Ié  jilus  ^-eelie  de  la  couilie  -,  près  du  point  de 
contingence.  L'ordonnée  de  cette  courbe ,  étant  une  fonction  de 
l'abscisse;  aï  à  partir  de  ce  point,  on  fait  croître  l'abscisse,  d'une 
quantité  indétemûnée,  etqn'on  développe  ïa  fonction  suivant  tes 
puissance?  de  cette  indétcnninée  ;  il  est  Tîfflble  que  la  somme  des 
deux  premiers  termes  de  ce  développement,  sera  l'ordonnée  de  Ift 
droite  la  plus  approcdiante  de  la  courbe  ;  conséqnemment ,  elle  sera 
l'ordonnée  de  la  tangente  :  le  coefficient  de  l'indéterminée  daBs  le  . 
second  terme ,  exprimera  le  rapport  de  l'ordonnée  à  la  soutangente. 
Il  «st  Ëicile  de  prouver  par  le  principe  des  limites,  que  toute  autre 
droite  menée  par  le  point  de  contingence ,  entrerait  daus  la  cotirbe 
près  de  ce  point. 

Cette  manière  singulièrement  heureuse  de  parvenir  à  l'expression 
des  soutangentes ,  est  due  à  Fermât  qui  l'a  étendue  aux  courbes 
transcendantes.  Ce  grand  géomètre  exprime  par  la  caractéristique  £, 
Taccroissement  de  Tabscisse  ;  et  en  ne  considérant  que  la  première 
puissance  de  cet  accroissement ,-  il  détermine  exactement  comme 
on  le  Élit  par  le  calcul  différentiel,  les  soutangentes  des  couri)es, 
leurs  points  d'inflexion,  les  maximaet  minijna  de  lenrs  ordon- 
nées, et  généralement  ceux  des  fonctions  rationnelle.  On  volt  même 
par  sa  beHe  solution  du  problème  de  la  réfraction  de  la  lùmi^e , 
en  supposant  qu'elle  parvient  d'un  point  à  un  autre  dans  le  temps 
le  plus  court,  et  qu'elle  se  meut  dans  les  divers  milieux  diaphanes 
avec  diflërentes  vitesses ,  on  voit  dis-je ,  qn'il  savait  étendre  sa  mé- 
thode, auxfooctions  irrationnelles,  en  se  débairassant  des  irratioa-' 


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ÏNTRODUCTIOW.  itij 

ualitéâ,  par  réléraUoQ  âes  radicaux  aus  pwasanccs.  Chi  doit  donc 
regEffdv  Fermât ,  comme  le  vmtable  inTenteur  du  calcul  diffêreatiel. 
IVevirtOQ  a  depuis  rendu  ce  calcul ,  plus  analytique,  dans  sa  Méthode 
des  Fluxion»;  et  il  enasût^^é  et  généralisé  l^fvocédés,  par  son  beau 
tliéorème  du  binôme.  Enfin  {«esqu'cnioéme  temps,  Leitoitz  a  enrichi 
le  calcl^  diflfêrentiel,  d'une  notatiMi^e&în^qôaDt  le  passagfrdufini 
à  rinfiiÙHieat  petit,  réunit  à  Tavaidage  d*exprmier  les  résultats  rigoi»' 
reox  de  ce  calcul,  celui  de  doimer  les  premières  valeurs  appro- 
chées des  différences  et  des  sommes  des  fpuntités;  notation  qui  s'est 
adaptée  d'eUe^néme  au  calcul  des  difiërentiellespartieUes.  La  langue 
jde  Tuialjse ,  la  plus  parËûte  de  toutes  les  langues,  étant  par  elle- 
même  un  puissant  instrument  de  découvertes  ;  ses  notations ,  lors- 
qu'elles sont  nécessaires  et  heureusement  imaginées,  sont  des  germes 
de  nouveaux  calculs.  Aiiui ,  la  aùuple  idée  qu'eut  Descartea ,  d'in- 
diquer les  puissances  leprésentées  par  des  lettreis,  en  écrivant  vers 
le  haut  de  ces  lettres ,  les  nombres  qui  expriment  les  degrés  de  ces 
puissanees ,  a  donné  naissance  au  calcid  expcmentiel  ;  et  Leibnitz  a 
été  ccmduît  par  sa  notation ,  à  l'analogie  «nguyère  des  puissances 
et  des  diffêrentiefles.  Le  calcul  des  fonctions  génératricts ,  qui , 
comme  on  l'a  vu ,  donne  la  vmtable  origine  de  cette  anal<^e , 
oSre  tant  d'exemples  de  ce  traJoeport  des  puissances  aux  caracté- 
ristiques ,  qu'il  peut  encore  être  envisagé  comme  le  calcul  expo-^ 
nentiel  des  caractéristiques. 

On  est  souvent  conduit  à  des  expressions  qoi  contienoent  tant 
de  termes  et  de  &cteurs ,  que  les  substitutions  nummques  j  sont 
impraticables.  C'est  ce  qui  a  lieu  dans  les  questions  de  probabilité, 
lorsque  l'on  considère  un  grand  n(Hnbre  d'évéhemeos.  Cependant 
il  importe  alors  d'avoir  k  valeur  numàique  des  fennules ,  pour 
comûttre  avec  quelle  probabilité ,  les  résidtats  que  les  événaoens 
développent  en  se  multipliant,  sont  indiqués.  H  importe  surtout 
d'avoir  la  loi  sui^nt  laquelle  cette  probelulîté  approche  sans  cesse 
de  la  certitude  qu'elle  &iirait  par  atteindre,  si  le  nombre  des  éré- 
nemena  devenait  infini.  Four  y  parvenir,  je  c(Hiaidéraà  que  les 
intégrales  définies  de  ££fêrentieUe8  multipliées  par  des  fecteurs 
éjev^  à  de  grandes  puissances,  donnaient  par  l'intégration,  des  finr- 
mules  composées  d'un  grand  mnnbre  de  termes  etde  fecteurs.  Cette 


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xxxij  INTRODUCTION. 

remarque  me  fit  naître  l'idée  de  transformer  dans  dé  semBIables 
iâtégrales,  les  expressions  compliqaéea  de  l'analyse  et  les  intégrales 
des  équations  aux  différences.  Je  remplis  cet  objet  par  une  mé- 
thode qui  donue  à-Ia-fois,  la  fonction  comprise  sous  h  signe  inté- 
gral ,  et  les  limites  de  l'intégration.  Elle  offre  cela  de  remarquable , 
savoir,  que  cette  fonction  est  la  fonction  même  génératrice  des 
expressions  et  des  équations  proposées  ;  ce  qui  rattache  cette 
méthode  ,  à  la  théorie  des  fonctions  génératrices  dont  elle  est  le 
complément.  Il  ne  s'agissait  plus  ensuite  que  de  réduire  l'intégrale  ' 
définie ,  en  série  convergente.  C'est  ce  que  j'obtins  par  un  procédé 
qui  Eut  couvei^er  la  série ,  avec  d'autant  plus  de  rapidité ,  que  la 
formule  gu'ella  rt^m£s«a*e  «ot  plus  compliquée;  enaorte  qu'il  est 
d'autant  plus  *xact,  qu'il  devient  plus  nécessaire.  Le  plus  souvent, 
la  série  a  ponr  facteur,  la  racine  carrée  du  rapport  de  la  circonfé- 
rence au  diamètre  :  quelquefois. elle  dépend^'autres  transcendantes 
dont  le  nombre  est  Infini. 

Une  remarque  importante ,  qui  tient  à  la  grande  généralité  de 
l'analyse,  et  qui  permet  d'étendre  cette  méthode,  aux  formules 
et  aux  équations  aux  diSerences ,  que  la  théorie  des  probabilités 
présente  le  plus  fréquemment ,  est  que  les  séries  auxquelles  on 
parvient,  en  supposant  réelles  et  positives,  les  limites  des  intégrales 
définies ,  jont  également  lien  dans  le  cas  où  l'équation  qui  détermine 
ces  limites,  n'a  que  des  racines  négatives  ou  imaginaires.  Ces  pas- 
sages du  positif  au  négatif,  et  du  réel  à  l'ima^naire ,  dont  j'ai  &it 
le  premier  usage ,  m'ont  conduit  encore  aux  valeurs  de  plusieurs 
intégrales  définies  singulières ,  que  j'ai  trouvées  ensuite  directement. 
On  peut  donc  considérer  ces  passages ,  comme  des  moyens  de  dé- 
couvertes,.pareils  à  l'induction  et  à  l'analogie  employées  depuis  ^ 
longT-temps  par  les  géomètres,  d'abord  avec  un  extrême  réserve, 
ensuite  avec  mie  entière  confiance  ;  un  grand  nombre  d'exemples- 
en  ayant  justifié  l'emploi.  Cependant  il  est  toujours  utile  de  con- 
firmer par  des  .démonstrations  directes ,  les  résultats  obtenus  par 
ces  divers  moyens. 

J'ai  nommé  calcul  des  fonctions  génératrices ,  l'wisemble  des 
méthodes  précédentes  :  ce  calcul  sert  de  fondement  à.  la  théoriâ 
des  probabUités,  exposée  dans  cet  oayrâge, 


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INTRODUCTION.  xxxiij 

JPFXJCATIONS  BV  CAXjCUL  DES  PROBABILITÉS. 

Des  Jeux. 

Les  combinaisons  qne  les  jeux  présentent,  ont  et» l'objet  des 
premières  recherches  sur  les  probabitités.  Dans  l'in&ûe  variété  de 
ces  combinaisons,  plusieurs  d'entre  elles  se  prêtent  arec  Ëicilité  au 
calcul  :  d'autres  exigent  des  calculs  plus  difficiles;  et  les  difficultés 
croissant  à  mesure  que  les  combinaisons  deviennent  plus  compli- 
quées, le  désir  de  les  sunnonter  et  la  curiosité  ont  excité  les  géo- 
mètres à  perfectionner  de  plua  eu  plus,  ce  genre  d'analyse.  On  a  vu 
précédemment  que  l'on  pouvait  facilement  déterminer  par  la  théorie 
des  combinaisons,  les  bénéfices  d'une  loterie.  Mais  il  est  plus  diffi- 
cile de  savoir  en  combien  de  tirages  on  peut  parier  un  contre  un, 
par  exemple ,  que  tous  les  numéros  seront  sortis,  n  étant  le  nombre 
des  numéros,  r  celui  des  numéros  sortans  à  chaque  tirage,  et  i  le 
nombre  inconnu  de  tirages;  l'expression  de  la  prolâbiliLé  de  la  sor- 
tie de  tous  .les  numéros ,  dépend  de  la  di^rence  finie  n*^'^  delà 
puissance  i  du  produit  de  r  nombres  consécutifs.  Lorsque  le 
nombre  n  est  considérable ,  la  recherche  de  la  valeur  de  i  ,  qui 
rend  cette  probabilité  égale  à  2,  devient  impossible ,  à  moins  qu'on 
ne  convertisse  cette  différence ,  dans  une  série  très-convergente. 
C'est  ce.  que  l'on  &it  heureusement  par  la  méthode  ci-dessus  indi- 
quée, pour  les  approxiiQations  des  fonctiens  de  très-grands  nombres. 
On  trouve  ainsi  que  la  loterie  étant  composée  de  dix  mille  numé- 
ros dont  un  seul  sort  à  chaque  tirage  ;  il  7  a  du  désavantage  à 
parier  un  contre  un,  que  tous  les  numéros  sortiront  dans  96767  ti- 
rages, et  de  l'avantage  à&iire  le  même  pari  pour  96768  tirages.  A  la 
loterie  de  France,  ce  pari  est  désavantageux  pour  85  tirages,  et 
avantageux  pour  86  tirages. 

Considérons  encore  deux  joueurs  A  et  B  jouant  ensemble  à  croix 
et  pile ,  de  manière  qu'à  chaque  coup ,  si  croix  arrive ,  A  donne 
un  jeton  à  B  qui  lui  en  donne  un,  si  pile  arrive;  le  nombre  des 
jetons  de  B  est  limité  :  celui  des  jetons  de  A  est  illimité  ;  et  la 
partie  ne  doit  finir  que  lorsque  B  n'aura  plus  de  jetons.  On  demande 


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ixxxvi  INTRODUCTION, 

plus  petit  nombre  de  jetons.  Sa  probabilité  de  ^gner  la  partie  ang- 
meate,  si  les  joueurs  conviennent  de  doubler,  de  tripler  leurs 
jetons;  et  eUé  devient  }  ou  la  même  que  la  probabilité  de  l'autre 
joueur^  dans  le  cas  où  les  nombres  de  leurs  jetons  deviendraient 
infinis ,  en  fwnservant  toujours  le  même  rapport. 

On  peut  corriger  rinflueoce  de  ces  inégalités  inconnues,  en  les 
soumettant  elles-mêmes  aux  chances  du  hasard.  Ainsi  au  jeu  de 
croix  et  pi/e,  si  Ton  a  une  seconde  pièce  que  Ton  projette  chaque 
fois  avec  ta  première;  et  que  Ton  convienne  de  nommer  constam- 
ment croix,  la  Ëice  amenée  par  cette  seconde  pièce;  la  probabilité 
d'amener  croîx  deux  fois  de  suite,  avec  la-première  pièce ,  appro- 
tJwFft-booaôoqp  plao-d'uH  quart,  qUe  daOs  le  cas  d'une  aeide  pièce. 
Dans  ce  dernier  cas,  la  différence  est  le  carré  du  petk  accroîsae- 
ment  de  possibilité  que  l'in^alité  inconnue  donne'à  la  &ce'  de  Ïa 
première  pièce ,  qu'elle  favorise  :  dans  l'autre  cas ,  cette  différence 
^t  le  quadruple  produit  de  ce  carré,  par  le  carré  correspondant 
-relatif  à  la  seconde  pièce. 

Que  l'oujette  dans  une  urne ,  ceat  numéros  depuis  on  jusqu'à  cent, 
dans  Tordae  de  la  numération,  et  qu'après  avoir  agité  l'urne^  pour 
mêler  ces  numéros,  on  m  tfar  un;  il  est  clair  que  si  lé  mélange 
a  été  biea  Ëtit,  led  probabâités  de  sortie  des  numéros,  sont  les 
mêmes.  Mais  si  l'on  craint  qu'il  n'y  ait  entre  elles ,  de  petites  diffé- 
rences dépendantes  de  l'ordre  suivant  lequel  les  numéros  ont  été 
jetés  dans  l'umô  ;  on  diminuera  considérablement  ces  dâCërences, 
,én  jetant  cbns  une  seconde  urne,  ces  numéros  suivant  leur  ordre 
■de  sortie  de  la  première  urne ,  et  en  agitant  aisuite  cette  seconde 
.urne ,  pour  mêler  ces  numéros;  Une  troisième  m-ne ,  uûe  qua- 
trième, etc.,  dinunueraient  de  plus  en  plus  ces  difierences  déjà 
insensibles  dans  la  seconde  urne.- 

De  la  pTobahilité  des  témoignages. 

"  La  plupart  de  nos  jugemens  étant  fondés  sur  la  probabilité  des 
témoignages ,  il  est  Irien  important  de  la  soumettre  au  calcul.  La 
chose,  il  est  vrai,  devient  souvent  impossible,  par  la  difficulté 
d'apprécier  la  véracité  des  témoins ,  et  par  le  grand  nombre  de 


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INTRODUCTION.  xsxvi'î 

cïrconstances'dontles  foits  qu'ils  attestent ,  sont  accompagnes.  Mais 
on  peut  dans  plusieurs  cas,  résoudre  des  problèmes  qui  ont  beau- 
coup d'analogie  avec  les  questions  que  l'on  se  propose ,  et  doQt 
les  solutions  peuvent  être  regardées  comme  des  approiumations 
propres  à  nous  guider,  et  à  nous  garantir  des  erreurs  et  des  dangers 
atixquels  de  mauvais  raisonnemens  nous  exposent.  Une  approximâ- 
tionde  ce  genre,  lorsqu'elle  est  bien  dirigée,  est  toujours  préférable 
aux  raisonnemens  les  plus  spécieux.  Essayons  donc  de  donner 
quelques  r^les  générales  pour  y  parrraùr. 

On  a  ^trait  un  seul  numéro ,  d'une  urne  qui  en  renferme  milles. 
Un  témoin  de  ce  tirage,  annonce  que  le  n'  79  est  sorti;  on  demande 
la  probabilité  de  cette  sortie.  Supposons  que  rtixpérioiicc  cûl  fait 
connaître  que  ce  témoin  trompe  une  fois  sur  dix ,  eusorte  que 
la  probabilité  de  son  témoignage  soit  •^.  Icîj  l'événement  observé  est  ' 
le  témoin  attestant  que  le  n°  79  est  sorti.  Cet  événement  peut 
résulter  des  deux  hypothèses  suivantes,  savoir,  que  te  témoin  énonce 
la  vérité,  ou  qu'il  trompe.  Suivant  le  principe  que  nous  avons 
exposé  sm*  la  probabilité  des  causes ,  tirée  des  événemens  obser- 
vés ,  il  feut  d'abord  détermmer  à  priori^  la  prc^abiUté  de  Févé- 
nement  dans  c^que  bypothèse.  Dans  kt  première ,  la  probabilité 
que  le  témoin  annoncera  le  n*  79 ,  est  la  probabilité  même  de  la 
sortie  de  ce  numéro ,  c'est-à-dire  r^-  1^  ^^^  1^  multiplier  par  la 
probabilité  -^  de  la  véracité  du  témoin;  on  aura  donc  T^Ss^pour 
la  probabilité  de  révénemetft  observé ,  dans  cette  hypothèse,  ffl 
ie  témoin  trompe,  le  n'  79  n'est  pas  sorti;  et  la  probabilité  de  ce 
cas  est  ^^.  Mais  pour  annoncer  la  sortie  de  ce  numéro ,  le 
téfaoin  doit  le  choisir  parmi  les  999  numéros  non  sortis  ;  et  comme 
il  est  supposé  n'avok*  aucun  motif  de  préférence  pour  les  uns 
plutôt  cfue  pour  les  autres ,  la  probabilité  qu'il  choisira  le  n'  7g  ■ 
est  jjj;  en  multipliant  donc  cette  probalûlité,  par  la  précédente, 
on  aura  7—5  pour  la  probabilité  que  le  témoin  annoncera  le  n'  79-, 
dans  la  seconde  hypothèse.  Il  éiut  encore  multiplier  cette  proba- 
iûUté,  par  la  probid>iUté  -r;-  de  l'hypothèse  elle-mémei  ce  qui  donne 
.  TëTô^  pour  la  probabilité  de  l'événement,  rdative  à  cette  hypo- 
thèse. Présentement,  si  l'on  forme  une  fraction  dont  le  numérateur 
soit  la  probalttlité  relative  à  la  première  hypothèse ,  et  àoai  1« 


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XKSvi^  INTRODUCTION, 

dénominateor  soit  la  somme  des  probabilités  relatives  anx  deUx 
hypothèses;  on  aura  par  le  sixième  principe,  la  probabilité  de  la 
première  hypothèse,  et  cette  probabilité  sera  -^^  c'est-à-dire  la 
véracité  même  du  témoin.  C'est  aussi  la  probabilité  de  la  sortie 
du  n*  79.  La  probabilité  du  mensonge  da  témoin  et  de  la  noo-sortie 
de  ce  numéro  est  ■^. 

Si  le  témoin  vouknt  tromper,  avait  quelqnintérét  à  choisir  le 
n*  79  parmi  les  numéros  non  -  sortis  ;  s^il  jugeait ,  par  exemple , 
qu'ayant  placé  sur  ce  noméro  une  mise  considérable,  Tannonce 
de  sa  sortie  augmentera  son  crédit;  la  probabilité  qu'il  choisira 
ce  numéro,  ite  sera  plu»,  comme  auparavant,  ^;  elle  pourra 
être  aioT5^7  -f  i~vw. ,  siùrant  l'intérêt  qu'il  aura  d'annoncer  sa 
sortie.  En  la  su{^osant  ^ ,  il  feudra  multiplia  par  cette  fraction , 
la  probabilité  -^^ ,  pour  avoir  dans  l'hypothèse  du  mensonge ,  la 
probabilité  cle  l'événement  observé ,  qu'il  &ut  encore  multiplier  par 
■^■j  ce  qui  donne  t?i^  pour  la  probabilité  de  l'événement  dans  la 
seconde  hypothèse.  Alors  la  probabilité  de  la  première  hypothèse , 
ou  de  la  sortie  du  n*  79,  se  réduit  par  la  ré^  précédente,  à 
7I;.  Elle  est  donc  trè»-ai1iub]ie  par  la  conùdération  de  l'intérêt  que 
le  témoin  peut  avoir  à  annoncer  la  Sortie  du  n*  79.  Le  bon  sens 
nous  dicte  que  cet  intérêt  doit  inspirer  de  U  défiance.  Mais  le  calcul 
en  apprécie  l'influence  avec  exactitode. 

La  probabilité  à  priori  du  numéro  énoncé  par  le  témoin,  est 
Punité  divùée  par  le  nombre  des  numéros  de  l'urne  :  elle  se  trans- 
forme en  vertu  du  témoignage,  dans  la  véracité  même  du  tmioin  ; 
elle  peut  donc  être  affoiblie  par  ce  témoi^ge.  Si ,  par  exemple , 
l'urne  ne  renlnme  que  deux  numéros ,  ce  qui  donne  ;  pour  la 
probabilité  à  priori  de  la  sortie  du  n"  1  ;  et  si  la  véracité  d'un  témoin 
qui  l'annonce  eM7t;cette  sortie  en  deTientmoiospr<d>aUe.Ënefifet, 
il  est  visible  que  le  témoin  ayant^ors  plus  de  pente  vers  le  men- 
songe qoe  vers  la  vérité  ;  sou  témoignage  doit  diminuer  la  proba- 
bilité du  Eût  attesté ,  toutes  les  fbis  que  cette  probabilité  égale  ou 
surpasse  -J.  lifais  s'il  y  a  trois  numéros  .dans  l'urne ,  la  probabilité 
àprioriàt  tasortiedu  n'  1,  est  accrue  par raflirmatioii d'un  témoin 
dont  la  véracité  surpasse  7. 
.  âu^osoos  maiateuaDt  que  l'urne  renferme  999  boules  noires  et 


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INTRODUCTION.  mrf< 

une  boule  Manche,  et  qu'une  boule  en  ayant  été  extraite,  un  té- 
moin du  tirage  auntmce  que  cette  boule  est  btanche.  La  probabilité 
de  l'événement  observé,  déterminée  o  jjr/on',  dans  la  première 
hypothèse ,  sera  ici ,  comme  dans  la  question  [Hrécédente ,  ^ale  à 
TôoSï-  M«8  dans  HiypoUièse  où  le  témoin  trompe ,  la  boule  blanche 
n'est  pas  sorlfe ,  et  la  probabilité  de  ce  cas  est  ^V-  H  ^^^  ^ 
multiplier  par  la  probabilité  -^  du  mensonge,  ce  qui  donne  ^'s, 
pour  la  probabilité  de  l'érénement  observé ,  relative  à  la  seconde 
hypoUi^e.  Cette  probabilité  n*était  que  ~ï^  dans  la  question  pré- 
cédente :  cette  grande  diflërence  tient  à  ce  quhme  boule  noire  étant 
sortie,  le  témoin  voidant  tromper,  n'a  point  dedioix  à  &ire  parmi  les 
999  boules  non  sorties,  pour  annoncer  la  8or^ed^Iln;  buulc  bkuiche. 
Maintenant,  si  l'on  forme  denx  fractioDS  dont  les  numérateurs 
soient  les  probabilités  rdatives  à  chaque  hypothèse ,  et  dont  le 
dénominateur  commun  soit  la  somme  de  ces  probabilités;  on  aura 
7^  pour  la  prob^itité  de  la  première  hypothèse,  et  de  la  sortie 
-  d'une  boule  blanche ,  et  -^'^  pour  la  probabilité  de  la  seconde 
hypothèse,  et  de  la  sortie  d'une  boule  noire.  Cette  dernière  pro- 
babilité est  fort  approchante  de  la  certitude  :  elle  en  approcherait 
beaucoup  plus  encore ,  et  deviendrait  '/oVoVg  t  si  Tume  renfermait 
un  mîUion  de  boulesdont  nne  seule  serait  blanche;  la  sortie  d'une 
boule  blanche  devenant  alors  beaucoup  plus  extraordiuah-e.  On  voit 
ainsi  comment  la  probabilité  du  mensonge  croît  à  mesure  que  le 
^t  devient,  plus  extraordinaire. 

rf  ous  avons  supposé  jusqu'ici  que  le  témoin  ne  se  trompait  poînt^ 
mais  si  l'on  admet  encore  la  chance  de  son  erreur,  le  £iit  extraor- 
dinaire devient  plus  invraisemblable.  Alors  au  Ueu  de  deux  hypo- 
thèses ,  on  aura  les  quatre  suivantes ,  savoir ,  celle  du  témoin  ne 
trompant  point  et  ne  se  trompant  point;  celle  du  témoin  ne 
trônant  point,  et  se  trompant;  l'hypothèse  du  témoin  trcHupant 
et  ne  se  trompant  point;  enfin  celle  du  témoin  trompant  et  se 
trompant.  En  déterminant  à  priori  dans  chacune  de  ces  hypo- 
thèses ,  la  probabilité  de  l'événement  observé  ;  on  trouve  par  le 
sixième  principe,  la  probabilité  que  le  fait  attesté  est  faux,  égale 
à  une  ÛBCtion  dont  le  numérateur  est  le  nombre  des  boules  ncnres 
de  l'orne,  multiplié  par  la  somme  des  probabiUfés  que  le  t>?moia 


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il  BVTRODUCnON,  - 

De  trompe  point  et  se  trompe ,  ou  qu'A  trompe  et  ne  se  trompe 
point,  et  dont  le  dénominateur  est  ce  numérateur  augmenté  de 
la  somine  des  probabilités  que  le  témoin  ne  trompe  point  et  ne  se 
b'ompe  point,  ou  qu'il  trompe  et  se  trompe  à  la-fois.  On  voit  par 
là ,  que  si  le  nombre  des  boules  noires  de  l'urne  est  très  -  grand , 
ce  qui  rend  extraordinaire,  la  sortie  de  la  boule  blanche;  la  pro- 
babilité que  le  fait  attesté  n'est  pas ,  approche  extrêmement  de  la 
certitude. 

En  étendant  cette  conséquence ,  à  tous  les  fax\a  extraordinaires  ; 
il  en  résulte  que  la  probabilité  de  l'eireur  ou  du  mensonge  du  té- 
moin, devient  d'autant  plus  grande,  que  le  Ëiit  attesté  est  plus 
exfrnardinaire.  Qu£k[u«s  auteurs  ont  arancé  le  contraire,  en  8<s 
fondant  sur  ce  que  la  vue  d'un  &it  extraordinaire  étant  par&ite- 
ment  semblableà  celle  d'unËiitordinaire,  les  mêmes  moti&  doivent 
nous  porter  à  croire  égalementle  témoin,  soit  qu'il  alfirmel'un  ou 
qu'il  afiirme  l'autre  de  ces  &its.  liO  simple  bon  sens  repousse  une 
aussi  étrange  assertion:maisle  calcul  des  probabilités,  euconfînnant 
rindication  du  sens  commun,  apprécie  de  plus,  rinvraisemblanca 
des  témoignages  sur  les  Ëtits  extraordinaires. 

On  insiste,  et  l'on  suppose  deux  témoins  également  dignes  de  foi, 
dont  le  premier  atteste  -qu'il  a  vu  mort ,  il  y  a  quinze  jours ,  un 
individu  que  le  ^cond  témoin  afiirme  avoir  vu  hier,  plein  de  vie. 
L'un  ou  l'autre  de  ces  faits  n'offre  rien  d'invraisemblable.  La  résur- 
rection de  l'individu  est  une  conséquence  de  leur  ensemble  ;  mais 
les  témoignages  ne  pra-tant  point  directement  sur  elle ,  ce  qu'elle  a 
d'extraordinaire  ne  doit  point  afi&iblir  la  croyance  qui  leur  est  due. 
(  Encyclopédie  ,  art  certitude  ). 

Cependant ,  si  la  conséquence  qui  résulte  de  l'ensemble  des  té- 
moignages était  impossible ,  l'un  d'eux  serait  nécessairement  faux  ; 
or  une  conséquence  impossible  est  la  limite  des  conséquences  ex- 
traordinaires ,  comme  l'erreur  est  la  limite  des  invraisemblances  j 
la  valeur  des  témoignages ,  qui  devient  nulle  dans  le  cas  d'une  con- 
séquence impossible,  doit  donc  être  très^flàiblie  dans  celui  d'une 
conséquence  extraordinaire.  C'est  en  effet ,  ce  que  le  calcul  des 
probabilités  confirme. 

Pçur  le  faire  voir,  considérons  deux  urnes  A  et  B  dont  la  prc- 


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INTRODUCTION.  i!j 

mière  contient  xm  milUon  de  boules  blanches,  et  la  seconde ,  im 
million  de  boules  noires.  Oo  tire  de  l'une  de  ces  urnes ,  une  boule 
que  l'on  remet  dans  l'autre  urne  dont  on  exb^it  ensuite  ime  boule. 
Deux  témoins ,  l'un  du  premier  tirage ,  et  l'autre  du  second ,  attestent 
que  la  boule  qu'ils  ont  tu  extraire ,  est  blanche.  Chaque  témoignage 
pris  isolément ,  n'a  rien  d'invraisemblable  ;  et  il  est  fecile  de  voir 
que  la  probabilité  du  ^t  attesté,  est  la  véracité  même  du  témoin. 
Mais  il  suit  de  l'ensemble  des  témoignages ,  qu'une  boule  blanche  a 
été  extraite  de  l'urne  A  au  premier  tirage ,  et  qu'ensuite ,  mise  dans 
l'ume  B,  elle  a  reparu  au  second  tirage;  ce  qui  est  fort  extraor- 
dinaire ;  car  cette  urne  renfermant  alors  une  boule  lynche  sur  un 
million  de  boules  noires  ,  la  probabilité  a'en  extraire  la  houle 
blanche  est  .o.ôo;?-  Pour  déterminer  l'aflàiblissement  qui  en  résulte 
dans  la  probabilité  de  la  chose  énoncée  par  les  deux  témoins;  nous 
remarquerons  que  l'événement  observé  est  ici  l'aflirmation  par  cha- 
cun d'eux,  que  la  boule  qu'il  a  vu  extraire,  est  blanche.  Repré- 
sentons par  -^  la  probabUité  qu'il  énonce  la  vérité ,  ce  qui  peut  avoir 
lieu  dans  le  cas  [o-ésent,  lorsque  le  témoin  ne  trompe  point  et  ne 
se  trompe  point,  et  lorsqu'il  trompe  et  se  trompe  à-Ia-fois.  Onpoit 
former  les  quatre  hypothèses  suivantes. 

1'.  Le  premier  et  le  second  témoiu  disent  la  vérité.  Alors,  une 
boule  blanche  a  d'abord  été  extraite  de  l'urne  A,  et  la  probabilité 
de  cet  événement  est  i ,  puisque  la  boule  extraite  au  premier  ti- 
rage a  pu  sortir  paiement  de  l'une  ou  l'autre  urne.  Ensuite,  la 
bmile  extraite  mise  dans  l'ume  B  a  reparu  au  second  tirage  ;  la  pro- 
babilité de  cet  événement  est  tô^vôtt;  ^  probabilité  du  Eût  énoncé 
est  donc  Xg^tzsT-  En  la  multipliant  par  le  produit  des  probabilités  -^ 
et  ^  que  les  témoins  disent  la  vérité;  on  aura  ^..oVo.th  pour  la 
probabilité  de  l'événement  observé ,  dans  cette  première  hypothèse. 

3".  Le  [vemier  témoin  dit  la  vérité ,  et  le  second  ne  la  dit  point , 
soit  qu'il  trompe  et  ne  se  trompe  point,  soit  qu'il  ne  trompe  point 
et  se  trompe.  Alors  une  boule  blanche  est  sortie  de  l'urne  A  au  pre- 
mier tirage ,  et  la  probabilité  de  cet  événement  est  ^.  Ensuite  cette 
boule  ayant  été  mise  dans  l'urne  B, «ne  boule  noire  en  a  été  ex- 
traite !  la  probabilité  de  cette  extraction  est  "n'Hi  ;  on  a  donc 
mill-t  pour  la  probabilité  de  l'érénement  composé.  En  la  multi- 

/ 


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3£li)  INTRODUCTION. 

pliant  par  le  produit  des  deux  probabilités  t^  et  -^  que  le  premier 

téinoin  dit  la  Térité,  et  que  le  secoad  ne  la  dit  point;  ou  aura 

i!Iq^Ô»s;  pour  la  probabilité  de  l'événement  observé  ^  dans  la  seconde 

hypothèse. 

3*.  Le  premier  témoin  ne  dit  pas  la  vérité,  et  le  second  l'énonce. 
Alors  une  houle  noire  est  sortie  de  l'urne  B  au  premier^irage ,  et 
après  aroir  été  mise  dans  l'urne  A ,  ime  houle  Uanche  a  été  extraite 
de  celte  urne.  La  probabilité  du  premier  de  ces  érénemens  est  \ , 
et  celle  du  second  est  ;°°°°°°  ;  la  probabilité  de  l'événement  com- 
posé est  donc  vSofîlïï-  En  k  multipliant  par  le  [uroduit  des  proba- 
bilités -rs  et  -^,  que  le  premier  témoin  ne  dit  pas  la  vérité,,  et  que 
le  second  l'énonce;  on.a«ro  îffsfffls  pour  la  probabilité  del'événe- 
nemeut  observé,  relative  à  cette  hypothèse. 

4°.  EnÛD,  aucun  des  témoins  ne  dit  la  Térité.  Alors  une  boule 
noire  a  été  extraite  de  t'urne  B  au  premier  tirage  ;  ensuite  ayant 
été  mise  dans  l'urne  A,  elle  a  reparu  au  second  tirage  :  ta  pr(^- 
bilité  de  cet  événement  composé  est  .n„ôcor-  En  la  multi|diant  par 
le  produit  des  prohabilités  i^  et  t?  ^e  chaque  témoin  ne  dît  pas 
la  vérité  j  on  aura  .»ooôo.oo  pour  la  prob^ilité  de  l'évôiement 
observé,  dans  cette  hypothèse. 

Maintenant,  pour  avoir  la  probabilité  de  la  chose  énoncée  par 
les  deux  témoins ,  savoir,  qu'une  boule  blanche  a  été  extraite  à 
chacun  des  tirages  ;  il  Êiut  diviser  la  probabilité  correspondante  à 
la  première  hypothèse,  par  la  8<Himie  des  prt^ahilitéa  relatives  aux 
quatre  hypothèses-;  et  alors  on  a  pour  cette  probabilité  .-ït'tjîï  >  frac- 
tion extrêmement  petite. 

Si  les  deux  témoins  affirmaient,  le  premier,,  qu'une  boule  blanche 
a  été  extraite  de  l'une  des  deux  urnes  A  et  B  ;  le  second,  qu'ime 
boule  blanche  a  été  pareillement  extraite  de  Tune  des  deux  urnes 
A'  et  B',  en  tout  semblables  aux  premières  ;  la  probabilité  de  la  chose 
énoncée  par  les  deux  témoins  s^'ait  le.  produit  des  probabilités  de 
leurs  témoignages  ou  ^ ,  c'est-à-dire ,  cent  quîrtre-vingt  mille  fois 
au  moins,  plus  grande  que  la  précédente.  On  voit  par  là  ,  combien 
daus  le  premier  cas ,  la  réapparition  au  second  tirage ,  de  la  boule 
blanche  extraite  au  premier^  conséquence  extraordinaire  des  deux 
témoignages ,  en  aâàihlit  la  valeur. 


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INTRODUCTION.  xKii 

,  Nous  n'ajoatèrions  point  foi  au  témoignage  d'un  hommcwiai  nous 
attesterait  qu'en  projetant  cent  des  en  Tair,  ils  sont  tous  retombés 
sur  k  même  face.  Si  nous  avions  été  nous-mêmes  spectateurs  de 
cet  événement,  nous  n'en  croirions  nos  propres  yeux,  qu'après 
en  avoir  scnipuleusement  examiné  toutes  les  circonstances, pour 
être  bien  sûrs  qu'il  n'y  a  point  eu  de  prestige.  Mais  après  cet 
examao ,  nous  ne  balancerions  point  à  l'admettre ,  malgré  son  ex- 
trême iniiraisemblance  ;  et  personne  ne  serait  tenté  pour  l'expliquer, 
de  recourir  à  une  illusion  produite  par  un  renversement  des  lois  de  la 
vision.  Noua'  devons  en  conclure  que  la  probabilité  de  la  constance 
des  lois  de  la  nature,  est  pour  nous,  supérieure  à  celle  que  l'événe- 
ment dont  il  s'agit,  ne  doit  point  avoir  lieu  j  probabilité  supérieure 
elle-même  à  celle  de  la  plupart  des  faits  historiques  que  nous  re- 
gardons comme  incontestables.  On  peut  juger  par  là ,  du  poids  im- 
mensede  témoignages  nécessaires  pour  admettre  tme  suspension  des 
lois  naturelles  ;  et  combien  il  seraitabusif d'appliquer  à  ce  cas,  les  règles 
ordinaires  de  la  critique.  Tous  ceux  qui  sans  offiir  cette  immensité 
de  témoignages ,  étay  «it  cequ'ilsavancent ,  de  récits  d'événemens  con- 
traires à  ces  lois,  affaiblissent  plutôt  qu'ils  n'augmentent  la  croyance 
qu'ils  cherchent  à  iospirerjcar  alors  ces  récits  rendent  très-probable , 
l'erreur  ou  le  mensonge  de  leurs  auteurs.  Mais  ce  qui  diminue  Uk 
croyance  des  hommes  éclairés,  accroît  souvent  celle  da  vulgaire  ; 
et  nous  en  avons  donné  précédemment  la  raisoB. 

Il  y  a  des  choses  tellement  extraordinaires,  que  rien  ne  peut 
-  en  balancer  l'inviEÛsemblance.  Mais  celle^i,  par  l'eflèt  d'une  opi- 
nion dominante  ',  peut  être  affaiblie  au  point  de  paraître  inférieure 
.  à  la  probabilité  (tes  témoignages  ;  et  quand  cette  opioion  vient  à 
changer ,  un  récit  absurde  admis  unanimement  dans  le  siècle  qui 
lui  a  donné  naissance,  n'offi'e  aux  siècles  suivans ,  qu'une  nouvelle 
preuve  de  l'extrême  influence  de  l'opinion  générale ,  sur  les  meilleurs 
esprit.  Deux  grands  hommeà  du  siècle  del^uisXIV,  Racine  et 
Pascal,  en  sont  des  exemples  fîrappans.  II  est  affligeant  de  voir 
avec  quelle  complaisance,  Racine,  ce  peintre  aidmirable  du  cœur 
humaÎD,  et  le  poëte  le  plus  par&it  qui  fut  jamais ,  rapporte  comme 
miraculeuse ,  la  guérison  de  la  jeune  Perrier,  nièce  de  Fasca! ,  et 
pensionnaire  à  l'abbaye  de  Fort-Royal  :  il  est  pénible  de  lire  les 


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xliv  irn-RODUCTION. 

raisoilne0i6ns  par  lesquels  Pascal  cherche  à  prouver  que  ce  miracle 
âeTeoait  nécessaire  à  la  religion ,  pour  justi&er  la  doctrine  des  re- 
ligieuses de  cette  abbaye ,  alors  persécutées  par  les  Jésuites.  La 
jeune  Perrier  était  depuis  trois  ans  et  demi ,  affligée  fl'une  fistule 
lacrymale  :  elle  toucha  de  son  œU  malade ,  une  relique  que  l'on 
prétendait  être  une  des  épines  de  la  couronne  du  Sauveur ,  et  elle 
se  crut  à  l'instant,  guérie. Quelques  jours  après,  les  médecins  et 
les  chirurgiens  constatèrent  la  guérison,  et  ils  jugèrent  que  la  nature 
et  les  remèdes  u'y  avaient  eu  aucune  part.  Cet  événemen*  arrivé 
en  i656,  ayant  feit  un  grand  bruit,  «  tout  Paris  se  porta,  dit 
»  Racine ,  à  Port-Royal.  La  foule  croissait  de  jour  en  jour ,  et  Dieu 
y>  même  ââtnhlait  prendre  plaisir  à  autoriser  la  dévotion  des  peuples, 
3>  par  la  quantité  de  miracles  qui  se  firent  en  cette  église.  »  A 
cette  époque ,  les  miracles  et  les  sortilèges  ne  paraissaient  pas  Pi- 
core invraisemblables,  et  Ton  n'hésitait  point  à  leur  attribuer  les 
singularités  de  la  nature,  que  Ton  ne  pouvait  autrement  espU- 
quer. 

Cette  manière  d'envisager  les  effets  extraordinaires  se  retrouve 
dans  les  ouvrages  les  plus  remarquables  du  siècle  de  Louis  XIV , 
dans  l'Essai  même  sur  l'eotendement  humain,  du  sage  Locke  qui  dit 
en  parlant  des  degrés  d'assentiment  :  «  quoique  la  commune  expé- 
j>  rience  et  le  cours  ordinîiire  des  choses  aient  avec  raison,  une 
j>  grande  influence  sur  l'esprit  des  hommes  pour  les  porter  à 
3>  donner  ou  à  refuser  leur  consentement  à  une  chose  qui  leur 
:b  est  proposée  à  croire;  il  y  a  pourtant  un  cas  où  ce  qu'il  y  a 
j>  d'étrange  dans  un  feit ,  n'affdiblit  point  l'asseniiment  que  nous 
j>  devons  donner  au  témoignage  sincère  sur  lequel  il  est  fondé. 
»  Lorsque  des  événemens  surnaturels  sont  conformes  aux  fins  que 
3)  se  propose  celui  qui  a  le  pouvoir  de  changer  le  cours  de  la  na- 
X  ture ,  ils  peuvent  être  d'autant  plus  propres  à  trouver  créance 
»  dans  nos  esprits ,  qu'ils  sont  plus  au-dessus  des  observations  ordi- 
»  naires,  ou  même  qu'ils  y  sont  plus  opposés.  »  Les  vrais  prin- 
cipes de  la  probabilité  des  témoignages,  ayant  été  ainsi  méconnus 
des  philosophes  auxquels  la  raison  est  principalement  redevable  de 
ses  progrès  ;  j'ai  cru  devoir  exposer  avec  étendue,  les  résultats  du 
calcul  sur  cet  important  objet. 


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INTRODUCTION.  xlv 

Ici  se  présente  natureUement  la  discussion  d'un  argoment  femenx 
cle  l'ascal,  que  Craig,  mathématicieD  anglais,  a  reproduit  sous  une  - 
forme  géométrique.  Des  témoins  attestent  qu'ils  tiennent  de  la  Di- 
TÎnité  même,  qu'en  se  conformant  à  telle  chose,  on  jouira ,  non 
pas  d'nne ,  ou  de  deux ,  mais  d'une  infinité  de  vies  heureuses.  Quel- 
que iàible  qne  soit  Ja  probabilité  des  témo^ages,  poorru  qu'elle 
ne  soit  pas  infiniment  petite ,  il  est  clair  que  l'avantage  de  cenx 
qui  se  conforment  à  la  chose  prescrit* ,  est  infini  ;  puisqu'il  est  le 
produit  de  cette  probabilité,  par  un  bien  infini  j  on  ne  doit  donc 
point  balancer  à  se  procurer  cet  avantage. 

Cet  argument  est  fondé  sur  le  nombre  infini  de  vies  heureuses 
promises  au  nom  de  la  Divinité ,  par  les  témoins  ;  il  Ëiudrait  donc 
Élire  ce  qu^s  prescrivent ,  précisément  parce  qu'ils  exagèrent 
leurs  promesses  au  -  delà  de  toutes  limites ,  conséquence  qui 
répugne  au  bon  sens.  Aussi  le  calcul  nous  Êit-il  voir  que  cette 
exagération  même  a£&iblit  la  probabihté  de  leur  témoignage  ,  au 
point  de  la  rendre  inliniment  petite ,  on  nulle.  En  efièt ,  ce  cas 
revient  à  celui  d'un  témoin  qui  annoncerait  la  sortie  du  numéro 
le  plus  élevé ,  d'une  urne  remplie  d'un  grand  nombre  de  numéros 
dont  un  seul  a  été  extrait,  et  qui  aurait  un  grand  intérêt  à  an- 
noncer la  sortie  de  ce  numéro.  On  a  vu  précédemment  combien 
cet  intérêt  affaiblit  son  témoignage.  En  n'évaluant  qu'à  j  la  proba- 
bilité que  si  le  témoin  trompe ,  il  choisira  le  plus  grand  nuiuérp  ; 
le  calcul  donne  la  probabilité  de  son  annonce ,  égale  à  une  fi^ction 
dont  le  numérateur  est  le  double  de  la  probabilité  de  son  témoi- 
gnage ,  considérée  à  priori  bu  indépendamment  de  l'annonce ,  et 
dont  le  dénominateur  est  le  produit  du  nombre  des  numéros  de 
l'urne ,  par  funité  diminaée  de  cette  dernière  probabilité.  Pour 
assimiler  ce  cas,  à  celui  de  l'argument  de  Pascal;  il  soffîtde  re^ 
présenter  par  les  numéros  de  l'urne,  tous  les  nombres  possible» 
de  vies  heureuses ,  ce  qui  rend  le  nombre  de  ces  numéros,  infini  j 
et  d'observer  que  si  les  témoins  trompent,  ils  ont  le  plus  grand 
intérêt  pour  accréditer  leur  mensonge ,  à  promettre  une  éternité 
de  bonheur.  L'expression  précédente  de  la  probabilité  de  leur  té- 
moignage, devient  alors  infiniment  petite.  En  la  multipliant  par 
le  nombre  infini  de  vie»  heureuses  promises,  Finfini  disparaît  du 


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xln  INTRODUCTION. 

produit  qui  exprime  TavaDtage  résultant  de  cette  promesse  ;  ce  tpù 

détruit  l'argument  de  Pascal. 

Considérons  pré^eDtemeatlaprobabîUtédel'ensemblede  plusieurs 
témoignages  sur  un  fait  déterminé.  Four  fixer  les  idées ,  supposons 
que  ce  fait  soit  la  sortie  d'un  numéro  d'une  urne  qui  eu  renferme 
cent,  et  dont  on  a  extrait  un  seul  numéra  Deux  témoins  de  ce 
tirage ,  annoncent  que  le  or  i  est  sorti;  et  l'on  demande  la  proba- 
bilité résultante  de  Tensemble  de  ces  témoignages.  On  peut  former 
ces  deux  hypothèses  :  les  t^oins  disent  la  vérité;  les  témoins 
trompent.  Dans  la  première  hypothèse ,  le  n*  i  est  sorti,  et  la  pro- 
babilité de  cet  événement  est  ,-77.  Il  Ëiut  la  multiplier  par  le  pro- 
duit dca  rcracitxs  des  témoins,  véracités  que  nous  stqiposerona être 
êi  fit  i^î  0"  ^"''3  donc  7^  pour  la  probabilité  de  l'événement 
observé,  dxma  cette  hypothèse.  J)ans  la  seconde,  le  u'  1  n'est  pas 
sprti ,  et  la  probabilité  de  cet  événement  est  ~.  Mais  l'accord  des 
témoins  exige  alors  qu'en  cherchant  à  tromper,  ils  choisissent  tous 
deux  le  numéro  1 ,  sur  les  9g  niuuéros  non  sortis  ;  la  proba- 
bilité de  ce  choix  est  le  produit  de  la  fraction  -^  par  eUe-m^e  ;  Il 
£iut  ensuite  multiplier  ces  deux  probabilités  ensemble ,  et  par  le 
produit  des  probabilités  7;  et  ^  que  les  témoins  trompent;  on  aura 
ainsi  ^j~,  pour  la  probabilité  de  l'événement  observé ,  dans  la  se- 
conde hypothèse.  Maintenant  on  aura  la  prob^ilïté  du  iâjt  attesté 
ou  de  la  sortie,  du  n*  1 ,  en  divisant  la  probabilité  relative  à  la  pre- 
mière hypothèse,  par  la  somme  des  probabihtés  relatives  aux  deux 
hypothèses  ;  cette  probabilité  sera  donc  ~^^  ;  et  la  probabilité  de  la 
non  sortie  de  ce  numéro  et  du  mensonge  des  ténuùns  sera  ^. 

Si  l'urne  ne  renfermait  que  les  numéros  1  et  a;  on  trouverait 
de  la  même  manière ,  K  pour  la  probabilité  de  la  sortie  du  n°  1 , 
et  par  conséquent'^  pour  la  probabilité  du  mensonge  des  témoins, 
probabilité  quatre-vingt-quatorze  fois  au  moins ,  plus  grande  que  la 
précédente.  On  voit  par  là ,  combien  la  probabilité  du  mensonge 
des  témoins  diminue ,  quand  le  Ëiit  qu'ils  attestent  est  moins  pro- 
bable en  lui-même.  En  effet ,  on  conçoit  qu'alors  l'accord  des  té- 
moins ,  lorsqu'ils  trompent ,  devient  plus  difficile ,  à  moins  qu'ils 
ne  s'entendent ,  ce  que  nous  supposons  ici  ne  pas  avoir  lieu. 

Dans  le  cas  précédent  où  l'urne  ne  renfermant  que  deux  numé- 


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INTRODUCTION.  xtvîi 

ro«,  la  probabilité  à  priori  du  feit  attesté  est  4;  la  probabilité  ré- 
sultante dea  témoignages,  est  le  produit  des  véracités  des  témoins, 
divisé  par  ce  produit  ajouté  à  celui  des  pr<Jjabilité8  respectives  de 
Jeor  mensonge. 

Il  nous  resté  à  considérer  llnfluence  du  temps,sur  la  probabilité  des 
fiiits  transmis  par  une  cbalne  traditionn^e  de  témoins.  Il  est  ckir 
que  cette  probabilité  doit  diminuer  à  mesure  que  la  cfaaùie  se  pro- 
longe. Si  le  &it  n'a  aucune  probabîEté  par  lui-même  ;  celle  qu'il 
acqtdert  par  les  témoignages ,  décroît  suivant  le  produit  centîna 
de  la  véracité  des  témtnns.  Si  le  fait  a  pa:  lui-même ,  une  pro- 
babilité; ai,  par  exemple,  ce  feit  est  la  sortie  du  n*  i  d'une  urne 
qui  en  renferme  un  nombre  fini ,  et  dont  il  est  certain  qu'on  a 
extrait  un  seul  numéro;  ce  que  la  cbaîne  traditionnelle  ajoute  à  cette 
probabilité ,  décroit  suivant  un  prcydoit  continu,  dont  le  premier  fao 
leur  est  le  rapport  dtt  non^re  des  numéros  de  l'urne  moins  un,  à  ce 
même  nombre  ;  et  dont  cbaqne  autre  facteur  est  la  véracité  de  chaque 
témoin,  diminuée  du  rapport  de  ta  probabilité  de  son  mensonge,  an 
nombre  des  numéros  de  l'ame  moins  un  ;  ensorte  que  la  limite  de  la 
probabilité  du  feit,  est  celle  de  ce  feit  considéré  à  priori  ou  indépen- 
damment des  témoignages ,  probabilité  égale  à  Funilé  divisée  par 
le  nombre  des  numéros  de  l'urne. 

L'action  du  temps  afibibMt  donc  sans  cesse ,  la  probabilité  <^ 
feits  historiques ,  comme  elle  altère  les  monumens  les  pins  durables. 
On  peut,  à  la  vérité,  la  ralentir,  en  multipliant  et  conservant  les 
témoignages  et  les  monumens  qui  les  étaient.  L'imprimerie  of^e 
pour  cet  objet ,  on  grand  moyen  malheureusement  inconnu  des 
anciens'.  Malgré  les  avantages  infinis  qu'elle  présente;  les  révolutions 
physiques  et  morales  dont  la  sorfece  de  ce  globe  sefa  toujours 
agitée ,  finiront,  en  se  joignant  à  Feilèt  inévitable  du  temps ,  par 
rendre  douteux  après  des  milliers  d'années,  les  feits  historique» 
aujourd'hui  les  plus  certains. 

Craig  a  essayé  de  soumettre  au  calcul>  raSàibhsscinent  graduel  de» 
preuves  de  la  religion  chrétienne  :  en  supposant  que  le  monde  doit 
finir  à  l'époque  où  elle  cessera  d'être  probable ,  il  trouve  que  cela  doit 
arriver ,  i454  ans  après  le  moment  où  il  é^t  Mais  son  analyse  est 
aussi  feutive ,  que  son  hypothèse  sur  la  durée  dtt  monde  est  bizarre. 


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xlvîij  CiTRODUCnON. 

Les  jugemeos  des  tribunaux  peuvent  être  assimilés  aux  témoi- 
gnages ,  en  considérant  chaque  juge ,  comme  un  témoin  qui  atteste 
^  vérité  de  son  opinion.  Supposons  le  tribunal  composé  de  trois 
juges.  Si  le  jugement  qu'ils  {H'ononcent ,  est  rendu  à  Fuiranimité  ^ 
et  si  chacun  d'eux  mérite  la  même  confiance  ;  la  probabilité  de  ce 
jugement  sera  la  troisième  puissance  de  la  véridicité  des  juges,  di- 
visée par  cette  puissance  ajoutée  à  la  troisième  puissance  de  leur 
fàillibilité.  Si  le  jugement  n'est  rendu  qu'à  la  pluralité;  sa  proba- 
biUtésera  cette  véridicité  elle-même,  que  l'on  peut  déterminer  par 
l'expérience,  en  observant  sur  un  très-grand  nombre  de  jugemens, 
combien  ont  été  rendus  à  l'unanimité.  Si ,  par  exemple,  le  rapport 
du  second  au  premier  de  ces  nombres ,  est  celui  de  7  à  16  ;  on 
itrouve  par  une  analyse  dont  nous  exposerons  ci-àprès  les  principes, 
que  la  véridicité  de  chaque  juge  est  ^,  et  que  la  probabilité  d'un 
nouveau  jugement  rendu  à  l'unanimité  est  ^. 

L'analyse  confirme  encore ,  ce  que  dicte  le  siinple  bon  sens ,  sa- 
voir ,  que  la  bonté  des  jugemens  est  d'autant  plus  probable,  que  les 
juges  sont  plus  nombreux  et  plus  éclairés  ;  il  importe  donc  que  les 
tribunaux  d'appel  remphssent  ces  deux  conditions.  Les  tribunaux 
de  première  in«tdnce ,  plus  rapprochés  des  justici^Ies,  leur  offî-ent 
l'avantage  d'un  premier  jugement  déjà  probable,  et  dont  souvent  il» 
0e  .contentent ,  soit  en  transigeant,  soit  en  se  désistant  de  leurs  pré- 
tentions. Mais  si  l'importance  et  l'incertitude  de  l'objet  en  litige, 
détermineiit  un  plaideur  à  recourir  au  tribunal  d'appel;  il  doit  trouver 
dans  une  plus  grande  probabilité  d'obtenir  un  jugement  équitable, 
plus  de  sûreté  pour  sa  fortune ,  et  la  compensation  des  embarras 
et  des  frais  qu'une  nouvelle  procédure  entraîne.  Cest  ce  qui  n'avait 
point  Ueu  dans  l'institution  de  l'appel  réciproque  des  tribunaux  de 
département,  institution  par  là  très-préjudiciable  aux  intérêts  de? 
citoyens. 

Pes  choix  et  des  décisions  des  assemblées. 

La  ^obabilité  des  décisions  d'une  assemblée  dépend  de  la  plu- 
raUté  des  voix,  des  liuaières  et  de  l'impartialité  des  membres  qui 
U  coroposient.  Tant  de  passions  et  d'intérêts  particuliers  y  mêlent 


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INTRODUCTION.  xlix 

si  souvent  leur  influence,  qa'il  est  impossible  tle  soumettre  au  cal- 
cul ,  cette  probabilité.  U  y  a  c^endant  quelques  résultats  généraux 
dicté»  par  le  simple  bon  sens ,  et  que  le  calcul  confirme.  Si,  par 
exemple ,  l'assemblée  est  très-peu  éclairée  sur  Tol^et  soinmis  à  sa 
décision;  si  cet  objet  exige  des  considératiMis  déKcates,  on  si  la 
vérité  siK  ce  point  est  contraire  à  des  préjugés  reçus,  ensorte  qu'il 
y  ait  plus  d'un  contre  un  à  parier  que  chaque  votant  s'en  écar- 
tera; alors  la  décision  de  la  majorité  sera  probablement  mauvaise, 
et  la  craintftà  cet  égard  sera  d'autant  plus  juste,  que  l'asseinblée 
sera  plus  nombreuse.  B  importe  donc  à  la  chose  publique,  que  les 
assemblées  n'aient  à  prononcer  que  sur  les  objets  à  la  portée  du 
plus  grand  ncHnbre  :  il  lui  imparte  i{ac  PkMtrar^tîon  soit  générale- 
ment répandue ,  et  que  de  bons  ouvrages  fondés  sur  la  raison  et 
l'expérience ,  éciairent  ceux  qui  sont  appelés  à  décider  du  sortds 
leurs  semblables  ou  à  les  gouverner,  et  les  prémunissout  d'avance 
contre  les  &xlc  aperçus  et  les  préventions  de  l'ignorance.  Les  savans 
ont  de  firéquentes  occasions  de  remarquer  que  les  premiers  aperçus 
trompent  souvent,  et  que  le  vrai  n'est  pas  toujours  vraisemblable. 

n  est  difficile  de  connaître  et  même  de  définir  le  vœu.  d'une 
assemblée ,  an  milieu  de  la  variété  des  opinions  de  ses  membres. 
Essayons  de  donner  sur  cela,  quelques  règles,  en  considérant  les 
deux  cas  les  plus  ordinaires ,  l'élection  entre  plusieurs  candidats  , 
et  celle  entre  plusieurs  propositions  relatives  au  même  objet. 

Lorsqu'une  assemblée  doit  choisir  entre  plusieurs  candidats  qui 
se  présentent  pour  une  ou  plusieurs  places  du  même  genre  ;  ce 
qui  paraît  le  plus  simple  est  de  Ëdrè  écrire  à  chaque  votant  sur 
xm  billet,  les  noms  de  tous  les  candidats,  suivant  Tordre  du  Mérita 
qu'il  leur  attribue.  En  supposant  qu'il  les  classe  de  bonne  foi,  Fins* 
pection  de  ces  billtts  fera  connaître  les  résultats  des  élections ,  de 
quelque  manière  tpie  les  candidats  soient  comparés  entre  eus  ;  en- 
sorte  que  de  nouvelles  élections  ne  peuvent  apprendre  rien  de  plus 
à  cet  égard.  Il  s'agit  présentement  d'en  conclure  l'ordre  de  pré-^ 
fêrence ,  que  les  billets  établissent  entre  les  candidats,  bnaginons  que 
l'on  donne  à  chaque  électeur,  une  urne  qui  contienne  une  infinité 
de  boules  au  moyen  desquelles  il  puisse  nuancer  tous  les  degrés  de 
mérite  des  candidats  :  conceroQS  encore  qu'il  tire  de  son  urne,  un 


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I  ÏNTRODUCTION. 

nombre  de  boules  proportioiiDel  an  mérite  de  chaque  candidat,  él 
supposons  ce  nombre  écrit  anr  un  billet ,  à  côte  du  nom  du  can- 
didat. 11  est  clair  qu'en  feisant  une  somme  de  tous  les  nombres 
relatif  à  chaque  candidat ,  sur  chaque  billet,  celui  de  tous  les  can- 
didats qui  aura  la  plus  grande  somme,  sera  le  candidat  que  l'assem- 
blée préfère;  et  qu'en  général ,  l'ordre  de  préférence  des  candidats  , 
sera  celui  des  sonunes  relatives  à  chacun  d'eus.  Mais  les  billets  ne 
marquent  point  le  nombre  des  boules  que  chaque  électeur  domie 
aux  candidats  :  ils  indiquent  seulement  que  le  premier  en  a  plus 
que  le  second,  le  second  plus  que  le  troisième ,  et  ainsi  de  suite. 
En  supposant  donc  au  premier ,  sur  un  billet  donné  ,  un  nombre 
quelcoiiaue-J«>  t<»tiicîïi  TOûîëâ  les  combinaisons  des  nombres  in- 
férieurs, qui  remplissent  les  conditions  précédentes,  sont  également 
Admissibles  ;  et  Ton  aura  le  uombre  de  boules ,  relatil'  à  chaque 
candidat ,  pi  faisant  une  somme  de  tous  les  nombres  que  diaqae 
combinaison  lui  donne ,  et  en  la  divisant  par  le  n<»nbre  entier  des 
combinaison»-  Si  ceS  nombres  sont  très- considérables,  cotomeoa 
doit  le  supposer  pour  qu'ils  puissent  exprimer  toutes  les  nuances 
du  mérite  ;  une  analyse  fort  simple  fait  voir  que  les  nombres  qu'il 
faut  écrire  sur  chaque  billet  à  côté  du  dernier  nom ,  de  l'avant- 
dernier,  etc. ,  peuvent  être  représentés  par  la  progression  arithmé- 
tique 1 ,  3,  5,  etc.  En  écrivant  donc  ainsi  sur  chaque  billet,  les 
termes  de  cettepn^ession,  etajoutant  les  termes  relatUs  à  chaque 
candidat  sur  ces  billets  ;  les  diverses  sommes  indiqueront  par 
leur  grandeur ,  l'ordre  de  préférence  qui  doit  être  étabh  entre  les 
candidats.  Tel  est  le  mode  d'élection,  qu'indique  la  Thé<me  de» 
Frobfdjilités.  Sans  doute ,  il  serait  le  meilleur  ;  si  chaque  électeur 
inscrivait  sur  son  billet ,  les  noms  des  candidats ,  dans  l'ordre  du 
mérite  qu'il  leur  attribue.  Mais  les  intérêts  particnUers  et  beaucoup 
de  considérations  étrangères  au  mérite ,  doivent  troubler  cet  ordre, 
et  faire  placer  quelquefois  au  dernier  rang ,  le  candidat  le  plus  re- 
doutable à  celui  que  l'on  préfière;  ce  qui  donne  trop  d'avantage  aux 
candidats  d'un  médiocre  mérite.  Aussi  l'expérience  a-t-elleiàit 
abandonner  ce  mode  d'élection,  dans  les  établissemens  qui  l'avaient 
adopté. 
L'élection  à  la  majorité  absolue  des  suffî-ages  réunit  à  la  cerlî- 


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INTRODUCTION.  "  Ij 

tude  de  n'admettre  aucun  des  candidats  que  cette  maiorité  reietterait , 
Tavantage  d'exprimer  le  plus  souvent,  le  vœu  de  l'assemblée.  Elle 
coïncide  toujours  avec  le  mode  précédent ,  lorsqu'il  n'y  a  que  deuK 
candidats.  A  la  vérité ,  elle  expose  à  ïinconvénient  de  rendre  les 
élections  interminables.  Mais  l'expérience  a  fait  voir  que  cet  inconvé- 
nient est  nul ,  et  que  ie  dcsir  général  de  mettre  fin  aux  élections , 
réunit  bientôt  la  majorité  des  .sufiErages  sur  un  des  candidats. 

Le  choix  «atre  plusieurs  propositions  relatives  au  même  objet , 
semble  devoir  être  assujéti  aux  m^mes  régies^  que  l'élection  entre 
plusieurs  candidats.  Mais  il  existe  entre  ces  deux  cas,  cette  difîe- 
renoji^  savoir ,  que  le  mérite  d'un  candidat  n'exclut  point  celui  de 
ses  concurrens;  au  lieu  que  si  len  proEiositions  entre  lesquelles  il 
&ut  choisir ,  sont  contraires  ,  la  vérité  de  l'unè^éxciuria  -r^rîtô  d«8 
autres.  Voici  comme  on  doit  alors  envisager  la  question. 

Donnons  à  chaque  votant,  une  urne  qui  renferme  un  nombre 
infini  de  boules;  etsupposons  qu'il  les  distribue  sur  les.diverses  pro- 
positions, en  raiscHi  des  probabltitét)  respectives  qu'il  leur  attribue.  Il 
est  clair  que  le  nombre  total  des  boules,  exprimant  ta  certitude, 
et  le  votant  étant  par  l'bypothèse ,  asdnré  que  l'une  des  propositions 
doit  être  vraie  ;  il  répartira  ce  nombre  en  entier ,  sur  les  proposi- 
tions. Le  problème  se  réduit  donc  à  déterminer  les  combineisons 
dans.lesquelles  les  boules  seront  réparties ,  de  manière  qa'il  y  en  ait 
plus  sur  la  première  proposition  du  billet ,  que  sur  la  seconde  ;  plus 
sur  la  seconde  que  sur  la  troisième  ,  etc.  \  à  Étire  les  sommes  de 
tous  les  nombres  déboules,  relatifô  à  chaque  proposition  dans  ces 
diverses  combinaisons  ;  et  à  diviser  cette  somme,  par  le  nombre 
des  comlHuaisons  :  les  quotiens  seront  les  nombres  de  boules ,  que 
Ton  doit  attribuer  aux  [ox^osîtions  sur  un  billet  quelconque.  On 
trouve  par  l'analyse,  qu'en  partant  de  la  dernière  proposition,  pour 
remonter  à  la  premi^;  ces  quotiens  sont  entre  eux,  comme  les 
quantités  suivantes  :  i*  l'unilé  divisée  par  le  nombre  des  proposi- 
tions; 3°  la  quantité  précédente  augmentée  de  l'imité  (avisée  par 
le  nombre  des  propositions  moins  une;  5"  cette  seconde  quantité 
augmentée  de  l'unité,  divisée  par  le  nombre  des  propositions  moins 
deux  ;  et  ainsi  du  reste.  On  écrira  donc  sur  chaque  billet ,  ces 
quantités  à  côté  des  prc^ositious  correspondantes  ;  et  en  ajoutant 


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fli  INTRODlTCTIOIf. 

les  quantités  relatirea  à  chaque  propositiou,  sur  les  divers  billets';; 
les  sommes  îodiqueroDt  par  leur  graudeur ,  Ttwdre  de  prâ'^nce 
que  l'assemblée  donne  à  ces  proposkioiis. 

■Ves  Lois  àe  la  ProhaUUtét  qMÎ  résultent  de  la  multiplicatioit 
indéfinie  des  événemem. 

Aa  nùlieu  des  causes  variables  et  iocoimnâs  que  aons  compre^- 
itons  sous  le  nom  de  hasard,  yt  qui  rendent  incertaine  et  irrita- 
lière,  la  marche  des  événemens;  on  voitnattre  à  mesure  qu'ils  se 
multipUent,  une  régularité  frappante  qui  semUe  tenir  à  un  d|Hcin-y 
et  que  l'on  a  considérée  comme  une  preuve  de  la  providence  qui 
gouv^two-hmioïKle.  Mais  en  y  réfléchissant,  on  reconnaît  bientôt 
que  cette  régularité  n'est  que  le  dérdo^ement  des  possibilités  res- 
pectives des  événemens  simples ,  qui  doivent  se  présenter  plus  sou- 
vent, lorsqu'ils  sont  plus  probables.  Concevcms,  par  exemple,  une 
urne  qui  renferme  des  bouks  blanches  et  des  boules  noires  ;  et 
supposons  qu'à  chaque  fois  que  l'on  en  tire  une  boule ,  on  la  re- 
mette dans  Tume  pour  procéder  à  un  nouveau  tirage.  Le  rapport 
du  nombre  des  boules  Manches  extraites ,  au  nondire  des  boules 
noires  extraites  ,  sera  le  plus  souvent  très-irrégulier  dans  les  pre- 
miers tirages  ;  mais  les  cadses  variables  de  cette  irrégalarité,  pro- 
duisent des  effets  alternativement  favorables  et  contraires  à  la 
marche  régulière  des  événemens^  et  qui  se  détruisant  mutuellement 
dans  Fensemble  d'un  grand  nombre  de  tirages,  laissent  déplus  en 
plus  apercevoir  le  rapport  des  boules  Uanehes  aux  boules  noires  ' 
contenues  dans  l'ume ,  ou  les  possibilités  respectives  d'en  extraire 
une  boule  blanche  et  une  boule  noire  à  chaque  tirage.  De  là  résulte 
]e  théorème  suivant. 

La  probabilité  que  le  rapport  du  nombre  des  boules  blanches 
extraites,  au  nombre  total  des  boules  sorties ,  ne  s'écarte  pas  de  la 
possibilité  d'extraire  une  bouleUancheàchaque tirage, au-delà  d'un 
intervalle  donné,  approche  indéfiniment  de  la  certitude,  parla  mul- 
tiplication indéfinie  des  évétwmensj  quelque  petit  que  Ton  suppose 
cet  iotervalle. 

Ce  tbéwème  indiqué  par  I«  bon  sens^  était  difficile  à  démontrer 


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INTRODrCTIOÏÏ>  ïiff 

par  ranaljde.  Aussi  Fillustrd  géomètre  Jacques  BemoulG  qui  s'en 
«st  occupé  le  premier,  attachait -îL  une  grande  importance  a  la 
démonstration  qu'il  en  a  donnée.  Le  calcul  des  fonctions  généra^ 
triceSf  appliqué  à  cet  objet,  wm-Beulemeni  démontre  avccfitcilité 
ce  théorème;  mais  da  plus  iljâonna  ta  probabilité  que  le  rapport 
des  éTénemens  obferrés,  se  s'écarta  que  dans  cerfeÛDes  limites  « 
àa  vrai  rapprat  de  leurs  possibilités  respectives. 

On  peut  tirer  du  théorème  préccdetit ,  cette  conséquence  qui  doit 
être  regardée  comme  une  loi  générale,  savoir,  que  les  rapports  des 
e£fel«  de  la  nature,  sont  à  fort  peu  près  constans,  quand  ces  e&ta 
sont  considérés  en  grand  nombre.  Ainsi,  malgré  la  variété  des  années  ^ 
la  somme  des  productions  peadant  un  uomKre  .d'années,  considé- 
rable, est  sensiUement  la  même;  ensorte  que  l'homme,  par  une  utile 
prévoyance,  peat  ae  mettre  à  Tabri  de  l'irrégularité  des  sais«is,  enr^ 
pandant:  également  sur  tous  les  temps,  les  biens  que  la  nature  distri- 
bue d*UDe  manière  inégale.  Je  n'excepte  pas  de  la  loi  précédente,  les 
eCtets  dus  aux  causes  morales.  Le  rapport  des  naUsMices  annuelles 
à  la  population,  et  celui  des  mariages  aux  naissances,  n'éprouvent 
que  de  très-petites  variations  :  à  Paris,  le  nomt»%  des  naissances 
aimueUes  a  toD}ours  été  le  même  à  peu  près;  et  j'ai  ouï  dire  qu*à 
la  poste,  dans  les  temps  ordinaires,  le  nombre  des  lettres  mises  au 
rebut  par  les  dé&uts  des  adresses,  change  peu  chaque  année. 

Il  suit  encore  de  ce  théorème,  que  dans  une  série  d'événemens, 
indéfinimoit  prolongée ,  l'action  des  causes  réguli^es  et  constantes 
doit  l'emporter  à  la  longue,  sur  celle  des  causes  irrégulières.  C'est 
ce  qui  rend  les  gains  dee  loteries ,  aussi  certains  que  les  produit» 
de  l'agriculture  ;  les  chances  qu'elles  se  réservent,  leur  assurant  un 
bénéfice  dans  l'ensemble  d'un  grand  nombre  de  mises.  Ainsi  des 
chances  Ëtvorables  et  nombreuses  étant  constamment  attachées  à 
l'observation  des  principes  étemels  de  raison ,  de  justice  et  d'hu- 
manité, qui  fondent  et  maintiennent  les  sociétés;  U  y  a  un  gr»id 
avantage  à  se  conformer  à  ces  principes,  et  de  graves  inconvéniens 
à  s'en  écarter.  Que  l'on  consulte  les  histrares  et  sa  propre  e:iq>é'' 
rience;  on  y  verra 'tous  les  Ëiits  venir  à  l'appui  de  ce  résultat  du 
calcul.  Considérez  les  avantages  que  la  bonne -fi)i  a  procu- 
rés aux  gouTerneœens  qui  en  ont  &it  la  base  de  leur  conduite , 


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Kv  INTRODUCTION: 

et  comme  Us  ont  été  dédommagés  des  sacrifices  qu*a  pa  leur 
coâter  une  -  scrupuleuse  exactitude  à  tenir  leurs  promesses  :  quel 
immense  crédit  au  déduis  !  quelle  prépondéraDce  au  dehors  I  Voyez 
au  contraire,  dans  quel  abîme  de  malheurs,  les  peuples  ont  été 
souvent  précipites  par  l'ambitioD  «t  la  per6die  de  leurs  che&. 
Tout«8  les  fois  qu'uoe  grande  puiscance  enivrée  de  l'amour 
des  conquêtes,  aspire  à  la  domination  unirerselle;  le  sentimeot 
de  Findépendance  produit  entre  les  nations  injustement  attaquées, 
une  coalition  dont  elle  devient  presque  toujours  la  victime.  Pareil- 
lement, au  milieu  des  causes  variables  qui  étepdent  ou  resserrent 
les  divers  états;  les  limites  naturelles,  en  agissant  comme  causes 
constantes-,  ^<>«=«rt-finirparpréraloîr.  Il  importe  donc  à  la  stabilité 
comme  au  bonheur  des  empires ,  de  ne  pas  les  étendre  au-delà  de 
ces  limites  dans  lesquelles  ils  sont  ramenés  sans  tresse  par  l'action 
de  ces  causes  ;  ainsi  que  les  eaux  des  mers,  soulevées  par  de  vio- 
lentes tempêtes ,  retombent  dans  leurs  bas^Bs  ^r  la  pesMiteur. 
C'est  encore  nn  résultat  du  calcul  des  probabilités,  confirmé  par 
de  nombreuses  et  funestes  expériences.  L'histoire  traitée  sous  le 
point  de  vue  de  l'influence  des  causes  constantes ,  unirait  à  l'inté- 
rêt de  la  curiosité,  celui  d'offrir  aux  hommes,  les  plus  utiles  leçons. 
Quelquefois  on  attribue  les  efF^s  inévitables  de  ces  causes,  à  des 
circonstances  accidenteUes  quin'ontfeit  que  développer  leuraction. 
Il  est ,  par  exemple ,  contre  la  nature  des  choses ,  qu'un  peuple  soit 
à  jamais  gouverné  par  un  autre,  qu'une  vaste  mer  ou  une  grande 
distance  en  sépare.  On  peut  affirmer  qu'à  la  longue ,  cette  cause 
constante  se  joignant  sans  cesse  aux  causes  variables  qui  agissent 
dans  le  même  sens,  et  que  la  suite  des  temps  développe,  Bnira 
par  en  trouver  d'assez  fortes  pour  rendre  au  peuple  soumb ,  son 
indépendance  naturelle,  ou  pour  le  réunir  à  un  étitt  puissant  qui 
lui  soit  contigu. 

Dans  un  grand  non^Hrc  de  cas,  et  ce  sont  les  plus  importans 
de  fanaljse  des  hasards ,  les  possibilités  des  événemens  amples 
soQt  inconnues,  et  nous  sommes  réduits  à  chercher  dans  les  évé- 
nemens passés ,  des  indices  qui  puissent  nous  guider  dans  nos 
conjectures  sur  les  causes  dont  ils  dépendent.  En  appliquant  l'ana- 
lyse des  fonctions  génératrices,  au  principe  exposé  ci-devant, sur 


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lPÎTROT)TJCTlO?r.  'h* 

ia  proba^nlité  des  causes,  tirée  des  évéDemëns  observés;  dn  est 
Qpnduit  au  théorème  suirant   . 

Lorsqu'un  éTénement  ûmple.oa  composé  de  plusieurs  événe* 
mens  simples,  tel  qu'une  partie  de  jeu,  a  été  répété  un -grand 
iiorabre  de  fois  ;  les  possibilités  des  événemens  «mples,  qui  rendent 
ce  que  l'on  a  observé,  le  plus  probable,  sont  celles  qne  Pobser- 
vation  indique  avec  le  pins  de  -vraisemblance  :  à  mesure  qne  l'évé- 
nement observé  se  répète,  cette  vraisemblance  augmente  et  finirait 
par  se  confondre  avec  la  certitude,  ai  le  nombre  des  rép^tione 
devenait  infini. 

Il  7  a  ici  deux  sortes  d'approximations  ;  l'une  d'elles  est  relative 
sus  limites  prises  de  part  et  d'autre ,  des  pcnoUniîtôa  qni  donnant 
au  passé ,  le  plus  de  vraisemblance  :  l'autre  approximation  se  rap- 
-porte  à  la  probabilité  que  ces  possibilités  tombent  dans  ces  limites. 
La  répétition  de  révénement  composé  accroît  de  plus  en  plus  cette 
probabilité,  les  Umites  restant  les  mêmes  :  elle  resserre  de  plu» 
en  pins  l'intervalle  de  ces  limites ,  la  probabilité  restant  la  m^e: 
dans  l'infini ,  cet  intervalle  devient  nul ,  et  la  probabilité  se  change 
en  certitude. 

Si  Ton  applique  ce  ^éorème ,  au  rapport  des  naissances  des 
garçons  à  celtes  des  filles,  observé  dans  les  diverses  parties  de 
l'Europe  ;  on  trouve  que  ce  rapport  partout  à  peu  prés  égal  à  celui 
de  sa  à  3 1 ,  indique  avec  une  extrême  probabilité ,  une  plus  grande 
Ëicilité  dans  les  naissances  des  garçons.  En  considérant  ensuite 
qu'il  est  le  m^e  à  Naples  qu'à  Pétersbourg ,  on  verra  qu'à  c«t 
^ard,  l'influence  du  climat  est  insensible.  On  peut  donc  soupçon- 
ner contre  l'opinion  commune ,  que  cette  supériorité  des  naissance» 
masculines  subsiste  dans  l'orient  même.  J'avais  en  conséquence 
invité  lès  savans  fi-ançais envoyés  en  Egypte ,  à  s'occuper  de-cette 
question  intéressante;  mais  ladiflîculté  d'obtenir  des  renseignemens 
précis  sur  les  naissances ,  ne  leur  a  pas  permis  de  la  résoudre^ 

Le  rapport  des  naissances  des  garçons  à  celles  des  fiHes ,  diffé- 
rant très-peu  de  l'unité;  des  nombres  même  assez  grands  de  nais- 
sances observées  dans  un  Keu,  pourraient  offrir  à  cet  égard,  un 
résultat  contraire  à  la  loi  générale ,  sans  que  l'on  fût  en  ï-oit  d'en 
conclure  que  cette  loi  n'y  existe  pas.  Pour  tirer  cette  conséquence , 


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H  INTRODUCTION; 

il  Smt  employer  de  trèa-^ands  nombres,  et  s^adsurer  qfi^eUe  est 
indiquée  avec  une  grande  probabilité.  Bufibn  cite ,  par  exemple., 
dans  son  Arithmétique  politique  «  plusieurs  communes  de  Bour- 
gogne ,  où  les  naissances  des  filles  ont  surpassé  ceUes  des  garçons. 
Parmi  ces  conmiunes ,  edle  de  Carcelle-le-Grignoa  présente  sur  ■ 
9009  naissances  pendant  cinq  années ,  ioa6  filles  et  g85  garçons: 
Quoique  ces  nombres  soient  considérables,  cepen^ntils  n'indiquent 
une  plus  grande  possibilité  dans  les  naissances  des  filles,  qu'arec 
la  probabilité  -,%;  et  cette  probabilité  plus  petite  que  celle  de  ne  pas 
amener  croix  quatre  fois  de  suite,  au  jeu  de  croix  et  pile ,  n'est 
pas  suffisante  pour  rechercher  la  cause  de  cette  anomahe  qui ,  se- 
lon buite-jniiiûaeinfcdaiice,  disparaîtrait.,  si  l'on  suivait  pendant  un 
siècle,  les  naissances  dans  cette  commune. 

Les  rentres  .des  naissances  ,  que  l'on  tient  arec  soin  pour 
assurer  l'état  des  citoyens ,  peuvent  servir  à  déterminer  la  popu- 
lation d'un  grand  empire,  sans  recourir  au  Jéuumbrement  de  ses 
habitans ,  opu^tlon  pénible  et  difficile  à  foire  avec  exactitude.  Mais 
il  fout  pour  cela  ^  connaître  le  rapport  de  la  population  aux  nais- 
sances annuelles.  Le  moyen  d'y  parvenir ,  le  plus  précis,  consiste 
1'  à  choisir  dans  l'empire,  des  départemens  distribués  d'une  ma- 
nière à  peu  près  égale  sur  toute  sa  surface ,  afin  de  rendre  le 
résultat  général ,  indépendant  des  circonstances  locales  ;  a'  à  dé- 
nombrer avec  soin ,  pour  une  époque  donnée',  les  habitans  de 
phisieiirs  cominunes  dans  chacun  de  ces  départemens  ;  5*  à  déter- 
miner par  le  relevé  des  naissances  durant  plusieurs  années  qui 
précèdent  et  suivent  cette  époque ,  le  nombre  moyen  correspon- 
dant des  naissances  annuelles.  Ce  nombre  divisé  par  celui  des 
habiUns ,  donnera  le  i^pport  des  naissances  annuelles  à  la  popu- 
lation, d'ime  manière  d'autant  plu^  sûre,  que  le- dénombrement 
sera  plus  considérable.  Le  gouvernement  convaincu  de  l'utilité 
d'un  semblable  dénombrement ,  a  bien  voulu  en  ordonner  l'exécu- 
tion ,  à  ma  prière.  Dans  trente  départemens  répandus  également 
^ur  toute  la  France ,  on  a  £tît  choix  des  communes  qui  pouvaient 
foiurnir  les  renseignemens  les  plus  précis.  Leurs  dénombremens  ont 
dpmié  9057615  i;idividus  pour  la  somme  totale  de  leurs  habitans  ait 


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46o37. 


io565g  hommes. 
99445  femmes. 


INTRODUCTION.  Iviî 

35  septembre  180a.  Le  relevé  des  naissances  dans  ces  communes 
pendant  les  aimées  1800,  1801  et  1803,  a  donné 

Naissances. 

iio3ia  garçons. 
lo5a87  filles. 

Le  rapport  de  la  population  aux  nîtissances  annuelles  est  donc 
38  ~y^t\  î  "  ®st  plus  grand  qu'on  ne  l'avait  estimé  jusqu'ici.  En 
multipUant  par  ce  rapport, -le  nnmhre.  dpa  Tini«<iar>(rpfl  annuelles 
en  France ,  on  aura  la  population  de  ce  royaume.  Mais  quelle  est 
la  probabilité  que  la  population  ainst  déterminée ,  ne  s'écartera 
pas  de  la  vériti^le,  au-delà  d'une  limite  donnée?  Eu  résolvant 
ce  problème,  et  appliquant  à  sa  solution,  les  données  précédentes, 
j'ai  trouvé  que  le  nombre  des  naissances  annuelles  en  France , 
étant  supposé  d'un  tmUi<Hi ,  ce  qui  porte  sa  population  à  3835a845 
habitans;  il  y  a  près  de  trois  cent  mille  à  parier  contre  un ,  que 
l'erreur  de  ce  résultat  n'est  pas  d'un  demi-milUon. 

Le  rapport  des  naissances  des  garçons  à  celles  des  filles,  qu'offre 
le  relevé  précédent ,  est  celui  de  39  k  ai;  et  les  mariages  sont  aux 
naissances,  comme  trois  est  à  quatorze. 

A  Paris ,  les  baptêmes  des  en&ns  des  deux  sexes  s'écartent  un  peu 
du  rapport  de  sa  à  31.  Depuis  1745,  époque  à  laquelle  on  a  com- 
mencé à  distinguer  les  sexes  sur  1^  registres  des  naissances,  jusqu'à 
la  fin  de  .1784,  on  a  baptisé  dans  cette  capitale  ^  595386  garçons 
et  377555  filles.  Le  rapport  de  ces  deux  nombres  çst  à, peu  près 
celui  de  sS  à  34  ;  il  parait  donc  qu'à  Parïs ,  une  cause  particulière 
rapproche  de  l'égalité-,  les  baptêmes  dés  deux  sexes.  Si  l'on  applique 
à  cet  objet ,  le  calcul  des  probabilités  ;  on  trouve  qu'il  y  a  338  à 
parier  contre  un ,  en  feveur  de  l'existence  de  cette  cause  ,  ce  qui 
suffit  4)our  en  autoriser  4a  recherche.  En  y  réfléchissant,  il  m'a  paru 
que  la  différence  observée  tient  à  ce  que  lés  parens  de  la  campagne 
et  des  provinces ,  trouvant  quelqu'avantage  à  retenir  près  d'eux  lés 
garçons,  en  avaient  envoyé  à  l'hospice  des  Enfans-Trouvés  de 
Paris,  moins  relativement  aux  filles,  que  suivant  le  rapport  des 
Qaissauccâ  des  deux  sexes.  C'est  ce  que  le  relevé  des  registres  da 

h 


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ïvaj  INTRODUCTIOÎÏ. 

cet  hospice  m'^  prouve,  depuis  lé  commencement  de  1745  jusqu'à 
la  fin  de  180g,  it  y  esi  enti^  i634gg  garçons,  et  j5g4o5  filles. 
Xe  premier  de  ces  nombres  n'excède  que  d'un  trente-buitiéme,  le 
second  qu'il  aurait  dû  surpasser  aii  moins  d'un  viilgt-qnatrième. 
Ce  qui  conlinne  l'existence  de  la  cause  assigiiéc,  c'est  qu'en  n'ayant 
point  égard  aux  enfenb  trouvés ,  le  rapport  lies  naissances  des  gar- 
çons  à  celles  des  filles,  est  à  Paris,  comme  dans  le  reste  de  la 
t'rance,  celid  dé  33  à  ai. 

La  constance  de  la  supériorité  des  naissances  dés  garçons  sUr 
celles  des  "ttHeyi^'apatte  cfri  ïiondres ,  depuis  qu'on  les  observe , 
a  paru  à  quelques  saVans ,  être  une  preuve  de  la  providence  sans 
laquelle  ils  ont'peùsé  que  îef  causes  irréguliéres  qui  troublent  sans 
cesse  la  marche  des  événemens ,  aurait  dû  plusieurs  fois ,  rendre 
les  naissances  annuelles  des  fîltes ,  supérieures  à  ceUes  des  garçons. 

Mais  cette  "preuve  est  un  noftvel  exemple  de  l'abus  que  l'on  a  fait 
si  souvent  des  causes  finales,  qm  clisparaîssem;  tcra}ours  par  un 
examen  approfondi  des  questions,  lorsqu'on  a  les  donnéranéces- 
sairçs  pour  les  résoudre.  La  constance  dont  il  s'agit,  est  un  ré- 
sultât des  causes  régulières  qui  donnent  la  supériorité  aux  naissances 
des  garçons,  et  qui  l'emportent  sur  les  anomalies  dues  au  hasard, 
lorsque  le  nombre  des  naissances  annuelles  est  coosidérable.  I^ 
recherclîe  de  la  probabilité  que  cette  constance  se  maintiendra 
pendant  un  long  espace  de  temps ,  appartient  à  cette  branche  de 
l'analyse  des  hasards  qui  remonte  des  événemens  passés ,  à  la  pro- 
babilité des  événemens  futurs  ;  et  il  en  résulte  qu'en  partant  des 
naissances  observées  depuis  1745  jusqu'en  17S4,  il  y  a  près  de 
quatre  à  parier  contre  un ,  qu'à  Paris  les  naissances  annuelles  des 
garçons  surpasseront  constamment  pendantùn  siècle ,  les  ùaissanoes 
des  filles;  U  n'y  a  donc  aucune  raison  de  s'étonner  que  cela  ait  eu 
lieu  pendant  un  dehû-siècle. 

Donnons  encore  un  exemple  du  développement  des  rapports 
constans  que  les  événemens  présentent,  à  mesure  qirïls  se  multi- 
plient. Concevons  une  série  d'urnes  disposées  cîrculairement ,  et 
renfermant ,  chacune ,  un  très-grand  nombre  de  boules  blanches 
et  noires  :  les  rapports  des  boules  blanches  aux  noires,  dans  ces 
urnes,  pouvant  être  trés-dififérens  à  l'origine,  et  tels,  par  exempte, 


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INTRODUCnON.  lir 

que  l'une  de  ces  .urnes  ne  renfenue  que  des  boules  blanches,  tandis 
^u"one  autre  ne  contient  que  des  boules  noires.  Si  Von  lire  une 
.boule  de  la  première  urne  ,  pour  la  .mettre  dans  la  seconde'; 
qu'après  ayoa  agité  cette  seconde  urne,  afin  de  .bien  mêler  la  boulé 
ajoutée,  avec  les  aut^,  on  en  tire  une  boule  pour  la  mettre 
dans  la  troisième  urne ,  et  ainsi  de  gpite  jusqu'à  la  iàemière'umé 
dont  on  extrait  une  bople ,  pour  la  mettre  dans  la  première ,  et 
que  Ton  recommence  indéfiniment  cette  série  de  tirages  ;'f  analyse 
des  prpbabilités  nous  montre  que  les  rapports  des  boules  blancfbes 
aux  noii;-es,  dans  ces  urnes,  fioiropt  .par  être  les  mêmes  et  égaux 
au  rapport  de  la  somme  de  toutes  les  boules  blancnes ,  à  la  somnie 
de  tofites  l,es  boules  noires  contenues  dans  les  urnes.  Ainsi  par  ce 
ipode  régjilier  de  changement,. l'irrégularité  primitive  de  ces  rap- 
ports, disparaît  à  laJ9ngue,  pour  &ire  place  à  l'ordre  le  plus  simple. 
Maintenant  ai  ^itre  ces  urnes,  on  ep  intercale  de  nouvelles  dans 
lesquelles  je  rapport  de  la  somme  des  boules  blanches,  à  la  sommé 
des  boules'  noires  qu'elles  contiennent ,  diffère  dii  précèdent  ;  en 
continuant  indéfiniment,  sur  l'ensemble  de  ces  ui^nesj.les  extrac- 
tions que  nous  venons  d'indiquer';  Tordre  simple  établi  dans  les 
anciennes  urnes  sera  d'abord  troublé ,  et  les  {"apports  des  boules 
blanches  aux  boules  noir;es  deviendront  irréguliers  ;  mais  peu 
.  à  peu ,  cette  irrégularité  disparaîtra  pour  feire  place  à  un  nouvel 
ordre ,  qui  sera  enfin  celui  de  l'égaliLé  des  rapports  des  boules 
blanches  aux  boules  noires  contenues  dans  les  urnes.  On  peut 
ctaidre  ces.  résultats,  à  toutes  les  çombit^ons  de  la  nature,  dâds 
lesquelles  les  forces  constantes  qui  animent  les  êtres  dont  elles 
sont  formées ,  établissent  des  modes  réguliers  d'action  et  de  chan- 
gement. 

.  Les  phénomènes  .qui  semblent  le  plus  dépendre  du  hasard,  pré- 
sentent donc  en  se  multipliant ,  une  tendance  à  se  rapprocher  sans 
cesse,  de  rapports  fixes;  de  manière  que  si  l'on  conçoit  de  part  ■ 
et  d'autre  de  chacun  de  ces  rapports,  un  intervalle  aussi  petit 
que  l'on  voudra ,  la  probabilité  que  le  résultat  moyen  des  obser-f 
valions  tombe  dans  cet  intervalle,  finira  par  ne  diflférer  delà  cer- 
titude ,  que  d'une  quantité  au-dessous  de  toute  grandeur  assignable. 
On  peut  ainsi  par  le  calcul  des  probabilités,  appliqué  à  un  grand 


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h  INTRODUCTION. 

nombre  d'obsetrâtions ,  reconnaître  l'existence  de  ces  rapports- 
Mais  avant  que  d'en  rechercher  les  causes,  il  est  nécessaire ,  pour 
ne  point  s'égarer  dans  de  raines  spéculations,  de  s'assurer  qu'ils 
sont  indiqués  avec  une  probabilité  qui  ne  permet  point  de  les 
regarder  comme  des  anomalies  dues  au  hasard.  La  théorie  des 
fonctions  génératrices  donne  une  expression  très-simple  de  cette 
probabilité,  que  l'on  obtient  eu  intégrant  le  produit  de  la  difle- 
rentielle  de  la  quantité  dont  le  résultat  déduit  d'un  grand  nombre 
d'observations  s'écarte  de  la  vérité ,  par  une  constante  moindre 
que  l'uuitc ,  Jri|)cmljun,  Jv  lu-naturc  ûa  proM4tae ,  et  élevée  à  iine 
puissance  dont  l'exposant  est  le  rapport  du  carré  de  cet  écart ,  au 
nombre  des  observations.  L'intégrale  prise  entre  des  limites  don- 
nées, et  divisée  par  la  même  intégrale  étendue  à  l'infini  positif  et 
négatif,  exprimera  la  probabilité  que  l'écart  de  la  vérité,  est  cont- 
pris  entre  ces  limites.  TfeDe  est  la  loi  générale  de  la  i»-obabilité  des 
résultats  indiqués  par  uu  grand  nombre  d'observatrons. 

Du    Calcul  des  Prohaèilités,  appliqué  à  la  recherche 
des  phénomènes  et  de  leurs  causes. 

Les  phénomènes  de  la  nature  sont  le  plus  souvent  enveloppés 
de  tant  de  circbnst^ces  étrangères ,  un  si  grand  nombre  de  causes 
perturbatrices  y  mêlent  leur  influence;  qu'il  est  très-difficile,  lors- 
qu'ils sont  ïbrt  petits,  de  les  reconnaître.  On  ne  peut  alors  y  par- 
venir, qu'en  multipliant  les  observations  ;  afin  que  les  effets  étran- 
gers venant  à  se  détruire,  les  résultats  moyens  mettent  en  évidence 
ces  phénomènes.  On  conçoit  par  ce  qui  précède,  que  cela  n'a  lieu 
rigoureusement  que  dans  le  cas  d'un  nombre  infini  d'observations: 
dans  tout  autre  cas,  les  phénomènes  ne  sont  indiqués  par  les  ré- 
sultats moyens ,  qu'avec  une  probabilité  d'autant  plus  forte ,  que 
les  observations  sont  en  plus  grand  nombre ,  et  dont  il  importe 
d'apprécier  la  valeur. 

Prenons  pour  exemple ,  la  variation  diurne  de  la  pression  de 
l'atmosphère  à  l'équateur  où  elle  est  le  plus  sensible ,  et  le  plus 
Êicile  à  reconnaître ,  les  changemens  irréguliers  du  baromètre  y 
étant  plus  considérables.  On  remarqua  bientôt  dans  les  hauteurs 


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ÎNTROfitJCTlÔN-  H\ 

qu*li  inique,  tihe  petite  oscillation  diurne  dont  le  maximum  a  lieti 
Vers  neuf  heures  du  matin ,  et  le  minimum  vers  quatre  heures 
du  soir  ?  un  second  .majc/mwm  a  lieu  vers  onze  heures  du  soir,  et, 
le  second  minimum  vers  quatre  heures  du  matin  :  les  oscillations 
de  la  nuit  sont  moindres  que  celles  du  jour ,  dont  retendue  est  de 
deux  millimétrés.  L'inconstance  de  nos  chmats  n'a  point  dérobé 
cette  variation  à  nos  observateurs,  quoiqu'elle  y  soit  moms  sensible 
qu'entre  les  tropiques.  En  appliquant  l'analyse  des  probabilités,  aux 
observations  nombreuses  et  précises  faites  par  Ramond ,  pendant 
plusieurs  ^innée»  consécutives  ;  )e  trouve  qu'elles  indiquent  fenis- 
tence  et  la  quantité  de  ce  phénomène,  de  manière  à  ne  laisser 
aucun  doute.  La  période  de  sa  variation  étant  d'un  jour  solaire  ^  sa 
cause  est  évidemment  la  chaleur  que  le  soleil  communique  aux 
diverses  parties  de  l'atmosphère;  quoiqu'il  soit  presqu'impossîble 
d'en  calculer  les  effets.  Cet  astre  agit  encore  par  son  attraction ,. 
sur  ce  fluide  :  il  y  produit  avec  la  lune,  des  oscillations  semblables 
à  celles  du  flux  et  du  reflux  de  la  mer,  oscillations  dom  pai  détar- 
miné  les  lois  dans  la  Mécanique  céleste ,  et  qui  seront,  un  jour^ 
reconnues  par  des  observations  nombreuses  feites  à  Féquateur  arec^ 
d'excellens  baromètres. 

On  peut  encore  par  l'analyse  des  probabilités ,  vârifier  l'existence 
ou  riÛBuence  de  certaines  causes  dont  on  a  cru  remarquer  l'action 
sur  les  êtres  organisés.  De  tous  les  instrumens  que  nous  pouvons 
employer  pour  connaître  les  agens  imperceptibles  de  la  nature,  le» 
plus  sensibles  sont  les  ner&  ,  surtout  lorsque  des  causes  particu- 
lières exaltent  leur  sensibilité.  C'est  par  leur  moyen,  qu'os  a  décou- 
.  vert  la  feible  électricité  que  développe  le  contact  de  deux  métaux 
hétérogènes  ;  ce  qui  a  ouvert  un  clramp  vaste  axa.  recherches  des- 
physiciens  et  des  chimistes.  Les  phénomènes  singuliers  qui  ré- 
sultent de  l'extrême  sensibilité  des  neriii  dans  quelques  individus ,. 
ont  donné  naissance  à  diverses  opinions  sur  Fexistence  d'un  noi^ 
Tel  agent  que  l'on  a  nommé  ma^étisme  animai  ^  sur  l'action  âa 
magnétisme  ordinaire  et  l'influence  du  soleil  et  de  la  lune,  dans 
quelques  affections  nerveuses; 'enfin  sur  les  impressions  que  peut 
faire  naître  la  proximité  des  métaux  ou  d'une  eau  courante:  11  est. 
naturel  de  penser  que  l'action  de  ces  causes  est  très-feible ,  et  qu'elfe 


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îxij  INTRODUCTION, 

peut  être  ËicilemeDt  troublée  par  un  grand  nombre  de  circons- 
tances accidentelles, Ainsi,  .parce  qu'elle  ne  s'est  point  manifestée 
_  dans  quelques  cas ,  on  ne  doit  pas  rejeter  «on  existeqpe.  Nous 
sommes  si  éloignés  de  conuaître  tous  les  ageos  de  U  nature ,  et 
-leurs  divers  modes  d'actioa;  qu*il  ne  serait  pas  philosophique  de 
nier  les  phénomènes ,  uniquement  parce  qu'ils  sont  inexplicables 
dans  l'état  actuel  de  '  nos  connaissances.  Seulement,  nous  devons 
les  examiner  avec  une  attention  d'autant  plus  scrupuleuse,  qu'il 
parait  plus  difficile  de  les  admettre;  et, c'est  ici  que. le  calcul  des 
_probabiliiës  devienL  iijdi3pcnoal>hr,-poTir  clét«nniiier  jusqu'à  quel 
-point  il  faut  multiplier  les  observations  ou  les. expériences,  afin 
d'obtenir  en  feveur  des  agens  qu'elles  indiquept,  une  probabilité 
supérieure  aux  raisons  que  l'on  peut  avoir  d'ailleurs,  de  ne  pas  les 
A^ettre. 

Le  calcul  des.  probabilités  peut  Ëiire  apprécier  les. avantages  et 
les  inconvéniens  des  méthodes.  eu^^oT'ées  dans  4ea,  ecicnces  con- 
jecturales. Ainsi ,  pour  reconnaître  le  meilleur  des  iraitemens  eu 
usage  dans  la  guéiison  d'une  maladie ,  il  suffit  d'éprouver  chacun 
d'eux  sur  un  même  nombre  de  malades ,  en  rendant  toutes  les  cir- 
constances parfaitement  semblables.  La  supériorité  du  traitement 
le  plus  avantageux  se  manifestera  de  plus  en  plus ,  à  mesure  que 
ce  nombre  s'accroîtra;  et  le  calcul  fera-  connaître  la  probabilité 
c(»Tespondante -de  son  avantage.  Le, même  calcul  s'étend  encore 
aux  objets  de  l'économie  politique ,  pour  laquelle  les  opérations  des 
gouvernonens  sont  autant  d'expériences  en  grand ,  propres  à  les 
éclairer  sur  la  conduite  qu'ils  doivent  tenir  daiis  les  cas  semblables 
à  ceux  qui  se  sont  d^à  présentés.  Tant  de  causes  imprévues  ou 
cachées  <>Q  inappréciables  influent  sur  les  institutions  humaines  j 
qu'il  est  impossible  d'en  juger  à  priori,  les  résultats.  Une  longue 
suite  d'expérienges  développe  les  eflèts  de  ces  causes ,  et  indique 
les  moyens  de  remédier  à  ceux  qui  sont  nuisibles.  On  a  souvent 
feit  à  cet  égard,  des  lois  sages  j  mais  parce  que  l'on  avait  négligé 
d'en  conserver  lesmotife,  plusieurs  ont  été  abrogées  comme  inutiles, 
et  il  a  fallu  pour  les  rétablir ,  que  de  fâcheuses  expériences  en  aient 
fait  de  nouveau ,  sentir  le  besoin.  Il  est  donc  bien  important  de 
tenir  dans  chaque  branche  de  l'administration  publique ,  un  registro 


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INTRODTIcnOlS.  hiij    ' 

exact  des  résultats  qu'ont  produits  les  divers  moyens  dont  on  a  Mt 
usage.  Appliquons  aus  sciences  politiques  et  morales,  la  méthode 
fondée  sur  robserratîon  et  le  csUciA ,  méthode  qui  nous  a  si  heu- 
reuseinent  servi  dans  les  sciences  naturelles.  Ne  changeons  qu'avec 
une  circonspection  extrême,  nos  anciennes  institutions  et  les  usages 
auxquels  nos  opinions  et  nos  habitudes  ee  sont  depuis  long-temps 
pliées.  Nous  connaissons  bien  par  rexpérience  du  passé ,  les  in- 
convéniens  qu'ils  présentent;  mais  nous  i^of  ons  tpieUe  est  l'iteudue 
des  maux  que  leur  changement  peut  produire. 

La  coQflidwation  iScs  probtdjtlhea,  étcnâne  a  Tastronomie,  peut 
servir  à  reconnaitre  la  cause  des  anomïdiee  observées  dans  les 
mouvemens  célestes ,  et  à  démêler  les  petites  inégalilés  enveloppée» 
dans  les  erreurs  dont  les  observations  aont  susceptibles.  Ce  fut 
en  comparant  enb^  elles  tontes  ses  oba^vations  ;  que  Ticho-Brahé 
reconnut  la  nécessité  d'appliquer  à  Ta  lune ,  une  équation  du  temps , 
dîfierento  éc  celle  que  Ton  appliquait  au  soleil  et  aux  planètes.  Ce 
fut  encore  dans  le  résultat  d'observations  nombreuses,  que  Mayer 
aperçut  pour  ta  lune,  une  dicunutiou  dans  le  coefiBcient  de  l'iné- 
galité de  la  précession ,  relatif  aux  autres  -corps  célestes.  Mai» 
comme  cette  diminution  ne  semblait  pas  résulter  de  la  gravita- 
tion universelle  ;  la  plupart  des  astronomes  la  négligèrent  dans  leurs 
calculs.  Ayant  soumis  à  l'analyse  des  probabilités ,  un  grand  ncanbre 
d'observations  lunaires  choisies  dans  -cette  rue,  et  que  Bouvard 
Voulut  bien  calculer  à  ma'pri«'e;  elle  me  parut  indiquée  arec  une 
si  fiwte  probabilité ,  que  je  crus  devoir  en  rechercher  la  cause.  Je 
vis  Inentdt  qu'elle  ne  pouvait  être  que  l'ellipticité  du  sphéroïde 
terrestre,  né^gée  jusqu'alors  dans  la  théorie  du  mouvement  lunaire , 
comme  ne  devant  y  produire  que  des  termes  insensibles  :  j'en 
conclus  que  ces  termes  deviennent  sensibles  par  les  intégrations 
successives  des  équations  difieréntielles.  Je  déterminai  donc  ces 
termes  par  une  analyse  particulière,  et  je  dçcouvris  d'abord  l'inégalité 
du  mouvement  lunaire  en  latitude ,  qui  est  proportionnelle  au  sinus 
de  la  longitude  de  la  lune,  et  qu'aucun  astronume  n'avait  encore 
aperçue.  Je  «reconnus  ensuite  au  moyen  de  cette  inégalité ,  que  la 
théorie  de  la  pesanteur  donne  en  effet  la  diminution  iffdiquée  par 
Uayer^  dans  FéquaUon  de  la  précession,  applicable  à  la  lune.  I* 


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lûv  INTRODUCTION. 

ijuantité  de  cette  diminution ,  et  lé  coefficient  de  l'inégalité  précé- 
dente en  latitude ,  sont  très-propres  à  fixer  Taptatissement  de  la 
terre.  Ayant  &it  part  de  mes  recherches,  à  Burg  quf  s'occupait 
alors  à  perfectionner  les  tables  de  la  lune,  p^r  la  comparaison 
de  toutes  les  bonnes  obserTations;)e  le  priai  de  déterminer  arec  un 
soin  particulier,  ces  deux  quantités.  Par  un.  accord  très-remar- 
quable, les  valeurs  qu'il  a  trouvées,  donnent  à  la  terre ,  le  même 
aplatissement  y^j ,  aplatissement  qui  difiBIre  peu  du  milieu  conclu 
dea  mesures  des  degrés  du  méridien  et  du  pendule  ;  mais  qui,  tu 
l'influence  des  erreurs  de»  ^H^cry-atiOTra  et  dos  cauftes  perturba- 
trices ,  sur  ces  mesures ,  me  paraît  plus  exactement  déterminé  par 
ces  inégalités  lunaires. 

Le  calcul  des  probabilités  m'a  conduit  pareillement  à  la  cause 
des  grandes  irrégularités  de  Jupiter  et  de  Saturne.  En  comparant 
les  observations  modernes  aux  anciennes,  Halley  trouva  une  accé- 
lération dans  le  mouvement  de  Ju^ter,  et  on  ralentieeement  dans 
celui  de  Saturne.  Pour  concilier  les  oteervations,  il  assujétit  ce» 
moavemens ,  à  deux  équations^  séculaires  de  signes  contraires ,  et 
croissantes  commeles  carrés  des  temps  écoulés  depuis  1700.  Ëuler 
et  Lagrange  soumirent  à  l'analyse,  les  altérations  que  devoit  pro- 
duire dans  ces  mouvemens,  l'attraction mubielle  des  deux  planètes, 
lis  y  trouvèrent  des  équations  séculaires  ;  mais  leurs  résultats  étaient 
ai  difiërens,  que  l'un  d'eux,  au  moins,  devait  être  erroné.  Je  me 
déterminai  donc  à  reprendre  ce  problème  important  de  la  méca- 
nique céleste,  et  je  reconnus  l'invariabilité  des  moyens  mouvemens 
planétaires;  ce  qui  fît  disparaître  les  équations  séculaires  introduites 
par  Halley,  dans  les  tables  de  Jupiter  et  de  Saturne.  H  ne  restait 
ainsi,  pour  expliquer  les  grandes  irrégularités  de  ces  planètes,  que 
les  attractions  des  comètes  auxquelles  plusieurs  astronomes  eurent 
effectivement  recoiurs ,  ou  l'existence  d'une  inégalité  à  longue  pé- 
riode, produite  dans  les  mouvemens  des  deux  planètes  par  leur 
action  réciproque  ,  et  arfectée  de  signes  contraires,  pour  chacune 
d'elles.  Un  théorème  que  je  trouvai  sur  les  inégalités  de  ce  genre, 
me  rendit  cette  inégalité ,  très- vraisemblable.  Suivant  ce  théorème, 
si  le  mouvement  de  Jupiter  s'accélère,  celui  de  Saturne  se  ralentit, 
ce  qui  est  déjà  conforme  à  ce  que  Halley  avait  remarqué;  inaia 


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INTRODUCTION.       ^  bcr 

de  plus,  raccélération  de  Jupiter,  résultante  du  même  théorème  , 
est  au  raleDtîssement  de  Saturne ,  à  très-peu  près  dans  le  rapport 
des  équations  séculaires  proposées  par  Halley.  En  considérant  les 
moyens  mouremenis  de  Jupiter  et  de  Saturne,  il  me  fut  aisé  de 
rec(H]naître  que  deux  fois  celui  de  Jupiter,  ne  surpasse  que  d'une 
ti^s-petite  quantité,  cinq  fois  celui  de  Saturne.  La  période  d'une 
inégalité  qui  aurait  cet  argument ,  serait  d'environ  neuf  siècles.  A 
la  vérité,  son  coefficient  serait  de  l'ordre  des  cubes  des  excentricités 
desorbitesjmaisje  savais  qu'en  vertu  des  intégrations  successives, 
il  acquiert  ^ur  diviseui-,  Iv  ta«i-é  du  u-es-peiit  muiHpIicateur  du 
temps  dans  l'argument  de  cette  inégalité ,  ce  qui  peut  lui  donner  une 
grande  valeur;  il  me  parut  donc  très-probable  que  cette  inégalité  a 
lieu.  La  remarque  suivante  accrut  encore  sa  probabilité.  En  sup- 
posant son  argument  nul ,  vers  l'époque  des  observations  de  Ticho- 
Brahéj  je  vis  que  Halley  avait  dû  trouver  par  la  comparaison  des 
obsraratioDS  modernes  aux  anciennes ,  les  altérations  qu'il  avait  in- 
diquées; tandis  que  la  comparaison  des  observations  modernes  entre 
dies ,  devait  offrir  des  altérations  contraires ,  et  pareilles  à  celles  que 
Lambert  avait  conclues  de  cette  comparaison.  L'existence  de  cette 
inégalité  me  parut  donc  extrêmement  vraisemblable ,  et  je  n'hésitai 
point  à  entreprendre  le  calcul  long  et  pénible ,  nécessaire  pour  m'en 
Assurer.  Elle  fût  entièrement  confirmée  par  le  résultat  de  ce  calcul 
qui,  de  plus,  me  fit  connaitre-un'grand  nombre  d'autres  inégalités 
dont  l'ensemble  a  porté  les  tables  de  Jupitear  et  de  Saturne ,  à  la 
précision  des  observations  mêmes. 

Ce  fut  encore  au  moyen  du  calcul  des  probabilités,  que  |e  re- 
connus là  loi  remarquable  des  mouvemens  moyens  des  trois  pre- 
miers satellites  de  Jupiter,  suivîmt  laquelle  la  longitude  moyenne 
du  premier ,  moins  trois  fois  celle  du  second ,  plus  deux  fois  celle 
du  troisième  est  rigoureusement  égale  à  la  demi  -  circonférence. 
L'approximation  ayec  laquelle  les  moyens  mouvemens  de  ces  astres 
satisfont  à  cette  loi  depuis  leur  découverte,  indiquait  son  existence 
av«c  une  vraisemblance  extrême;  j'encberchaidoncla  cause,  dans 
l'action  mntuelle  de  ces  trois  corps.  L'examen  approfondi  de  cette 
action ,  me  fit  voir  qu'il  a  suffi  qu'à  l'origine ,  les  rapports  de  leurs 
moyens  mouremens  aient  approché  de  cette  loi ,  dans  certaines 


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.  iKTi  INTRODUCTION. 

limites ,  pour  qae  leur  action  mutuelle  Tait  étaUie  et  la  maintieimt 
«D  rigaeur. 

Oa  voit  par  là,  combien  il  &at  être  attentif  aux  iiidications  de 
la  nature ,  lorsqu'elles  sont  le  résultat  d'un  grand  noEohre  d'obser- 
vations; quoique  d'aUleurs,  elles  soient  îne^IicaUespar  les  moyens 
connus.  L'extrécne  diffîcut^  des  problèmes  relattfe  au  système  dm 
monde,  a  forcé  les  géomètres  de  recourir  à  des  ^proximations 
qui  laissent  toujours  à  crainte  que  les  ipMditités  négligées  n'oient 
une  influence  sensible.  Lorsqu'ils  ont  été  avertis  de  cette  influence  , 
par  les  observations  ;  us  suot  vcmn»  aar  i^mr  aDolys«  :  «a  la  reo* 
tifiant ,  ils  ont  toujours  retrouvé  h  cause  des  anomalies  observées  } 
ils  eji  ont  déterminé  les  lois,  et  souvent,  ils  ont  devancé  rol>- 
serVation ,  en  découvrant  des  inégalités  qu'elle  n'avait  pas  encore 
iadiquées.  Ainsi  l'on  peut  dire  que  la  nature  etle-méme  a  concouru 
à  la  perfection  des  théories  fondées  sur  le  principe  de  la  pesanteiir 
universelle  ;  et  c'est,  à  mon  sens,  une  des  plus  finies  preuves  dft 
la  vérité  de  ce  principe  admirable. 

L'un  des  phénomènes  lesplus  reniarquables  du  aystéme  du  mondCy 
est  celui  de  tous  les  mouvemens  de  rotation  et  de  révolution  des 
planètes  et  des  satellites ,  dans  le  sens  de  la  rotatioa  da  soleil ,  etâ 
peu  près  dans  le  plan  de  son-équateur.  Un  phénoot^e  aus^  remar- 
quable n'est  point  ^eSèt  du  hasard  :  il  indique  tme  cause  générale 
quia  déterminé  tou^  ces  Bsouvemens.  Poiiravoir  la  probabilité  avec 
laquelle  cette  cause  est  indiquée;  noua  observerons  que  le  système 
planétaire  tel  que  nous  le  connaissona  aujoard'faui ,  est  compesé- 
d'onze  planètes  et  de  dix-hnit  sâteUites.  On  a  reconnn  les  mouvemens 
de  rotation  du  soleil,  de  six  planètes,  des  satellites  de  Jupiter^ 
de  l'anneau  de  Saturne,  et  d'un  de  ses  satellites.  Ces  mouvemen» 
forment  avec  ceux  de  révolutioa,  un  ensemble  de  quarante-trois» 
mouvemens  dirigés  dausleméme  sens;  or  on  trouve  par  l'analyse  des- 
probabilités, qu'il  y  a  plus  de  quatre  mille  milliards  à  parier  contre 
un,  que  cette  dispositioa  n'est  pas  l'effet  du  basard;  ce  qui  forme 
tme  probabilité  bien  supérieiu-e  à  celle  des  événemens  historiques 
sur  lesquels  on  ne  se  permet  aucun  doute.  îfous  devons  donc 
oroire,  au  moins  avec  la  même  confianee,  qu'une  cause  primitive 
a  dirigé  les  mouremeus  pUnétairesj  surtout  si  nous  con8idér<HiB. 


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INTRODUCTION.  IxTÎi 

^e  PiDclinaîitoD  da  plus  grand  nombre  de  ces  moaTetneDsàl'équa- 
teur  solaire ,  est  for(  petite. 

Un  autre  phénomène  également  remarquable  du  système  so^- 
laire ,  est  le  peu  d'excentricité  des  orbes  des  planètes  et  des  satellites, 
tandis  que  ceux  des  comètes  sont  très  -  alongés  :  les  oibes  de  ce 
ajst^ne  n'oflfrant  point  de  nuances  intermédiaires  entre  une  grande 
et  une  p^te  excentricibé.  Nous  sommes  encore  forcés  de  re- 
comiaïtre  kà  l'efièt  d'une  cause  régulière  :  ie  hasard  n'eût  poiztt 
donné  une  forme  in^sqne  circulaire  anx  orbes  de  toutes  le»  fJa- 
nètes  et  de  leurs  sanellttes  ;  il  est  donc  nécessaire  que  la  cause 
qai  a  déterminé  les  mouvemens  de  ces  corps,  les  aitrendus  presque 
circulaires.  Il  ^A  encote  que  les  graitdes  excentricités  des  orhes 
des  comètes  tésidtent  de  l'existence  de  cette  cause ,  ^aus  qu'elle 
ait  influé  sur  16S  directions  de  leurs  mouvetaens  ;  car  on  trouT» 
qu'il  j  a  presque  autant  de  comètes  rétrogrades ,  que  de  «nnètes 
directes ,  et  que  l'inclîtiatson*  môyemie  de  tous  leurs  orbes ,  ap- 
proche très-pi^  d'un  demi-an^  -àttAt,  comme  ce^  doit  être,  si 
ces  corps  ont  été  tancés  au  hasard. 

QueAe  que  soit  la  natoi^  de  la  oan$e  dont  il  s'agit;  puisqu'elle 
a  produit  on  dirigé  les  mouvemens  des  planètes,  il  feut  qu'elle  ait 
embrassé  tous  ces  corjn;  et  ru  tes  distances  qui  les  séparent,  elle 
ne  pctA  avoir  été  <fu'un  ficnde  d'une  immense  étendue  :  pour  leur 
avoir  donné  dws  le  m^^ne  sens,  un  mouvement  presque  dh-culairo 
autou*  du  soleil ,  il  ËtUt  que  ce  -ftoide  ait  environné  cet  astre , 
comme  une  atmosj^ère.  L&  coDsidératioQ  des  mouvemens  plané- 
taires nous  conduit  donc  à  penser  qu'en  vertu  d'une  chaleur  ex- 
cessive ,  l'atmosphère  du  soleil  s'est  primitivement  étendue  au-deli 
des  orbes  de  toutes  les  planètes ,  et  qu'elle  s'est  retirée  successive- 
ment jusqu'à  ses  limites  actuelles. 

Dans  l'état  primitif  où  nous  supposons  le  soleil ,  3  ressemblait 
aux  nébuleuses  que  le  télescope  ihmis  montre  composées  d'un  noyaa 
plus 'ou  moins  briHant ,  entouré  d'une  nébulosité  qui ,  en  se  con- 
densant à  la  surËice  du  noyau,  doit  le  transformer,  un  jour,  en 
étoile.  Si  l'on  conçoit  par  analogie ,  toutes  les  étoiles  formées  de 
celte  manière  ;  on  peut  imaginer  leur  état  antérieur  de  nébulosité, 
précédé  lui-mêCae  par  d'aixtres  états  dans  lesi^ls  la  matière  nér 


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xrig  INTBODtrcnON. 

bulense  était  de  plus  en  plus  diffuse ,  le  nojau  étant  de  moins  en 
moins  lumineux  et  dense.  On  arrire  ainsi ,  en  remontant  aussi  loin 
qu'il  est  possible ,  à  une  nébulosité  tellement  dififbse ,  que  l'on 
pourrait  à  peine  en  soupçonner  l'existence. 

Tel  cst^en  eflèt,  le  premier  état  des  nébuleuses  que  Herscbel 
.  a  observées  avec  un  soin  particulier ,  au  moyen  de  ses  puissans 
télescopes ,  et  dans  lesquelles  il  a  suivi  les  progrès  de  la  conden- 
sation ,  non  sur  une  seule ,  ces  progrès  ne  pouvant  devenir  sensibles 
poar  iKuia ,  qu!aprèa_ de^s  siècles ,  mais  sur  leur  ensemblej  à  peu 
près  comme  on  peu\  dans  une  va~8te  Torët",  suivre  l'accroissement 
des  arbres  sur  les  individus  de  divers- âges,  qu'elle  renferme.  Il 
a  d'abord  observé  la  matière  nébuleuse  répandue  en  amas  divers, 
dans  les  différentes  parties  du  ciel  dont  elle  occupe  une  grande 
étendue.  Il  a  vu  dans  quelquesHins  de  ces  amas ,  cette  matière 
faiblement  condensée  autour  d'un  ou  de  plusieurs  noyaux  peu 
brillans.  Dans  d'autres  nébuleusesi  «es  noyaux  brillent  davantage , 
relativement  à  la  nébulosité  qui  les  environne.  Les  atmosphères 
de  chaque  noyau ,  venant  à  se  séparer  par  une  condensation  ulté- 
rieure ,  il  en  résulte  des  nébuleuses  multiples  formées  de  noyaux 
brillans  très-voisins ,  et  environnés,  chacun,  d'une  atmosphère: 
quelquefois,  la  matière  nébuleuse  en  se  condensant  d'une  maniera 
uniforme ,  a  produit  les  nébuleuses  que  l'on  nomme  planétaires. 
Enfin,  an  plus  grand  degré  de  condensation  transforme  toutes 
ces  nébuleuses ,  en  étoiles.  Les  nébuleuses  dassées  d'après  cette 
vue  philosophique,  indiquent  avec  une  extrême  vraisemblance^ 
leur  transformation  future  en  étoiles ,  et  l'état  antérieur  de  nébu- 
losité, des  étoiles  existantes.  Les  considérations  suivantes  viennent 
à  l'appui  des  preuves  tirées  de  ces  analogies. 

Depuis  long-temps,  la  disposition  particulière  de  quelques  étoiles 
visibles  à  la  vue  simple,  a  frappé  des  observateurs  philosophes. 
Mtlchela  déjà  remarqué  combien  il  est  peu  probable  que  les  étoiles 
des  Pléiades,  par  exemple,  aient  été  resserrées  dans  l'espace  étroit 
qui  les  renferme,  par  les  seules  chances  du  hasard;  et  il  en  a 
conclu  q;ie  ce  groupe  d'étoiles,  et  les  groupes  semblables  que  le 
ciel  nous  présente,  sont  les  effets  d'une  cause  primitive,  ou  d'une 
loi  générale  de  la  nature.  Ces  groupes  sont  un  résultat  nécessaire 


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iNTRODITCnON.  Ixîs 

de  la  conâensation  des  nébuleuses  à  plusieurs  noyaux;  car  il  est 
Visible  que  la  matière  nébuleuse  étant  sans  cesse  attirée  par  ce» 
noyaux  divers;  ils  doivent  former  à  la  longue  un  groupe  d'étoiles, 
pareil  à  celui  des  Pléiades.  La  condensation  des  nébuleuses  à  deux 
noyaux  forme  scmJilablement  des  étoiles  très-rapprochées  tournant 
l'une  autour  de  l'autre,  pareilles  à  celles  dont  Herschei  a  déjà 
considéré  lesmouvemens  respectif.  Telles  sont  encore  la  soÎKinte- 
unième  du  Cygne  et  sa  suivante,  dans  lesquelles  Bessel  vient  de 
reconnaître  des  mo|iTemens  propres ,  si  considérahUs  «*  ai  peja 
difiërens,  qtro  io- proximité  de  ces  asb'es  entre  eux,  et  leur  mou- 
vement autour  de  leur  centre  commun  de  gravité,  ne  doivent 
laisser  aucun  doute.  Ainsi,  Ton  descend  par  les  progrès  de  con- 
densation de  la  matière  nébuleuse,  à  la  considération  du  soleil 
environné  antre&ia  d'une  vaste  atmosphère ,  considération  à  laquelle 
on  remonte,  comme  on  l'a  vu,  par  l'examen  des  phénoqiènes  du 
système  aulaire.  Une  rencontre  ausei  remarquable  donne  à  l'exis- 
tence de  cet  état  antérieur  du  soleil^  xme  probabilité  fort  approchante 
de  la  certitude. 

Mais  comment  l'atmosphère  solaire  a-t-elle  déterminé  les  mou- 
vemens  de  rotation  et  de  révolution  des  planètes  et  des  satellites  ? 
Si  ces  corps  avaient  pénétré  profondément  dans  cette  atmosphère, 
sa  résistance  les  aurait  Ëiit  tomber  sur  le  soleil;  on  est  donc  conduit 
à  croire  avec  beaucoup  de  vraisemblance ,  que  les  planètes  ont  été 
formées  aux  limites  successives  de  l'atmosphère  solaire  qui  en  se 
resserrant  par  le  refroidissement,  a  dû  abandonner  dans  le  plan 
de  son  équateur ,  des  ïaànes  de  vapeurs ,  que  l'attraction  mutuelle  ■ 
de  leurs  molécules  a  changées  en  divers  sphéroïdes. 

J'ai  développé  avec,  étendue,  dans  mon  Exposition  du  Système 
du  Monde ,  cette  hypothèse  qui  me  paraît  satisfaire  à  tous  les  phé- 
nomènes que  ce  système  nous  présente. 

Dans  cette  hypothèse ,  les  comètes  sont  étrangères  an  système 
planétaire.  £n  attachant  leur  formation,  à  celle  des  nébdeuses; 
on  peut  les  regarder  comme"  de  petites  nébuleuses  à  noyaux  , 
errantes  de  systèmes  en  systèmes  solaires,  et  formées  par  la  coa- 
densation  de  la  matière  nébuleuse  répandue  avec  tant  de  profusion 
dans  l'univers.  Les  comètes  seraient  ainsi  par  rapport  à  -  notre 


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Isi  INTRODUCTION. 

système,  ce  qne  lea  aérc^thes  sont  relativement  à  la  terre ,  è 
laquelle  Us  paraissent  étrangers.  Lorsque  ces  astres,  ^deriennent 
TÎsibles  pour  nous ,  Us  offmit  une  ressemblance  si  parfeite  avec 
les  nébuleuses ,  qu'on  les  confond  souvent  avec  elïes  ;  et  ce  n'est 
que  par  leur  mouvement ,  ou  par  la  connaissance  de  toutes  les 
nébuleuses  renfermées  dans  la  partie  du  ciel  xtii  Us  se  montrent , 
qu'on  parvient  à  les  en  distinguer.  Cette  supposition  explique  d'une 
manière  heureuse ,  la  grande  extension  que  prennent  les  têtes  et 
les  quëïïe5"aey-^Maàiacf.à  mesure  gu'elles  approchent  du  solcU, 
etrestrême  rareté  de  ces  queues  qui  malgré Teui- "immenac  pro- 
fondeur ,  n'afBiiblissent  point  sensiblement  l'éckit  des  étcûles  que 
l'on  voit  à  travers. 

Lorsque  de  petites  nébuleuses  parviennent  dans  !a  partie  de. 
l'espace  où  l'attraction  du  soleil  est  prédominante,  et  que  nous 
nomnaerons  sphère  d'activité  de  cet  astre;  il  les  force  à  décrire 
"des  orbes  elliptiques  ou  hyperboliques.  Maïs  leur  vitesse  étant  éga-- 
iement  possible  suivant  toutes  les  directions,  elles  doivent  se  mouvoir 
indiffêremment  dans  tous  les  sens  et  sous  toutes  les  inclinaisons 
à  récliptique;  ce  qui  est  conforme  à  ce  que' l'on  observe. 

La  grande  excentricité  des  orbes  cométaires,  résulte  encore 
de  rhypothèse  précédente.  En  effet,  si  ces  orbes  sont  éIMptiques , 
ils  sont  trés-alongés  ;  puisque  leurs  grands  axes  sont  au  moins 
égaux  au  rayon  de  ta  sphère  d'activité  du  soleU.  Mais  ces  orbes 
peuvent  être  hyperboliques ,  et  si  les  axes  de  ces  hyperboles  ne 
dont  pas  très-grands  par  rapport  à  la  moyenne  distance  du  soIeU 
'  à  la  terre ,  le  mouvement  des  comètes  qui  les  décrivent,  paraîtra 
sensiblement  hyperbolique.  Cependant  sur  cent  comètes  dont  on 
adéjàlesélémens,  aucune  n'a  paru  se  mouvoir  dans  une  hyperbole; 
il  feut  donc  que  les  chances  qui  donnent  xme  hyperbole  senâble, 
soient  extrêmement  rares  par  rapport  aux  chances  contraires. 
■  Les  comètes  sont  si  petites,  que  pour  devenir  visibles,  leur 
distance  périhélie  doit  être  peu  considérable.  Jusqu'à  présent  cette 
distance  n'a  surpassé  que  deux  fois ,  le  diamètre  de  l'orbe  terrestre, 
et  le  plus  souvent ,  elle  a  été  au-dessous  du  rayon  de  cet  orbe. 
On  conçoit  que  pour  approcher  si  près  du  soleil,  leur  vitesse  au 
moment  de  lem  entrée  dans  sa  sphère  d'activité,  doit  avoir  une 


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INTRODrcncW.  hx} 

grandenr  et  nae  ^ôrection,  c<iin|>rises  dam  d'étroites  Ihnitee.  En 
dftterminaDt  fiar  Vaoaljse  des  iirobabUités,  le  rapport  des  chances 
qui  dans  ces  Uiuîtcs,  doimeiit  une  hyperiwie  sensikde,  aax  chances 
qui  donnent  ma  orbe  qœ  l'on  puisse  confondre  avec  une  parabole  ; 
j'ai  trouvé  qu'il  7  a  six  mille  an  moins,  à  parier  contre  Ponitë  , 
qu'une  nébuleuse  qui  pénétre  dan?  la  sphère  d'activité  du  soleil, 
de  manière  à  pouvoir  être  observée,  décrira  ou  une  ellipse  trè»- 
-alongée,  on  une  hyperbole  qui  par  la  grandeur  de  soa  axe ,  se 
confondra  sensiblenKnt  avec  use  parabote,  daçw  ia.  p*''^''^'*!  l'OQ 
obscm;  il  i^cBt  donc  pas  surprenant  que  jusqu'ici,  l'on  n^ak  pc^nt 
teconnu  de  mouvemeos- byperbofiqnes. 

L'attractioa  des  pianètes ,  et  peut  -•  être  encore  la  résistance 
des  milimw  étbérés ,  a  dû  ebMOgCT  ptnsieurs  CH-bes  cométaires  , 
dans  des  ellipses  doot  le  grand  axe  est  moraclre  qu9  le  fajoa  de 
lasph^  d'activité  du  soieii  j  ce  qui  augmente  les  chances  des  orbes 
«Uiptiqoes.  On  peut  croire'  que-  ce  ohanQunent  »  eu  lieu  pour  la 
eomète  de  16a»,  la  seide  dont  «s  ait  )«squ'à  pi^ésem,  àéusrtmoé 
ta  révolution. 

Des  miUtttx  fii'il  faut  choisir  entre  les  résultats  d^un  grand 
nombre  ^ohservationM. 

La  recberehe  de  ces  milieux  est  très-inqjortante  ifens  la  philo- 
sophie naturelle  ;  et  Fanidyse  qu'elle  exige,  est  la  plus  délicate  et  la 
plus  épineuse  de  toute  la  tbéorËe  des  prcd>al»fités.  Les  obserraëons 
et  les  expéHeaces  les  plus  précises  sont  toujours  sujettes  à.  des 
erreur»  qui  influent  sur  la  valeur  des  élémens  que  l'on  reut  va  dé- 
duirc.  Poar  faire  dispardtre  ces  erreur»,  autant  qu'il  est  possible, 
en  les  détruisant  les  unes  par  Dra  autres;  on  multiplie  les  observa- 
tions dont  le  résultat  moyen  est  d'autant  plus  exact,  que  leur 
nmibre  est  plus  considérable.  Mais  quelle  est  la  manière  la  plus 
avantageose  de  former  ce  résultat  moyen?  De  quelle  erreur  ce 
résultat  est- il  encore  susceptible?  Ceat  ce  que  l'analyse  des  pro- 
babilités peut  seule  faire  connaître;  et  voici  ce  qu'elle  nous 
apprend.  .  ' 

Pow  fixer  les  idées,  supposons  que  l'on  cherdie  à  détenniner 


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Iixg  INTRODUCTION. 

par  Tobserration,  la  grandeur  apparente  d'un  disque  vu  d'une  dis- 
tance donnée.  Si  Ton  a  pris  un  grand  nombre  de  mesures  du  disque 
avec  des  instrumens  semblables,  et  à  une  même  distance  de  ce 
disque;  on  aura  sa  grandeur  moyenne  apparente,  en  dirisant  la 
somm^  de  toutes  les  mesures  partielles,  par  le- nombre  de  ces 
mesures.  Pour  avoir  l'erreur  moyenne  à  craindre  en  plus  ou  en 
moins,  sur  ce  résultat;  nous  observerons  que  cette  erreur  est  la 
'9omme  des  produits  de  chaque  erreur  possible,  par  sa  probabilité. 
Une  cw<»»,-anit  Bositiye,  soit  négative,  devant  être  considérée 
pomme  une  perte  au  jeu,  on  doit  évaluer  l'erreur  moyenne,  comme 
on  évaluerîdt  une  perte  moyenne.  En  déterminant  par  l'analyse  des 
fonctions  génératrices,  l'expression  de  cette  erreur;  on  trouvé  qu'elle 
a  pour  facteur,  une  quantité  dépendante  de  la  loi  de  [probabilité 
des  erreurs  de  chaque  mesure.  Cette  toi  nous  est  inconnue  :  seu- 
lement, il  est  naturel  d'admettre  que  les  erreurs  négatives  sont 
aussi  probables  que  les  positivée  5  il  semble  donc  impossible  d'éva- 
luer cette  erreur  moyenne.  Mais  en  déterminant  par  la  même 
analyse,  la  sonmie  des  carrés  des  erreurs  des  observations;  j'ai 
reconnu  qu'elle  a  le  même  facteur.  De  là ,  j'ai  conclu  la  règle  suivante. 

Si  l'on  prend  les  difiPérences  entre  le  résultat  moyen  de  toutes 
les  mesures,  et  chacune  d'elles;  l'erreur  moyenne  à  craindre  en 
plLis  ou  en  moins  sur  ce  résultat,  est  une  fraction  dont  le  numéra- 
teur est  la  racine  carrée  de  k  somme  des  carrés  de  ces  dififêrences, 
et  doitt  le  dénominateur  est  le  produit  dp  nombre  des  mesures, 
par  la  racine  carrée  du  rapport  de  là  circonférence  au  rayon. 

On  a  ainsi  le  résultat  moyen  le  plus  avantageux,  ^  l'on  peut 
en  apprécier  l'ejactitude.  Pour  rapporter  ensuite  ce  résultat,  à  la 
distance  donnée;  il  suffit  de- Ie~  multiplier  parle  rapport  inverse 
de  cette  distance ,  à  celle  d'où  les  mesures  ont  été  prises. 

Supposons  maintenant  que  l'on  ait  pris  ces  mesures ,  à  diffêrentes 
distances  ;  et  que  l'on  veuille  toujours  en  conclure  ta  grandeur  appa- 
rente du  disque  tu  d'une  distance  donnée.  Il  est  clair  que  l'erreur 
de  chaque  observation  aura  d'autant  moins  d'influence,  que  l'ob- 
servation aura  été  Êiite  plus  près  du  disque;  il  est  encore  facile  de 
voir  que  chaque  mesure  observée,  moins  son  erreur,.doit  être 
égale  à  la  grandeur  que  l'ofi  cherche,  multipliée  par  le  rapport 


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INTRODUCTION,  \xxu\ 

Ae  la  distance  donnée,  à  la  distance  d'où  la  mesnre  a  été  prise. 
En  considérant  la  grandeur  cherchée ,  comme  une  inconnue  ;  chaque 
mesure  observée  donnwa  une  équation  du  premier  degré  dont  le 
premier  membre  sera  le  produit  de  l'inconnue,  par  ce  rapport  j 
-et  dont  le  second  membre  sera  la  mesure  observée,  moins  son 
erreur.  Si  Ton  ajoute  toutes  ces  équations,  leur  ensemble  formera 
une  éqiiation  finale  qui,  en  supposant  nulle,  la  somme  des  erreurs 
de  toutes  les  observations,  donnera  une  valeur  de  l'inconnue, 
à  laquelle  toutes  les  observations  auront  ooao<»uj«,  et  qui  par 
là ,  doit  avoir  une  grande  précision.  C'est,  la  règle  que  l'on  suit 
communément  ;  mais  elle  ne  donne  pas  le  résultat  le  plus  avanta- 
geux, celui  qui  ne  laisse  à  craindre  que  la  plus  petite  erreur  moyenne. 
Pour  avoir  ce  résultat ,  on  doit  observer  que  toutes  les  manières 
possibles  de  combiner  les  équations  précédentes ,  afin  d'obtenir  une 
équation  finale  du  premier  degré,  qui  détermine  l'inconnue,  re- 
viennent à  les  multiplier,  chacune,  par  un  fecteur,  ,et  à  les  ajouter 
ensuite  sans  avoir  égard  aux  erreurs  des  observations.  En  prenant 
donc  pour  ces  fecteurs,  des  constantes  arbitraires,  et' cherchant 
l'expression  analytique  de  l'erreur  moyenne  du  résultat  donné'par 
l'équa^on  finale j  il  Ëiùt  déterminer  les  constantes,  ensorte  que 
cette  erreur  soit  Un  minimum.  On  trouve  alors  que  chaque  cons- 
tante est  égale  au  coefficient  de  l'inconnue ,  dans  l'équation  partielle 
qu'elle  multiplie;  la  valeur  de  l'inconnue,  donnée  par  l'équation 
finale ,  esl  aina  exprimée  par  une  iraction  qui  a  pour  numérateur, 
la  somme  des  produits  du  coefficient  de  l'inconnue  dans  chaque 
équation  partielle,  par  la  mesure  observée  correspondante;  et  pour 
dénominateur,  la  somme  des  carrés  de  tous  ces  coefficlens.  Si 
Ton  prend  ensuite  les  difierences  entre  les  mesures  observées,  et 
les  produits  successiË  de  ce  résultat  par  les  coefficiens  de  llocon- 
nue  i^ns  les  éqvations  partielles;  l'erreur  moyenne  qu'il  laisse 
encore  à  craindre,  sera  la  racine  carrée  d'une  fraction  dont  le 
numérateur  est  la  somme  des  carrés  de  ces  diCfêrences,  et  dont  le 
dénominateur  est  le  produit  de  ces  trois  quantités ,  savoir,  le  nomlHre 
des  observations ,  la  somme  des  carrés  des  coefficiens  de  l'incon- 
nue, dans  les  équations  partielles,  et  la  circonférence  dont  le  rayon 
çst  ruoité. 

k 


yGootjlc 


\xsir  INTRODUCTION. 

Il  eat  fiicile  de  voir  que  si  l'on  élève  au  carré,  l'espreaMonde 
.  l'erreitr  de.  chaque  mesure ,  tirée  de  l'équation  partielle  correspon- 
dante j  si  l'on  rend  ensuète,  un  minimum,  la  sommé  de  ces  car- 
rés, en  y  feisant  varier  l'inconnue  ;  l'équation  du  minimum  donnera 
pour  cette  inoonnoe ,  la  valeur  précédente. 

Dans  un  grand  noDai>re  de  cas,  et  spécialement  en  astronomie, 
les  élémens  que  Vod  vent  déterminer,  aoot  d^  connus  à  fort  peu 
près,  et  n'ont  besoin  que  de  légères  corrections  que  l'on  dierdie 
à  obtenir  pîrr  ilm — tk^ni—ntimn  noTTibrrmrn  et  précises.  Pour  cela» 
on  regarde  chaque  observation,  comme  une  fonction  des  élémens. 
En  substituant  dans  cette  fonction ,  la  valeur  aj^rochée  de  chaque 
élément,  plus  sa  correction  considérée  comme  une  inconnue;  en 
développant  ensuite,  la  fonction,  dans  une  série  ordonnée  par 
rapport  aux  puissances  et  aux  prodiùts  de  ces  inconnues ,  et  négli- 
geant, vu  leur  petitesse,  les  carrés  et  ces  produits;  enfin,  en  égalant, 
la  série ,  à  l'obsenratioa  dhniDuée  de  son  «reur  ;  on  forme  une 
équation  du  premier  deg^é  entre  ces  inconnues.  C'est  ce  que  l'on 
nomme  équation  de  œTidition.  ■  On  combine  ensuite  ces  équations 
<le  XM>adilion,  de  manière  à  les  réduire  à  un  nombre  d'équations 
finales,  égal  à  celui  des  inconnues.  La  résolution  de  ces  éqpationa 
donne  les  valeurs  des  inconnues,  ou  les  corre'ctioQS  des  divers 
-élémens. 

J^  manière  la  plus  générale  de  former  ces  équations  finales,  con- 
siste à  nuiltiplio'  chacune  des  équ^ions  de  condition,  par  un 
facteur  indéterminé  :  la  somme  de  ces  produits ,  en  y  supposant 
nul,  tout  ce  qui  est  relatif  aux  erreurs  des  observatiMis,  donnera 
une  {»%mière  équation  finale.  Un  second  système  de  facteurs  don- 
nera une  seconde  équation  finale,  et  ainsi  des  autres.  L'analyse 
des  fonctions  génératrices  donne  l'expression  de  l'erreur  moyenne 
à  craindre  sur  la  correction  de  chaque  élémeilt,  obtenue  par  la 
résolution  d^ces  équations  finales.  Si  l'on  détermine  les  facteurs, 
par  la  condition  que  chacune  de  ces  expresuons  soit  un  minimum; 
on  trouve  que  le  premier  système  de  fecteurs  est  formé  des  coeflfi- 
-dens  de  la  premi^  inconnue,  dans  chaque  équation  de  condition; 
•que  le  second  système  est  formé  des  Coeffîciens  de  la  seconde  in- 
connue; etc.^  d'où  il  est  £icile  de  conclure  que  les  correctlpns  des 


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INTRODUCTION.  bar 

élànens,  les  plus  aTantageuses ,  sont  généralement,  comme  dans 
le  cas  d'une  seule  variable,  celles  que  l'on  obtient ,  lorsqu'on  rend 
un  minimurà,  la  somme  Jes  carrés  des  erreurs  de  chaque  obser- 
vation ,  en  y  Ëtisant  varier  successivement  les  corrections  incon- 
nues. iDans  ce  cas  général ,  l'analyse  donne  l'expression  de  l'erreur 
moyenne  à  craindre  encore  sur  chaque  élément;  mais  quoique 
très-simple,  cette  expression  ne  peut  pas  être  comprise  sans  le  se- 
cours de  l'algèbre. 

Nous  avons  supposé  fort  grand,  le  nomla^-J**  wtoservations; 
et  la  règle  précédente  est  d'autant  plus  exacte ,  que  ce  nombre 
est  plus  coDsidéraUe.  Mais  dans  le  cas  même  oà  U  est  petit,  il  pa- 
raît naturel  d'employer  la  même  règle  qui  dans  tous  les  cas,  offre 
un  moyen  simple  d'obtenir  sans  tâtonnement ,  les  correcttons  que 
Von  cherche  à  déterminer. 

Cette  règle  peut  servir  encore  à  comparer  la  prédnon  de  diverses 
tables  astronomiques  d'un  même  astre.  Cee  tables  peuvent  tou- 
jours être  supposées  réduites  k  la  même  forme,  et  alors  ettes  ne 
difièrent  que  par  les  époques,  les  moyens  monremens,  etlescoeffî- 
dens  desargumeusjcar  si  l'une  d'elles  contient  un  argom^it  qui 
ne  se  trouve  point  dans  les  autres ,  il  est  clair  que  cela  revient 
à  supposer  nul  dans  celles-ci,  le  coefficient  de  cet  argument.  Main- 
tenant, si  l'on  rectifiait  ces  tables,  en  les  comparant  à  la  totalité  des 
bonnes  observations;  elles  satisferaient,  par  ce  qui  précède,  à  la 
condition  que  la  somme  des  carrésdes  erreurs SMton minimum; 
les  tables  qui  comparées  à  un  nombre  considérable -d'observa- 
tions, approchent  le  plus,  de  cette  condition,  méritent  donc  la  préfé- 
rence. 

Des  Tables  de  mortalité ,  et  des  durées  moyennes  de  la  vie, 
des  mariages  et  des  associations  quelconques. 

La  manière  de  former  les  tables  de  mortalité,  est  très-simple. 
On  prend  sur  les  registres  des  naissances  et  des  morts,  un  grand 
nombre  d'enlbns  que  l'on  suit  pendant  le  cours  de  leur  rie ,  en 
déterminant  combien  il  en  reste  à  la  fin  de  chaque  année  de  leur 
âge ,  et  l'on  écrit  ce  nombre  ris-à-vis  de  l'année  finissante.  Mais 


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Ixsv)  INTRODUCTION. 

coDune  dans  les  deux  premières  aimées  de  la  vie,  la  mortalité  est 
très-rapide;  ilÊtutpoiir  plus  d'exactitude,  indiquer  daus  ce  premier 
âge,  le  nombre  des  survivans  à  la  fin  de  chaque  demi-amiée. 

Si  ron  divise  la  somme  des  années  de  la  vie  de  tous  les  indÎTidus 
inscrits  dans  une  table  de  mortalité,  par  le  nombre  de  ces  indtridus, 
et  si  de  ce  quotient,  on  soustrait  une  demi-année  j  on  aura  la  durée 
moyenne  de  la  vie,  que  l'on  trouve  ainsi  de  vingtrbuit  ans  et  demi 
à  peu  prés.  Cette  soustraction  ne  doit  avoir  lieu ,  que  dans  le  cas 
où  la  taDie  uTpdkp^o  rniotUe^BgBlbrg  des  vitans  à  la  fin  de  la  jare- 
miére  demi  -  année  :  elle  est  fondée  sur  ceque  la  mortalité  pou- 
vant être  supposée  unifi>rmément  répandue  sur  la  première  année; 
la  partie  de  la  durée  moyenne  de  la  vie,  correqwndaate  à  cette 
année,  n'est  que  la  moitié  de  celle  qui  aurait  fieu^  si  la  mort 
ne  fi*appait  les  individus  qu'à  ki  fin  de  l'année.  La  durée  moyenne 
de  ce  qui  reste  encore  à  vivre,  lorsqu'on  est  parvenu  à  un  âge 
4]ueIconque,  se  détemùno  ea~&lsant  une  somme  des  années  qu'ont 
vécu  au-delà  de  cet  âge ,  tous  tes  individos  qui  l'ont  atteint;  en  la 
divisant  par  le  nombre  de  ces  individus ,  et  en  retranchant  une 
demi-amiée ,  de  ce  quotient.  Ce  n'est  point  au  moment  de  la  nais- 
sance ,  que  la  durée  moyenne  de  la  vie ,  est  la  plus  grande;  c'est 
lorsqu'on  a  échappé  aux  dangers  de  la  première  én&nce,  et  alors 
elle  -est  d'environ  quarante -trois  ans.  La  probabilité  d'arriver  à 
liD  âge  quelconque ,  cq  partant  d'an  âge  donné ,  est  égale  au  rap- 
port des  deux  nonokres  d'individus  indiqués  dans  la  table  ^  à  ce^ 
deux  âges. 

La  précision  de  ces  résultats  exige  que  pour  la  formation  des 
tables ,  on  emploie  un  très-grand  nombre  de  naissances.  L'analyse 
donne  alors  des  formules  très-simples  pour  apprécier  la  probabilité 
que  les  nombres  indiqués  dans  ces  tables  ne  s'écarteront  de  la 
vérité,  que  dans  d'étrrates  limites.  On  voit  par  ces  ËH'mules,  que 
l'intervalle  des  limites  diminue ,  et  que  la  probabilité  augmente  , 
à  mesure  que  l'on  considère  phis  de  naissances;  ensorte  que  les 
tables  représenteraient  exactement  la  vraie  loi  de  la  mortaUté ,  si 
lé  nombre  des  naissances  employées  devenait  infini. 

Une  table  de  mortalité  est  donc  une  table  des  probabilités  de 
la  vie  humaine.  Le  rapport  des  individus  inscrits  à  côté  de  chaque 


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INTRODUCTION.  ïxxvij 

année  ^  au  nombre  des  naissancea ,  est  ta  probalùlité  qu'un  nouveau- 
né  atteiodra  cette  année.  Comme  on  estime  la  Talenr  de  Tespé- 
rance ,  en  Ëdsant  une  somme  des  produits  de  chaque  bien  espéré 
par  la  probabilité  de  l'obtenir;  on  peut  «gaiement  évaluer  la  durée 
moyenne  de  la  vie ,  en  ajoutant  tes  produits  de  chaque  année 
parla  probîibilité d'y  arriver.  Ainsi  en  formant  une  suite  ^fractions 
dont  le  dénominateur  conmiun  est  le  nombre  des  nouveau -nés 
de  la  table,  et  dont  les  numérateurs  sont  les  nombres  inscrits 
à  côté  de  chaque  année  j  la  somme  de  toiit»»  -^ica  ïractîons  sera 
la  durée  moyenne  de  la  vie,  dont  il  &ut  pour  plus  d'exactitude, 
retrancher  une  demi-année;  ce  qui  conduit  au  même  résultât  que 
la  règle  précédente.  Biais  cette  manière  d'envisager  la  durée 
moyenne  de  la  vie,  a  l'avantage  de  feire  voir  que  dans  une  popu- 
lation stati(Hmaire,  c'est-à-dire  telle  que  le  nombre  des  naissances 
^ale  celui  des  morts  ;  la  durée  moyenne  de  la  vie  est  le  rapport 
même  de  la  population  aux  naissantes  anoudles;  car  la  pc^ulation 
étant  supposée  stationnaire ,  te  nombre  des  individus  ^on  âge 
c{»npris  entre  deux  années  ccMisécutives  de  la  table,  est  égal  au 
nombre  des  naissances  annuelles ,  multiptié  par  la  demi  -  somme 
des  probabilités  d'atteindre  ces  années;  la  somme  de  tous  ces  pro- 
duits sera  donc  la  population  entière  ;  or  il  est  aisé  de  voir  que 
cette  somme  divisée  par  le  nombre  des  naissances  annuelles  , 
coïncide  avec  la  durée  moyenne  de  la  vie ,  telle  que  nous  venons 
de  la  défîoir. 

Il  est  facile  au  moyen  d'une  table  de  mortalité ,  de  former  la  table 
correspondante  de  la  population  supposée  stationnaire.  Four  cela, 
on  prend  des  moyennes  arithmétiques  entre  les  nombres  de  la  table 
de  mortahté  coirespondans  aux  âges ,  zéro  et  un  an,  un  et  deux 
ans ,  deux  et  trois  ans,  etc.  La  somme  de  toutes  ces  moyennes 
est  ta  populatioa  entière  :  on  l'écrit  à  cdté  de  l'âge  zéro.  On  re- 
tranche de  cette  sonune ,  la  première  moyenne;  et  W  reste  est 
ta  nombre  des  individus  d'un  an  et  au-dessus  :  on  l'écrit  à  càté  de 
l'année  i.  On  retranche  de  ce  premier  reste,  la  seconde  moyenne; 
ce  second  reste  est  le  nombre  des  individus  de  deux  années,  et 
au-dessus  :  on  l'écrit  à  côté  de  l'année  a  ;  et  ainsi  de  suite. 
Tant  de  causes  variables  influent  snr  la  mortalité,,  que  les  table» 


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Ixxviij  INTRODUCTION. 

qui  la  représentent ,  doivent  changer  suivant  les  lietix  et  les  temps: 
Les  divers  états  de  la  vie  offrent  à  leur  égard ,  des  difierences 
sensibles  relatives  aux  fetigues  et  aux  dangers  inséparables  de 
chaque  état,  et  dont  il  esb  indispensable  de  tenir  compte  dans  les 
calculs  Kmdés  sur  la  durée  de  la  vie.  Mais  ces  différences  n'ont 
pas  encore  été  sufibaroment  observées.  Elles  le  seront,  un  jour; 
alors  on  saura  quel  sacrifice  de  la  vie ,  chaque  profession  exige , 
«t  l'on  profitera  de  ce»  connaissances ,  pour  en  diminuer  les 

dangers.  " 

l  salubrité  plus  on  moins  grande  du  sol ,  sa  température ,  les 
mœurs  des  habitans ,  et  les  opérations  des  gouvcrnemens  ont  sur 
la  mortalité ,  une  inânence  considérable.  Mais  il  faut  toujours  Mre 
précéder  la  recherche  de  la  cause  des  diffêrences  observées,  par 
celle  de  la  probabilité  avec  laquelle  cette  cause  est  indiquée.  Ainsi 
le  rapport  de  la  population  aux  naissances  axmuelles ,  que  l'on  à 
vu  s'élever  en  Fra»©©f  ir  vingt-huit  et  un  tiers,  n'est  pas  égal  a 
vingtnnnq  dans  l'ancieii  duché  de  Milan.  Ces  rapports  établis  l'un 
et  l'autre,  sur  un  grand  flombre  de  naissances,  ne  permettent  pas 
de  révoquer  en  doute,  l'existence  dans  le  Milanais,  d'une  cause 
spéciale  de  mortalité,  qu'il  importe  au  gouvernement  de  ce  pays , 
de  rechercher  et  de  faire  disparaître. 

.  Le  rapport  de  la  population  aux  naissances  s'accro^àit  encore, 
8Î  l'on  parvenait  à  diminuer  ou  à  éteindre  quelques  maladies  dan- 
gereuses et  trés-répandues.  C'est  ce  que  l'on  a  &it  beureasement 
pour  la  petite  vérole,  d'abord  par  l'inoculation  de  cette  maladie; 
ensuite  d'une  manière  beaucoup  plus  avantageuse ,  par  l'inoculation 
de  la  vaccine ,  découverte  inestimable  de  Jenner  qui  par  là  s'est 
rendu  l'un  des  plus  grands  bienfaiteurs  de  l'humanité. 

La  petite  vérolea  cela  de  particulier,  savoir  que  le  même  individu 
n'en  est  pas  deux  fois  atteint,  ou  du  moins,  ce  cas  est  si  rare, 
que  l'on  peut  en  Mre  abstraction  dans  le  calcul.  Cette  maladie 
à  laquelle  peu  de  monde  échappait  avant  la  découverte  de  la 
■  vaccine,  est  souvent  mortelle  et  feit  périr  un  septième  de  ceux 
qu'elle  attaque.  Quelquefois,  elle  est  bénigne,  et  l'expérience  a  fait 
connaître  qu'on  lui  donnait  ce  dernier  caractère,  en  l'inoculant 
wr  des  personnes  saines ,  préparées  par  un  bon  régime,  et  dans 


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INTRODUCTION.  Indi 

One  saison  favorable.  Alors  le  rapport  des  indiWdiis  qu'elle  Êùt 
périr,  aux  iaoculés,  n'est  pas  uo  trc^-cendème.  C6  grand  avantage 
de  rinoculatioa ,  joint  à  ceux  de  ne  point  altérer  la  beauté,  et  de 
préserver  des  suites  fâdieuses  (pie  la  pedte  vérole  naturelle  en- 
traîne souvent  après  elle ,  la  fit  adopter  par  un  grand  nombre  dé 
perscxines.  Sa  pratique  fat  vivement  recommandée;  mais  ce  qui 
arrive  presque  tocqours  dans  les  cboses  sujettes  â  des  inconvéniens, 
elle  fiit  vivement  combattue.  Au  milieu  de  cette  dispute ,  T>aiuel 
BempuUi  se  proposa  de  sonmefirp  <u»<mJ<»ii1  des  probabilités,  Tin- 
floeDo«  de  l'inoculation  sur  la  durée  moyenne  de  la  vie.  Manquant 
de  données  précises  sur  la  mortalité  produite  par  la  petite  vérole, 
aux  divers  âges  de  la  vie  ;  il  supposa  que  le  danger  d'avoir  cette 
maladie  et  celui  d'en  périr,  sont  les  m^es  à  tout  âge.  Au  ipoyen 
de  ces  suppoeidons,  il  parvint  par  tme  analyse  délicate,  à  convertir 
une  table  ordinaire  de  mortalité,  dans  celles  qui  auraient  lieu, 
«d  la  petite  vérole  n'existait  pas,  ou  si  elle  ne  tàifiait  périr  qu'un 
très-petU  nombre  de  malades;  et  il  en  conclut  qiic  l'inocula- 
tion augmrait«rait  de  trois  ans  au  moins ,  la  durée  moyenne  de 
la  vie;  ce  qui  lui  parut  mettre  hors  de  doute  ,   l'avantage   de 
cette  opération.  IVAlembert  attaqua  l'analyse  de  Bernoulli,  d'abord 
sur  l'incertitude  de  ses  deux  hypothèses;  ensuite,  sur  son  tnsufïi- 
sance,  en  ce  que  Ton  n'y. fêdsait  point  entrer  la  comparaison  du 
danger  prot^lain  quoique  très-petit,  de  périr  par  l'inoculation,  au 
danger  beaucoup  plus  grand ,  mais  plus  éloigné ,  de  succomber  à 
la  petite  vérole  naturelle.  Cette  considération  qui  di^ralt,  lorsque 
Ton  considère  un  grand  nombre  d'individus,  est  par  là,  îndifiërente 
aux  gouvernemens ,  et  laisse  subsister  pour  eux ,  les  avantages 
de  l'inoculation;  mais  elle  est  d'un  grand  pmds  pour  un  père  de 
Ëimille  qui  d(ât  craindre,  en  faisant  inoctder  ses  en&ns  ,  de  voir 
bientôt  périr  ce  qu'il  a  de  plus  cher  au  monde,  et  d'en  être  cause. 
Beaucoup  de  parens  étaient  retenus  par  cette  crainte ,  que  la  décou- 
verte de  la  vaccine  a  heureusement  dissipée.  Parundeces  mystères 
que  la  nature  nous  offre  si  fréquemment,  le- vaccin  est  un  préser- 
Tatif  de  la  petite  vérole ,  aussi  sûr  que  le  virus  variolique ,  et  il 
n'a  aucun  danger  :  il  n'expose  à  aucune  maladie ,  et  ne  demande 
que  très-peu  de  soins.  Aussi  sa  pratique  s'est-elle  promgtement  ré- 


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kn  INTRODUCTION. 

]^£mdue ,  et  pour  k  rendre  uDirerselle ,  il  ne  reste  plus  à  vatncni 
qiié  l'inertie  Datnretle  du  peuple ,  contre  laquelle  il  ikut  lutter  sans 
cesse,  même  lorsqu'il  s'agit  de  ses  pluscfaers  intérêts. 

Lemoyeuleplussimple  de  calculer  l'avaDtage  que  produirait  Tex- 
tinctioD  d'une  rnsdadie,  cousue,  à  déterminer  par  robservation , 
le  nombre  d'individus  d'un Jïge  donné-,  qu'elle  fait  périr,  chaque 
année ,  et  à  le  retrancher  du  nombre  des  morts  au  même  âge. 
Le  rapport  de  la  différence ,  au  nombre  total  d'individus  de  l'âge 
donné ,  serait  la prOtedritité^U-pôrir  à-cp±  âge^  sila maladie  n'existait 
pas.  En  &isant  donc  une  sonune  de  ces  probabilités  depuis  la  nais- 
sance jusqu'à  un  âge  quelconque,  et  retranchant  cette  somme  de 
l'unité;  le  reate-sera  la  probabilité  de  vivre  jusqu'à  cet  âge,  cor- 
respondante à  Textinction  de  la  maladie.  La  série  de  ces  proba- 
bilités sera  la  table  de  mortalité ,  relative  à  cette  hj^othèse  ;  et 
l'on,  en  conclura  par  ce  qui  précède,  la  dorée  moyenne  de  la  vie. 
C'est  ainsi  que  Ihirilard  a  trouvé  l'accroissement  de  la  durée 
moyenne  .de  la  vie,  dû  à  l'inoculation  de  ta  Vaccine,  de  trois  ans 
au.  moins.  Un  accroissement  aussi  considérable  en  produirait  un 
fort  grand  dans  la  population ,  si  d'ailleurs ,  elle  n'était  pas  restreinte 
par  la  diminution  relative  des  subsistances. 

Cest  principalement  par  le  défaut  des  subsistances ,  que  la 
marche  progressive  de  la  population  est  arrêtée.  Dans  toutes  les 
espèces  d'animaux  et  de  végétaux  ,  la  nature  terid  sans  cesse 
à  augmenter  le  nombre  des  individus,  jusqu'à  ce  qu'ils  soient  au 
niveau  des  moyens  de  subsister.  Dans  l'espèce  humaine ,  les  causes 
morales  ont  une  grande  influence  sur  la  population.  Si  le  sol, 
par  de  feciles  défrichemens,  peut  fournir  une  nourriture  abondante 
à  des  générations  nouvelles;  la  certitude  de  &ire  vivre  une  nom- 
breuse famille,  encourage  les  mariages,  et  les  rend  plus  précoces 
et  plus  féconds.  Sur  un  sol  pareil ,  la  population  et  les  subsis- 
tances doivent  croître  à-la-fois  en  progression  géométrique.  Mais 
quand  les  défrichemens  .  deviennent  plus  difficiles  et  plus  rares  ; 
alors  l'accroissement  de  la  population  diminue  :  elle  se  rapproche 
continuellejnent  de  l'état  variable  des  subsistances ,  en  Ëiisant  au-!- 
tour  de  lui ,  des  oscillations ,  à  peu  près  comme  un  pendule  dont 
00 promène  d'un  mouyemeat  retardé,  lepoiat  de  suspension,  oscille 


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INTRODUCTION.  box) 

atitoar  de  ce  point,  par  sa  pesaiiteifr.  Il  est  difficile  d'éraluer  le 
maximum  d'accroissement  de  la  population  :  il  paraît  d'après 
quelques  obserrations ,  que  dans  de  ferorables  cirooDstances,  la 
population  de  Teapéce  humaine  pourrait  doubler,  tous  les  quinze 
ans.  On  estime  que  daos  l'Amérique  septentrionale,  la  période 
de  ce  doublement  est  de  vingt-cinq  années. Dans  cet  état  de  choses, 
la  population  ;  les  naissances ,  les  mariages ,  la  mortalité,  tout  crott 
suivant  la  même  prc^ression  géométrique  dont  on  a  le  rapport 
constant  des  termes  consécuti& ,  par  l'observation  des  naissances 
annuelles  à  deux  époques. 

Une  table  de  mortalité,  représentant  le.3  probabiUtés  de  la  via 
humaine  ;  on  peut  déterminer  à  son  moyen ,  la  durée  des  mariages. 
Supposons  pour  simplifier ,  que  la  mortalité  soit  la  même  pour 
les  deux  sexes  3  tm  aura  la  proliabilité  que.Ic  mariage  subsistera 
DU  an,  ou  deux,  ou  trois,  etc.;  en  fora^ant  une  suite  de  fractions 
dont  le  dénominateur  commun,  est  le  produit  des  deux  nombres 
de  la  table,  correspondans  aux  âges  des  conjoints,  et  dont  les 
numérateurs  sont  les  produits  successif  des  nombres  corres- 
pondans à  ces  âges  augmentés  d'une  année ,  de  deux ,  de  trois,  etc. 
La  somme  de  ces  fractions,  augmeutée  d'un  demi,  sera  la  durée 
moyenne  du  mariage ,  Tannée  étant  prise  pour  muté.  U  est  faciift 
d'étendre  la  même  règle,  à  ta  durée  moyenne  d'une  association 
formée  de,  trois  ou  d'un  plus  grand  nombre  dlndividus. 

Des  béTié^ces  et  des  établissemens  qui  dépendent  de  la 
probabilité  des  évérièmeTw. 

Rappelons  ici  ce  que  nous  avons  dit  en  parlant  de  l'espérance. 
On  a  vu  que  pour  avoir  l'avantage  qui  résulte  de  plusieurs  évé- 
nemens  simples,  dont  les  uns  produisent  un  bien,  et  les  autres 
une  perte;  Û  fitut  ajouter  les  produits  de  la  probabilité  de  chaque 
événement  fevorable,  par  le  bien  qu'il  procure,  et  retrancher  de 
leur  somme,  celle  des  produits  de  la  probabilité. de *chaque  évé- 
nement défavorable,  par  la  perte  qui  y  est  attachée.  Mais  quel 
que  soit  l'avantage  exprimé  par  la  diflerence  de  ces  sommes,  un 
seul  événement  composé  de  ces  éTéuemens  simples,  ne  garantit 

l 


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lixxii  IMTKODIICnON. 

pœnt  de  ia  crainte  d'^oaTin*  ud«  perte  réelle.  On  conçoit  qne 
oettè  crainte  doit  diminiier  lorsque  l'on  mulUp!»  révénement  cool- 
posé.  L'analyse  des  probabilités  conduit  à  ce  tbéorème  gâwrd. 

Par  la  répétition  d'oc  évéDement  avantageiix,  simple  ou  coaoposé, 
le  bénéficc^réel  devieiU  de^hiscn  plus  probable,  et  s'accroil  sans 
cesse  :  il  devient  certain,  ^ms  l'hypothèse  d'an  nombre  isfim  de 
répétitions  j  et  en  le  diTnant  par  ce  ncMufare,  le  quotient  ou  le 
bénéfice  moyen  de  chaque  événemânt,  tst  l'espéruice  malhéma-  ~ 
tiqne  eUe-méme,  ou  l'avantage  relatif  à  révénement.  II  en  est  de 
même  de  la  perte  qui  devient  certaine  à  la  longue ,  pcwr  peu  que 
FévéoeDiem  soit  désavantageux. 

Ce  théorème  sur  les  bénéfioes  et  les  pertes,  est  analogue  à  ceux 
'  que  noua  avons  donnés  précédemment  sur  les  rappwts  qu'indique 
la  répétkioa  iqdéfinie  des  évéoenM»»  «ùnples  ou  con^osés;  et 
comme  éux^  il  {O-ouve  qoe  la  régularité  finit  par  s'établir  dans  les 
choses  même,  les  plus  subordonnées  à  ce  que  nous  nommons 
hasard. 

Lorsque  les  événâneos  sont  en  grand  nombre,  l'amdyse  donne 
encore  une  expression  fort  simple  de  la  probalùhté  que  le  bénéfice 
réel  sera  c(»npris  dane  des  limites  déterminées^  expressitm  qui 
rentre  dans  la  loi  générale  de  ta  probabilité,  que  nous  aroi»  donnée 
d-dessus,  en  parlant  des  ^(dubikés  qui  résultent  de  la  xnoltqiGcatiott 
indéfinie  des  événemens. 

C'est  de  la  vérité  du  théorème  précédent ,  que  dépend  la  stabilité 
des  étaUissemens  fondés  sur  les  probabilités:  Mais  pour  qu'il  puisse 
leur  être  appliqué ,  il  faut  que  ces  établissauems ,  par  de  nombreuses 
aS^es,  multiplient  les  événemens  avantageux. 

On  a  fondé  sur  les  probabilités  de  la  vie  humaine ,  divers  éta- 
blissemens,  tels  que  les  roites  viagères  et  les  tontines.  La  méthode 
la  plus  géuârale  et  la  plus  simple  de  calculer  les  bénéfices  et  les 
charges  de  ces  établiasemens,  consiste  à  les  réduire  en  capitaux 
actuels.  L'intérêt  annuel  de  l'unité,  est  ce  que  l'on  nomme  taux 
de  l'intérêt  A  la  fin  de  chaque  année,  un  capital  acquiert  pour 
Ëictear,  l'unité  plus  le  taux  de  l'intérêt;  il  croit  donc  suivant  une 
progression  gécnnétri^e  dont  ce  &cteur  est  la  raison.  Ainsi  par 
reffet  du  temps,  il  devient  immense.  Si ,  par  exemple ,  le  taux  de 


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INTRODUCTION.  Ixniij 

Intérêt  est  -^  on  de  cinq  pour  cent^  le  capital  double  à  fort  peu 
près  en  quatorze  ans ,  quadruple  en  vingt-neuf  ans,  et  dans  moin» 
de  trois  siècles ,  il  devient  denx  millions  de  fois  plus  considérable. 

Un  accroissement  aussi  prodigieux  a  fott  naître  lldée  de  s'en 
secrir,  pour  amortir  la  dette  publique/ Si  l'on  crée  on  premier 
fonds  d'amortissement  que  foa  pkce  sans  cesse  avec  les  mtârêts , 
sur  les  eâèts  publics ,  en  profitant  surtout  des  monMns  de  baisse }  et 
si,  lorsque  les  beeraus  de  l'état  ol^cnt  à  lare  des  emprunts,  <m  eo 
coDsaore  me  partie ,  à  Taccrcrise^Dent  du  fonds  d'amortissement; 
il  est  visible  qœ  ces  (^tërations  auront  te  double  avantage  â*acr 
croître  ce  fi»ids,  et  de  soutemr  le  cré£t  el  les  efi^  publics;  et  qu'à 
hi  longue,  la  caisse  d'amortissement  absorbera  une  grande  partie 
de  la  dette  nationale.  lyheureuses  ^q)^ienees  ont  pleizwment  c(hi- 
firmé  ces  avantages.  Mais  la  Diaéttié'dni»l«&  ong^eoiaena  et  la  sta- 
bilité ,  si  nécessaires  au  succès  de  pareils  étaUisscmens,  ne  peuvent 
être  bien  garanties ,  que  par  im  gouvernement  représentatif. 

Il  résuUe  de  ce  qui  précède ,  que  le  capital  actort  équiv^ent  à 
œie  somme  qui  ne  doit  être  payée  qt^aprèa  un  certain  Bonobre  d'an- 
nées, est  égala  cette  somme  multi{Âée  parla  probabilité  qu'elle  sera 
pa7«eà  cette  époque,  et  divisée  parl'nnit»ai^meBtéeda  tauxde  l'iit- 
tcrél ,  élevée  à  une  puissance  exprimée  par  le  nombre  de  ces  années. 

n  est  facile  d'^>pliquer  ce  princ^,  a»x  rentes  viagères  sur  une 
oa  plusieurs  têtes,  et  aux  caisses  d'épargne  et  d'assurance  d'une 
aatoiv  quelconque.  Supposons  que  l'on  se  pnqwse  de  former  une 
table  de  rentes  viagères,  d'après  une  table  donnée  de  mortalité. 
Une  rente  vif^ère  payable  «n  bout  de  cinq  ans,  par  exemple , 
et  réduite  ea  capital  actuel,  est  par  ce  principe,  é^de  au  produit 
des  denx  quantités  suivantes ,  savoir ,  la  rente  divisée  par  la  cin- 
quième puissance  de  l'unité  augmentée  dn  taux  de  llntérét»  et  la 
probabilité  de  la  payer.  Cette  probabilité  est  le  rapport  inverse  àa 
nomlav  des  individus  inscrits  dabs  la  table,  ris-à-vis  de  l'âge  de 
celui  qm  constitue  la  rente-,  au  nombre  inscrit  vis-À-vis  de  cet 
Age  augmenté  de  cinq  années.  En  formant  donc  une  suite  <ki 
inactions  dMit  les  dénominateurs  sont  les  produits  du  nomlffe 
de  personnes  indiquées  dans  la  table  de  mortalité,  comme  vivantes 
à  Fâge  ^  cebi  qui  ocmstitue  la  rente,  par  les  puissances  succès- 


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Jbxxir  ÏNTRODXJCnON. 

sires  de  Tunité  augmentée  du  taox  de  l'intérêt,  et  dont  les  numé- 
rateurs sont  les  produits  de  la  rente ,  par  le  nombre  des  personnes 
virantes  au  même  âge  augmenté  successivement  d'une  année,  de 
deax  années ,  etc. ,  la  sonmie  de  ces  fractions  sera  le  capital  requis 
pour  la  rente  viagère  à  cet  âge.  ^ 

Supposons  maintenant  qu'une  personne  veuille,  au  moyen  d'une 
rente  viagère,  assurer  à  ses  héritiers,  un  capital  payable  à  la  fin 
de  l'année  de  sa  mort  Poiu*  déterminer  la  valeur  -de  cette  rente , 
on  peut  imaginer  que  la  personne  emprunte  en  viager  à  une  caisse, 
ce  capital  divisé  par  l'unité  augmentée  du  tauxjle  l'intérêt,  et  qu'elle 
le  place  k  intérêt  perpétuel  à  la  même  caisse.  H  est  clair  que  ce 
capital  sera  dû  par  la  caisse,  à  ses  héritiers,  à  la  fin  de  l'année  de 
sa  mort  ;  mais  elle  n'aura  payé ,  chaque  année ,  que  l'excès  de  l'intérêt 
viager  sur  l'intérêt  pprpétii«l.  Im  iahh  des  rentes  viagères  Ëiit  donc 
connaître  ce  que  la  p^sonne  doit  payer  annuellement  à  la  caisse, 
pour  assurer  ce  capital  après  sa  mort. 

Les  assurances  maritimes ,  celles  contre  les  incendies  et  les 
orages ,  et  généralement  tous  les  étahlissemens  de  ce  genre ,  se 
calculent  par  les  mêmes  principes.  Un  négociant  a  des  vaisseaux 
en  mer,il  veut  assurerl'eur  valeur  et  ceUe  de  leur  cargaison,  contre 
les  dangers  qu'ils  peuvent  courir  :  pour  cela  il  donne  une  somme 
à  une  compagnie,  qui  lui  répond  de  la  valeur  estimée  de  ses  car- 
gaisons et  de  ses  vaisseaux.  Le  rapportde  cette  valeur  à  la  somme 
qui  doit  être  donnée  pour  prix  de  l'assurance,  dépend  de^dapgers 
.auxquels  les  vaisseaux  sont  exposés ,  et  ue  peut  être  apprécié  que 
par  des  observations  nombreuses  sur  le  sort  des  vaisseaux  partis 
du  port  pour  la  même  destination. 

Si  l'assureur  ne  donnait  à  la  compagnie  d'assurance,  qoe  la  somme 
indiquée  paj:  le  calcul  des  probabilités ,  cette  compagnie  ne  pourrait 
pas  subvenir  aux  dépenses  de  son  établissement  ;  il  faut  donc  qu'il 
paie  d'une  somme  plus  forte,  le  prix  de  son  assurance.  Mais  alors 
quel  est  son  avantage  ?  C'est  ici  que  la  ccmsidération  de  l'espé- 
rance morale  devient  nécessaire.  On  conçoit  que  le  jeu  le  plus 
égal  devenant ,  çonmie  on  l'a  vu  précédemment ,  désavantageux , 
parce  qu'il  échange  une  noise  certaine ,  contre  im  bénéfice  inceis 
;ainj  l'assurance  par  laquelle  on  échange  l'incertain  contre  le  ceiT 


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INTROBUCTÏON.  hxxv 

tain ,  doit  être  avantageuse.  Cest.en  effet,  ce  qui  réBuUe  de  la 
règle  que  nous  ayona  donnée  ci-dessus  pour  déterminer  l'espérance 
morale ,  et  par  laquelle  on  voit  de  plus  jusqa'où  peut  s'étentire  ie 
sacrifice  que  l'on  doit  faire  à  la  compagnie  d'assurance ,  en  conser- 
vant toujours  un  avantage  moral.  Cette  compagnie  peut  donc  ea 
procurant  cet  avantage,  Mre  elle-même  un  grand  bénéfice,  si  le 
nombre  des  assureurs  est  très-considérable ,  condition  nécessaire 
à  son  existence  durable.  Alors  son  bénéfice  devient  certain,  et 
ses  espérances  mathématique  et  morale  coïncident.  Cat  l'analyse 
conduit  à  ce  théorème  général ,  savoir ,  qae  si  les  expectatives  sont 
très-nombreuses,  les  deux  espérances  approdient  sans  cesse  l'une 
de  l'autre,  et  finissent  par  coïncider  dans  le  cas  d'un  nombre  infini 
d'expectatives. 

Parmi  les  établissemens  fon<Ks  "sur  Ica  probabilité  de  la  vie 
humaine  ^  les  plus  utiles  sont  ceux  dans  lesquels ,  au  moyen  d'un 
léger  sacrifice  de  son  revenu,  on  assure  l'existence , de  sa  iàmille 
pour  \m  temps  où  l'on  doit  craindre  de  ne  plus  suffire  à  ses  be- 
soins. Autant  le  ieu  est  immoral ,  mutant  ces  établissemens  sont 
avantageux  aux  mœurs ,  en  favorisant  les  plus  doux  penchant  de 
la  nature.  Le  Gouvernement  doit  donc  les  eocourager  et  les  res- 
pecter dans  ses  vicissitudes;  car  les  espérances  qu'ils  présentent, 
portant  sur  un  avenir  éloigné ,  ils  ne  peuvent  prospi^er  qu'à  Tabrî 
de  toute  inquiétude  sur  leur  durée. 

pisons  un  mot  des  emprunts.  Il  est  clair  que  pour  em^iuiter 
^D  perpétua ,  il  Ëtot  payer ,  chaque  année ,  le  produit  du  capital 
par  le  taux  de  llntérêt.  Mais  on  peut  vouloir  acquitter  ce  capital, 
en  paiemens  égaux  Ëûts  pendant  un  nombre  déterminé  d'années, 
paiemena  que  l'on  Qonune  annuités ,  et  dont  on  obtient  ainsi  la 
valeur.  Chaque  annuité ,  pour  être  réduite  au  moment  actuel ,  doit 
être  «avisée  par  l'unité  au^entée  du  taux  de  l'intérêt',  et  élevée  à 
une  puissance  égale  au  nombre  des  années  après  lesquelles  on 
doit  payer  cette  annuité.  En  formant  donc  une  progression  géomé- 
trique dont  le  premier  terme  est  l'annuité  divisée  par  l'unité  aug-- 
mentée  du  taux  de  l'intérêt ,  et  dont  le  dernier  est  cette  annuité 
divisée  par  la  même  quantité  élevée  à  une  puissance  égale  au 
jiombre  des  années  pendant  lesquelles  le  paiement  doit  avoir  lieu^ 


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ixxsfi  INTRODUCTION, 

Ift  somme  de  cette  progresaion  sera  équiraleote  aa  cantal  em- 
prunté j  ce  qui  détermiae  la  valeur  de  l'aonaité.  Si  Ton  veut  Ëiîre 
BU  empnuït  viager;  on  observera  qoe  les  tables  de  rentes  viagèrei 
donnant  le  ca^t^d  reqaia  pour  constituer  une  rente  viagère ,  à  on 
âge  quelctmquej  lute  wn^lë  proportùuï  donnera  .la,  rente  que  Ton 
doit  Ëdce  à  Tiadividtt  dont  on  empnmte  un  capit^  On  peut  cal- 
citter  pair  ces  iffiatàpes,  tons  les  modes  possiUea  d'emprunt. 

Des  ittusiom  dans  l'estîmatùm  des  pro^bUités, 

L'esprit  a  ses  iOunoDS ,  comme  le  sens  de  la  vue  ;  et  de  mtoa 
que  le  toïK&er  rectifie  oeltes-ci ,  k  réflexion  et  le  calc«l  corrigent 
également  les  premières.  La  probabilité  fondée  sur  une  expérience 
joumaliÂre ,  ou  cxa^iréfs  peir  la  cramle  et  respérance,  noua  frappe 
plii»  qu'une  probcdiilité  supérieure ,  mms  qui  n'est  qu'un  simple 
résidtat  du  calcot  Amsi  nous  ne  craàgnons  pc»nt  pour  de  &ibles 
avantage»,  d'exposer  notre  vie  ,  à  des  dangers  beaiocoup  mwns 
isFVTBt9eBiiik]:>Ie&  que  la  sortie  d'un  qoine  à  la  loterie  de  France  ;  et 
cepe^9d»Tt  peg-s<mne  B«  voncïrait  se  jHrocurer  les  m^nes  avantages , 
avec  la  certitude  de  perdre  ta  rie ,  si  ce  qinne  arrivait. 

Nos  passions,  nos  préjugés,  et  les  opimons  dominantes,  en  exagé- 
rant les  pn^eltBités  qui  leur  sont  favorables,  et  en  atténuant  ks 
probabilités  contraires,  sont  des  sotarces  abondantes  d'âlusions 
dangereuses. 

Les  mata  préseos  et  la  cause  qin  les  &it  naître ,  nous  aSectent 
beaucoup^  I^os ,  qne  le  souvenir  de»  mam  produits  par  la  eanse 
contraire,  et  noiis  empéc^nt  d^ppréeier  avec  justesse,  la  proba- 
bilité des  mojens  pn^es  &  nous  préserver  des  uns  et  des  autres. 
C'est  ce  qui  porte  âttemativefnent  vers  !e  despotisme  et  versl'anar- 
cbie ,  les  peuples  stH-tis  dé  Fétat  du  repos ,  ^ns  lequel  ils  ne  rentrent 
Jamais  qu'après  de  longues  et  cruelles  agitations. 

Cette  jmpresfflon  vire  que  nous  recevons  de  la  présence  de» 
événemens ,  et  qui  nous  Imsse  à  peine  remarquer  tes  événeméns 
contrnres  obssvés  par  d'antres,  est  une  cause  principale  d'eireurs, 
dont  oa  ne  peut  trop  se  garantnr.  Noos  croyons  voir ,  par  exemple , 
Itvee  évidence ,  la  vérité  d'un  fek  attesté  pw  des  bomiaes  dont  noua. 


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INTRODUCTION.  Ixxznl 

ATons  souvent  reccAmu  la  Téracité,  surtout  lorsqu'il  est  accompagné 
de  circonstances  qui  TienneiU  à  l'appui  de  leur  témoignage ,  et  que 
nous  avons  pris  soin  de  vérifier  noiuMnêmea.  Accoutumés  à  uoas 
conduire  d'après  de  semUaUes  preuves  ,  et  n'ajant  jamais  été 
trompés  par  elles ,  nous  les  regardons  comme  inûiUiUes  ;  et 
s'il  s*agit  d'un  délit ,  nous  ne  balançons  poiut  à  condamoer  l'indi- 
vidu qu'elles  inculpent.  Cependant,  les  récits  des  Causes  célèbres 
6uffîsent  pour  nous  convaincre  que  les  preuves  morales  les  plus 
fortes  sont  tou}ours  susceptibles  d'erreurs.  Nous  devrions  donc  alors 
nous  abstenir  de  juger.  Mais  si  les  preuves  sont  telles  que  les  iacon- 
ràùens  de  Terreur  à  craindra,  multipliés  par  sa  petite  probabilité^ 
donnent  un  produit  très-inférieiu:  au  danger  qui  résulterait  de  l'im- 
punité du  crime;  le  jt^emeot  est  ctnnmaiMlé  par  Fint^t  ^  la 
société  ;  qo^^e&is  même-, -dnae  m- -dan^o- imminent,  cet  intérêt 
euge  que  le  magistrat  se  rfilÂcbe  des  forsoes  sagement  établies  pour 
la  sûreté  de  l'ionocenoe. 

Les  coïncidences  de  quelques  évéaemens  remarquables,  avec  les 
prédictions  des  astrologues ,  des  devins  et  des  augures ,  avec  les 
songes ,  avec  les  nombres  et  les  jours  répatés  heureux  ou  malheu- 
reux f  etc. ,  ont  donné  naUsance  à  une  foule  de  j^jugés  «icore 
très-répandus.  On  ne  réfléchit  pas  au  grand  nombre  de  noa- 
coïncidem^s  qui  n'ont  Ëiit  aucune  iQi{H'eBSioo,  ou  que  l'on  ignore. 
Cependant,  c'est  le-rapport  seul  des  uues  aux  autres,  qui  pejat 
donner  la  pr(±ttbilité  des  causes,  auxquelles  on  attribue  les  coni> 
cideoces.  Si  ce  rapptHt  était  connu  ^  l'expérience  confirmerait  sans 
'  doute ,  ce  que  le  bon  sens  et  la  raistm  nous  dtclent  à  l'^rd  de 
ces  préjugés.  Ainsi  le  plûlo8<^he  de  l'antiquité,  auquel  on  montrait 
dans  un  temple,  pour  exalter  la  puissance  du  dieu  qu'tm  j  adorait, 
\ca  ex-voto  de  tous  eeuxqul  après  l'avoir  invo^ié,  s'âaÂeot  sauvés 
du  naufrage ,  Élisait  une  question  conforme  au  calcul  des  probabi- 
lités, en  demandantcombiende  personnes,  malgré  cette  invocation, 
avaient  péri. 

C'est  principfdeiuent  au  jeu,  qu'une  foule  d'illusirais  entretient 
l'espérance ,  et  la  aoutieot  contre  les  chances  dé&vonddes.  la 
plupart  de  ceux  qui  itaettent  aux  loteries,  ne  savent  pas  combien 
de  chances  sont  à  leur  avantage ,  combien  leur  sont  contraires. 


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bnOTiij  INTRODUCTION. 

Ils  n'entisagent  que  la  possibilité,  pour  udo  mise  légère ,  de  gagner 
une  sonune  considérable  ;  et  les  projets  que  leur  imagination  en- 
Êinte ,  exagèrent  à  leurs  yeux ,  la  probabilité  de  l'obtenir.  Us  seraient 
sans  doute ,  effrayés  du  nombre  immense  des  mises  perdues ,  s'ils 
pouvaie'ht  les  connaître  ;  mais  on  prend  soin  au  contraire ,  de 
donner  aux  gains,  une  grande  publicité.  , 

Lorsqu'à  la  loterie  de  France ,  un  numéro  n'est  pas  sorti  depuis 
long-temps  ;  la  foule  s'empresse  de  le  couvrir  de  mises.  Elle  juge 
que  le  numéro  resté  long-temps  sans  sortir ,  doit  au'procbain  tirage  » 
sortir  de  préférence  aux  autres.  Une  erreur  aussi  commune  me 
paraît  tenir  à  une  illusion  ,  par  laquelle  on  se  reporte  inrolontaî- 
rement  à  Porigine  des  érénemens.  Il  est,  par  exemple,  très-pea 
vraisemblable  qu'au  jeu  de  croix  etpilej  on  amènera  croix,  dix  fois 
de  suite.  Cette  invralBemMaacè  qui  uuus  ft^ppe  encore,  lorsqu'il 
est  arrivé  neuf  fois,  nous  porte  à  croire  qu'au  dixième  coup ,  pile 
arrivera.  Cependant  loin  de  nous  &ire  juger  ainsi  ;  le  passé ,  en  indi- 
quant dans  ^  pièce ,  une  plus  grande  pente  pour  croix  que  ^ourpile, 
rend  le  premier  de  ces  événemens  ,  plus  probable  que  l'autre  :  il 
augmente,  comme  on  l'a  vu,  la  probabilité  d'amener  cro/xaucoup 
suivant.  Une  illusion  semblable  persuade  à  beaucoup  dé  monde , 
que  Ton  peut  gagner  sûrement  à  la  loterie ,  en  plaçant  chaque  fois, 
sur  un  même  numéro  jusqu'à  sa  sortie ,  une  mise  dont  le  produit 
surpasse  la  somme  de  toutes  les  mises.  Mais  quand  même  de  sem- 
blables spéculations  ne  seraient  pas  souvent  arrêtées  par  l'impos- 
sibilité de  les  soutenir  ;  elles  ne  diminueraient  pointle  désavantage 
mathématique  des  spéculateurs,  et  elles  accroîtraient  leur  désavan- 
tagé, moral  jpuisqu'à  chaque  tirage,  ils  exposeraient  une  plus  grande 
partie  de  leur  fortune. 

Par  une  illusion  contraire  aux  précédentes,  on  cherche  dans 
les  tirages  passés ,  les  numéros  le  plus  souvent  sortis ,  pour  en 
former  des  combinaisons  sur  lesquelles  on  croit  placer  sa  mise 
avec  avantage.  Mais  vu  la  manière  dont  le  mélange  des  numéros 
se  fait  à  la  loterie  ;  le  passé  ne  doit  avoir  sur  l'avenir,  aucune 
lufluence.  Les  sorties  plus  fî'équentes  d'un  numéro  ne  sont  que  des 
auomalies  du  hasard  :  j'en  ai  soumis  plusieurs  au  calcul ,  et  j'ai 
constamment  trouvé  qu'elles  étaient  renfermées  dans  les  limites  quQ 


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^QQTRODUCTION.  Ixxiix 

la  sapposition  d'une  égale  possibilité  de  sortie  de  fotis  les  numéros, 
permet  d'admettre  sans  inTraisemblance. 

Dans  une  longue  série  d'événemens  du  même  genre ,  les  seules 
chances  du  hasard  doireot  quelquefois  offrir  ces  veines  singulières 
de  bonheur  ou  de  pialheur ,  que  la  plupart  des  joueurs  ne  manquent 
pas  .d'attribuer  à  une  sorte  de  fatalité.  Il  arrive  souvent  dans  les 
jeux  qui  dépendent  à-la-fois  du  hasard  et  de  l'habileté  des  joueurd , 
que  celui  qui  perd , -troublé  par  sa  perte,  cherche  à  la  réparer 
par  des  coupii  hasardeux  qu'il  éviterait  dans  une  autrè  situation  : 
il  aggrave  ainsi  son  propre  malheur ,  et  il  en  prolonge  la  durée.  C'est 
cependant  alors,  que  la  prudence  devient  nécessaire,  et  qu'il  importo 
de  se  convaincre  que  le  désavantage  moral  attaché  aux  chances 
défavorables ,  s'accroît  par  le  malheur  même. 

Le  sentiment  par  lequel  l'honune  s'est  placé  long  -  temps ,  au 
centre  de  l'univers  ^  en  se  considérant  comme  l'objet  spécial 
àep  soins  de  la  nature,  porte  chaque  individu  à  se  faire  le  centr» 
d'une  sphère  plus  ou  moins  étendue,  et  à  croire  que  le  hasard 
a  pour  lui  des  préférences.  Soutenus  par  cette  opinion,  les  joueurs 
ejiposent  souvent  des  sommes  considérables,  à  des  jeux  dont  ils 
saTetit  que  les  chance  leur  sont  contraires.  Dans  la  conduite  de 
la  vie,  une  semblable  opinion  peut  quelquefois' avoir  des  avan-, 
tages  -f  mais  le  plus  souvent,  elle  conduit  à  des  entreprises  périlleuses 
et  funestes.  Ici ,  comme  en  tout ,  les  illusions  sont  dangereuses  f 
et  la  vérité  seule  est  généralement  utile. 

Va  des  grands  avantages  du  oAlcul  des  probabilités,  est  d'ap- 
prendre à  se  déâer  des  premiers  aperçus.  Comme  on  reconnaît 
qu'ils  tfoqjpent  souvev^  lorsqu'on  peut  les  soimiettre  au  calcul;  on 
doit  en  conclure  que  sur  d'autres  objets ,  il  ne  faut  s'y  hvrer  qu'avec 
une  circonspection  extrêoae.  Prouvons  cela  par  des  exemples. 

Une  urne  renferme  quatre  boules  noires  ou  blanches ,  "mais  qui 
ne  sont  pas  toutes  de  la  même  couleur.  On  a  extrait  une  de  ces 
boules ,  dont  la  couleur  est  blanche ,  et  que  l'on  a  remise  dans  Turne 
pour  procéder  encore  à  de  semblables  tirages.  On  demande  là  pro- 
babilité de  n'extraire  que  des  boules  noires,  dans  les  quatre  tirages 
suîvans- 

Si  les  boules  blanches  et  noires  étaieut  en  nombre  égal,  cette 


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xc  -INTROTïtrcnOTT. 

pn^abilité  serait  la  quatrième  paissance  de  la  pfobal^ité  |  d'er- 
traire  une  boule  Doire  à  -chaque  tirage  ;  elle  sefalt  doDc  -^.  Mais 
^extraction-  d^mie  Jïoule  blanche  an  premier  tirage ,  indique  une 
sapériorité  4i»Bs  le  nombre  -des  boules  blf^ches  de  l'urne;  car  si 
ton.  suppose  dans  l'urne ,  trois  boules  blanches  et  une  noire ,  4a 
probabihté  d'en  -extraire  nne  boule  blaocbe  est  |  ;  elle  est  ^ ,  ai  Pou 
suppose  deuK  Imules  blanctes  «t  deux  noires;  enfin,  «Hé  se  réduit 
à  ^,  siToa  suppose  trois  boules  noires  et  une  blanche.  Suivant  le 
principe  de  la  probabilité  des  causes  y  tàtée  des  éréncmens ,  les 
probabilités  de  -ces  trois  suppositions  sont  entre  elles,  comme  les 
^antités  I,  J,  IjeDes  sont  par  conséquent  égales  à  |,  |,  j.  Il  y  a 
ainsi  cinq  contre  un  à  parier  que  le  nombre  des  boftles  noires  est 
inférieur ,  ou  tout  au  plus  égal  à  celui  des  blanches.  Il  semble  donc 
que  d'après  l'extraction  d'une  boule  blanche  an  premier  tirage ,  la 
probabilité  d*«sti-dlre  de  suite  quatre  boulant  noires,  doit  être 
moindre  que  dans  le  cas  de  l'égedité  des  couleurs ,  ou  plus  petite 
qu'un  seizième.  Cependant  cela  n'est  pas,  et  Ton  trouve  par  un 
calcul  fort  simple ,  cette  probabilité  plus  grande  qu'un  quatorzième. 
En  efifèt ,  elle  serait  la  quatrième  puissance  de  ^ ,  de  |  et  de  ^  ,  daœ 
ta  première ,  la  seconde  et  ta  troisième  des  sf^ositions  précédentes 
sur  les  couleurs  des  boules  de  l'urne.  En  multipliant  respectivement 
(ihaqiie  puissance ,  par  la  prob^ilité  de  la  supposition  corresptei- 
dante,  ou  par  |,  f  et  ^;  la  somme  des  produits  sera  la  proba- 
bilité d'extraire  de  suite,  quatre  boules  noires.  On  a  ainsi  .pour 
cette  probabilité,  ^,  fraction  moindre  que  ~.  Ce  paradoxe  s'ex- 
plique en  considérant  que  l'indication  de  la  supériorité  des  boules 
blanches  sur  les  noires ,  par  le  premier  tiage ,  n'exclut  point  la 
supériorîtédesboules  noires  sur  les  blanches,  supériorité  qu'exclut 
la  supposition  de  l'égalité  des  couleurs.  Or  cette  supériorité  quoique 
peu  vraisemblable,  doit  rendre  la  probabilité  d'amener  de  suite, 
un  nombre  donné  de  bodes  noires ,  plus  grande  que  dans  cette 
supposition ,  si  ce  nombre  est.  considérable  ;  et  l'on  vient  de  voir 
que  cela  commence, lorsque  le  nombre  donné  est  égal  ai  quatre. 
Considérons  encore  une  urne  qui  renferme  plusieurs  boules 
blanches  et  noires.  Supposons  d'abord  qu'il  n'y  ait  qu'une  boule 
blanche  et  une  noir^  On  peut  alors  parier  avec  égalité,  d'extraire 


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ijrrBODtJcnoN.  scj 

une  boule  blandie ,  dans  ud  tirage,  ftlais  si  fume  renfennc  trois 
boules  dont,  deux  soient  jsoires  ;  il  semble  que  pour  l'égalité  da 
pari ,  oh  doit  donner  deux  tirages  à  celui  qui  parie  d'extraire  la 
boiilf  blanche  :  on  doit  en  donner  trois,  si  lUme  renferme  trois 
boule^ioires  et  une  blanche,  et  ainsi  d«  reste;  eusorte  que  pour 
compenser  par  te  sombre  des  tirages,  llnégsflité  des  çfaanccS,il 
&ut  donner  fuitant  d«  tî^ges  qu'il  y  a  dé  chances  contraires  :  ou 
suppose  toujours  qu'dprès  chaque  tirage,  ta  boule  ex^^ite  est  tct 
mi&e  dans  l'urne.  Mais  il  est  Ëibite  àé  se  convaincre  que  ce  premiei' 
aperçu  est  erroné.-  En  enct ,  dans  le  cas  dé  deux  boules  noh'cs 
sur  une  btanchO',  la  pr^twlHlité  d'extraire  de  Fume,  deux  boutes 
noires  en  deux  tirages ,  est  la  '  seconde  piussatice  de  |  ou  |  j  mais 
cette  probabilité- ajoutée  à  celle  d'amener  une  bonle  blanche  en  deux 
tirages,  est  la  o«rtitod«uuL  inimité;  puisqu'il  est  certain  quatron 
doit  amener -deux  boules  noires ,  ou  au  -mointroBe  boule  bl^phe; 
k.  probabilité  de  ce  dernier  cas  est  donc  |  fraction  pTiis  grande  que 
i.  Il  y  aurait  plus  d'arantage  encore  à  parier  d'amener  une  httule 
blanche  en  cinq  tirages  ,  lofMue  Purne  contient  cinq  boules 
noires  .et  une  blanc^;  ce  pan  est  même  avantageux  en  qaatre 
tirages:  il  revi^alors  à  celui  d'amener  «tx  eu  q^tre  coups,  avec 
un  àeul  dé. 

Le  chevalier  déMëré^  ami  de  Pascal  j  et  qui  fitnaître  le  calcul  dés 
probabilités',  en- excitant  ce  grand  géomëtfe  à  s'en  occuper,  lui 
Asait  «  qu'il  avait  trouvé  fausseté  dans  îes  nombres  par  œtte 
»  raison* Si  ronentrefHrendde&inesixavecuadéjilyader^ràntage' 
»  à  l'entreprendre  en  quatre  coups,  comme  de  671  à  63S.  Si  l'on  ' 
»  entreprend  de  faire  sonnés  avec  deux  dés,  il  y  a  désavantage 
%  à  l'entreprendre  en  ai  coups.'Néanmoins  34  est  à  56  nombre 
»  de  feces  de  deux  dés,  comme  4  est  à  6  nombre  des  foces  d'an 
3>  dé.  Voilà,  écrivait  Pascal  à  Fermât,  quel  était  son  grand  scan- 
jt  dale,  qui  lui  faisait  dire  hautement ,'  que  lés  propositions  n'étaient 
»  pas  constantes  et  que  l'arithmétique  se  démentait.;...  Il  a  trés-bOa 
»  esprit^mais  il  n'est  pas  géomètre  :  c'est,  comme  vous  savez,  un 
»  grand  défeut.  y>  Le  chevalier  de  Meré  trompé  paj  une  fausse 
analogie,  pensait  que  d^sle  cas  de Tégalité  des  paris,  te  nombre  des  ' 
coups  doit  croître  proporti^nellement  au  aombre  de'  touteg  les 


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xcq  INTRODUCnOÎT. 

cbânces  possibles ,  ce  qui  n'est  pas  exact ,  dhùs  c&  tjtii  approche 

d'autant  plus  de  l'être,  que  ce  nombre  est  plus  grand. 

Je  mets  encore  au  raug  des  illusions ,  Tapt^ication  que  Leibnitz  et 
Daniel  BernoulU  ont  Ëiite  du  calcul  des  probabilités ,  à  la  sommation 
des  séries.  Si  l'on  réduit  U  fraction  dont  le  numérateur  est|j|'umté, 
et  dont  le  dénominateur  est  l'unité  plus  une  jrariable ,  dans  une 
suite  ordonnée  par  rapport  aux  puissancfp  de  cette  variable  ;  il  est 
&cile  de  voir  qu'en  supposant  la  variable  égale  à  l'unité ,  la  fraction 
devient  ^  ,  efta  suite  devient,  plus  un  ,  moins  un,  plus  un,  moins 
un,  etc.  En  ajoutant  les  deux  premiers  termes ,  les  deux  suivans^ 
«t  ainsi  du  reste,  on  transforme  la  suite  d^  une  autre  demi  chaque 
terme  est  zéro.  Grandi,  jésuite  italien,  en  avait  conclu  la  possibilité 
de  la  création;  parce  que  la  suite  étant  toujours  égale  à  ^ ,  il  voyait 
cette  fraction  naître  d'une  infinité  de  zéros,  au  du  néant.  Ce  fut 
ainsi  que  Leibnitz  i^rutruir  l'image  de  la  création,  dans  son  Arith- 
métique binaire  où  il  n'emplojait  que  les  deux  caractères  zéro  et 
l'unité.  U  imagina  que  l'unité  pouvait  représenter  Dieu  ;  et  zéro  ^ 
le  néant  j  et  que  l'Être  Suprême  avait  tiré  du  néant,  tous  les  êtres, 
c,omme  l'unité  avec  le  zéro ,  exprime  tous  les  nranbres  dans  ce 
système.  Cette  idée  plut  tellement  à  Leibnitz,  qu'il  en  fît  part  aa 
îesuiteGrimaldi,  président  du  tribunal  df  s  mathématiques  à  la  Chine, 
dans  l'espérance  que  (xt  emblème  de. la  création  convertirait  au 
christianisme ,  l'mnpereur  d'alors  qui  aimait  particulièrement  les 
sciences.  Je  ne  rapporte  ce  trait,  que  pour  montrer  jusqu'à  quel 
point  le^  préjugés  de  l'en&nce  peuvent  égarer  les  plus  grands 
hommes. 

Leibnitz  toujours  conduit  par  une  métaphysique  singulière  et 
très-déliée ,  considéra  que  la  suite  jplus  un,  moins  un, plus  un,  etc. 
devient  l'unité  ou  zéro,  suivant  que  l'on  s'arrête  à  un  nombre  de 
tenues ,  impair  ou  pair  ;  et  comme  dans  l'ii^i ,  il  n'y  a  aucune  raison 
de  [Hréférer  le  nombre  pair  à  l'impair ,  çn  doit ,  suivant  les  règles 
des  probabilités,  prendre  la  moitié  des  résultats  relatifs  à  ces  deux 
espèces  de  nombres ,  et  qui  sont  zéro  et  l'unité  j  ce  qui  donne  ^  pour  la 
valeur  de  la  série.  Daniel  Bemooili  aétendu  depuis,  ce  raisonnement 
à  la  sommation  des  séries  formées  de  termes  périodiques.  Mais  toutes 
ces  séries  n'ont  poiQt,  à  proprement  parler,  de  valeurs  :  elles  n'en 


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INTRODUCTION.  xciiï 

prennent  que  dans  le  cas  où  leurs-  termes  sont  multipliés  par  le* 
puissances  successives  d'une  yarlable  moindre  que  Funité.  Alors, 
ces  séries  sont  toujours  convergentes ,  quelque  petite  que  l'on 
suppose  la  différence  de  la  variable  à  l'unité  ;  et  il  est  facile  de 
démontrer  que  les  râleurs  assignées  par  Bernoulli ,  en  vertu  de  la 
règle  des  probabilités ,  sont  les  valeurs  mêmes  des  fractions  géné- 
ratrices des  séries ,  lorsque  l'on  suppose  dans  ces  fractions ,  lai 
variable  égale  à  l'unité.  Ces  valeurs  sont  encore  les.  limites  dont 
les  séries  approchent  de  plus  en  plus  ,  à  mesure  que  la  variable 
approche  de  l'unité.  Mais  lorsque  la  variable  est  exactement  égale 
à  l'unité,  les  séries  cessantd'étre  convergentes  :  elles  D'onlde  valeurs , 
qu'autant  qu'on  les  arrête.'  La  coïncidence  remarquable  de  cette 
application  du  calcul  des  probabilités,  avec. les  limites  des  valeurs 
des  séries  périodiqttes ,  supposa  que  les  termes  de  ces  séries  sont 
multipliés  par  toutes  les  puissances  consécnttvce  4«  la  varrable. 
Mais  ces  séries  peuvent  résulter  du  développement  d'une  infinité 
de  fractions  dificrentes,  dans  lesquellc^^ela  n'a  pas  lieu.  Ainsi  la 
série,  pius  un,  moins  un ^ plus  Un,  etc.  peut  naître  du  dévelop- 
pement d'une  fraction  dont  le  numérateur  est  Tunité  plus  là  va- 
riable ,  et  dont  le  dénominateur  est  ce  numérateur  augmenté  du 
carré  de  la  variable.  Eu  supposant  la  variable  égale  à  l'unité,  ce 
.  développement  se  change  dans  la  série  proposée ,  et  la  fraction 
génératrice  devient  égale  à  |;  les  règles  des  probabilités  donne- 
raient donc  alors  un  &ux  résultat  ;  ée  qui  prouve  comlùen  il  serait 
dangereux  d'employer  de  semblables  raisonnemens ,  surtout  dans 
les  sciences  mathématiques,  que  la  rigueur  de  leurs  procédés  doit 
éminemment  distinguer. 

■  Des  divers  jnoyens  ttapprech^i.de  la  certitude. 

L'induction ,  Tanalogie ,  dee  hypothèses  ftindées  sur  les  fèifs  et 
rectifiées  sans  cesse  par  de  nouvelles  observations,  un  tact  heureux 
donné  par  la  nature  et  fortifié  par  des  comparaisons  nombreuses 
de  ses  indications  avec  l'expérience  ;  tels  sont  les  principaux  moyen» 
de  parvenir  à-  la  vérité. 

Si  l'(m  considère  avec  attention,  la  série  des  objets  de  meute 


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icÎT,  INTRODUCTION- 

natarç.;  on  ai^rço;t,eQtre  eux  et  dans  lears  chang^mens,  des  ra{H 
ports-  et  des  lois  qu\.se  m^festètit  de  plus,  en  plus,  à  mesure  que 
{  là  série  se,  prolpnge.,  et  qui,  en  s'étendant  e.t.  se . généralisant 
s^ns  cesse,  conduisent  enÇn.au  principe  dont  ils  dépendent.  Mais^ 
épurent  ces  loUetces  rapports  sont  enveloppés  de  tant  de. cir- 
constances éb'aQgérefi ,  qu'il  &ut  une  grande  sagacité  pour  les  dé- 
mêler f  et  pour  rçmontçr.  à  ce  principe  :  c'est  en  cela  que  consiii>te 
le  Tjéritable, génie  de.s  sciences.  L'analyse  et  la  philosophie  naturelle- 
dçÏTent  leurs  plus  importantes  découvertes ,  à  ce  moyen  fépond  que 
Ton  nomme  induction.  Newton  lui  a  été  rèderable  de  son  théorèuie 
du  binôme  et  du  principe  de  la  gr^T^tation  unirej-^Ile.  Il  est  difficile . 
dtapprécjer.la  probabilité  de  ses  résultats.  Elle  se  fonde,  sur  ce  que 
les  rapports  et  les  lois  les  plus  simples,  sont  les  plus  cpmmuns: 
c'est  ce  qui  se  Téri&e  dans  les  formules  de,  l'analyse, ,  et  ce  que 
l'on  retrouve  dans  les  pfaéuon^ènes  naturels ,  dans  la  crist^UiaaiioD , 
et  dans  les  coinbinaisons  chin^iques.  Cette  simplicité  de  lois  et  de 
rapports  UjC  paraîtra  point  étonnante ,  si  Ton  considère  que  tous . 
les  ef&ts  de  la  natuiie  «  ne  sont  que  le^  résultats  mat^éi^atiques  d^un 
petit  nombre  de  lois  immuables. 

Cependant  l'induction,  en  disant  décourrir  les.principesgén^  . 
ranx  des  sciences ,  ne  suffit  pas  pour  les  établir  en  rigueur.  U  ÙMt 
tcfUjours  les  confirmer  par  des  démonstrations,  ou  par  des  expé- 
riences décisives  j  car  l'histoire  des  sciences  nous  montre  que 
l'induçtioa  a  quelquefois  conduit  à  des  résultatjs.jnejtacts.  Je  citerai 
pour'  exemple  ,  un  théorème  de  Femtat  sur  le§  nomhrçs  premiers. 
Ce  grand  géomètre  qui  avu.it  profondément  médité  sur  leur  théo-' 
rie,  cherchait  une  formule  qui  ne  renfermant  que  des  nombres 
premiers ,  donnât  directement  un  nombre  premier  plus  grand 
qu'aucun  nombre  assignable.  L'induction  le  conduisit  à  penser  que 
deux  élevé  à  une  puissance  qui  était  elle-même  une  pui-ssance  de 
deux,  formait  arec  l'unité,  un  n^ipbre  premier.  Ainsi  deux  élevé 
au  carré ,  plus  un,  forme  le  nombre  premier  cinq  ;  deux  eleré  à 
la  seconde  puissance  de  deux,  ou  seize  fom^e  avec  un,  lo nombre 
premier  dix-sept.  Il  trouva  que  cela  était  encore  vrai  pour  la  hui- 
tième et  la  seizième  puissance  de  deux,  au^entée,  de  l'unité; 
et  cetto  induction  appuyée  de  plusieurs  considérations  ar|thilié- 


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INTRODTÏCtîôN.  xcv 

tiques ,  lui  fit  regarder  ce  résultat ,  cdmme  général.  Cependant  U 
avoue  qu'il  ne  Tavait  paa  encore  démontré.  En  effet  ^  Euler  a  re- 
connu que  cela  cessé  d'aToir  lieu  pour  la  trente-deuxième  puissance 
de  deux;,  qui  augïàentée  de  rumtéj donne 4294967397,  nombre  di- 
visible par  64 1. 

Le  chancelier  Bacon ,  promoteur  sî 'éloquent  de  la  vraie  méthode 
philosophique,  a  fait  de  l'induction,  un  abus  bien  étrange,  pour 
prouver  iWmobilité  de  la  terre,  v  oîci'  comme  il  raisonne  dans 
le  Nopum  Organum ,  s6ti  phia  bel  ouvrage.  Le  mouvement  des 
astres,  d'orient  en  occident, 'est  ^'autant  plus  prompt,  qu'ils  sont 
plus  éloignés  de  la  terre.  Ce  mouveinent  est  le  plus  rapide  pour 
les  étoiles  :  il  se  ralentit  un  peu  pour  Saturne ,  un  peu  plus  pour 
Jupiter ,  et  ainsi  de  suite ,  jusqu'ià  ta  lune  et  aux  comèles  les  moins 
élevées.  D  est  encore  perceptiïïle  Aius  l'atmosphère,  surtout  entre 
les  tropiques ,  à  cause  des  grands  cercles  qu©  leamolécules  de  l'air 
y  décrivent;  enfin  il  est  presqii'insensible  pour  l'Océan  ;  il  est  doue 
nul  pour  la  terre.  Rtais  cette  induction  prouve  seulement  que  les 
astres  ont  des  mouvemens  propres ,  contraires  au  mouvement  ré^I 
ou  apparent  qui  emporte  toute  la  sphère  céleste  d'orient  en  occi- 
dent, et  que  ces  mouvemens  paraiteent  plus  lents  pour  leâ  astres 
plus  éloignés;  ce  qui  est  cbnfonlie  aux  lois  de  l'optique.  Bacôii  àu-^ 
rait  du  être  fi:^ppé  dé  l'inconcevable  vitesse  qu'il  faut  supposer  aux 
astres  pour  accomplir  leUr  t'évokitîon  diurne  dans  l'hjpotlièse  de 
la  terre  immobile ,  ètderextrême simplicité  avec  laquelle  sarotation 
explique  comm^  des  corps  aussi dîstans  les  uns  des  autres,  que  les 
étoi^s  et  les  planètes ,  semblent  tous  assùjétis  à  cette  révolution. 
Quant  à  l'Océan  et  à  l'atmosphère,  il  ne  devait  point  assimifer  leur 
mouvement  à  celui  des  astres,  qui  sont  détachés  de  la  terre;  au  lieu 
que  l'air  et  la  mer  faisant  partie  du  globe  terrestre,  ils  doivent 
participer  à  son  mouvement  on  à  son  repos.  U  est  singulier  que 
Bacon  porté  aux  plus  grandes  vues ,  par  son  génie ,  n'ait  point 
été  entraîné  par  l'idée  majestueuse  que  le  système  de  Copernic 
offre  de  l'univers.  U  pouvait  cependant  trouver  en  feveur,  de  ce 
système,  de  fortes  ainalogies,  dans  les  découvertes  de  Galilée,  qui 
lui  étaient  connues.  II  a  donné  pbiir  la  recherche  de  la  vérité,  le 
précepte,  et  non  l'exemple.  Mais  en  insistant  arec  toute  la  force  de 


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ICTÎ  INTRODUCTION, 

la  raîâoD  et  de  TéloqueDce ,  sur  la  nécessité  d'abandonner  les  sal>> 
tilités  insignifiantes  de  Técole,  pour  se  livrer  aux  observations. et 
aux  expériences,  et  en  indiquant  la  vraie  méthode  de  s'élever  aux 
causes  générales  des  phéqomènes  ;  ce  grand  philosophe  a  contrî- 
l)ué  aux  progrès  immenses  que  l'esprit  humain  a  faits  dans  te  beau 
siècle  où  il  a  terminé  sa  carrière. 

'  I/analogie  est  fondée  sur  ta  probabilité  que  les  choses  semblables 
ont  des  causes  du  même  genre ,  et  produisent  les  mêmes  effets. 
Plus  ia  similitude  est  parfaite,  |4us  grande  est  cette  probabilité. 
Ainsi  nous  jugeons  sans  aucun  doute,  que  des  êtres  pourvus  des 
mêmes  oi^anes,  exécutant  les  mêmes  choses ,  et  communiquant 
ensemble ,  éprouvent  les  mêmes  sensations ,  et  sont  mus  par  les 
jnêmes  désirs.  La  probabilité  que  les  animaux  qui  se  rapprochent 
de  nous  par  leurs  organes ,  ont  des  sensations  analogues  aux  nôtres , 
quoiqu'un  peu  inférieure  à  cRlIe  qui  cal  relative  aux  individus  de 
notre  espace ,  esi  encore  excessivement  grande  ;  et  il  a  fallu  toute 
l'influence  des  préjugés  religieux,  pour  faire  penser  à  quelques  phi- 
losophes ,  que  les  animaux  fiont  de  purs  automates.  I^  probabi- 
lité de  l'exisfence  du  sentiment  décroît,  à  mesure  que  la  similitude 
des  organes  avec  le^  nôtres,  diminue;  mais  elle  est  toujours  très^ 
forte,  même  pour  les  insectes.  En  voyant  ceux  d'une  même  espèce , 
exécuter  des  choses  fort  compliquées,  exactement  de  la  mémo 
manière ,  de  générations  en  générations ,  et  sans  Içs  avoir  apprises  ; 
on  est  porté  à  croire  qu'ils  agissent  par  une  sorte  d'affinité,  ana- 
logue à  celle  qui  rapproche  les  molécules  des  cristaux ,  mais  qui 
se  mêlant'au  sentiment  attaché  à  toute  organisation  animale, pro- 
duit avec  la  régularité  des  combinaisons  chimiques ,  des  combi- 
naisons beaucoup  plus  singulières  :  on  pourrait  peut-être,  nommer 
affinité  niûmale  y  ce  mélange  des  affioités  électives  et  3u  senti- 
ment. Quoiqu'il  existe  beaucoup  d'analo^e  entre  l'orgauisatioa 
des  plantes  et  celle  des  animaux  ;  elle  ne  me  paraît  pas  cependant 
suffisante  pour  étendre  aux  végétaux,  la  acuité  de  sentir^  comme 
rien  n'autorise  à  la  leur  refuser. 

Le  soleil  disant  éclore  par  l'action  bien&isante  de  sa  lumière 
et  de  sa  chaleur,  les  animaux  et  les  plantes  qui  couvrent  la  terre; 
nous  jugeons  par  l'analog;ie,  qu'il  produit  des  effets  semblables 


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INtRODUCnON.  XCT$ 

«or  les  autres  planètes  ;  car  il  n'est  pas  natnrel  de  penser  que  la 
matière  dont  nous  voyons  ractiTité  se  dérelopper  en  tant  de  (ïi- 
çons ,  est  stérile  sur  une  aussi  grosse  planète  que  Jupiter  qui , 
comme  le  globe  terrestre  ,4  ses  jours ,  ses  nuits  et  ses  années ,  et 
sur  lequel  les  obeerrations  indiquant  des  changemens  qui  supposent 
des  forces  três-âctives.  Cependant  ce  serait  donner  trop  d'extension 
a  l'analogie,  qne  d'eu  conclure  la  similitude  des  habitans  des  pla- 
nètes, et  de  la  terre.  L'bommë  feit  pour  la  température  dont  il 
jouit ,  et  poiu:  Télément  qu'il  respire  ,  ne  pourrait  pas ,  selon 
toute  apparence,  vivre  sur  les  autres  planèfes.  Mais  ne  doit-il  pas 
y  avoir  une  infinité  d'organisations  relatives  aux  diverses  constitu- 
tions des  globes  de  cet  uj^vers  ?  Si  la  seule  différence  des  élémens 
«t  des  cUmats ,  met  tant  de  variété  dans  les  productions  terrestres  ; 
combien  plus  doivent  différer ,  celles  des  diverses  planètes  et  de  leurs 
satellites.  L'imagination  la  plus  active  ne  pent  s'en  former  aucuno 
idée;  mais  leur  existence  est  très-vraisenôblable. 

Nous  sommes  conduits  par  une  forte  ahalo^e ,  à  regarder  les  .. 
étoiles ,  comme  autant  de  soleils  doués  ainsi  que  le  nôtre ,  d'un 
pouvoir  attractif  proportionnel  à  la  masse  et  réciproque  au  carré 
des  distances.  Car  ce  pouyoir  étant  démontré  pour  tous  les  corps 
du  système  solaire,  et  pour  leurs  plus  petites  molécules;  il  parate 
appart«bir  à  toute  la  maUére.  Déjà ,  les  mouvemens  des  petites 
étoiles  que  Ton  a  nommées  doubles  à  cause  de  leur  rapprocl^- 
ment ,  paraissent  l'indiquer  :  un  siècle  au  plus  d'observations  pr^ 
cises,  en  constatant  leurs  mouvemens  de  révolution  les  unes  autour 
des  autres,  mettrabors  de  doute,  leurs  attractions  réciproques. 

L'analogie  qui  nous  porte  à  faire  de  chaque  étoile ,  le  centre  d'un 
^rstéme  planétaire ,  est  beaucoup  moins  forte  que  la  précédente  j 
mais  elle  acquiert  de  la  vraisemblance  ,  par  l'hypothèse  que  nous 
avons  proposée  sur  la  formation  des  étoiles  et  du  soleil;  car  dana 
cette  hypothèse ,  chaque  étoile  ayant  été  comme  le  soleil,  primi- 
tivement environnée  d'une  vaste  atmosphère  ;  il  est  naturel  d'attri- 
buer à  cette  atmosphère ,  les  mêmes  effets ,  qu'à  l'atmosphère  solaire, 
et  de  supposer  qu'elle  a  produit  en  se  condensant,  des  planètes  et 
des  satellites. 

lift  méthode  la  pins  sûre  qui  puisse  nï)us  guider  dans  larecherdio 


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$CTiQ  INTRODrCTlON. 

ée  la  Tcrité ,  consiste  à  s'éiever  par  la  roie  de  Finâncttoti ,  des  phé-* 
BtMnoènea  particuliers^  à  des  rapports  de  plus  ea^ lus  étendus,  ju»' 
qu'à  ce  que  l'on  arrire  eofln  à  la  kà  générale  dont  ils  dérivent 
EnsŒte  on  vérifie  cette  loi,  soit  par  des  expériences  directes, 
hvsiiae  cela  est  possible ,  soit  «n  examinant  si  elle  satisfit  aux 
pbénwnénes  connus  ;  et  ai  par  oae  rigoureuse  analyse ,  on  tes  voit 
tous  découler  de  cette  loi ,  jusque  dans  leurs  molodres  détails  ;  si 
d'ailleurs  ils  sont  très-variés  et  très-  nombreux j  la  science  aloi^ 
acquiert leplus  haut  degré  de  certitude  et  de  perfection,  qu'ellepoisse 
stteiodre.Telte  est  derennê  l'astronomie ,  par  ta  découverte  de  la  pe- 
sanleor  nniverselle,  L'histMre  des  sciences  &it  ycir  que  cette  marche 
knte  et  pénible  de  l'inducttim  ,  n*a  pas  toujours  été  celle  des  in- 
venteurs. L'imagination  impatiente  de  remonter  aux  causes  ,  se 
pbit  à  créer  des  hypothèses;  et  souvent,  elle  dénature  les.&ite, 
pour  les  plier  à  son  ouvraga .-  ahxv,  les  hypothèses  sont  dangu^usea. 
Mais  quand  on  ne  les  envisage  que  comme  des  moyens  de  tisr 
citfre  eux  les  phénomènes,  pour  en  découvrir  les  k^;  kvsqa'en 
cvilant  de  leur  attribuer  de  b  réalité ,  on  les  rectifie  sans  cesse 
par  de  nouvelles  observations  ^>elles  peu  vexit  conduire  aux  véritaUes 
«eueee ,  on  du  mmiis ,  nous  mettre  à  portée  ds  conclure  des  phé- 
nomènes obeeryés ,  ceux  que  des  drcoostaDces  données  doiveut 
fiure  écloFe. 

-  ^  l'on  essaj^t  toutes  les  hypoâièses  que  Ton  peut  former  swt 
la  cause  des  phéounèneg  ;  on  parviendrait  par  voie  d'exclusion , 
k  la  véritable.  Ce  moyui  a  été  employé  avec  succès  :  quelque- 
fois <m  est  arrivé  à  plosieurs  hypothèses  quiexpliquaient  égaletoent 
iâan  tous  les  faits  coimos,  et  entre  lesquelles  les  savans  se  sont 
partagés ,  insqu*à  ce  que  des  observations  décisives  aient  &it  con- 
naître la  vàitaUe.  Alors  il  est  intéressant  pour  l'histoire  de  l'esprit 
kumaîn ,  de  revenir  sm*  ces  hypothèse» ,  de  ■ymr  comment  eUes 
parvenaient  à  e^idiqucr  on  grand  nombre  de  faits,  et  de  recher- 
cher les  changemens  qu'elles  doivent  subv,  pour  rentrer  dans  celle 
de  la  natm-e.  C'est  ainsi  que  le  système  de  Ptolémée,  qUi  n'est  que  la 
réalisation  des  apparences  célestes,  se  transforme  dans  lliypothèsS 
du  mouvement  des  planètes  autour  du  soleil,  en  y  rendant  ég/mx 
et  parallèles  à  l'orbe  solaire ,  les  cercles  et  le»  épi^TCles  qoe  Ptol^ée 


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INTRODUCTION.  xcxii 

(it  décrire  ammelleinmt,  et  dont  il  laâsee  la  grandedr,  indéter- 
mlhée.  11  f^t  ensuite ,  pour  changer  cette  hypothèse  dans  le 
vrai  système  du  monde,  de  transporter  en  sens'  contraire,  À  la 
terre ,  le  mouvement  apparent  du  soleiL 

Il  est  préBque  toujours  itqwssible  de  soumettre  an  calcul ,  la 
prtjjabilîté  des  résultats  obtenus  par  ces  diwrs  moyens  :  (^st  co 
qui  a  lieu  pareillement  pour  les  Ëdts  historiques.  Haîs  Tensemblo 
,  des  phénomènes  expliqués  ou  des  témpignages,  est  qudqu#)is  tel, 
que  sans  pouvoir  en  appréd^  la  probahilité,  oa  ne  peut  raison- 
nablement se  permettre  aucun  doute  à  letir  égard.  Dans  les  autres 
cas,  il  est  prudent  de  ne  les  admettre  qu'avec  beaucoup  à» 
fésorve- 

Notice  historique  sur  le  Calcul  de»  ProbahUités. 

.  Depuis  long-temps,  on  a  déterminé  dans  les  jeux  les  plus  simples, 
les  laj^rts  des  chances  Ëtvorables .  ou  contraires  aux  joueurs  :  lea 
enjeux  et  les  paris  étaient  réglés  d'après  ces  rapports.  Mais  personna 
avant  Pascal  et  fenoat  ^  n'avait  donné  des  principes  et  des  méthodes 
pour  soumettre  cet  objet  au  calcul ,  et  n'avait  résolu.des  questions 
de  ce  genre ,  on  peu  compliquées.  (7est  donc  à  ces  deux  grands 
géomètres  qu'il  &ut  rapporter  les  prenùers  éléraïais  de  la  scienca 
des  probalùlités ,  dont  la  découverte  peut  être  mise  au  rang  des 
choses  remarquables  qui  ont  illustré  le  dix-septième  siède,  celui 
de  tous  les  siècles  qui  &it  le  plus  d'honneur  à  Tesprit  hiunaiiL  La 
prindpal  pr<d>l^e  qu'ils  résolurent  tous  deux  par  des  voies  difie- 
rentes ,  consiste ,  comme  on  l'a  vu  précédemment,  à  partager  équir- 
tablement  Fenjeu,  entre  des  joueurs  dont  les  adresses  sont  égales,  et 
qû  ccmviennent  de  quitter  une  partie,  avant  qu'elle  finisse^  la  con- 
dition du  jeu  étant  que  pour  gagner  la  partie,  il  ^t  atteindre  lo 
premier,  un  nombre  donné  de  points.  U  est  dair  que  le  partage 
doit  se  faire  proportiomiellement  aux  probabilités  respeclives  des 
joueurs,  de  gagner  cette  partie,  probabilités  qui  dépendent  des 
nombres  de  points  qui  leur  manquent  encore.  La  méthode  de  Pascal 
est  fort  logénieuse,.  et  n'est  au  fond,  que  l'emploi  da  l'équation  aux 
di^eaces  partielles  relative  à  ce  problème ,  pour  détenoinfir  les 


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c       -  INTRODUCTION.  *  . 

probabilités  sbccessives  des  joueurs,  en  allant  des  nombres  les  pluf 
petite  aux  suivaos.  Cette  méÂode  est  timîtée  ,au  cas  de  àgfix  joueufs  ; 
celle  de  Fermât,  'fondée  sur  le»  combinaisons,  s'étend  a  un  nombre 
quelconque  de  joueurs.  Pascal  crut  d'abord  qu'elle  devait  être, 
comme  la  sienne,  restreinte  à  deux  joueurs;  ce  qui  établit  entre 
eux,  une  discussion  à  Ja  fin  de  laquelle  Pascal  reconnut  la  généralité 
de  la  méthode  de  Fermât. 

Huy^us  réunit  les  divers  problèmes  que  Ton  avait  dé)à  résolus, 
et  en  ajouta  de  nouveaux,  dans  un^tit  Traité,  le  premier  qui  ait 
paru  sur  cette  matière,  et  qui  a  pour  titre,  De  Ratiociniis  in  ludo 
aleœ.  Plusieurs  géomètres  s'en  occupèrent  ensuite  :  Huddes  et  le  grand 
pensi<mnaireWitt  en  Hollande ,  et  Halley  en  Angleterre ,  appliquèrent 
le  calcul,  aux  probabilités  de  la  vie  humaine;  et  Halle;  publia 
pour  cet  objet,  ta  première  table  de  mortalité.  Vers  le  même  temps» 
Jacques  Benioulti  proposa  aux  géomètres ,  divers  problèmes  de 
probabilité  dont  il  donna  'depuis,  des  solutions.  Enfin  il  composa 
son  bel  ouvrage  intitulé  ^rs  conjectandi,  qui  ne  parut  que  sept 
ans  après  sa  mort  arrivée'  en  1706.  La  science  des  probabilités  est 
beaucoup  plus  approfoo(fie  dans  cet  (mvrage,  que  dans  celui 
d'Hujghens;  l'auteur  y  d<»ine  une  théorie  générale  des  cwnbinai- 
8ons  et  des  suites,  et  rapplique  à  plusieurs  questiens  difficiles, 
concernant  les  hasards.  Cet  ouvrage  est  encore  remarquable  par 
la  justesse  et  la  finesse  des  vues ,  par  l'emploi  de  la  formule  du 
binôme  da^s  ce  genre  de  questions,  et  par  la  démonstration  de  ce 
théorème,  savoir,  qu'en  multipliant  indéfiniment  les  observations 
et  les  expériences;,  le  rapport  des  événemens  de  diverses  natures, 
qui  doivent  arriver ,  approche  de  celai  de  I«irs  possibilités  respec- 
tives ,  dans  des  limites  dcmt  l'intervalle  se  resserre  de  plus  en  plus , 
et  devient  moindre  qu'aucune  quantité  assignable.  Ce  théorème  est 
très-utile  pour  reconnaître  par  les  observations ,  les  lois  et  les 
causes  des  phénomènes.  Bemoulli  attachait  avec  raison,  une  grande 
importance  à  sa  démonstration  qu'il  ^t  avoir  méditée  pendant 
fingt  années. 

Dans  rintervalle  de  la  mort  de  Jacques  Bemoulli,  à  la  publica- 
tion de  son  ouvrage  ;  Montmort  et  Moivre  firent  paraître  deux  traités 
BUT  i«  calcul  des  probabilités.  Celui  de  Montmort  a  pour  titre, 


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INTRODUCTION.  ^      «^ 

Essai  sur  lés  Jeux  de  hasard  :  il  contient  de  nombreuses  appU- 
cations  de  ce  calcul ,  aux  divers  jeux.  L'auteur  y  a  joint  dans  ^ 
la  seconde  édition,  quelques  lettres  dans  lesquelles  Nicolas  Ber- 
QouUi  dcHine  des  solutions  ingénieuses  de  plusieurs  problèmes  dif- 
ficâles,  de  probabilité.  Le  traité  de  Uoivre,  postérieur  à  celui 
de  Montmort,  parut  d'ab<H^  dans  les  Transactions  Philosophique» 
deTvinée  1711.  Ensuite  l'auteur  le  pubUa  séparément,  et  il  l'a  per- 
fectionné sucâessirement  dans  les  trois  estions  qu'il  en  a  données. 
Cet  ouvrage  est  priavipalement  fondé  sur  la  formule  du  binôme; 
et  les  problèmes  qu'il  contient,  ont,  ainsi  que  leurs  solutions,  une 
grande  généralité.  Mais  ce  qui  le  distingue,  est  la  théorie  des  suite» 
récurrentes,  et  leur  usage  dans  ces  matières.  Cette  théorie  est 
FintégratioQ  des  équations  linéaires  aux  diâërencesfinies  à  cœfificiena 
constans,  intégration  k  laquelle  Mcâvre  parvient  d'une  manière  très- 
heureuse.  Comme  il  est  toujours  intéressant  de  connaître  la  marche 
des  inrenteursj  je  rais  exposer  celle  de  Moirre,  en  l'appliquant 
à  une  suite  récurrente  dont  la  relation  entre  trois  termes  consé- 
cutife  est  donnée.  D'abord ,  il  considère  la  relation  entre  les  t^me» 
con5écuti&  d'une  progres8i<Hi  géométrique ,  ou  l^quation  à  deux 
termes,  qui  l'exprime.  En  la  rapportant  aux  termes  inférieurs  d'une 
unité,  il  la  multipUe  dans  cet  état,  par  un  Ëtcteur  constant,  et 
il  retranche  le  produit,  de  l'équâlion  primitive.  Par  là,  il  obtient 
une  relation  entre  trois  termes  eonsécuti&  de  la  progression  géo- 
métrique. Moivre  considère  ensuite  une  seconde  progression  géo- 
métrique dont  la  raisMi  des  târmes,  est  le  facteur  même  qu'M  vient 
d'employer.  Il  diminue  pareillement  d'une  imité ,  l'indice  des  termes,, 
dans  réquaticm  de  cette  nouvelle  progres«on  :  dans  cet  état,  it. 
la  multiplie  par  la  raison  des  termes  de  ta  première  progression,. 
et  il  retranche  le  produit,  de  l'équation  primitive;  ce  qui  lui  donne 
entre  trois  termes  eonsécutife  de  la  seconde  progression ,  une  re- 
lation entièrement  semU^le  à  celte  qu'il  a  trouvée  pour  la  premi^e 
pn^ressicm.  Puis  il  observe  que  si  l'on  ajoute  twme  à  terme,  les 
deux  progressio'ns;  la  même  relation  subsiste  entre  troiS' quelconques 
de  ces  somgses  consécutives.  Il  compare  les  c^efficiens  de  cette 
relation  ,  à  ceux  de  la  relation  des  termes  de  la  suite  récurrente 
pr<^oaée}  et  il  trouve  pour  déterminer  les  rapports  des  termes 


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cij  INTRODUCTION. 

consécQiift  des  deux  progressions ,  nne  ëqoatîon  du  second  degré 
dont  les  racines  sont  ces  rapports.  Far  là ,  Moivre  décompwe  la 
suite  récurrente ,  en  deux  progressions  géométriques  multipliées  » 
chacune^  par  une  constante  arbitraire  qu'il  détermine  au  moyea 
des  deux  premiers  termes  de  la  suite  récurrente.  Ce  procédé  est 
BU  fond ,  celui  que  lâgrange  a  depuis  employé  pour  l'intégration 
des  équations  linéaires  aux  différences  à  coefficiens  conatans. 

Trés*peu  de  temps  avant  ces  recherches  de  Moivre ,  Taylor  avait 
donné  dans  son  exceQent  ouvrage  intitulé  Meihffius  incremerOorum, 
la  manière  d'intégrer  réquati<Hi  linéaire  aux  difTérences  du  premier 
ordre ,  avec  un  coefficient  variable,  et  \m  dernier  terme  fonction 
du  seul  indice.  C'est  donc  à  ces  deux  illustres  géomètres,  que  l'on 
est  redevable  de  la  considération  et  de  l'intégration  de  ce  genre 
d'équations.  A  la  vérité ,  les  relations  dés  termes  cousécutiJs  dea 
progressions  arithmétiques  et  géométriques ,  ne  sont  que  les  oaa 
les  plus  simples  des  équations  linéaires  aux  diffîrences.  lAais  <mi 
Tie  les  avait  pas  envisagés  sous  ce  point  de  vue,  l'undeceuxquî 
se  rattachant  à  des  théories  générales,  ont  conduit  à  ces  théories» 
et  sont  par  là ,  de  véritables  découvertes. 

Moivre  a  repris  dans  son  ouvrage,  le  théorème  da  Jacquet 
BemouUi  snr  û  probabilité  des  résultets  donnés  par  nn  grand 
nombre  d'observations.  Il  ne  se  contente  pas  de  faire  voir ,  comme 
BemouUi ,  que  le  rapport  des  évéçemens  qui  doivent  arriver , 
approchera  sans  cesse  de  celui  de  leurs  possihiHtés  respectives  ; 
il  donne  de  plus  une  expression  élégante  et  simple  de  la  ^obabilité 
quels  différence  de  œs  deux  rapports,  sera  contenue  dans  des 
limites  données.  Pour  cela ,  il  détermine  le  rapport  du  plus  grand 
terme  du  développement  d'une  puissance  trés-élevée  du  binôme , 
à  la  somme  de  tous  ses  termes  ;  et  le  logarithme  hyperbolique 
de  l'excès  de  ce  terme,  sur  les  termes  qui  en  sont  très-roisins. 
Jje  plus  grand  terme  étant  alors  le  produit  d*un  nombre  considérable 
de  acteurs  ;  son  calcul  numérique  devient  impraticable.  Four  l'ob- 
tenir par  une  approximation  convergente ,  Moivre  Eût  usage  d'un 
théorème  de  Stirliug  sur  le  terme  moyeu  du  binôme  élevé  à  une 
haute  puissance,  théorème  remarquable,  surtout  en  ce  qu'il intro* 
duk  la^  racine  carrée  da  rapport  de  la  circoiï^i^ce  «u  rayon,  dans 


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INTRODUCTION,  ciij 

tme  «spresrion  qui  sonble  devoir  être  étrangère  k  cette  tniD&caw 
dante.  Aussi  Moivre  fut-il  slugulièremeot  fr&]^  de  ce  résultat  que 
Stirlii^  avait  déduit  de  Texpression  de  la  circonférence  en  produits 
infinis ,  expression  a  laquelle  Wallis  était  parvenu  par  une  singulière 
analyse  qui  contient  les  germes  de  la  théorie  si  curieuse  «t  si  utile 
des  intég^ks  définies. 

Plusieurs  savans  parmi  lesquels  on  doit  dlstingaer  Deparcîsux, 
Kers8eboom,Wargentio ,  Dupré  de  Salnt-MauM ,  Simpson,  Sussmildi, 
Triceet  DuvUlard,  ont  réuni  ttn  grand  nombre  de  dmiuées  précieuses 
sur,  la  p<^>ulation,  lesnaiasanGe8,lesmariage8et  lamortalité.  Ilsont 
donnâ'des  formules  et  des  tables  relatives  aux  rentea  viagères ,  aux 
tontines ,  aux  assurances ,  etc.  Mais  daos  cette  courte  naiice ,  je  ne 
puis  qu'indiquer  ces  travaux  estimables ,  pour  m'attacher  anx-idées 
originales.  De  ce  nombre,  est  b  distinction  des  espérances  mathé- 
matique et  morale ,  «t  le  principe  iogénieax  que  Daniel  BeruoulM 
a  dotmé  pour  soumettre  celle-ci  à  l'analyse.  TcAle  est  encore  Tap- 
plication  heureuse  qu'il  a  &ite  du  calcul  des  probabilité,  à  l'ino- 
culation. On  doit  surtout,  fJacer  au  DomlH«  de  ces  idées  originales, 
la  considération  directe  des  possibilités  des  événemens,  tirées  des 
événemens  «Aservés.  Jacques  BêraouUi  et  Moivre  supposaient  ces 
possibilités,  c<Himie»;  et  ils*  cherchaient  la  probabilité  que  le  résultat 
des  expériences  à  feire,  approchera  de  jrfus  en  plus  de  les  représenter. 
Bayes,  dans  les  Transactions  Philosophiques  de  l'année  17^,  a 
cherché  directement  la  probabilité  que  les  possibilités  indiquées  par 
des  expériences  déjà  feitea,  sont  comprises  dand  des  limites  données  ; 
(tîl  y  est  parvenu  d'une  manière  fine  et  très-ingénieuse, "quoiqu'tm 
peu  embarrassée.  Cet  objet  se  rattache  à  la  théorie  de  la  prt^bilité 
des  causes  et  des  événemens  fliturs ,  conclue  des  événemens  ob- 
servés ;  théorie  dont  j'exposai  quelques  années  après ,  les  principes , 
avec  la  remarque  de  l'influence  des  inégaUtés  qui  peuvent  exister 
entre  des  chances  que  Ton  suppose  égales.  Qu<»que  l'on  i^aort 
quels  sont  les  événemens  simples  que  ces  inégalités  fitvoriseot; 
cependant  cette  ignorance  m^e  accroît  soovent,  la  probabilité 
des  événemens  composés.  Ed  généralisant  Tanalyse  et  les  proMémes 
coDcermtfit  les  prolâbilités,  je  fiis  conduit  au  calcul  des  digféreuces 
finies  parttelles  que  Lagrange  a  traité  de^s,  par  v»  méthoda 


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ctT  INTRODUCTION.     - 

fort  simple,  et  dont  0  ja  Ëiit  d'élégantes  applications  à  ce  genre  de 
{«-oblèmes.  La  théorie  des  fonctions  génàralrices,  que  je  donnai 
vers  le  même  temps,  comprend  ces  objets,  parmi  ceux  qu'elle  ém- 
isasse, et  s'adapte  d'elle-même  et  arec  la  plus  grande  généralité, 
aux  questions  de  probabilité ,  les  plus  difficiles.  £Ue  détermine  encore 
par  des  approximations  très-coDTergentes,  les  valeurs  des  fonctions 
composées  d'un  grand  nombre  de  termes  et  de  facteursj  et  ea 
faisant  voir  que  la  racine  carrée  du  rapport  de  la  circonférence 
au  rayon  entre  le  plus  souvent  dans  ces  valeurs,  elle  montre  qu'une 
infinité  d*autres  trîuiscendantes  peuvent  également  s'y  introduire. 

On  a  encore  soumis  au  calcul ,  la  probabilité  des  témoi^ages , 
les  votes  et  les  décisions  des  assemblées  électorales  et  délibérantes. 
Tant  de  passions,  d'intérêts  divers  et  de  circonstances  compliquent 
les  questions  relatives  à  ces  objets ,  qu'elles  sont  presque  toujours 
iosolubles.  Mais  la  solution  de  problâmes  plus  simples  ,  et  qui  ont 
avec  elles  beaucoup  d'analogie ,  peut  souvent  répandre  de  grandes 
lumières  sur  ces  questions  difficiles. 

L'une  des  plus  intéressantes  applications  du  calcul  des  probabi'* 
lités ,  concerne  les  milieux  qu'il  fkut  choisir  entre  les  résultats  des 
.  observations.  Plusieurs  géomètres  s'en  sont  occupés,  etLagrangea 
publié  dans  les  Mémoires  de  Turin ,  une  belle  méthode  pour  déter- 
miner ces  milieux,  quand  la  loi  des  erreurs  des  observations  est 
connue.  J'ai  donné  pour  le  même  objet ,  une  méthode  fondée  sur  un 
artifice  singulier  qui  peut  être  employé  avec  .avantage  dans  d'autres  ' 
questions  d'analyse ,  et  qui  en  permettant  d'étend  re  indéfiniment  dans 
tput  le  conrs  d'un  long  calcul ,  les  fonctions  qui  doivent  être  limitées 
par  la  nature  du  problème ,  indique  les  modifications  que  chaque 
terme!  du  résultat  final  doit  recevoir  en  vertu  de  ces  limitations. 
Mais  ces  méthodes  supposent  connue ,  laloi  des  erreurs  des  observa- 
tions j  ce  qui  n'est  pas.  Heureusement ,  j'ai  trouvé  que  si  les  observa-' 
tions  sont  en  grand  nombre,  la  recherche  des  milieux  que  l'on  doit 
choiùr,  devient  indépendante  de  cette  loi.  On  a  vu  précédemment, 
que  chaque  observation  fournit  une  équation  de  condition ,  da 
premier  degré ,  qui  peut  toujours  être  disposée  de  manière  que 
tous  ses  termes  soient  dans  le  premier  membre ,  le  second  étant 
jjèct),  ïf'tisage  de  ce»  équations  est  une  des  causes  principales  dQ 


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INTRODUCTION.  ct 

ia  grande  préciâon  de  nos  tables  astrontxniqaes;  parce  que  Ton 
«  pu  ainsi  Eure  concourir  on  nombre  immense  d'excellentes  ob- 
servations, à  la  détermination  de  leurs  clémeDS.  Lorsqu'il  n'y  a 
qu'un  seul  élément  à  déterminer ,  Côtes  avait  prescrit  de  préparer 
les  équations  de  condition,  de  sorte  que  le  coefficient  de  l'élément 
inconnu  fût  positif  dans  chacune  d'elles ,  et  d'ajouter  ensuite  toutes 
ces  équations ,  pour  former  une  équation  finale  d'où  l'on  tire  la 
valeur  de  cet  élément  La  ré^e  de  Côtes  fût  suivie  par  tous  les 
calculateurs.  Mais  quand  il  MIait  déterminer  plusieurs  élémens; 
on  n'avait  aucune  règle  fixe  pour  combiner  les  équations  de  con- 
dition, de  manière  à  obtenir  les  équations  finales  nécessaires  :  seu- 
lement, on  choisissait  pour  chaque  élément,  les  observations  les 
plus  propres  à  le  déterminer.  Ce  iût  pour  obvier  à  ces  tàtonnemens, 
que  Legendre  et  Gauss  ima^èrent  d'aj  outer  les  carrés  des  premiers 
membres  des  équations  de  condition ,  et  d'en  rendre  la  somme  ua 
minimum,  en  y  faisant  varier  chaque  élément  inconnu  :  par  ce 
moyen ,  on  obtient  directement  autant  d'équations  finales ,  qu'il  y  a 
d'élémens.  Mais  les  valeurs  déterminées  par  ces  équations ,  méritent- 
elles  la  préférence  sur  toutes  celles  quel'onpeut  obtenir  par  d'autres 
moyens?  Cest  ce  que  le  calcul  des  probabilités  pouvait  seul  ap- 
prendre. Je  l'appliquai  donc  à  cet  objet  impçrtant,  et  je  fiis  conduit 
par  une  analyse  délicate ,  à  la  régie  que  je  viens  d'indiquer,  et  qui 
réunit  ainsi  à  l'avantage  de  faire  connaître  par  un  procédé  régulier, 
les  élémens  cherchés,  celui  d'en  donner  les  valeurs  les  plus  avan- 
tageuses, ou  qui  ne  laissent  à  craindre  que  les  plus  petites  erreurs 


On  voit  par  cet  Essai ,  que  la  théorie  des  probabilités  n'est  au 
fond ,  que  le  bon  sens  réduit  au  calcul  :  elle  fait  apprécier  avec 
exactitude ,  ce  que  les  esprits  justes  sentent  par  une  sorte  d'ins- 
tinct, sans  qu'ils  puissent  souvent  s'en  rendre  compte.  Si  Ton 
considère  les  méthodes  analytiques  auxquelles  cette  théorie  a 
donné  naissance,  la  vérité  des  principes  qui  lui  servent  de  base, 
la  logique  fine  et  délicate  qu'exige  leur  emploi  dans  la  solution  des 
problèmes,  les  établissemens  d'utilité  publique  qui  s'appuient  sur 
elle ,  et  l'extension  qu'elle  a  reçue  et  qu'elle  peut  recevoir  encore, 
par  son  application  aux  questions  les  plus  importantes  de  la  philo^ 


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cvj  iwTRODUcnorr. 

Bophie  natarelle  et  de  l'écoDomie  politique  ;  si  Ton  obserre  ensDÎte 
que  dans  les  f^oses  mêmes  qui  ne  peuvent  être  soumises  ail  calcul, 
elle  donne  les  aperçus  les  plus  sârs  qui  puissent  nous  guider  dans 
DOS  jugemens ,  et  qu'elle  nous  apprraid  à  noue  garantir  des  iUusions 
qtd  souvent  bous  égarent  ;  on  veira  qu'il  n'est  point  de  science 
plus  digne  de  nos  mécBtaïitHis ,  et  dont  les  résultats  sweot  plu» 
utiles. 

x  Plan  de  VOuvrage. 

Je  donne  dans  mon  ouvrage ,  Tanalyse  mathématique  ^ee  ré- 
sultats que  je  viens  de  présenter  dans  cette  Introduction.  Il  est 
divisé  en  deux  livres.  Le  premier  a  pour  objet,  le  calcul  des  fonc- 
tions génératrices ,  qui  sert  de  fondement  à  ma  Tbé<Hie  des  Pro- 
babilités. Ce  Kvre  est  divisé  lui-même  en  deux  parties  :  l'une  *en- 
Ifenne  la  théorie  des  fonctions  génératrices,  et  l'autre  contient  la 
-théorie  des  approximations  des  formules  fonotîoDS  de-  ^ods 
nombres.  Le  rapprochement  de  ces  deux  théories  montre  avec 
évidence,  que  la  seconde  n'est  qu'une  extension  de  la  preimère; 
et  qu'elles  doivent  être  coneidâ<ées  c<Hnme  deux  l»nDches  d'un 
même  calcul.  les  principes  du  calcul  des  probabilités  et  leur  appli- 
cation aux  questions  les  ^us  générales  et  les  plus  utUes  'que  l'oa 
puisse  se  proposer  sur  cette  matière ,  sont  l'objet  du  second  livre, 
dans  lequel  je  me  suis  spécialement  attaché  à  détenniner  la  pro- 
babilité des  causes  et  des  résultats  indiqués  par  un  grand  nombre 
d'observations,  et  à  (Percher  les  lois  suivant  kequelles  oette  pro- 
babilité approche  de  ses  limites ,  à  mesure  que  les  événemens  se 
multipHent  :  c'est  dans  ces  rei^rches ,  que  le  calcul  des  fonctions 
génératrices  trouve  ses  appUcatioos  les  phis  importantes. 


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THÉORIE  ANALYTIQUE 

DES  PROBABILITÉS. 

LIVRE  PREMIER. 

CALCUL  DES  FONCnoifS  GÉNÉBjLTBlCEâ. 


PREMIÈRE  PARTIE 

Des  FonctioTta  g^iératnce$, 

Lbb  grandeurs  considérées  en  général,  s'ei^rimoit  commuDément 
par  les  lettres  de  l'alphabet,  et  ç'està  Viéte  qa'eet  due  cette 
notation  commode  qui  transporte  à  la  langue  analytique,  les  alpha- 
bets des  langues  connues.  L'application  que  Yiéte  fit  de  cette  no- 
tation ,  à  la  géométrie ,  à  la  théorie  des  équations  et  aux  sections 
angulaires ,  fbrme  une  des  époques  remarquables  de  rhistoîre  des 
Mathématiques.  Des  dgnes  très-simples  expriment  les  corrébtions 
des  candeurs.  La  position  d'une  grandeur  à  la  suite  d'une  antre , 
suffît  pour  exprimer  leur  produit.  Si  ces  grandeurs  sont  la  même , 
ce  produit  est  le  carré  ou  la  seconde  puissance  de  cette  candeur. 
Mais  au  lieu  de  récrire  deux  fois,  Descartes  ùnag^a  de  ne  l'écrira 

t. 


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4  THÉORIE  ANALYTIQUE 

qu'une  fois , en  lui  donnant  le  nombre  2  pour  exposant;  et  il  eiprhna 
les  puissances  successirea  ,  en  augipentant  successivement  cet 
exposant,  d'une  unité.  Cette  cotation,  en  ne  la  considérant  que 
comme  une  manière  abrégée  de  représenter  ces  puissances,  semble 
peu  de  chose  ;  mais  tel  est  Tavantage  d'une  langue  bien  faite ,  que 
ses  notations  les  plus  simples  sont  devenues  souvent  la  source  des 
théories  les  plus  profondes  ;  et  c'est  ce  qui  a  eu  Ueu  pour  les  expo- 
sans  de  Descartes.  VVallis  qui  s'est  attaché  spécialement  à  suivre 
le  fil  de  l'induction  et  de  l'analogie,  a  été  conduit  par  ce  moyen, 
à  exprimer  les  puissances  radicales^par  des  exposans  fractionDaires  ; 
et  de  même  que  Descartes  exprimait  par  les  exposans  a ,  5 ,  etc. , 
les  puissances  secondes ,  troisièmes ,  etc.  d'une  grandeur  ;  il  exprima 
ses  racines  secondes ,  troisièmes ,  etc.  par  les  exposans  fraction^ 
xtaires  f ,  ^ ,  etc.  En  général,  il  exprima  par  Texposant  ^ ,,  la  racine  n 

d'une  grandeur  élevée  à  la  puissance  m.  Eu  efiet,  suivant  la  nota- 
tion- de  Descartes ,  cette  expression  a  lieu  dans  le  cas  où  m  est 
divisible  par  n;  et  Wallis,  par  analogie,  l'éteadit  à  tous  les  cas.  Il 
remarqua  ensuite  que  la  multiplication  des  puissances  d'une  même 
grandeur ,  revient  à  ajouter  les  exposans  Ae  ces  puissances,  qu'il 
feut  retrancher  "dans  leur  division  j  ensorte  que  l'exposant  n — m 
indique  le  quotient  de  la  puissance  n  d'une  grandeur,  divisée  par  sa 
puissance  m  j  d'où  il  suit  que  ce  quotient  devenant  l'unité,  lorsque 
m  est'égàlê  à  n,  toute  grandeur  ayant  zéro  pour  exposant,  est 
l'unité  même.  &l  m  surpasse  n ,  l'exposant  n  —  m  devient  négatif, 
et  le  quotient  devient  l'unité  divisée  par  la  puissance  m  —  n  de  Ea 
grandeur.  Wallis  supposa  donc  généralement  que  l'exposant  né- 
gatif —  ^  exprime  l'unité  divisée  par  la  racine  b***  de  la  grandeur 
élevée  à  la  puissance  m. 

Ce  fut  dans  son  ouvrage  intitulé  ytrythmetica  infinitorum ,  que 
Wallis  exposa  ces  remarques  qui  le  conduisirentà  sommer  x*,  x  étaut 
supposé  formé  d'une  infinité  d'élémens  pris  pour  unité  ;  ce  qui ,  sui- 
vant les  notations  actuelles ,  revient  à  intégrer  ta  di0ëre;ntielle  x'dx. 
Ilfit  voir  que  cette  intégrale  prise  depuis  X nul,  est -^p-,  ce  qui  lui 
donna  l'ialégrale  d'une  suite  formée  de  différentielles  semblables. 


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DES  PROBABILITÉS^  B 

£q considérant  ainsi  l'intégrale /(/«.(i  —»-)',  lorsque  n  et  *  sont 
des  nombres  entiers ,  et  lorsqu'elle  est  prise  depuis  x  nul  jusqu'à 

X  ==:  1 ,  it  troura  qu'elle  est  égale  à  i=zL'Tz-V~-":rTT.  Si  les  indices 

^  *^        T-R.j+a- •■■*+» 

n  et  s  sont  fractiopaaires  et  égaux  à  j ,  cette  intégrale  exprime  le 
report  de  la  sur&ce  du  cercle  au  carré  de  son  diamètre.  Wallis 
s'attacha  donc  à  interpoler  le  prodiùt  précédent,  dans  le  cas  où 
n  et  f  sont  des  nombres  fractionnaires  ^  problème  entièrement 
nouveau  à  l'époque  où  cet  illustre  Géomètre  s'en  occupa,  et  qu'A 
parvint  à  résoudre  par  une  méthode  fort  Ingénieuse  qui  contient  les 
germes  des  théories  des  interpolations  et  des  intégrales  définie;^ 
dont  lis  géomètres  se  sont  tant  occupés,  et  qui  sont  l'objet  d'une 
grande  partie  de  cet  ouvrage.  Il  obtint  de  cette  manière,  l'expression 
du  rapport  de  la  surfece  du  cercle  au  carré  de  son  diamètre ,  par 
un  produit  d'une  infinité  de  &cteurs ,  qui  donne  des  râleurs  de  plus 
en  plus  approchées  de  ce  rapport ,  à  mesure  que  Ton  conoidère  un 
plus  grand  nombre  de  ces  facteurs  ;  résultat  Pun  des  plus  singuliers 
de  l'analyse.  Mais  il  est  remarquable  que  Wallis  qui  avait  si  bien 
c<»isidéré  les  indices  fractionnaires  des  puissances  radicales ,  ait 
continué  de  noter  ces  puissances ,  comme  on  l'ayait  fait  avant  lui. 
On  Toitla  notation  des  puissances  radicales,  par  les  exposansfraction- 
naires ,  employée  pour  la  première  fois ,  dans  les  lettres  de  Newton 
àOldemboui^,  insérées  dans  le  CommerciumEpîstoUcum.  En  com- 
parant par  la  Toie  de  l'induction  dont  Wallis  avait  (ait  un  si  bel  usage , 
les  exposans  des  puissances  du  binôme,  arec  les  coefGciens  des 
termes  de  son  développement,  dans  le  cas  où  ces  exposans  sont  des 
nombres  entiers;  il  détermina  la  loi  de  ces  coeflBciens,  et  il  retendît 
par  analogie  «  aux  puissances  fractionnaires  et  aux  puissances  néga- 
tives. Ces  divers  résultats  fondés  sur  k  notation  de  Descartes, 
montrent  l'influence  d'une  notation  heureuse  sur  toute  l'analyse. 

Cette  notation  a  encore  Tavantage  de  donner  l'idée  la  plus  simple 
et  la  plus  juste  des  logarithmes  qui  ne  sont  en  e0et ,  que  les  expo- 
sans entiers  et  fracU'onnaires  d'une  même  grandeur  dont  les  diverses 
puissances  représentent  tous  les  nombres.  Mais  l'extension  la  plus 
importante  que  cette  notation  ait  reçue ,  est  celle  des  exposans 
variables  ;  ce  qui  constitue  le  calcul  exponentiel ,  l'une  des  branches 


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6  THÉOME  ANAITTIQUE 

les  plus  fécondes  de  l'analyse  moderne.  Leibnîtz  a  indigné  le  ^CTiiei^ 
dans  les  Actes  de  Leipaicpoor  1683 ,  les  transcendantes  à  exposons 
variables,  et  parla  U  a  compTété  le  système  des  élémens  dont  mie 
fonctioa  ânie  peut  être  composée.  C^  tonte  fonction  finie  esfdicite 
se  réduit  en  dernière  analyse ,  à  des  grandeurs  simples,  ajoutées  oa 
soustraites  les  unes  des  antres ,  multipliées  oi^diyisées  entr'elles  , 
élevées  à  des  puissances  constantes  ou  variables.  Les  racines  des 
équations  formées  de  ces  élémens ,  en  sont  des  fonctions  implicites. 
Cest  ainsi  que  c  étant  le  nombre  dont  le  logarithme  hyperbolique 
est  Tunité,  le  logarithme  de  a  est  la  racine  de  Téquation  transcen- 
dante c"—  a  =  o.  On  peut  considérer  encore  les  quantités  loga- 
iithmiques,  comme  des  fonctions  exponentielles  dont  les  e:^osans 

sont  infiniment  petits.  Akisi  Xlog  X  est'égal  à  — 3~~-  l'outes 
les  modifications  de  grandeur  que  l'on  p«ut  concevoir  aux  exposans, 
se  trouvent  donc  représentées  par  les  quantités  exponentielles , 
algébriques  et  logarithmiques.  Ces  quantités  et  leurs  fonctions  em- 
brassent par  conséquent ,  toutes  les  fonctions  finies  explicites  ;  et 
les  racines  des  équations  formées  de  fonctions  semblables,  em- 
brassent toutes  les  fonctions  finies  implicites. 

Ces  ^antitéa  sont  essentiellement  distinctes  :  Pexponentielle  a*, 
par  exemple,  ne  peut  jamais  être  identique  avec  une  fonction  algé- 
brique de  X.  Car  toute  fonction  algébrique  est  réductible  dans  • 
une  série  descendante  de  la  forma  A.x'+ A'^"-"'+etc.  :  or  il  est 
facile  de  démontrer  que  a  étant  supposé  plus  grand  qiie  Tuliité, 
et  X  étant  infini,  a'  est  infiniment  plus  grand  que  kxTy  quelque 
grands  que  Ton  suppose  k  et  n.  Pareillement,  il  est  aisé  de  voir 
que  ^ns  le  cas  de  x  infini ,  x  est  infiniment  plus  grand  que  A:  (  log  x  )*. 
t,es  fonctions  exponentielles ,  algébriques  et  logarithmiques  d'une 
Variable  indéterminée,  ne  peuvent  donc  pas  rentrer  les  unes  dans 
les  autres  :  I_es_guantités_algébriques  tiennent  le  railieiTentre  les 
exponentielle»  et  les  logarithmiques  \  les  exposans  ,  lorsque  la  va- 
riable est  infinie ,  pouvant  être  considérés  comme  infinis  dans 
les  exponentielles,  finis  dans  les  quantités  algébriques^  et  infini- 
ment petits  dans  les  quantités  logarithmiques. 

On  p«tit  encwe  établir  en  principe ,  qu'une  fonction  radicale  d*une 


yGoogle 


DES  PROBABnJTÉS.  y 

TariaUe,  ne  peut  pas  être  identique  arec  une  f<mctîon  ratiaon^  de 
lainêmeTariable,oa  arec  une  autre  fbnctioii  radicale.  Ain8t(i-t-x')^7 
est  essentielleàient  distinct  de  (i+x*)^,  et  de  (i -{-*)'- 

Ces  prindpes  ft»idés  sur  la  nature  même  des  fimctions ,  peurent 
être  d'une  grande  utilité  dans  les  reeliercfaes  analytiques,  en  indi- 
quant les  formes  dent  les  feoctîons  que  l'on  se  propose  de  trouver, 
sont  snsceptibteSj  et  en  démontnuat  leur  impossibilité  dans  un  grand 
nombre  de  cas  ;  mais  idors  il  Êtut  être  bien  aér  de  n'omettre  aucune 
des  formes  possibles.  Ainsi  la  différentiation  feàssant  subsister  les 
quantités  exponentielles  et  ra^cales ,  et  ne  &isant  disparaître  les 
'  quantités  logariâuniques ,  qu'autant  qu'elles  sont  multipliées  par  des 
constantes  ;  on  doit  en  conclure  que  l'intégrale  d'une  fonction 
diflërentiefle  ne  peut  renferca^r  d^ntres  quantités  exponentielles  et 
radicales,  que  celles  qui  sont  contenues  dans'eette  fonction.  Far 
ce  moyen,  j'ai  reconnu  que  Voa  ne  peut  pas  obtenir  en  fonction  finie 

ei^licite  ou  implicite  de  la  Tariable  x,  l'intégrale  /  ^         TPH' 

Pai  démontré  pareillement  que  les  équations  linéaires  aux  diffîrences 
partielles  du  second  ordre  entre  trois  variables,  ne  sont  pas  le  plus 
souvent ,  susceptibles  d'être  intégrées  sous  une  forme  finie  ;  ce  qui 
■  m'a  conduit  à  une  méthode  générale  pour  les  intégrer  sous  cette 
forme ,  lorsqu'elle  est  possible.  Dans  les  antres  cas ,  on  ne  peut 
obtenir  une  intégrale  finie,  qu'au  moyen  d^intégrales  définies. 

Leibnitz  ayant  adapté  au  calcul  différentiel ,  une  caractéristique 
très-commode,  il  imagina  de  lui  donner  les  mêmes  e^iosans  qu'aux 
grandeurs  ;  mais  alors ,  ces  exposans ,  au  lieu  dlndiquer  les  multi- 
plications répétées  d'une  même  grandeur ,  indiquent  les  difleren- 
tiations  répétées  d'une  même  fonction.  Cette  extension  nouvelle  de 
la  notation  cartésienne ,  conduisît  Leibnitz  à  ce  théorème  remar'> 
quable ,  savoir ,  que  la  diffêrentielle  n*™*  d'un  produit  xyz.  etc. ,  est 
égaleà  (dx+dy-t-dz-i-etc)',  pourvu  que  dans  le  développement 
de  ce  polynôme ,  on  applique  à  la  caractéristique  d,  les  exposans 
des  puissances  de  dx,  dy ,  dz,  etc. ,  et  qu'ainù  l'on  écrive 
àx.d^y.d^z.etc.,  au  lieu  de  {dx)'.{dyY.(dzy.e,tc.,  en  ayant  soin 
de  changer  d**,  d'y^  d'z,  etc.,«i  ic,7,z,  etc.  Ce  grand  Géomètre 


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8  THÉORIE  ANALÏTIQUE 

observa,  de  plus,  que  ce  théorème  subsiste ,  en  y  supposant  n  néga- 
tif  j  pouTTu  que  l'on  change  les  diffêrentielles  négatiTes  en  intégrales. 
Lagrange  a  suivi  cette  analogie  singulière  des  puissances  et  des  diffé- 
rences, dans  tous  sesdéreloppemens^etpar  une  suite  d'inductions 
trè&-fiaes  e  t  très^^faeorenses ,  il  en  a  dé^it  des  formules  générales  aussi 
curieuses  qu'utiles ,  sur  les  transformations  des  diSërences  et  des  in- 
tégrales les  unes  dans  les  autres,  lorsque  les  variables  ont  des  accrois- 
semens  finis  divers ,  et  lorsque  ces  accroissemens  sont  infiniment 
^petits.  Son  mémoire  sur  cet  objet ,  inséré  dans  le  Recueil  de  l'Aca- 
démie de  Berlin  pour  l'année  1773,  peut  être  regardé  comme  une 
des  plus  belles  applications  que  l'on  ait  Êtites,.  de  la  méthode  des 
inductions.  La  théorie  des  fonctions  génératrices  étend  à  des  carac-  r 
téristiques  quelconques ,  la  notation  cartésienne  :  elle  montre  en, 
même  temps ,  aveç^évidence,  l'analogie  des  puissances  et  des  opé- 
rations indiquées  par_cgg  caractéristiques  ;  et  nous  allons  voir  tout 
ce  qui  concerne  les  séries ,  et  l'intégration  des  équations  Unéairea 
0UX  (Wérences ,  ea  découler  ^vep  une  extrême  étcilité. 


CHAPITRE 


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DES  PROBABIUTÉS 


CHAPITRE  PREMIER. 

Des  Fonctions  g^ératrkes,  à  une  variahîe, 

a.  OoiT  y^  une  foncUun  (luelcontjue  de  x\  si  l'on  l'orme  la  suite 
lufinie 

:y,+y.-t+y..t*  -hy»-^ +j'..^ +^,+..«'*' 4-^,  .i"  ; 

on  peut  toujours  concevoir  une  fonction  de  t ,  qui  développée 
suivant  les  puissances  de  /,  donne  cette  suite  :  cette  fonction  est 
ce  que  je  nomme  Jonction  génératrice  àey,. 

La  fonction  génératrice  d'une  variable  quelconque^,,  est  donc 
'généralement  une  fonction  de  * ,  qui  développée  suivant  les  puis- 
sances de  i,  a  cette  variable  pour  coefficient  de  f;  et  réciproque- 
ment ,  la  variable  correspondante  d'une  .fonction  génératrice  ,  est 
le  coefficient  de  if  dans  le  développement  de  cette  fonction  suivant 
les  puissances  de  t  ;  ensorte  que  l'exposant  de  la  puissance  de  t, 
indique  le  rang  que  la  variable  y,  occupe  dans  la  série  que  l'on 
peut  concevoir  prolongée  indéfiniment  à  gaucbe ,  relativement  aux 
puissances  négatives  de  /. 

n  suit  de  ces  définitions ,  que  u  étant  la  fonction  génératrice  de 
y^j  celle  de^,^.,  est  p  ;  car  il  est  visible  que  le  coefficient  de  ï*. 
dans  ^  est  égal  à  celui  de  «**'  dans  ù  j  par  coaséqùent  il  est  égal 

Le  coefficient  de  l'  dans  u.Q-  —  i^  est  donc  égal  à  ^,+,— y,, 
ou  à  la  différence  des  deux  quantités  consécutives^y^^.,  ét^„  diâ^ 
rence  que  nous  déaigaerons  par  A.^„.A  étant  la  caractéristique 
des  difEcrences  finies.  On  a  doue  la  fonctioD  géuà-atrice  de  la  di£^ 


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lo  THÉORIE  ANAITTIQUE 

rence  finie  d'une  quantité  variable ,  en  multipliant  par -r  —  i,  1a 

fonction  génératrice  de  la  quantité  ellennême.  La  fonction  généra- 
trice de  la  différence  finie  de  A.^. ,  différence  que  l'on  désigne  pax 

A'.^,,  est  ainsi  «/j— ij;  celle  de  la  différence  finie  de  A*._y^ 

ou  A'  .jf',  est  u .  Q  — 1^  ;  d'où  l'on  peut  généralement  conclure  que 

la  fonction  génératrice  de  la  dififérence  finie  A'.^,est  «.f|— iV 

Pareillement,  le  coefficient  de  f  dans  le  développement  de 

est 

en  nommant  donc  v  -y*  cette  quantité ,  sa  fonction  génératrice  sera 

"•(«+'+1 +^> 

Si  l'on  noimne  v'-^.  ce  <piè  devient  v  -y*  lorsqu'on  y  change  y, 
dans  V'^ir}  si  l'on  nomme  pareillement  vV*  **  que  devient  v'-^. 
lorsqu'on  y  change  v  -y»  dans  v'-^*i  et  ainsi  de  suites  leurs  fonc- 
tions génératrices  correspondantes  seront 

■'•(''+f+^- H-^T; 

-•(«+'  +  ? +,?■); 

etc.i 
et  généralement  la  fonction  génà'atrice  de  v'.^,  sera 

-(«+'+^ +0- 

De  là  il  est  fàcQe  de  conclure  généralement  que  la  fonction  géofr  ■ 
ratrice  de  A'.y'^,^',  est 

*  r(f^\^%- ^m-^)- 

fta^^eut  généralîser  encore  ces  résultats,  en  «apposant  que  v-J'* 


DigilJzed 


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DES  PROBABILITÉS.  ii 

représente  une  fonction  qnelconqae  linéaire  finie  ou  infinie,  de 
^.ï^»-Mi^»+n  etCîque  v''^«8oitceque  devient  v-^i»  lorsqu'on 
y  change  y,  dans  v-^.j  que  v*-^.  soit  ce  que  devient  v'-^*» 
lorsqu'on  j  change  v.^.  dans  v*-^<t  «t  w^âx  de  suite;  u  étant  la 
fonction  génératrice  de^. ,  u.s'  sera  la  fonction  génératrice  de 
v'-^,,  «  étant  ce  que  devient  v-^-  >  lorscpi'on  y  change  y,  dans 
l'unité ,  jc,^.,  dans  j  ,^,^,  dans  j;,  etc.  Cela  est  encore  vrai,  lors- 
que (  est  nn  nombre  négatjf ,  ou  même  fi'actionnaire  et  incom- 
mensurable ,  en  disant  toutefois  à  ce  résultat ,  des  modificatioi^ 
convenables. 

Représentons  par  Z  la  caractéristique  des  intégrales  finies ,  et 
nommons  z  la  foncticHi  génératrice  deZ'.^^,  u  étant  la  fonction 

géD««trice  de^,;  z.Q^  —  ij  sera  ptu:  ce  qui  précède,  la  fonction 

gén«-atrice  de^',.  Mais  cette  fonction  doit,  en  n'ayant  égard  qu'aux 
puissances  positives  de  c,  se  réduire  à  u  qui  ne  renferme  que  des 
puissances  pontives  de  t,  si  l'on  n'étend  Tintégrale  multiple  t^-y, 
qu'aux  valeurs  positives  de  x  ;  on  aura  donc  alors 


^•a- 


d'où  Ton  tire 


i.l'+^.l'-'+«.l"+C.<'-» +  F  ..  1 

ô^^ô" • 


^jS,  C F  étant  des  constantes  arbitraires  qui  répondent 

aux  i  constantes  arbitraires  qululroduisent  les  i  intégrations  suc- 
cessives de  2*. y  M. 
En  disant  abstraction  de  ces  constantes ,  la  fonction  génératrice 

de  ï'.j',  est  u.Q —  ij  ;  ensorte  que  l'on  obtient  cette  fonction 
génératrice ,  en  changeant  i  dans  —  i,  dans  la  fonction  génératrice 
de  a'. y  y,  ùk-^-ym  est  donc  eStxcs  égale  à  2'.^.;  c'est-à-dire  que  les 
'  différences  négatives  se  changent  en  intégrales.  Mais  si  l'on  a  égard 
aux  constantes  arbitraires ,  il  £tut ,  eu  passant  des  puissances  po- 
sitives de  7  ■—  1  à  ses  puissances  négatives ,  augmenter  u  de  la  série 

^  •+•  jT  +  p^  +  etc.,  prolongée  jus^'à  ce  que  le  Dinoolnre  de  set 


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13  THÉORIE  ANALYTIQUE 

termes  soit  égal  à  Pexposant  de  ces  puissances.  On  peut  appli- 
quer des  considérations  semblables  ,  à  la  fonction  génératrice  de 

Oo  voit  par  ce  qui  précède ,  de  quelle  manière  les  fonctions  gé- 
nératrices se  forment .  de  la  loi  des  variables  correspondantes. 
Voyons  maintenant  comment  les  Yariable8_.5e  dédmsent  de  Jeiu:8  , 
fonctions  génératrices,  s  étant  une  fonction  quelconque  de  -,  si 
l'on  développe  s'  suivant  les  puissances  de  j,  et  que  l'on  désigne 
par-  un  terme  quelconque  de  ce  développement;  le  coefficiwit 
de  f  dan»  ,"  )  octk  a  -jx^i-m  ',  ^a  aura  donc  1«  coefficient  de  f  dans 
».£',  coefficient  que  nous  avons  désigné  précédemment  par  v'.j',', 
i'.  en  substituant  dans  *,_/,  au  lieu  de^;  3%  en  développant  ce 
que  devient  îdors  s'  suivant  les  puissances  de^„  et  en  transportant 
àl'indice  ar,  l'exposant  de  la  puissance  de  _y,;  c'est-à-dire ,  en  décri- 
vantjï',^.,  au  lieu  de  (^,)';j',+,  au  lieu  de  (^,)',  etc.;  et  en  mul- 
tipliant les  termes  indépendans  de^,,  et  qui  peuvent  être  censés 
avoir  (jr,)"  pour  facteur,  par  y,.  Lorsque  la, caractéristique  v  se 
change  en  à,  s  est,  par  ce  qui  précède,  é^al  k  j —  j  ;  on  a  donc 
alors 

A'.^,=j'.^i—  i.y.+i-.  H-  ^J=^.^.+i_.— etc. 

Si  au  lieu  de  développer  s'  suivant  les  puissances  de  ^ ,  on  le 
développe  suivant  les  puissances  de  -  —  i ,  et  que  l'on  désigne 
par  i.(^  —  ij,  un  terme  quelconque  de  ce  développement;  le 
coefficient  de  f  dans  ^"-(-i  —  iJsera^.A'.j',  ;  on  aura  donc  v';?'«i 
1'.  en  substituant  dans  s,  Ay,  au  lieu  de  ~  —  i ,  ou,  ceqiii  refait 
aumème,i  + A.j'^aulieu  de  -;  s*,  en  développant  ce  que  devient 
alors  s'  suivant  les  puissances  de  A  ._/„  et  en  appliquante  j^  carac- 
téristique A ,  les  exposans  des  puissances  de  A  .^, ,  c'est-à-dire  en 
écrivant  A  .y,  au  lieu  de  (  A  .^t,)',  A\jr,  au  lieu  de  (A  .y,Y,  etc. , 


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DES  PROBABILITÉS.  i5 

el  «0  multipliant  par  (A._y,)',  ou,  ce  qui  est  la  même  chose,  par^, 
les  termes  indépeDdans  de  A  .y,. 

Généralement,  si  Fon  considère  s  comme  ime  fonction  de  r, 

r  étant  une  fonction  de  -  ^  telle  que  le  coefficient  de  **  dans  ur , 

soitn.^,;  on  aurav'.^,,  en  substituant  dans  «,  D.^,  au  lieu  der; 
en  développant  ensuite  s'  suivant  les'  puissances  de  D.^. ,  et  en 
appliquant  à  la  caractéristique  p,  les  exposans  de  D.^,,  c'est-à- 
dire ,  eu  écrivant  a  .y,  au  lieu  de  (n -y.)  »  ^3*  ■^*  ^'^  ^^^i  ^®  (D  •/*)*>  etc.  j 
et  en  multipliant  parj^^  les  termes  indépendans  de  n.^,.  ^ 

Le  développement  de  v'-J'.  par  ime  série  ordonnée  suivant  les 
variations  successives  n-^,,  D'.^,,  etc.,  se  réduit  donc  a  la  for- 
mation de  la  fonction  génératrice  de  jt'i»  au  développementde  cette 
fonction ,  suivant  les  puissances  d'une  fonction  donnée  j  enfin , 
au  retour  de  la  fonction  génératrice  ainsi  développée,  aux  coeffi- 
ciens  variables  correspondans  j  les  exposans  des  puissances  du 
développement  de  la  fonction  génératrice ,  devenant  ceux  de  la 
caractéi-istique  de  ces  coefficiens.  On  voit  ainsi  l'analogie  des  puis- 
sances avec  les  diffêrences,  ou  avec  toute  autre  combinaison  des 
coefficiens  variables  consécutifs.  Le  passage  de  "ps  coefficiens  à 
leurs  fonctions  génératrices ,  et  le  retour  de  ces  fonctions  déve- 
loppées aux  coefficiens,  constituent  le  calcul  des  foTictioHSffé ftéra~.- 
tnces.  Les  applications  suivantes  en  feront  connaître  l'esprit  et  les 
avantages. 

De  l'interpoi&tion  dês  suites  à  une  variable,  et  de  Vintégmtion  des 
équations  différentielles  linéaires. 

5.  Toute  la  théorie  de  l'interpolation  des  suites  se  réduit  à  dé- 
termkier ,  quel  que  soit  i  ,  la  valeur  de  ^,  ^.  < ,  en  fonction  des  termes 
qui  précèdent  ou  qui  suivent  ^,.  Pour  cela ,  on  doit  observer  que 
j'u-j  est  égal  aux  coefficiens  de  i,^',  dans  le  développement  de  «, 
et  par  conséquent  égal  au  coefficient  de  t^  dans  le  développement 
de  ^  j  or  on  a  ■ 


db,  Google 


i4  THÉORIE  ANALYTIQUE 

De  plus ,  le  coefficient  de  f ,  dans  le  developpeiuent  de  u,  est^.  ; 
ce  coefficient  dans  le  développement  de  u.Q-  —  iVést  A.^,  ; 
dans  le  déTelt^pementde  u/j—- 1\  il  est  égala  ûV^,,  et  ainsi 

de  suite  ;  l'équation  précédente  donnera  donc ,  en  repassant  des 
fonctions  génératrices  aux  coeffîciens, 

Cette  équation  ayant  lieu  quel  que  Soit  i,  ai  le  supposant  même 
' ,  fractionnaire ,  sert  &  Interpoler  les  «mtôe  dont  les  différences  suc- 
cessives Tont  en  décroissant. 
Si  Ton  a  l'équation  aux  différences  fioies 

A'.^,==o; 
la  série  précédente  se  termine ,  et  l'on  a ,  quel  <pie  soit  »,  en  M- 
fiant  X  nul, 

ji      •''  '  ''"  '       i,a  -^  '      i.a.3 (o^i)  '' 

C'est  l'intégrale  ctnnplète  de  Féqoation  proposée  aiiTdifiërences , 
y,,  A.^,,. . .  .A"''.^,  étant  les  n  constantes  arbitraires  de  cette 
int^ale. 
Toutes  les  maniérçs  de  développer  la  puissance  l,  donnent 

antant  de  manières  ^g^eates  d'interpoler  les  suites.  Soit ,  par 

exemple , 

I  ,    a 

en  développant  -^  suivant  les  puissances  de  a,  par  la  formule  (p) 
du  n°  ai  du  second  livre  de  la  Mécanique  céleste  j  on  aura 

H J      '  "^         i.a  ^^  i.a.3 

i'-"'|+'W-0-(;+4^-^)-W.-^...+etc. 
a-  étant  égal  à  f.Q  —  i) ,  le  coefficient  de  ^  dans  le  développement 

Digilizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABILITÉS.  iS 

de  wt  est ,  par  le  n*  a,  A.y,.,;  ce  m^e  coeffident  dans  u.«*e6t 
A*.y,_„,  et  ainsi  de  suite.  L'équation  précédente  donnera  donc  > 
en  repassant  des  fonctions  génératricea  aux  coeflSciens , 

4.  Voici  maintwiant  une  méthode  générale  d'intOTpolation ,  qui 
a  l'arantâge  de  s'appliquer ,  non-seulement  aux  séries  dont  tes 
différences  des  termes  fiaioacni  par  €tre  nulles ,  mais  encore  aux 
séries  dont  la  dernière  raison  des  tenues  est  celle  d'tme  suite  quel- 
conque récurrente. 

Supposons  dfibord  que  l'on  ait 

et  cherchons  la  valeur  de  ~,  dans  une  suite  ordonnée  par  rapport 
aux  puissances  dé  x.  H  est  dair  que  ^  est  égal  au  coefficient  de  6* 
d^.  le  développement  de  la  fraction — ^.  Si  l'on  multiplie  le  nu- 

tnérateui  et  1«  dénominateur  de  cette  fraction  par  i  —  fi .  f ,  on  aora 
celle-ci 

L'équation  (i)  donne 

ce  qui  diange  la  fraction  précédente  dans  celle-ci  j 

1— ».i 
or  on  a 

Digitizedny  Google 


i5  THEORIE  ANALYTIQUE 

d'ailleurs  le  coefficient  de  â'dana  le  développement  de     _g.,,  est 

j.(»  +  O.C»  +  g)....(.+r-i). 
i.a.3....r  ' 

d'où  U  suit  que  le  coefficient  de  fr  eat ,  i».  i  +  i ,  dans  le  dévelop- 
ment  de     _^a..;  a\  '  ,     a'"^'*  >  ^ûn* le  développement  de 

r-K^i  3'.  (i— )-'-('+0-('+°)('+^    dans  le  développement  de 

(1  — 6)*'  i.a.3.4.5  '  "^ 

; âVs  )  et  ainsi  du  reste  :  donc  «  l'on  nonune  Z  le  coefficient  de  fl' 

dan?  le  dévoluppcuicut,  de  la  fimotÛHi 


on  aura 

+  (i-°)Ci-0.i.(i+0.(.+  »).(i+3).(i+^^.^^t^ 
i.a.o.4-5.b.7 
OU 

si  l'on  nomme  ensuite  Z'.  le  coefficient  de  6*,  dans  le  développe- 
ment de 

on  aura  Z'  en  changeant  i  en  i — 1  dans  Z ,  ce  qui  donne 

on  aura  ainsi  Z  —  t.Z''  pour  le  coefficient  de  ô'  dans  le  dcyelop- 
pemcnt  de  la  fraction 


ce  sera  par  conséquent  l'expression  de  i  j  partant 
5  =  «.CZ-*Z'). 


Cela 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DÈS  PROBABILITÉS.  17' 

Cela  posé,  le  coefficient  de  <*  dans  %,  est  ^^^h  Ce  même  coeffi- 
cient, dans  un  terme  quelconque  de  u.J?,  tel  que  l.u.z',  ou 
Jk.u.f.Q  —  1^  est,  par  le n'.  a,  i.^"._y,^^  Dans  un  terme  quel- 
conque de  u.t.Z\  tel  que  jt.«.(^'  ou  i.u.f*'  .(^  —  l^  ,  ce  coefficient 
est  *.  A»'.^,.^,,  j  on  aura  donc,  en  repassant  des  fonctions  généra- 
trices à  leurs  coefficiens , 

-^^^.-H^^Av^.,.+(i=^^.A^^._H-tc.}.. 

On  peut  donner  les  formes  suivantes  à  l'expression  précédente.' 
Soit  Z"  ce  que  devient  Z'  lorsqu'on  y  change  i  dans  i — 1;  et 
par  conséquent ,  ce  que  devient  Z  lorsqu'on  y  change  i  dans  i — a . 
L'équation 

donnera  .   ^  =  Z'— <.Z"} 

par  conséquent,  ?  =  f"  —  -^  "' 

En  ajoutant  ces  deux  râleurs  de  ^ ,  et  prenant  la  moitié  de  leur 
somme ,  on  aura 

or  on  a 

partant 


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ï8  THÉORIE  ANALYTIQUE 

4'où  Ton  conclut,  en  repassant  des  fonctions  génératrices  aux 

coe£Elcien8 , 

Cette  formnie  sert  à  interpoler  entre  un  nombre  impair  qj:+i  de 
quantités équidjstantesj l'intervalle  conununquilessépareétantpris 

pour  unité ,  y,  est  la  moyenne  des  grandeurs  y„,  y,  ,^, ^«  ; 

et  i  est  la  distance  de  y^+t  à  cette  moyenne.  L'expression  précé- 
dente est  alors  symétrique  relativement  à  ces  grandeurs  ;  car 
A*.j',_,,par  exemple,  est  égal  à  j',^, — ay.H-^^,,  et  A.^«+A.j'_, 
\  est  égal  à  y^^, — ^_,.  Ainsi  les  quantités  placées  au-dessus  et  au- 
dessous  de  la  moyemie  ^. ,  entrent  de  la  même  manière  dans  cette 
expression. 

Si  l'on  change  /  en  i-f*i  dans  la  dernière  expression  de  ^, 
et  si  l'on  en  retranche  cette  expression  elle-même  ;  on  aura  l'ex- 
pression de  -^  —  || ,  ou  de  p  •  G  —  *y  î  ^^  divisant  ensuite  cette 
râleur  par  |^  —  i ,  on  aura 


)+ttc. 
En  repassant  des  fonctious  génératrices  aux cwffîciei»,  on  aura 


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.  DES  PROBABILITÉS.  19 


i:(i+i)--H.[c-)-n-- H 
i.a.3.4 


.(A«.^„H-  A<.^„,)  +  etc. 


Cette  formule  8er(  à  interpola  entre  on  nombre  pair  a«  de  quao' 
tités  equidfâtantes  ,^«_,  et  j',.^  étant  les  deux  quantités  moyennes. 
Elle  est  disposée  d'une  manière  symétrique  relativement  aux 
quantités  également  distantes  du  miÛeu  de  Tintervalle  qui  sépare 
les  quantités  extrêmes  :  ce  milieu  est  l'origiae  des  valeurs  de  i  +  ^ , 
qui  sont  positives  au-dessus ,  et  négatives  au-dessous. 

Toutes  ces  expressions  de^y,^,  sont  identiques,  attelles  que  si 
Ton  conçoit  une  couï'be  parabolique  dont  i  soit  l'abscisse ,  et^.^j 
Tordonnée,  et  dont  l'équation  soit  celle  qui  donne  l'expression 
dc^,^,;  cette  courbe  passera  par  les  extrémités  des  ordonnées 
>'.)j'.+.î^,+,»  etc.;  jt'*-i»^*-.>  etc.  On  peut  ainsi,  en  prenant 
les  difierences  finie»  successives  d'un  nombre  quelconque  de 
coordonnées ,  feire  passer  ime  courbe  parabolique  par  les  extré- 
mités de  ces  coordonnées. 

5.  Supposons  généralement  ^i' 

.t  =  «  +  '  +  P  +  f +iè-,  +  ^i        w 

on  aura 

1  ^x— a         b  c  P     . 

ce^  drame 

1     z—a         b  c  P    . 

(M-i  ç(  q?         '^"""        q?' 

éliminant—  du  second  membre  de  cette  équation >  au  moyen  de  la 
proposée  (a),  on  aura 

_- _._(^__      +        2—  I-  etc. 


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ao  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Cette  ex^esaktn  de  ^  ne  ren^nne  que  des  puissances  de  -  d'un 
ordre  infmeur  à  n.  En  la  multipliant  par  j ,  on  aura  une  eiq)res- 
sion  de  -^  ,  qui  renfermera  la  puissance  -  ;  mais  en  éliminant 
encore  cette  puissance,  au  moyen  de  la  proposée  (a) ,  on  réduira  . 
Texpression  de  -j^  à  ne  contenir  que  des  puissances  de  -  infé- 
rieures à  n.  En  continuant  ainsi ,  on  parviendra  à  une  expression 
de  p ,  qui  ne  renfermera,  qne  des  puissances  de  ^  moindres  que  » , 
et  qui  sera  par  conséquent  de  cette  forme 

Z  ,  Z^'\  Z'-'^j  etc.  étant  des  fonctions  rationuptles  et  entières  de  x  , 

dans  lesquelles  la  plus  haute  puissance  de  x  ne  surpasse  pas  4'^ 

Cette  manière  de  déterminer  ^  serait  très-pénible,  si  i  était  un 

grand  nombre  ;  elle  conduirait  d'ailleurs  difficilement  à  l'expression 
générale  de  cette  quantité.  On  y  parviendra  directement  de  la  ma- 
nière suivante. 

^Ifct  égal  au  coefficient  de  fl'  dans  le  développement  de  la  frac- 
tion   T<  Si  Ton  multip&e  le  numérateur  et  le  déncnninateur  de 

cette  fraction  par 

et  si  dans  le  numérateur  ou  substitue  au  lieu  de  «,  sa  Valeur 
a  -H  7  +  n  +  etc. ,  on  aura 

>..-..(,-iy...-..(._g)^......(._^) ^,.ç,_^  ^ 

(i— ^.(o.l-  +  ».£—  + et—.., +  p.t +  ,  —  ..»•) 

en  diwaut  I«  nuiuératetir  et  le  déaommateur  de  cette  fraction 


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DES  PROBABILITÉS, 
par  X  —  -,  elle  deyient 

4.8— '-t-«.8— '-l-s.B— ' +  j 

j  +  î.(c.8""  +  «.9" -l-î)l 

^(«•8^ +  ?)' 

I  -t-  etc. 

a.fl'  +  b-t'-'+cB—* +p.fl4.ç_ 

La  recherche  du  coefficient  de  6'  dans  le  déreloppemeDt  de  cette 
fraction,  se  réduit  à  déterminer,  quel  que  soit  r,  le  coefficient 
de  Q'  dans  te  développement  de  la  fraction 

a.6-  +  b.6—+LM— +  p.i  +  9  — «.*•' 

Four  cela,  considérons  généralement  la  fraction  -?-. ,  P  et  Q  étant 
des  fonctions  rationnelles  et  entières  de  d ,  la  première  étant  d'un  ' 
ordre  inférieur   à  la  seconde.  Supposons  que  Q  ait  un  facteur 
6— a  élevé  à  la  puissance  s,  ensorte  que  l'on  ait 

R  étant  une  fonction  rationnelle  et  entière  de  6.  On  pomra  décom- 
poser la  fraction  -  en  deux  autres  .^_      +  J ,  ^  ef  JS  étant  des 

fonctions  rationnelles  et  entières  de  fl  ;  la  première ,  de  l'ordre  s i 

et  la  seconde ,  d'un  ordre  inférieur  â  Jl  ;  Car  il  est  visible  qu'en 
substituant  ppur  ^^  et  S,  des  fonctions  de ' cette  nature ,  avec 
des  coeiïiciens  indéterminés  j  en  réduisant  ensuite  les  deux  fractions 
au  même  dénominateur ,  qui  devient  alors  égal  à  Ç  j  en  égalant 
enfin  la  somme  de  leurs  numérateurs  à  jP;la  comparaison  des  puis- 
sances semblables  de  fl ,  donnera  autant  d'équations  qu'il  j"  a  de 
coefficieus  indéterminés.  Cela  posé,  l'équation 

^         .    B  _  P 


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M  THÉOBIE  ANALTTIQUE 

^—ïï S • 

Si  l'on  coDsidëre  ^ ,  B,PeiR  comme  des  fonctions  rationnelles 
.  et  entières  de  ô  —  « ,  ^  sera  une  fonction  de  l'ordre  s  —  i , 
et  par  conséquent  il  ser&  égal  au  déreloppement  de  -s  >  dans  une 
suite  ordonnée  par  rapport  aux  puissances  de  fl  ->  a ,  pourvu  que 
l'on  s'arrête  à  la  puissance  s  —  \  IncltisiTemeDt.  Soit  donc 

^=a.-f-t*..Ce— *)+w,.(9— «)'+etc.; 
OU  aura 

en  rejetant  les  puissances  négatives  de  d  —  «  ;  .._--,-  est,  par  con- 

eéquent,  égal  au  coefficient  de  f-*  dans  le  développement  de  la 
fonction 

ii,-f  M,.t+  a..t+etc. 

6— «— ( 

Si  l'on  nomme  P'  et  R'  ce  que  deviennent  P  et  Jï  lorsqu'on  y 

change  d  —  «  en  t,  ou ,  ce  qui  revient  au  même  ,8  en  <  -f-  "^  > 

on  aura 

pi 
^E=u»-f-i/,.f4-u..r+ctc.ï 

partant  ^^^^  est  égal  au  coefficient  de  <*-'  danâ  le  développe- 
ment de 

p' 

il  est  donc  «gai  a 

pourvu  que  l'on  sof^ose  «  oui  après  les  ^fiëreiitiatîons.  Mainte* 
liaot,  le  coefficient  de  ^  dans 


dby  Google 


.    DES  PROBABILITÉS.  95 

étant  ^al  à 

p' 

ce  même  coefficient  dans 

i.a.i (*— i).(Û'-'  'iî'.Ca  — «  — () 


i.a.3 (j  — i).(fr-'  *fl'.(*+0'*" 

<  étant  supposé  nul  après  les  diC^entiations  ;  cette  dernière  qoan- 
tité  est  donc  le  coefficient  de  6'  dans  le  développement  de    ._   .■. 

Si  Pon  restitue  dans  P'  et  JR',  B — *  au  lieu  de  ï ,  ce  qui  les  change 
«u  F  et  Ry  on  aura 


d" 


■R.(*  +  0'*\ 


pourvu  que  l'on  suppose  6=3=  a,  après  les  différentiations  dans  le 
second  membre  de  cette  équation  ;  la  fonction 


~i.a.3....  C<— ■)■" 
est  donc,  avec  cette  condition,  le  coefficient  de  S'dâns  le  dévelop- 
pement de  1«  fraction  ■j_  ^y. 
n  suit  de  là  que  si  l'on  suppose 

Q=o.(8—«)'.  (9  — «')'•('— «T- etc., 
le  coefficient  de  ir  dans  le  déreloppement  de  la  fraction  ^,  eem 

~  i.a.S (.— O.di^'  •*~^C**'. («—.')'. (•—■T^Më:) 

~  ..a.J....(/— O.Jf'-'''*'~'"CiS"'. (»-.)■.(•-.•)■'■  ««■/ 
~"i.a.3....&'— i).i*'-'"''^''(,al'*'. (!—«)'. (»-.r.«tcJ 


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34  THÉORIE  ANALYTIOtJE 

en  faisant  â  =  «  dans  le  premier  terme  ;  0  =s  a'  dans  le  second 
terme  ;  0  ^  «"  dans  le  troisième  terme ,  et  ainsi  de  suite. 
Maintenant^  soit 

/^=a.(9— a).(6— i')-(6— *'0-«t«- 
En  développant  la  fraction 


dans  une  suite  ordonnée  par  rapport  aux  puissances  de  x ,  on  aura  . 

I     ,    s. 9"    ,    «".9"    ,    z^.V"    ,      ^ 

le  coefficient  de  fl'  dans  le  déreloppement  de  la  Graction  ^  est, 
.  par  ce  qui  précède ,  égal  à 

l.    8^' .  (8— «'y .  (T^")'  -  «te.  I 

^.■a.5....(.l.).a'.Ja-'-'^"-{"^^^'-^'^J'-t'^""J'-**4i  (O) 

l+g,^.,  (8— «)\(9— •')'.etc.l 

(.H-  etc.  J 

ponrru  qu*aprés  les  di£^entiations  ,  on  suppose  fl^a  dans  le 
premier  terme  j  8  ==  a'  dans  le  second  terme;  8  =  a"  dans  le  troi- 
sième terme ,  etc.  S'il  n'y  a  qu'un  seul  Êicteur  6  —  « ,  la  fonction 
renfermée  entre  les  deux  parenthèses ,  se  réduit  à  ^ ,  S  devant 

être  changé  en  a.  après  les  diSerentiations ,  ce  qui  réduit  la  quan- 
tité (o)  à 

/_.V  (H-0 ■  (H-a) . (r.f3) ....  (r+j^i )      i 

Si  daps  l'expression  de  /^,  quelques-uns  des  facteurs  8 — a, 
6  —  a',  etc. ,  sont  élevés  à  des  puissances  phis  hautes  que  l'unité  j 
par  exemple ,  si  8  —  et  est  élevé  à  la  puissance  m  ;  il  sera  élevé  à  la 

puissance  —  ma  dans  ^.^  et  alors  il  feut  changer  le  premier  terme 

de 


Digilized 


b,  Google 


DES  PROBABILITiÉS;  ji5 

de  la  quantité  (o)  dans  le  suivant , 

_  1 J-—     1 . 

■     i.a.3.  ...(nu— i).a'  '  dr^'  ^  «'+'.(1— *')'.(l— O'.etc.  ' 

et  dans  les  autres  termes, il  faut  changer(i9 — a);  dans  (fl — a)". 
Représentons  généralement  par  Z^'~'\  la  quantité  (o)  ;  le  coefiB- 

cient  de  d',  dans  le  développement  de  la  fraction  -,_'      ,  sera 

■z!"+-?Ii.« + 22.-i"+  Z2,.-ï'+  etc.  ; 
on  aura  donc  pour  le  coéilicient  de  d',  dans  le  développement. de 
la  première  fraction  de  la  page  ai  ',  ou  pour  la  valeur  de  p , 

+  c  ■  [Z£i„+2-Z<i^+ï'.^2^4-z'.  ^?i.«+etc.] 


c.t2ti;.H-2-Z£U.+2'-Z'4.*.+etc.]' 

"'''"•  \+e.[Zil^+z.Z^J.^+z:Z^%^+eK.-il 
-etc. 

„-|-z.2<i„,+z'.ZM^.+etc.]i 


"■    l+etc. 


(^) 


+îf=-.-9-[Z!;'„,-Hs.2ïï^,-H:'.Z«„,+etc.] 
Présentement ,  si  l'on  dé^|ne  par  v  .j,  la  quantité 

a-jf.+*.T.+, +c-r.+ +  j-y.-f.; 

P^  V'-y^,  ce  que  devient  v-jK»  lorsqu'on  y  change/^  dans  v. y,  j 
P^  V'-JK-j  ce  que  devient  v'.j',  lorsqu'on  y  change  y.j,  dans 

4* 


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s6  THÉORIE  ANALYTIOtlE 

V'-Jx,  et  ainsi  de  suite.  Il  est  visible  par  !e  n'  a ,  que  le  coeflRciéht 
de  f  dans  le  développement  de  ^,  sera  v'-^^h-,;  en  multipliant 
donc  l'équation  précédente  par  u ,  et  en  ne  considérant  dans  chaque 
terme  que  le  coefficient  d«  f,  c'^t -à-dire  »  axrepassant  des  fooctions 
génératrices  aux  coefficiens^  on  aura 

-f-  etc. 

H-  y,^.  -  [c.^iV^.  +e-z"  «  •  •  •■-t-î-^ïi] 

-f-etc.  « 

+  etc. 


Cette  formule  servira  à  interpoler  les  suites  dont  la  dernière  raison 
des  termes  est  celle  d'une  suite  récurrente  ;  car  il  est  clair  que  dans  \ 
ce  cas,  v-j,,  y*-Jx,  etc.  vont  toujours  en  diminuantj  et  finissent 
par  être  nuls  dans  l'infini. 

6.  La  formule  (B)  s'arrête  lorsque  l'on  a  v'-j^.  =o,  r  étant  un 
nombre  entier  positif  quelconque  ;  et  alors  l'expression  précédente 
de  y^  +  i  devient  lîot^ale  de  l'équation  aux  difiërences  finies 
V'".jKi  =  o  ;  ce  qui  est  analogue  à  ce  qu'on  a  vu  dans  le  n'  3, 
relativement  à  l'équation  A'.jKi^o.  Supposons  v-J'f=OïO«j  <^ 
qui  revient  au  même  ^ 

o  =  a.yf+-  b.y,^,-hc.y^ H-  g.ji^,; 

si  L'on  feit  x  nul  dans  la  formule  (J9)  du  numéro  précédent,  elle 


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DES  PEOBABILITÉS.  57 

devient 

^,=:r.-[J-^!i«-H:-Z2,«+e-ZS«.-"+î-ZÎ*'] 

+  ^,-tc.ZÏÏ„.,+e.ze^ +9-2iïJ 

+  y.-[e-Zt'^. -H-Zia 

JK*>^i  j^m .^.-i  senties  n  premières  valeurs  de  yii  ce  sont  les 

^n  constantes  arbitraires  que  l'intégrale  de  l'équation  v  -yt  =  o 
introduit. 
La  valeur  àe  Z^t^,  est  égale  à 

~"  o..'-~.C._^).C—-'VÎî^~  «■"'"'"•Ci'— •>■(-'— •■).etc.  •"  ""'• 

Ainsi  pétant  égalào. (6— «).(^-»')'(*—"")-«'<!-ile  premier  d« 
ces  termes  devient 

pourvu  que  l'on  change  fl  en  a  dans  -^  ;  en  n'ayant  donc  égard 
qu'au  terme  multiplié  par  -j,  Texpression  précédente  de  y,  de-  . 
viendra 

H-j',.(c.a— -J-e.a"-' +5-*)  / 

+^.-Ce-«*"' -H-«)  >. 

\ 

En  changeant  successiTcment  dans  le  second  membre  de  cette 
équation ,  a  en  a',  *",  etc. ,  et  réciproquement  j  on  aura  autant  de 
termes  qui ,  ajoutés  au  précédeot ,  formeront  l'espression  com- 
plète de  jt' 

Nonmions  k  la  fonction  comprise  entre'  les  deux  parenthèses  , 
ensorte  que  ce  second  meinbre  soit  — jp.  Si  les  deux  racines 


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a8  THÉORIE  ANALYTIQUE 

d  et  a'  sont  égales,  ^sera  de  cette  forme  (fl — a.)'.L.  On  supposera 
que  <x  et  «',  au  lieu  d'être  rigoureusement  égaux ,  diffèrent  infiniment 
peu,  et  que  Ton  a  «'==  a-J-  rfa.  Alors  la  somme  des  deus  termes 
de  yi  relatife  aux  racines  a  et  a'  sera 


rf«  •(,.'"•'. I.'      i^.jj' 


h!  étant  ce  que  devient  k  lorsqu'on  y  change  et  en  a'j  Z,  et  L' 
étant  ici ,  ce  que  devient  L  lorsqu'on  y  change  0  en  «  et  a'.  Cettd 
quantité  est  donc  égale  à 


mais  on  a 


L  = 


■IF' 


fl  devant  être  changé  en  et  après  les  diffêrentiations.  La  somma 
des  termes  de  l'espression  de  yt ,  relatlEs  aux  deux  racines  ^ales 
est  donc 

d  h 

TTT.'  ^  ddF- 
•    -IF 

On  trouvai  de  la  nsêdle  manière ,  que  si  ^  contient  trois  fkcteurs 
égaux ,  la  somme  des  termes  de  l'expression  de  y,  relatif  à  ces 
trois  Ëicteors  est 

d-  k 

1.3.1.3.3.J»''    ^.   d'r' 

'   -w 

et  ainsi  de  suite.  Z^î^  étant ,  par  ce  qui  précède ,  le  coe£Bcient 

de  fl'  dans  le  développement  de  ^;  il  en  résulte  que  j',  est  le  coefR- 

cient  dé  fl'  dans  le  développement  de  la  onction 

C      y..(b.r"  +  c.i--~ +  ,) 

1  +y,.lc.i— +  ,.!—' +  ^) 

.j  +^;.(..<— +  ,) 

a-r  +  H—'+cf- +p-l+q 


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DES  PROBABILITÉS.  sg 

Cette  foncdoD  est  donc  la  fonction  génératrice  de  yx  oa  de. la 
variable  principale  de  l'équation  aux  différences  v  -yi  =;  o.  La 
'formule  {B)  du  n'  précédent,  donnera  pareillement  !a  valeur  de 
yi ,  OU  l'intégrale  complète  de  l'équation  aux  différences  v*  ,^,  =r  o  : 
^«  »  V  -J'o  i  ^.  »  V  •>■.  ï  •  ■  ■  -y—x  »  V  -ym-t  seront  les  an  arbitraires  de 
cette  intégrale^  Le  cas  des  rarânes  égales  se  résoudra  de  la  même 
manière  que  ci-dessus.  On  aura  par  la  même  formule ,  Tint^ale 
des  équations  aux  différences  v'-J'i^  o,  ■v*-^i^=o,  etc.,  ce  qui 
montre  l'analogie  qui  existe  end'e  rinterpolation  des  suites  et  Tin- 
tégration  des  équations  aux  diJËTérences. 

Spit^(^j^+yj,  et  supposons  que  «'  soit  la  fonction  généra- 
trice de  y^y  et  u"  celle  de  ^*,  u  étant  celle  de  y^  ;  on  aura 
u=:u'-i-»"' Soit  encore  ,  .  - 

•      »"=?. 

X  ayant  la  signification  que  nous  lui  avons  donnée  dans  le  n*  5  ; 
et  nommons  Xt  le  coefficient  de  i  dans  le  développement  de  A  ; 
on  aura  par  le  n"  s , 

Maintenant  on  a,  par  le  n*  5,  .       .   > 

»'         (a-r+iTt— '-f-c.ï--» +  9)'  » 

or  le  coeflBcient  de  f*,  dans  ie  développement  du  second  membre 
de  cette  équation ,  est  égal  à  celui  de  ô'*"  dans  le  dé  velçppement  de 

1 ■ 

(a.fl-  +  4.fl— '+c.fl"— ....+9)'' 

et  par  le  n*  précédent,  ce  coefficient  est  égal  à  Zftt,';  donc  le  coeffi- 
cient de  i*  dans  le  développement  de  4j  »era 

ou  2 .  ^.Z^lz^, ,  l'intégrale  étant  prise  relativement  à  r ,  depuis  r=o 


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5o  THÉORIE  ANALTnoiJE 

)u»iu'àr^i— M+iiceseralaTaleordej-f.Çela  posé,  à  dans  1> 
formule  (£}  du  n*  précèdent,  on  suppose  y' .j',=o;  elle  doimera, 
en  obsetrant  que  ^,  ==j^ +^;, 

-i-7-.j-..[Mti.+o-zt-^....+î^î:;:i.]  , 

+.v".j-..[c.z£ri, . . .  .+j.z._„^o 

+ï.zf:>^.r^.+  î^!i^.v.r-. 

•  ■••+î-zii-:l,.v".r.-. 

^.,' V-^.,'"V'~''^.;  y,i  V-ytt  etc.  étant  les  tm  arbitraires  de 
l'intégrale  de  l'équation  v'-^i=o,  ou 

or  V-y'i  étant  égale  à'XJ,  cette  équation  devient 

on  aura  donc ,  par  la  formule  précédente ,  l'intégrale  des  équations 
linéaires  aux  di£fêreHces  finies  dont  les  co^ciens  sont  constans , 
dans  le  cas  où  elles  ont  un  dernier  terme  fonction  de.i. 
(  Xilat^rale  déûnie ,  relatiTe  à  r  X.^  •^t^-, ,  peut  être  EuàlemeiA 
transformée  dans  une  smte  d'intégrales  indéfinies,  relalÏTCs  à  i  ;  car 
l'espresslon  générale  de  Z'ÎZ^  est  formée  de  na  termes  de  la  forme 
'/.r^-a',  /-étant  une  fonction  de  i  indépendante  4e  la  variable  r; 
l'intégrale  précédente  est  donc  composée  d'intégrales  de  la  forme 
J.Sr^.ctr.Xî  cette  dernière  intégrale  derani  être  prise  depuis  r  nul 


Diçiil  zed  by 


Google 


,     DES  PftOBAfiUJI^.  9$ 

la  diffêrence  d^^  étant  prise  en  ne  faisant  varier  qae  A ,  et  en 
substituant  après  les  dil^entiaticnia,  /  au  lieu  4e  h  dana  le  pre- 
mier terme,  /'  au  Uea  de  h  dans  le  second  tenne,  et  ainsi  de 
suite.  Nommons  JS^^ ,  ^  ta  quantité  précédente  ;  on  aura ,  à  ria" 
fijoiment  p«tU  pr^ ,  ft,  éUiot  iw  aowbre  âw* 

D'ailleurs  on  a  y,^^{<m)  ;  et  la  caractéristique  A  des  diC^aees 

finies  doit  se  changer  dan$  la  cwao|âri»tique  d  des  difierences  , 

iofiiùpient  petites'j  enaorte  que  l'équation  '"â';^-  ï—'ï^j  '*''  S'"*  3»'' 

OU ,  ce  qm  revient  au  même  j  cell&-ci 

V  .y.'=  »"+ a?  ■  ^  ■J'- +  3?!' •*>"•  + «tÇ- 
devieift ,  eu  y  chasgeant  às^  en  â» , 

v.j'.=o'+»  — 3^  +  c  .-a;?- +î  •-sir'- 

L'expression  cle^,+i  trouvée  dana  le  n'  précédent,  deviendra  donc 

+V.»<«r).(6".X«+»".^+  ^.^...-^■'.Çigl') 
H-etc. 

+etc. 

+  etc. 


db,  Google 


se  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Cette  formule  servira  à  interpoler  les  suites  dont  la  dernière  raison 
des  termes  est  celle  d'une  équation  finéaire  aux  difierences  infini- 
ment petites  à  coeffîciens  constans. 
'  Si  l'on  a 

la  formule  se  termine  et  donne  la  valeur  de  ç  («-H-  ar'  ) ,  ou  l'inté- 
grale de  l'équation  diffîrentielle  précédente  ;  ^(-w), -^^i  ,  etc.  j 
V.^(ir),^^^^^,etc.;  v'-^K),  ^^^^,  etc.  étant  les  war- 
bitraires  de  '  lïntcgrale.  ' 
Supposons  que  l'on  ait  l'équation  différentielle 

o=v'.^C'»+«')— /"-/, 
F",,  étant  une  fonction  donnée  de  x';  il  faut,  par  le  n*  6 ,  ajouter  à 
régression  précédente  de  ^(i»-+a/),  le  terme //^r.JK^ir^^.rfr, 
X^~'^  étant  la  même  fonction  de  x'  que  X^'-'\  L'intégrale  rela- 
tive à  ry  doit  être  prise  depuis  r=:o  jus^'à  r  :=  V.  Cette  intégrale 
définie  peut,  parle  numéro  cité, être  transformée  en  intégrales  in- 
définies relatives  à  x*. 

De  la  tramjbrmatiûit  des  suites. 

9.  La  théorie  des  fonctions  générabices  peut  servir  encore  à 
transformer  les  suites  en  d'autres  qui  suivent  une  loi  donnée. 
Considérons  la  suite  infinie 

j'.+y.-a+j'..»' +j'--*'4-  etc.;        (r) 

et  nommons ,  comme  d-dessus,  u  la  somme  de  la  série  infini* 


Diç]i1zed  by 


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DES  PROBABUrrÉS.  '  3? 

le  coefficient  de  ^  dans  le  développemeot  de  la  fraction  — ^  , 

,*     t 
sera  égal  à  la  somme  de  la  suite  proposée  (^),  prise  depuis  le 
tecmey,.».'  inplaàvement ,  jtisqu'à  l'infini.  Soit  généralement z une 

fonction  quelconque  de  ^  «t  nommions  n  .y^ .  a'  le  coefficient  de  ^ 
dans  uz.  Les  coefficiens  de  t^  dans  u.z',  u.i?,  etc.  seront  n'.y^.a^, 
W.yi.a*,  etc.  Cela  posé ,  on  multipliera  le  numérateur  et  le  déno- 
minateur de  la  fraction  — —  par  A  —  z  j  et'  Ton  prendra  pour  * 

ce  que  devient  z  lorsqu'on  y  &it  £  égal  à  l'unité^  £— natradivH 
sible  alors  par  i  —  j.  Soit 

A  + -7- H- >- -t- -p- -4- etc. 
le  quotient  de  cette  dirisipn;  on  aura 

■+-etc.} 
ce  qui  donne ,  en  repassant  des  fonctions  génératrices  aoï  coefficiens, 

S.y...-  =  i^  +i^^  +  iJL^  ^  etc. 

.  H-  "•'•^71^"  +  "■'■"■(^;^"'")  +  et.. 
+  etc. 

Le  signe'tS"  désigne  la  somme  des  termes  depnis  x  înclusiveinenl, 
jusqa'à  l'infini.  Supposons  maintenant 

ï  =  o  +  j;  +  ^  +  jp  +  etc.; 


y  Google 


38  THEORIE  ANALYTIQUE 

on  aura 

n.(;y,.it-)  =  t'.{a.y.+  l.y,^.,  +  c.y,^,  +  e.y„,  +  etc.). 
En  désignant  par  v-y,  la  quantité  ay,+  tj',^.,-4- etc.  j  on  aura 

et  généralement  on  aura 

n'-Cy.-''")=«'-v'.J'.- 


On  a  ensuite 
ce  qui  donne 


A    =;  +1^  +  5+ etc., 
.       AW=  l+;J  +  etc.     • 
*«=J+etc. 

etc.j 
on  aura  donc 

,  ,.^....=  (i±i^^)....(..4-2f.  +  H-L-  +  etc.) 

+  Sî.^-)....(r„,+  ?.^  +  21^  +  etc.)  . 

+  (i^)....(y„.  +  ï^-l-ïl^+etc.) 
+  etc. 

En  feisant  x=o,(m  aura  une  transformée  de  la  suite  proposée  j 
dont  les  termes  suivront  une  autre  loi;  -et  si  les  quantités  v-J*, 
V*  -y-  »  etc.  vont  en  décroissant ,  cette  suite  sera  convergente.  Elle 
se  terminera,  toutes  les  fois  que  l'on  aura  v'.y^  =  0;  ce  qui  aura 
-.  lieu  lorsque  la  proposée  sera  une  suite  récurrente.  On  aura  donc 
ainsi  la  soname  des  suites  récurrentes,  à  compter  d'un  terme  quel-  . 
conque  y,. a*,  et  par  conséquent  on  aura  aussi  la  somme  de  leurs 
termes,  comprise  entre  deux  termes  quelconques  y,. a'  et  y^.,.»''. 


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DES  PROBABUJTES.  ^ 

,  ^théorèmes  eur  le  développement  des  foTictions  et  de  leurs  différences  , 
en  série*. 

10.  Ed  ftppliqn»it  à  des  Fonctions  particolières,  les  prindpe* 
générMx  £q>osé6  dans  le  b'  i,  on  aiira  une  infinité  de  théorèmes 
sur  le  développement  des  fonctions,  en  séries.  Noua  allons  pré- 
senter ici  les  plus  remarquables. 

On  a  généralement 

Or  il  est  clair  que  le  coefficient  de  r  dans  le  premier  membre  de 
cette  équation,  est  la  différence  rt^  *©^_,.a:  variant  de  i  ;  car 
ce  coeffioient dans  w.A  —  i)  est^,.tj— ^,oïi'A.^,,  endésignant 
par  la  caractéristique  'A ,  les  cUfiërcnces  fitûes ,  lorsque  x  varie  d» 
la  quantité  i  ;  d'où  il  est  &cile  de  condore  que  oe  métaoe  coefii- 
oent,  dans  le  développement  de  «.A  —  i)  est  'A-.j',.  lyaiHettr* 

si  l'on  dévcloi^e  "'LC^  "'"F^**) — ^J  s**"***' ï^* P^ùeaances dû 
^— •  1,  l0s  oo^cie&s  de  f  iaxia  les  développemens  de  ''•G~'^J' 
n.fj — ïY,  etc.  sont,  par  le  n'  a,  A.y,,  A-.j-,,  elc.jensorteqae 
ce  coefficient,  dans  «-["(i  +7  —  1) —  \\ ,  est  [(i+A.j',)' — 1]", 
pourvu  que  dans  le  développement  de  cette  quantité ,  on  applique 
à  la  caractéristique  A,  les  e^osans  de  puissances  de  A.^^jCt 
qu'ainsi  au  lieu  d'une  pmssance  quelconque  (A  .j^,)',  on  écrive  A'  .y,i 
pn  aora  donc  avec  cette  condition, 

'A-.^,=  [Cn-A.^.y-i]«i      (i) 

Si  Ton  désigne  par  la  caractérisrtrqùe  'S ,  Pînlégr^  âoïe ,  lersqoe 
X  varie  de  i  ;  'l'.y^  sera,  par  le  n"  a,  le  coefficient  de  **  dans  le 
développement  de  la  fonction  u.(^ — 1)~*^  en  fàî«ant  abstraction 


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4o  THÉORIE  ANALYTIQUE 

des  constantes  arbitraires  que  l'intégration  introduit;  or  on  a 

^  plus,  le  coefficient  de  *•  dans  «.Q  —  i^~' est  ^'.yit  eu  di- 
sant abstraction  des  constantes  arbitraires  ;  ce  coefficient  dans 
u.Q-  —  1  j  est  A'.j',;  ou  aura  donc 
4-  'S-.j^.=  [(iH-A.y,)'-!]-;.        (a) 

gouTTU  que  dans  le  déreloppement  du  second  membre  de  cette 
équation,  on  aj^Iique  à  la  caractéristique  A,  les  exposans  des 
puissances  de  A.^,;  que  l'on  change  les  diiférences  négatives  en 
intégrales ,  et  que  l'on  substitue  y^  au  lieu  de  A'  .y^  ;  et  comme  ce 
déreloppement  lenferme  l'intégrale  'S.'.y^y  qui  peut  être  censée 
renfermer  n  constantes  arbitraires  ;  l'éqoation  (a)  est  encore  vraie, 
«n  ayant  égard  aux  constantes  arbitraires. 

On  peut  observer  (jue  cette  équation  se  déduit  de  l'équation  (i), 
/en  &isant  dans  celle-ci ,  n  négatif,  et  en^  changeant  les  diffêrences 
négatives  en  intégrales;  c'est-à-dire,  en  écrivant  '2'.^,  au  lieu  de 
'A^J',  dans  le  tw^mier  mçmbre;  et  généralement  dans  le  déve- 
loppement du  second  membre,  2'.^,  au  lieu  de  A~'.^,. 
.  Les  équations  (i)  et  (3)  auraient  également  lieu,  si  x,  au  lieu  de 
varier  de  l'unité  dans  A.^„  variait  d'une  quantité  quelconque  »w , 
pourvu  que  la  variation  de  x  dans  'A  .y,  soit  égale  à  iir.  En  efièt , 
il  est  dair  que  si  dans^,  onËût«=  —,  a'  variera  de -w,  lorsque* 

variera  de  l'unité  ;  A  .y^  se  changera  dans  A  .y^, ,  la  variation  de  a^ 
étantiT;  et  'A-^.  se  changera  dans  'A.j',,,  la  variation  de  *'  étant 
i<v.  Maintenant  si  après  avoir  substitué  ces  quantités  dans  les  équa- 
tions (1)  et  (a),"  on  suppose  <ar  infiniment  petit  et  égal  à  die';  A.^,, 
se  changera  dans  la  différence  infiniment  petite  <fy,^.  Si  de  plus  on 
£tit  I  infini,  et  idx'=  a-,  a,  étant  une  quantité  finie;  la  variation 
de  a'  dans  'A .^^, sera  a;  on  aura  donc 

'A'.y.,==[ii+dy,,y-l]'i         (g) 


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DES  PROBABILITÉS.  .       4j.     ; 

orona 

ce  qui  donne 

c  étant  le  nombre  dont  le  logarithme  bjperilKiUqne  est  Tonité  ; 
on  a  donc 

'A'.>-„=(/:^-i),     (?) 
^' '^-■) 

en  ayant  soin  d'appliquer  à  la  caractéristique  d^  lea  e^Msans  des 
puissances  de  dy^,  ;  de  changer  les  di£^rences  négatives  en  inté- 
grales, et  la  quantité  d'.j^^,  en  y,,.  -       - .     .      ■ 

On  peut  donner  à  l'équation  (5)  cette  forme  sii^^ilière  qui  noua 
sera  utile  dans  la  suite. 

.  En  effet,  elle  donne 

Considérons  un  terme  quelconque  du  déTeloppement  de 
Vc'"^— c~*'^/,  Ul  que  <t(^)'.   En.  le  multipliant  par 
c  ■       ,  et  développant  cette  dernière  quantité ,  on  aura 

cette  quantité  est  égale  à  * .  — ^^— }  d*où  il  est  fedle  de  conclure 

■  ■  ■  6  •       ■  • 

,^  .  bi[|i1zedbyVjOOQlC 


^  THÉORIE  ANAimOtE 

*  Si  dans  les  équations  (i)  et  (a) ,  on  su[çose  encore  i  inffiâm^ 
petit  et.  égal  à  «b^  on  au»  '       - 

'A:y.=  <e.y.;    'Ï-. y,  =  3^  ./>,.<?«";  > 

on  a  d'ailleurs  * 

(H-A.j-.)'  =  «'^'°«"*''"'=i+'«»-l<'8(i+A.r.);       ^ 
les  équattons'(i)  et  (9)  deviendront  ainsi 

On  peut  obserrer  ici  une  analo^e  singoEére  entre  les  puissances 
positires  et  les  ^if^rence»,  «t  entre  les  puissances  uégatires  et  les 
intégrales.  L>£quation 

estja  traduction  du  théorème  çoimu  de  Tajior  ,  lorsque,  dans 
le  développement  de  son  secQud  membre,  suivant  les  puissances 
de  ^ ,  on  applique  à  la  caractéristiqae  dy  les  exposons  de  ees. 

puissances.  £n  élevant  les  deux  xoterabres  de  cette  équation  à  la 
puissance  n,  et  appliquant  aux  caractéristiques  ''A  et  d,  les  ex-  . 
■  posans  de»  puissances  de  'A.^.  et  de  dy, ,  on  aura  Féquation  (5) , 
'd*o\i  résulte  l'équation  (4)^  eu  changeant  les  ^S^ences  n^atirea 
en  iotégTïdeB. 
L'-équation  précédente  donne  ■ 

En  prenant  les  logarithmes  de  chaque  membre ,  on  aura 

..%  =  log(l4-'A.y,);        W. 

Supposant  ensuite  «i  =  i ,  ce  qui  change  '^..y,  dazis  A.^«,  et-cle- 
vant  les  deux  membres  de  cette  équati<m ,  à  la  puissance  n ,  x>a 


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DES  PROBABILITÉS.  -  kt 

aar&  l*équati<Hi  (5),  pourru  que  l'on  applique  les  exj^o^ans  dei 
puissances,  am  caractéristiques.  On  aura  Téquation  (6),  en  faisant 
>i  négatif,  et  changeant  les  puissances  négatives  en  intégrales. 

Si  dans  réçutùm  précédente  (  r) ,  on  cfau^  «.  dans  i ,  on 
aura 

'et  si  Ton  7  suppose  a  =  1 ,  on  aura 

%=loê(H-A.^.).  .         _ 

La  comparaison  de  ces  deux  râleurs  de  -4^,  donne 

Ipg  (l +A.^,)  =  log  (  1  H-'A.y.)*; 
d'où  l'on  tire 

£n  élevant  chaque  membre  à  la  puissance  n,  et  appliquant  les 
expoeanâ  des  piiissances ,  aux  caractéristiques  j  on  aura  l'équa-  ' 
tion  (i),  d'où  résulte  l'équation  (a),  en  diaugeant  les  différences 
négatives  en  intégrales.  Les  équations  (i),  (a), (3),  (4),  (5)  et  (6) 
résultent  donc  du  théorème  deTaylor,  mis  souslaforme  de  l'équa- 
tion (o) ,  en  transformant  cette  équation  suivant  les  règles  de  l'ana- 
iyse ,  pourvu  qoe  dans  les  résulta  ts  on  applique  aux  caractéristiques, 
les  exposans  des  puissances,  que  l'on  change  les  dîfilrences  né- 
gatives en  intégrales ,  et  que  l'on  substitue  la  variable  elle-mêaie  y,  ,- 
'   au.  Ken  de  ses  différences  zéro. 

Cette^ analogie  des  piùssances  positives  avec  les  différences ,  et 
des  puissances  négatives  avec  lés  intégrales ,  devient  évidente  par 
ia  théorie  desjonctions^génératrices^  Elle  tient,  comme  on  l'a  vn, 
À  ce  que  les  produits  -  de  la  fonction  u ,  g^ératrice  de  y^ ,  par,  les 
puissances  de  ^  —  i  sont  les  fonctions  géuératnces  des  diligences 
finies  successives  de  ^,,  «  variant  d'une  quantité  quelconque  i; 
tandis  que  les  quotiens  de  u,  divisés  par  ces  mêmes  puissances, 
sont  les  fonctions  {éoératricee  des  intégrales  de  y^. 
.    En-coosidô'azit,  au  lieu  du  Ëtcteur^  — i  et  de  ses  puissances^ 

Digilized  by  VjOOQIC 


&4  THÉORIE  ÀNALTTtOtTE 

les  puissaiices  d'une  fonction  quelconque  rationnelle  et  eiHière  dt 
p  on  peut  en  conclure  des  théorèmes  analogues  aux  précédens. 

Bar. ha  dérivées  succesMTes  des  fonctions.  Je  nomme  dérivée  d'une 
fonction^,,  toute  quantité  qui  en  dérive,  telle  que  a.y,-^b.y,^ 
+  «  •  j'ï-^.4- etc.  En  regardant  ensuite  cette  fonction  dérivée 
'  conune  une  nouvelle  fonction  que  je  désigne  par^^ }  la  quantité 
a.y^-h  b.y'^^-{-e.yl^+ etc.  sera,  vaxe  seconde  dérivée  de  lafono- 
tion\y,;  et  ainsi  de  suite.  Lorsque  la  fonction  a.y^-^  *-^«+.+  etc. 
devient  -r^"»  ■+-  ^-^i  y  1*  dérivée  devient  une  difiërence  finie. 
Maintenant  on  a 

„.(«H_^^J+*+etc.y 

=  H.[_a  +  i.(n-iÈ,"^l)    4-e-(i4-(4î  — l)    -f-etc.    |j      (g) 

on  a  ensuite  généralement,  par  le  n"  3 ,  en  désignant  par  -^.y,  la 
"quantitéa.y,+  6-jK*  +  .+c.^,+.H-etc.,  v".^*  pour  le  côtoient 
de  la  fonction  génératrice  du  premier  membre  de  cette  équation  ; 
de. plus  on  a 

Le  second  membre  de  cette  éqi^tion  est  la  fonction  généra- 
trice de 

r.+  r/é4.^.^+eta, 

OU  de  c  '^  j  en  appliquant  à  la  caractéristique  d  les  exposans  des 
puissances  de  ^,  et  écrivant  y,  au  lieu  de  C^J  .  De  là  on  conclut 
que  sous  les  mêmes  conditions ,  le  second  membre  de  l'équation  (j) 
est  la  fonction  génératrice  de 

La+Ô.c'^+e.c  *^  + A.c*^  +  etc.  Ji 
et  qu'ainsi  cette  équation  donne,  eu  repassant  des  fonctions  gêné* 


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DES  PROBABILITÉS,  45 

ratrîces  ans  coeffiàens  y 


a^b,c^'-^e,c^-h  h.c  '^  +etcj  .         (7) 

On  petit  ainsi  obtenir  nne  infinité  de  résultats  semblables.  Nous 
nous  bornerons  au  suivant ,  qui  nous  sera  utile  dans  la  suite. 

w.^-^—  V^^  pstla  fonction  génératrice  de 
OU  de  A'. y     ^.  De  plus  on  a 

d'où  l'on  tire,  en  repassant  par  l'analyse  précédente,  des  fonctions 
génératrices  aux  coefficiena. 


il.  Je  n'ai  considéré  jusqu'ici ,  qu'une  seule  fonction  j^,  de  «  • 
mais  la  considération  du  produit  de  plusieurs  fonctions  de  la  même 
Tariable ,  conduit  à  div^s  résultati  curieux  et  utiles  d'analyse.  Soit 
I*  une  fonction  de  (,  ety,  !e  coefficient  de  f  dans  le  développe- 
ment de  cette  fonction;  soit  »'  une  fonction  de  /*,  et^^  le  coeffi- 
cient de  ^'  dans  le  développement  de  cette  fonction  ;  soit  encore  u" 
une  fonction  de  ï",  et  y°  le  coefficient  de  if''  dans  son  développe- 
ment ;  et  ainsi  de  suite.  II  est  clair  que  j-,  .y^  .y\ .  etc.  sera  le  coeffi' 
cient  de  i* .  **' .  f^*" .  etc.  dans  le  développement  du  produit  u.  u'.  «".  etc.  ; 
ce  produit  sera  donc  la  fonction  génératrice  de  j'.-^^.j'^.etc.  La 
fonction  génératrice  de  ^-+.'ri+,-J'^.»etc.— ^,.^;.^;.etc.,  ou  d« 


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«6  THÉORIE  ANALTTIOtlE 

et  la  fonction  génératrice  de  A". ^,,^\^\ etc.  se^  '  i 

.U.ul.^".etC.Qy-^-l): 

On  prouvera,  conuoe  dans  le  nr  a,  que  U  fonction  jgéoératnoé  de 

"•"'•""•'««•C-Tnrs::-')"'' 

c'est-à-dire  que  Yoa  peut  {^langer  n  en  — n  àasa  ht  fonction  géné- 
ratrice de  A'.^,.^\etc.,  pourru  qae  l'on  change  A~"  dans  2". 

Appliquons  ces  résultats  à  deux  fonctions^,  et^^.  La  £>ncti<»i 

■  génératricedeA".^,.^^8erâ«.«'/-^-s-iy.  On  peut  la  mettre  sous 
cette  forme 

en  la  développant ,  elle  devient 

„,,|(r-')+rG-r'G-') 

les  fonctions 

»,»'.(!  -i)"i  «.«'.i  0-  »)"  -G-  0'  "•"'•?  (f-  ')""'-G-0'i  "=■; 

sont  respectivement  génératrices  desproduit3j''.A"^,  ;  A.^^.  A""'j)',^,; 
A*  .y^ .  A"-'  .>■*«  ;  ^c.  L'équation 

"'■-''fe-')=-'C(r-0+?-G--0""-  (?-0+«-] 

donnera  donc  ,  «n  repassant   des  ^mctioiis   génératocea  aux 
.oocSicieas , 


;4V^'.A-.y.A--.^„.+  etc.         (8) 


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SES  FUCBâBIUTES.  4? 

£n  changeant  n  dans  —  n ,  on  aura 

+ia2±i>.AV:.2'*".r.:i-.-etc.        (9)     -. 
En  général,  on  a 

=  ".«'.K^etc.[(l  +  i-i) .  (i+j  -  1).  (1+^  -i).etc.-i]"; 
ce  qui  donne  ,  en  repassant  Qes  ftxicttous  génératrices  ans  coeP- 


+■  A".^..X.^:.elc.=  [Ci+A).Ci4.A').(i+A'0.etc.-i]'î        fio) 

.  pottTYU  qMC  dans  chaque  tetmc  du  développement  du  second 
membre  do  cette  équation ,  on  place  ûnmédîatembnL  après  chaque 
caractéristique  A ,  A',  A",  etc. ,  respectivement^,,  y_^,  y\ ,  etc. ,  et 
qu'on  multiplie  ce  terme  jiar  le  produit  des  fonctions  dont  il  ne 
contient  point  la  caractéristique.  Ainsi  dans  le  cas  de  trois  variables, 
on  écrira,  au  lieu  de  A',  la  quantité ^\^2'^'-X'>*'^^®"  ^«  A'.  A''', 
on  écrira  ^^.A'.j',  .A'',^^  ;  au  lieu  de  A'''.  A"-*,  on  écrira 
y,.A''.^^.  A''.jv;  et  ainsi  du  reste. 

En  feisant  »  négatif,  f équation  (1  o)  subeiste  encore ,  pourvu  qa^ 
Ton  c^nge  les  diâërences  négatiTes  en  intégrales. 

Dans  le  cas  des  différences  infiniment  petites ,  les  caractéristiques 
A ,  A',  A",  etc.  se  changent  en  rf,  c?,  d",  etc.  L'équation  (10)  devient 
ainsi ,  en  négligeant  les  difiërentieUes  d'un  ordre  supérieur,  relati- 
vement à  celles  d'un  ordre  inférieur , 

*^'>'<-rl-rI-«'c.  =  (d  +  (f+^r'-^- etc.)". 

Cette  équation  dével<^^>ée  donne ,  relativement  à  deux,  fonctions 

■  En  Ëkisant  jv  négatif,  les  diS^ençes  négatives  se  changeant  en  in  - 


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48  THÉORIE  ANALYTIQUE 

tégrales,  on  aura 

On  a 

=a.a'.B".etc£(i  -f- 1  -i- 1  V/i  4-  p  ^  1^  ^1 4-  i, — i) .  etc.— i  J; 

en  désignant  donc  par  'A*.j',.^^.^*.etc. ,  la  difiërence  6nie  du  pro- 
duit ^,.^^.^i. etc.,  lorsque X  varie  de  i;Téquation  précédente donr 
sera,  en  repassant  des  fonctions  génératrices  aux  coefficiens , 

'A".j'..j':-^:-etc.  =  [(i4-Ay,Ci+A')'-CH-A7-etc.— i]'  j         (ii) 

en  observant  la*  cuudlUons  prescrites  ci-de.<tsufi  relativement  aux 
t;aractéri9tiques  A ,  A',  A",  etc.  y  et  à  leurs  puissances.  Cette  dernier^ 
équation  subsiste  encore  ,  en  faisant  n  n^atif ,  pourvu  que  l'on 
change  les  différences  négatives  en  intégrales, 
0uppo9on9 

■  y'  y  y*  )  ^''^-  cleviendront  des  fonctions  de  y,  que  nous  désignerona 
pv^sf»  y'^y  etcj,  l'équation  (ii)  donnera  ainsi  la  suivante,  en 
observant  que  les  caracténstiques  A,  A',  etc.  se  changent  en  c/, 
(2',  etc.  y  et  que  l'on  a 

équation  qui  subsiste  encore  en  fanant  js  n^atif,  et  changeant  les 
dâërences  ftégatives  en  intégrales. 

Ne  considérons  que  deux  rahables  yi  et  y', ,  et  supposons 
y^^p'j  on  aura 

(i+4')'=/r4-.-.û./,'+i:fci2.i..^+etc.i 


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DES  PR0B.S3ILITÉS.  4^ 

or  on  a  généralement,  x  variant  de  TuDité , 

on  aura  donc 

L'équation  (ii)  deviendra  ainsi 

'A-.^.^,=/,-.iy.(i+A.^.)'-i]";         (15); 
en  Élisant  n  négatif,  on  aura 
'ï:p:y.=^^  ^,^^^^^,_.-,.+  a.»"+i.r"+etc.;        (i4) 

te ,  ft ,  etc.  étant  des  constantes  arbitraires  dues  à  Fintégration  n 
fois  répétée  de  jt*  .y^.  J'ajoute  ici  ces  constantes ,  au  second  membre  . 
de  réquation  précédente  ;  parce  qu'eUes  ne  sont  implicitement  ren- 
fermées dans  son  premier  terme ,  que  lorsque  ^  =  i . 

SA  l'on  Mt  dans  les  deux  équations  précédentes  ,  x  ^  xy-; 
iss^;p^  iH-d»'.log  h;  on  aura 

'S,'.h''.y^  =  -    '     X. =P  -h«'-«'^'+»'.*'"-+  etc.     (i6) 

Si  dans  les  équations  (i3)  et  (i4) ,  on  suppose  j  Infiniment  petit 
ef  égal  à  tbi;'A',  p'.y,  se  changera  dans  dr.^.y,^  et'S'.p'-Xm 
se  changera  àans  ^  ./'.p'.y, .  ds^  i  on  aura  ensuite 

on  aura  donc 

.■[y.(l  +  â.^,)'-l]-  =  d.^.llog|j,.(l+A.^,)]J-; 

elles  équations  (i3)  et  (i4)  deviendront 

"'Ï^^'-=P-- il»8  O- ('+A-^.)]Î- ;    (>7) 

7 


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Co  THÉOfin:  ANALYTIQUE 

CHAPITRE  II. 

Oes  JhnctioTM  génératrices  à  deux  variables. 

19.  JMoHHONS  u  une  fonction  de  <  et  t*;  supposons  ipi'en  la 
développaiLt  suiyant  les  puissances  de  <  et  <*,  ^e  donne  la  suite 
infinie 

y.,.   +y,..-t+y.,.-e--+yi..-f  -b-^*.,.-*"' -h)'.;..*" 

+y.. .  ■<■¥}■.,,  ■  <.<'4v^.  ■«■•<'-+r.,.  ■  f-  <'-b-.-e.,.-'"'-''--b'.  ,.■<"■'' 

le  coefficient  de-  f.i^  8era^,,„j  u  aéra  donc  la  fonction  géne- 
ralrice  dey,, ^. 

Si  l'on  désigne  par  la  caraetéristiqae  A ,  les  diflEërencos  ISnies  ^ 
lorsque  x  seul  varie  de  l'unité ,  et  par  la  caractéristique  'A,  les 
différences  lorsque  x'  seul  rarie  de  la  même  quantité  ^  la  fonction 
génératrice  de  A.j^,,^ sera, par  le  n'i,  u.(j  —  ij»et  celle  de 
'A.y.i/Seraa.Q — i)  ;  tfoù  il  «»t  Sicile  de  conclue  que  la 
fonction  génératrice  de  ùt.'^'.y,^  „  sera»  .Q  —  ij  .,  ^4  —  i  J  . 

£n  général-  si  l'on  désigne  par  v  .y,,^  la  quantité 

■^■y.,u  +  B.y,^.,,„  +  C.y.^.,,^    +ete. 

+  B'.y.,,^,-i-C.y.^.,,^,.+tic. 

+  C'.y,,.,^..    4-etc. 

+  etc.  ; 

Si  l'on  désigne  pareiEeinent  par  v'.yi , ,  une  fonction  danalaqnelle 

lOOgle 


DES  PROBABILITÉS.  6i 

V-y^.i'  entre  delà  même  manière  que  ^,_„  dans  v*y«',»f»sil'on 
désigne  encore  par  v^.y, ,  „  une  fonction  dana  laquelle  v'-y- ,  •'  entre 
de  la  même  manière  que  yj^ ,,  dans  v  -y^,  */»  et  ainsi  de  suite  ;  la 
fonction  génératrice  de  v'-j'.,.'  sera 

H-?  +  ê+etc|. 

4-Ç+etc.l 

+  etc.j 

partant,  la  fiMOtctioa  géorâtttrice  de  A'/A^.v'.^.,^  sera  la  fonction 
génératrice  précédente,  multipliée  par  Q~~.i^.Q — i)  . 

«  étant  supposée  une  fonction  quelconque  de  ~  et  de  4;  si  l'on 
développe  a'  suivant  les  puissances  de  ces  rariables ,  et  que  Ton 
désigne  par  yrjmTy  un  terme  quelconque  de  ce  développement  ; 
le  coefficient  de  (".<'•'  dans  -,'"y  étantt.j',+„,„^.^, on  aura  celui 
de  i".  ^''  dans  «.«',  ou ,  ce  qui  revient  au  même,  on  aura  v'-j'*,;/» 
i'.  en  substituant  dans  s,  y,  au  Ueu  ^j,xî,  au  lieu  de  h  ;  a*-  en 
développant  ce  que  devient  alors  u.a'  suivant  les  puissances  de^, 
et  de  y„ ,  et  en  appliquant  respectivement  aux  indices  «  et  »'  les 
esposans  de  ces  pmssances ,  c'est-à-dire  en  écrivant  au  lieu  d'un 
terme  quelconque,  tel  que  *  •  (j'*)"- Ck*/)^!  't-j'«+«, */+■/,  et  par 
conséquent  t.y,  ^  au.  lieu   du    terme   tout   constant  i,  ou 

i-ir-'Y-iy^»)'- 

Si  au  lieu  de  développer  *'  suivant  les  puissances  de  j  çt  de  p, 
on  le  développe  suivant  les  puissances  de  i —  i  et  de  p  —  i ,  et  que 
l'on  désigne  parit.Q  —  ij  .Q  —  i\    un  terme  quelconque  de 
,  ce  développement;  le  coefficient  de  f.  «'''dans  *.a.Q— iV.  A— i) 
étant  i.A".'A"'.^,^^j  on  aura  v'r*,-'»  i*.  en  substituant  dans  s. 


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54  THioAlE  ANALYTIQUE 

û.j-,,i,  au  lieu  de  j-  — J  ,  et  'A.^,,^  au  lieu  de  p— ija*.  ende- 

reloppant  alors  s'  soiyant  les  puissances  de  A.^,,,/  et  'A-j',,x/; 
.et  en  appliquant  aux  caractéristiques  A  et  'A,  les  exposans  de  ces 
puissances ,  c'est-à-dire  en  écrivant,  au  lieu  d'un  terme  quelcon^e, 
tel  que  it.(A.j',,„)".('A.j^,,„)-',  celui-ci  *.  A".'A"'.y,,«;  et  par 
conséquent*.^,,,  au  lieu  du  terme  constant  k. 

Soit  S  la  caractéristique  des  intégrales  finies  relatives  à  x ,  et 
'I  celle  des  intégrales  finies  relatives  à  x';  soit  de  plus  z  la  fonc- 
tion génératrice  de  £'.^''.y,,ir,  on  aura  «-(r- — ')'0~~  0  P**™^ 
la  fonction  génératrice  de  y,  _ ,,.  Cette  fonction  doit ,  en  n'ayant  égard 
qu'aux  puissances  positives  ou  nulles  de  t  et  de  ^,  se  réduire  à  u;  ou 
aura  .ainsi,  par  le  n'  a  ^ 

-(r-')'G-')=''+T  + ?  +  ?••■■■+? 


OfhyC pétant  des  fonctions  arbitraires  de /',eta',  J',  c',... .g' 

étant  des  fonctions  arbitraires  de  t;  partant 


De  l'interpolation  des  suites  à  deux  variables ,  et  de  l'intégration 
des  équations  linéaires  aux  différences  partielles. 

i5.  j-ï+i../^.)/  est  évidemment  égal  au  coefficient  de  f.f^  dan» 
le  développement  de  ^yp  ;  or  on  a 

,^  =  «.(i+f-.)'.(i+J-i)'; 
on  aura  donc  par  le  numéro  précédent , 


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DES  PROBABILITÉS.  «3 

en  développant  le  second  membre  de  cette  équation,  on  aura 

j-.*,.  "^^  =.>'.,«+■■■ -i  •.y—' +  ^^ir^-'^"- y-" -•- «"=• 

4t/.'A.j'..„+  i.i'.A.'A.j',,»  +  etc. 

+  etc. 

Supposons  maintenant  qu'au  lieu  d'interpoler  suivant  les  dififê- 
rences  de  la  fonction  _y,_  ^ ,  on  veuille  interpoler  suivant  d'autres 
lois.  Pour  cela,  soit 

z  =  ^  +  j-  +  y-+^+^tC- 

rt-T  +  &  +  K?+^- 

+  7r  +  r^-*-«'c- 

-f-etc. 
^  Ton  Ëiît 

-/+y  +  Ç.+  ^  +  etc.=a; 

C-{-y -f-etc.  =:cj 
etc.; 
on  aura  pour  r  nue  expression  de  cette  forme 


Nous  supposerons  ici  qae  le  coefficient  /  de  la  paissance  la  phi» 
élevée  de  -  est  constant  ou  indépendant  de  £*,  et  que  cette  puis- 
sance est  égaie  ou  plus  grande  que  la  sonune  des  puissances  de 
^  et  de  p  dans  chacon  des  autres  termes  de  z.  U  est  fedle  de^ 


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S4  THÉORIE  ANALTTIQUE 

condore  de  l'cquatiou  précédente ,  comme  dans  le  n'  5,  les  valeurs 
successives  de  ^^ ,  jj^ ,  ^^ ,  etc. ,  en  fonctions  de  a ,  6 ,  c ,  etc. 
et  z  ;  et  il  est  visible  que  dans  chaque  tenne  de  l'expression  de 
2,Ia  puissance  laplus élevée  de  ~  sera  moindre  que  /t,  etla  somme 
des  puissances  de  j-  et  de  ?  ne  surpassera  pas  i. 

Considérons  maintenant  la  formule  (A)  du  n*  5,  et  supposons 
qu'en  développant  suivant  les  puissances  de  p  ,  la  ^lantité 

i-ZÎ^+.  -H  àz.Z^^^,  +  etc. 

+  c.2ii^  +  cr.ZÎ:?^-H  etc. 

4-fi-ZÎ-^  +  ez.Z%^-h  etc. 
H-  eta , 
on  ait 

lH-i-  7V:.*  +  etc.  4-p.  (  J)^'M--;V*'>.«+  etc) 

H-^.(^->+iVt'î.s+etc.)....-fi^.Jlf«ï 

les  puissances  ultérieto'es  de  4  disparaissent  d'elles-mêmes  dans 
ce  développement ,  ptùsque  l'ospi'esslon  de  -i  ue  doit  point  les  con- 
tenir. Supposons  pareillement  qu'en  développant  la  quantité 

c-2^+cz.Zîi.^,H-etc. 

H-«.2^  +  «.za^.+etc. 
4-etc., 
on  ait 

Supposons  encore  qu'en  développant  la  quantité 
4- etc., 


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DES  PROBABILITÉS, 


et  ainsi  de  suite.  La  formule  (Â)  du  n"  5  donnera 
i,  =  Jir+N.z+M. 
+  f .  (^<''+ iV<'' .  I + etc.) 
+  i.(JH<«+iV<'>.i+etc.) 


M.+N.-z  +  etc. 
,    )+.J.(jM,'''+iV.'''.i+etc.) 


,M.+  H..s  +  eb:. 
)+  p .  (^/.'''+  ^." .  z  +  etc.) 


l+T^^-M^ 


(     .af„H-JV_,.z  +  etc. 

Cela  posé,  si  ronn(»iuae  v^y,,„  la  quantité 

^■y,,„+B:y.+,,.,+C.f,^.,,^   +  etc. 

■i-C'.y.,.,^    +  etc. 
+  etc. 


y  Google 


56  THÉORIE  ANALYTIQUE 

le  coefficient  Ae  t^,t^  dans  le  développement  de  7^ sera, par. le 

numéro  précédent,  ^.y,^,^,,^^,;  l'équation  précédente  donnera 
par  conséquent,  en  la  multipliant  par  u ,  et  en  passant  des  fono: 
tions  génératrices  à  leurs  coefficieus , 

jtf.j'..«+]V.V-^..»4-etc. 


|+J»<''.^„.,„+.  +  JVj".  v-J'.*.,«*.H-etc. 


Jf^,.j-.+;_,,./+iV,_..7-^.+.-.,«+etc.        •, 


li.  Si  l'on  suppose  ^.y,;„s^o,  Féquation  précédente  donnera, 
en  y  Élisant  »;so, 

+J»r,.r.,.AfiH?".j',,„H.,+^,<V..»«-+^'"'-j-..«-M-.- 

+ JKU.  .y.-.  ;  .At-JlfS  .r—  ;.v. .+j»t'r'"'  -^^i ,  .--M-.*.. 

'JU^'\  M^\  M^^,  etc.  étant  dés  fonctions  de  i  et  de  r.  L'expression 
précédente  de  ^, ,  ^  peut  être  mise  sous  cette  forme  tiés-^imple,    ' 

rintégrale 

Digilizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABILITÉS.  5, 

l'intégrale  étant  prise  depuis  r=o  jusqu'à  r=:  i  +  i  par  rapport 
au  pi;emier  terme,  depuis  r=  i  jusqu'à  r^i  •+■  i  par  rapport  au 
seeond  terme,  et  ainsi  de  suite.  Cette  expression  de  _y,,„  sera  l'inté- 
grale complète  de  l'équation  v  ..Ti ,  v  =  o ,  ou  * 

o  =  -*-j'i,«+jB.j'h-i,»  +  C-j'i+',« —  •  ■•  +  ''yn--,- 

+  B'o;,.,^.+  C.y,„  ,„„ 

+  G";y,,„„. 


n  est  visible  que  ^,7?/,  y,;î»  »y.;î',.  ••■..ri-i;*»  sont  les  n  fonc- 
tions arbitraires  qu'introduit  l'intégration  de  l'équation  v  •j,,t/=o. 
Four  les  déterminer ,  il  faut  connaître  immédiatement,  ou  du  moins 
pouvoir  conclure  des  conditions  du  problème ,  les  n  premiers  rangs 
verticaux  de  la  table  suivante  : 


y-.- 


y>,.--- 


■yi,.,     yu-.,. 
■yi,.<     yu-.,. 


(Q) 


y-.-"    y-. 
y;f-i-<ty-. 


'^.1»  yS,al+l' 


,.,    yi^,.i,..^ 


yw-., 


••.r... 


.  Dans  un  grand  nombre  de  problèmes,  les  n  premiers  rangs  ver- 
ticaux sont  donnés  par  deséquations  aux  différences  finies  linéaires, 
et  par  conséquent  par  une  suite  de  termes  de  la  forme  A.p^. 
Supposons  que  l'expression  de  j',,„  contienne  le  terme  ^.^;  la 
partie  correspondante  de^i,  ^  donnée  par  la  formule  (A)  sera 

■><.i>"'.(.W+ .»/«./)+ «'■'.;)• -f.J!f».y); 

mais  la  fonction 

U-\ — -1-  +  -JI-- 

est  le  développement  de 

6.z!i',„-4-c.z£i, 


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58  THÉORIE  ANALYTIQUE 

suivant  les  puissances  de  ^  ;  en  changeant  donc  dans  cette  der- 

niàre  quantité,  4  en  /»,  et  nommant  P  ce  qu'elle  devient  alors; 

on  aiura  A.P.p^  pom-  la  partie  de^j,,  qui  répond  au  terme 
A  '  ff'.  Il  suit  de  là  que  si  la  valeur  de  ^.,^  est  égale  à 
A-;^ -\-A'.p"''^A'.p"''-^t%c.,eX  que  l'onnommeT",  P",  etc., 
ce  que  devient  P,  en  y  changeant^  dans  p\  p"t  etc.;  on  am-a  pour 
la  partie  correspondante  de^j  „, 

A  •  r.p^-i- A'.  j^.p>''+^'.p".p""-i- etc. 

On  trouvera  pareillement  que  si  la  valeur  de^,,^  est  exprimée 
par^.  jf^H-J5'.5''^+i5".  /''  +  etc.;  et  sil'on  nomme  Q^Q',  Q",  etc, 
ce  que  devient  la  quantité 

c-Zli+.+  e-Z[!iU»H-  etc. 

lorsqu'on  y  change  saccessirement  p  en  ^ ,  q',  g",  etc.  ;  la  partie, 
correspondante  de^j,,/  sera 

^.  0-?*'+ ^.<2'.?'''+ ^'.  0".?""+ etc., 

et  ainsi  de  suite.  La  réunion  de  tous  ces  termes  donnera  l'expreà- 
sion  de  ^, ,  ^,  la  plus  simple  à  laqueOe  on  puisse  parvenir. 

i5.  La  valeur  deyi,^  donnée  par  la  formule  (X)  du  nmnâ'o 
précédent,  dépendant  de  la  connaissance  de  M^^,  J''/,''"'*)  etc.  ;  il 
est  visible  que  ces  quantités  seront  coimues ,  lorsque  l'on  aura 
le  coefficient  de  ^,  dans  le  développement  de  Z^°^  ;  tout  se  réduit 
donc  à  déterminer  ce  coefficient.  On  a  par  le  n'  5 , 

7(0 i 

"*   —      a.  «<+■.(«-*').  C—^").  «te. 


—  etc. , 


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DES  PROBABIUTÉS.  69 

a ,  a',  aJ'j  etc.  étant  fonctions  de  p.  Si  l'on  feit  ^  =  « ,  et  que  l'on 
^ffîrentie  Texpression  précédente  de  2f°^ ,  n  fois  de  suite  par  rap- 
port à  « ,  on  aura  avec  l'équation  précédente  ,  n-i-i  équations , 
au  moyen  desquelles ,  en  éliminant  les  puissances  indéterminées 

^i+T)  ;^  y  ;^  )  etc. ,  on  parviendra  à  une  équation  linéaire  entre 

Z^'^ .  -3^,  "3ïr-ï  etc. ,  dont  les  coefficicns  seront  fonctions  de  ce , 
«',  *",  etc. ,  et  de  leurs  dilfêrentielles  prises  par  rapport  à  «  ;  or 
il  est  clair  que  « ,  <t',  «",  etc.  doivent  entrer  de  la  même  manière 
dans  ces  coefliciens  que  l'on  pourra  ainsi  obtenir  en  fonctions  ration- 
nelles et  entières  des  coefficiens  de  l'équation  qui  donne  les  valeurs 
de  a  y  a',  a",  etc.,  et  des  différences  de  ces  coefficiens,  et  par 
conséquent  en  fonctions  rationnelles  de  s.  £a  faisant  ensuite  dis- 
parMtre  les  dénominateurs  de  ces  fonctions,  on  aura  une  équation 
linéaire  entre  Z^"^  et  ses  différentielles ,  équation  dont  les  coeffi- 
ciens seront  des  fonctions  rationnelles  et  entières  de  *.  Cela  posé , 
considérons  un  terme  quelconque    dé  cette   équation ,  tel  que 

*.«". — ^-é~>  et  nommons  ^,le  coefficient  de  rr,  dans  le  développe- 
ment de  Zf^  suivant  les  puissances  de  pj  ce  coefficient  dans  le 
développement  de  Jt .  «■ .  ■      '  sera 

*-(H-/*— ni).(r-H/t— TB— l).(H-/*— m— 93 ('*-'n-f-i)-V^_„. 

En  repassant  ainsi  des  fonctions  génératrices  à  letnrs  coefficicns , 
réquation  entre  Zΰ'  et  ses  difKrences ,  donnera  une  équation  entre 

K 1  \+i  y  etc.  y  dont  les  coefficiens  seront  des  fonctions  rationndles 
de  r,  et  dont  l'Intégrale  sera  la  valeur  de  \. 

n  suit  de  là  que  l'intégration  de  toute  équation  linéaire  aux 
différences  finies  partielles ,  dont  les  coefficiens  sont  constans  , 
dépend,  1°.  de  l'intégration  d'une  équation  linéaire  aux  différences 
£1:1^8  dont  les  coefficiens  sont  variables  ;  a",  d'une  int^;rale  définie. 


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6o  THÉORIE  ANALTriQUE 

L'intégrale  définie  dont  dépend  la  valeur  de  y,;,/  dans  la  formule 

(X)  est  relatiye  à  r,  et  doit  s'étendre  jusqu'à  r  =  »-4-i. 

Relativement  à  l'équation  aux  d^rences  partielles  du  premier 
ordre 


o  —  M.y,^„  +  S  .-y,^, , ., 

on  a 

+  ^'-^.,.'^.. 

on  a  de  plus 

a  =  A  +  B'.s, 

ce  qui  donne 

Z',=.-ij±-^: 

d'où  l'on  tire  cette  équation  différentielle 

ce  qui  donne  l'équation  aux  différences  finies 

on  a  ensuite 

La  formule  (A)  du  numéro  précédent  deviendra  donc 

L'intégrale  finie  étant  prise  depuis  r  =  o  jusqu'à  r  =  i.  Cest  l'in- 
tégrale complète  de  l'équation  précédente  aux  diffêreuces  partielles 
du  premier  ordre. 
L'éqoatiou  aux  diflfêrences  en  A,  donne  en  Tintégrant , 

^  _fl.i.Ci-i).(i-a) (i-r+i)     B" 

^ i.3i....r   'Â'  ' 

H  étant  une  constante  arbitraire  ;  et  le  dénominateur  étant  l'unité^ 
lorsque  r  est  nul.  Pour  détcroùner  cette  constante,  ou  observera 


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DES  PROBABUITÉS.  fii 

que  le  coefficient  indépendant  de  p  dans  2Î'^  est  —  f_:_ff^i  >  c'est 
la  valeur  de  Xo ,  et  par  conséquent  de  H;  on  aura  donc 

En  passant  dii  fini  à  l'infîniment  petit ,  la  méthode  précédents 
donnera  l'intégrale  des  équations  linéaires  aux  dififêrences  infini- 
ment petites  partielles  dont  les  coefficiens  sont  constans,  i*.  en 
intégrant  une  équation  linéaire  aux  différences  infiniment  petites; 
9*.  au  moyen  d'une  intégrale  définie.  Mais  ce  n'est  pas  ici  le  lieu 
de  m'étendre  sur  cet  objet  que  j'ai  considéré  ailleurs  arec  étendue. 

On  doit  Ëdre  ici  une  remarque  importante  relative  au  nombre 
des  fonctions  arbitraires  que  renferme  l'expression  générale  de 
^,  „.  Ce  nombre,'  dans  la  formule  (A)  du  numéro jprécédent ,  est 
égal  à  n  i  mais  il  devient  plus  petit  dans  le  cas  où  la  valeur  de  x 

du  n"  i3  ne  renfermant  que  des  puissances  de  ^  moindres  que  n , 
la  plus  haute  puissance  n'  de  ^  a  un  coefficient  constant  ou  indé- 
pendant de  j.  Alors  en  suivant  l'analyse  précédente ,  et  détermi- 
nant à  son  moyen  la  valeur  de  pp-,  comme  nous  avons  déterminé 
celle  de  ^  j'en  repassant  ensuite  des  fonctions  génératrices  à  leurs 

coefficiens ,  on  parviendra  à  une  fonnule  analogue  à  la  formule  (A)  ; 
seulement,  l'intégrale  définie,  au  lieu  de  s'étendre  jusqu'à  r^:ï-f-  x, 
devra  s'étendre  jusqu'à  r=s«'-4-i.  Cette  nouvelle  e^nression  de 
^j,., ,  ne  dépendra  plus  que  des  n'  fonctions  arbitraires _yi,, ,  ^i, , , 
^,,„....j'j,„_,  ;  et  tandis  que  la  première  suppose  la  connaissance 
des  n  premiers  rangs  verticaux  de  la  table  (Q)  du  n*  i4  ;  ceUe-<^ 
n'exige  que  la  connaissance  des  n'  premiers  rangs  horizontaux  de 
la  même  table.  Ainsi  les  n  fonctions  arbitraires  y,,^yy,,^t 
y^.wi-,"-  -y^-x ,  ^  de  la  formule  (  x  )  n'équivalent  qu'à  n'  fonctions 
arbitraires  distinctes.  En  effet,  T^piation  proposée  aux  difiërences 
partielles,  donnent ,  ^au  mojendes  valeurs  de  ^et,,  .^Xi^ï,.,— ^ttr. .'-.» 
r  étant  un  nombre  entier.  Elle  donne  pareillement^! ,  ,,^,  au  moyen 
dei'jir,,,  j'j^,, ,,..,. j'j±,, il/,  et  éliminant  j'i^,,,,  au  moyen  de 


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6s  THÉORIE  ANALYTIQUE 

6on expression ,  on  a^,,„^,aumoyeude  jj±,,,,^j:s,,ï,...^,3;f,„_.; 

en  continuant  ainsi ,  on  voit  que  l'expression  généraje  de  y, ,  „  ne 

dépend  que  des  arbitraires  ^i±,,.  ,.^id:,,„ ^i±,.»/-i;  on  peut 

donc ,  au  moyen  des  n'  premiers  rangs  horizontaux  de  la  table  (Q), 
former  tous  ses  rangs  verticaux  qui  sont ,  chacun ,  des  fonctions 
de  »*,  dans  lesquelles  i  est  invariable. 

En  passant  du  fini  à  l'infîniment  petit,  on  voit  avec  évidence , 
que  le  nombre  des  fonctions  arbitraires  des  équations  aux  diffé- 
rentielles partielles ,  peut  être  moindre  que  le  plus  haut  degré  de 
la  différentielle  dans  ces  équations. 

16.  Quoique  les  formules  données  dans  les  n"  i5  et  i4,  aient 
une  grande  généralité ,  il  7  a  cependant  quelques  cas  qui  n'y  sont 
pas  compris.  Ces  cas  ont  lieu,  lorsque  l'équation  2=0  donne 

f  expression  de  ^  en  ^  par  une  suite  infime ,  ce  qui  arrive  toutes 

les  fois  que  la  plus  haute  puissance  de  j  est  multipliée  par  une 

fonction  rationnelle  de  p.  Pour  avoir  alors  régression  de  y^ ,  „ 

en  termes  finis  j  fl  est  nécessaire  de  recourir  à  quelques  artifices 
d'analyse  que  nous  allons  exposer ,  en  les  apfdiquaut  à  l'équation 
suivante , 


■\-c;         (a) 


Cette  équation  donne 


par  c<mséquent 

En  développant  le  second  membre  de  cette  dernière  équation ,  et 
repassant  des  fonctions  génératrices  aux  coefficiens ,  on  aura  l'ex- 
pression de ^, , ^ ^  car  cette  quantité  est  le  co^tLcisut  ^<^e.i'  dans 


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DES  PROBABILITÉS.  63 


t-t'  dans  un  tenue  quelconque  du  développement  du  second  membre, 

tel  que  « .  -^ ,  est  v''  •  ^. ,  .'+r  ^V-y*,^  étant  le  coefficient  de  la  fouc- 

tion  génératrice  u.z,  coefficient  qui  est  ici  égal  à 

^.^.,,v+.— a.^,,^+»— i.j'.+.,„— c.^,,.,. 

Si  l*on  a  o = V  •>■» ,  ^  )  les  cœfficiens  des  termes  affectés  de  z  dispa- 
r£^out;  et  alors  on  aura  l'expression  de  j',,,,  en  fonction  de 

y^.t'i  J'.,«'+«)  ^.,.'+.)  etc.  i  Cette  expression  sera  l'intégrale  de 
réquation 

Pour  avoir  cette  expression,  t  peut  être  considéré  coiome  nul, 
puisque  Ton  ne  doit  avoir  égard  qu'aux  termes  indépendans  de  c  j 
réquation  (a)  devient  ainsi 

i  a        h 

o=,-p-p---Ci 

c'est  ce  que  }e  nomme  équation  génératrice  de  l'équation  {b)  aux 
diffîrences  partielles.  Eu  éSk^t ,  on  obtient  cette  dermére  équation 
en  multipliant  la  précédente  par  u ,  et  rq>as8ant  des  fonctions  gé- 
nératrices aux  coefficiena. 

L'expression  que  l'on  obtient  par  l'analyse  précédente  pour  y, , ,,, 
est  une  suite  infinie.  On  parviendra  de  cette  manière  à  une  expres- 
sion finie.  Reprenons  la  valeur  de  -77-7?  »  et  donnons-lui  cette 
forme 

»     "■G-'+0''-Q+°'+°-(f->)J 

Si  l'on  développe  le  second  membre  de  celte  équation ,  par  rapport 
aux  puissances  de  è  ^  & ,  on  aura 

i^=«.{0-«)-+y.«4_»)-'-+£:^.*..('_»)--+.tc.} 
^  ja'4.x.(c+«6).^+ï:fc>.(c-H.})-._ïîl-+etc.j. 


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64  THJÎORIE  ANALYTIQUE 

Soit 

f<'>=y.«.o'+«.(c+os).o— ', 

r">=î^;^P^.J'.a'+«'.i.i.(c+a6).o— +î;^ï=^.(c+«S)'.o— , 

1.3.3  '  1.9  ^  ' 

etc.; 
on  aura 

f  r.0  -if+r'-'\(^  -b)''"+F».(f  _  j)"-"...+^m1 


Or  réquation 


1        â       i 


"  e  +  04" 


partant 

"  _  I  ^•(?-»)''+'""-0-O"*' +  ^"^       ) 

Four  repasser  maintenant  des  fonctions  génératrices  aux  coeffi- 
ciens ,  noua  observerons ,  i  '.  que  le  coefficient  de  r .  ('*  dans  p— .?  » 
est^,^,,  î  3'.  que  ce  même  coefficient,  dans  un  terme  quelconque, 
■tel  que  u.Q  —  b)\  ou  u.B'.Q^  —  i)',  est  ô'.'A'.(î^),  la  carac- 
téristique 'A  des  dififêrences  se  rapportant  à  la  variabilité  de  x\ 
et  cette  rariable  devant  être  supposée  nulle  après  lea  diffêrentia- 

tioQS; 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  65 

tionsi  5'.  que  ce  coefficient  dans  u.(j  —  aj,  est  a'.  A'. ^^^),  la 
caractéristique  A  se  rapportant  à  la  variabilité  de  r ,  et  cette  va- 
riable devant  être  supposée  nulle  après  les  differentiationsj  on  aura 
^onc  avec  ces  conditions , 

c'est  i*intégrale  complète  de  l'équation  (b)  aux  différences  partielles. 
Il  est  clair  que  cette  intégrale  suppose  que  l'on  connaît  le  pre- 
mier rang  horizontal  et  le  premier  rang  Tertical  de  la  table  (Q) 
du  n*  i4. 

17.  L'expression  précédente  de^,>  offre  cela  de  remarquable, 
savoir ,  que  les  caractéristiques  A  et  'A  des  di£fêrences  finies ,  ont 
pour  exposans ,  les  variables  x  et  x!.  En  voici  un  autre  exemple. 
Considérons  Téquation  aux  différences  partielles 

os=A\j'.,.,+  ?.A"-'.'A.j',,,,-h^.A— .'A'.^,,:^-4-etc., 

la  caractéristique  A  se  rapportant  à  la  variable  x  dont  l'unité  est 
la  diflférence  ,  et  la  caractéristique  'A  se  rapportant  à  la  variable  x' 
dont  a  est  la  diffirence.  L'équation  génératrice  correspondante  sera , 
parle  numéro  précédent, 

Cette  équation  donne  les  n  suivantes 


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66  THÉORIE  ANALYTIOUE 

î  j  î'j  9"ï  *tc-  «t^ui'  Iw  »  racines  de  l'équation 

o  =  z'— a. z*-'+ *•«""'— etc. 
L*équation 

donne 

l-h  etc.  J 

£n  rt^iaasaid,  des  fonctions  gén^atrices  aux  coefftcicsis ,  <m  aura 

y. (-a)-.{!;.^,^^_.«.^  .(,  H-£).^„.^,_„+etc.}. 

Le  second  membre  de  cette  équation  peut  être  mis  son?  la 
forme" 

G+=)'*'(-D-'--C(^)V..j 

£n  désignant  donc  par  la  fonction  arbitraire  ?  (  «'  )  la  quantité 

(7+"}  'y '.''y  l'«^ression  de  j'^,,,  deyiendra 

.+^ 

Cette  valeur  satisfait  donc  à  l'équation  proposée  aux  difTéreuces 
•  partielles.  Il  est  visible  que  chacune  des  racines  5',  ç",  etc. ,  fournit 
une  valeur  semblable,  dans  laquelle  on  peut  introduire  une  autre 
arbitraire.  Nous  désignerons  par  ?,(«'),  ?,(jc'),  etc.  ces  nouvelles 
arbitraires.  lia  réunion  de  toutes  ces  valeurs  satisfera  à  l'équation 
proposée ,  parce  qu'elle  est  linéaire ,  et  cette  réunion  en  sera  Tin-, 
tégrale  complète  qui  est  ainsi , 


y  Google 


DES  PaOBABILITËS.  67 


Si  l'on  suppose  *  in&iiment  petit  et  égal  à  d»';  si  l'on  observe 
â'ailleurs  que 

;  (-^;^=<^. 

conune  il  est  iàcile  de  s'en  conraincre^  en  prenant  les  logarithmes 
de  chaque  membre  de  cette  équation,'  on  aura 

.  ^.;„=i.(-,^(é:^)+/.(_,')..(±*p)+e,c, 

i^est  l'intégrale  complète  de  l'équation  aux  difiKrences  partielles 
fimes  et  infiniment  petites, 

Toutes  les  équations  aux  différences  partielles  que  nous  avons 
0xamiiiées  jusqu'ici ,  n'ont  point  de  dernier  t^rme  indépendant  de 
la  variaUe  [urincipale.  Si  elles  en  aTaient ,  on  j  aurait  égard,  et 
l'on  intégrerait  ces  équations  par  la  méthode  que  nous  avons 
donnée  pour  cet  objet,  relativement  aux  équations  aux  simples 
diffêrences  ,  et  qu'il  est  Ëicile  d'appliquer  aux  équations  à  difTérences 
partielles. 

Théoràmês   sur  le  âéveloppement  en  aériea  >  déê  fonùtiona  de 
plusieurs  variables.     . 

iS.  Si  Ton  applique  aux  fonctions  de  plusieurs  rariables,  la 
méthode  du  n*  1 1  ;  on  aura  sur  le  développement  de  ces  {onctions 
en  séries ,  des  théorèmes  analogues  à  ceox  4ti  n*  lo.  Considérons 


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68  THÉORIE  ANALYTIQUE 

la  fonction  génératrice  u .  Q  ^  ',— jT,  et  donnons-lui  celte 

forme  ^ 

u  étant  supposé  une"  fonction  de  <,  /',  (",  etc. ,  dans  le  développe^ 
mentdelaqueUe  j*^  yy,  ,^  est  le  coefficient  de  /■Y*',  ("''.etc.  Ce 

coefficient  dans  le  déreloppement  de  u  .  [■    ,  A—- iT  sera 

A"._y^  ^  ^,  ^j^ ,  «,  «',  «",  etc.  étant  supposés  varier  de  l'unité  dans 
^i  *- *•  «K.-  ^^  même  coefficient,  dans  le  développement  de  la 
fonction  génératrice 

sera 

'A'."A''/"A''.etc.j',_ ^_ ^_  ,^  , 

les  caractéristiques 'A,  "A/''A,  etc.  se  rapportant  respectirement 
aux  variables  x,  x',  x",  etc.  j  on  aura  donc ,  en  repassant  des  fonot 
tions  génératrices  à  leurs  coefficiens, 

A  .j',.,'. ,.,«.- ^    ^  (i-h"'A.j',.:^,^,c...).etc.-i         i  * 

pourvu  que  dans  le  -développement  du  second  membre  de  celte 
équation,  on  applique  aux  caractéristiques  'A, "A,  etc.,  les  expo- 
sans  des  puissances  de  'A.jyi.a/.i'.etc.j  "A.^/i.jr-,,', «c. ,etc. 

£n  changeant  n  dans  —  n ,  la  même  équation  subsiste  encore , 
pourvu  que  l'on  change ,  comme  dans  les  n"  lo  et  1 1 ,  les  carac- 
téristiques A,  'A ,  "A ,  etc.,  lorsqu'elles  ont  un  exposantnégatif ,  en 
intégrales  finies  correspondantes,  les  signes  £,'£,"£,  etc.  étant 
les  caractéristiques  des  intégrales,  correspondantes  aux  caractéris-; 
tiques  A ,  'A ,  "A ,  etc.  des  différences. 

Il  est  clair  que  '*-\jr7p-p!t^ i T  est  la  fonction  génératrice 

de  la  différence  finie  n'f""  de  ^j,  y,  ;(•,,„.,  «variant  de  i,«'  variant 
de  i'j  «"  variant  de  »%  etc.  ;  or  on  a 


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DES  PROBABILITÉS.  69 

"•CTrô''3r->]'=="-CC+?->)'-0+?-0''-0+?-0''-'''^-O"- 

en  désignant  donc  par  A  la  caractéristique  des  différences ,  lorsque 
X  varie  de  i ,  ^  de  *',  x"  de  »",  etc.  ;  et  par  2,  la  caractéristique  in- 
tégrale correspondante ,  on  aura 

2" -r,, ,',  ^, ^.  =  [:c.^l.j^^^^^,-,„.)i.c.-Kû.j.,^,,^,.,^y..tc._0-  • 

pourvu  que  dans  le  développement  du  second  membre  de  ces 

équations ,  on  applique  aux  caractéristiques  'A ,  "A,  etc.,  les  expo- 
sans  des  puissances  de  'A  .fr,  ^,  x;  «te.  »  "A  ./■,,  y,  i-,  «te. ,  etc. ,  et  que 
l'on  change  les  différences  négatives  en  intégrales.  On  peut  ainsi 
se  dispenser  d'indiquer  les  arbitraires  que  l'intégrale  finie  S"  doit 
introduire ,  parce  qu'elles  sont  censées  renfermées  dans  les  intér 
grales  que  donne  le  développement  de  son  expression. 

Le»  deux  équations  précédentes  ont  encore  lieu ,  en  supposant  qad 
dans  les  différences  '^•j'r,x',i',tù.,  "A.^i-.a',  x-,eic.,etc.,  ar,  x',x",  au 
lieu  de  varierde  l'unité,  varient  d'mie  quantité  quelconque  «■;  pourvu 
que  dans  la  différence  A.^,,jr',y,wc.,  x  varie  de  »^,  »'  de  iV, 
x"  de  ("■ar,  etc.  Maintenant  si  l'on  suppose  tp  infiniment  petit,  les 
diffirences  '^._Xr,i',x',tK.)  "à.j'r,i',x%ttc.,  etc.,  se  changeront,  la 

première  dans  dx.Ç  ')^''^')>  la  seconde  dans d^.(-^^i^^V  etc. 
De  plus,  si  l'on  Eut  i,  i*,  î",  etc.  infiniment  grands,  et  tels  que 
l'on  ait 

idx^BL,     i'dx'  =  «',     etc.  : 
on  aura 

"S  le  nombre  dont  le  logarithme  byj: 
t  pareillement 


e  étant  toujours  le  nombre  dont  le  logarithme  hyperbolique  est 
runité.  On  aura  pareillement 


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7fl  THÉORIE  ANALYTIQUE 

et  ainsi  de  suite  ;  partant 


2".^x,*',«c  =  - 


C^ 


K  rariant  de  « ,  «'  de  «',  etc.,  dans  les  deux  premiers  membres  de 
ces  équations. 

£^  au  lieu  de  supposer  v  infiniment  petit ,  od  le  suppose  fini , 
et  i  infiniment  petit  et  égal  kdx;  si  l'on  suppose  encore  *',  »",  etc. 
infiniment  petits  et  respectÎTement  égaux  à  dx',  4V,  etc.,  on  aura 

on  aura  pareillement 

(l4-"A.7^,y,,tc.y  =  l-f-(&M0g(l  +"A.Jï,^,etc.)î 

etc. 

d'ailleurs  Â'.7x,»',mc.  se  change  alors  dans  tP.jf:r,x',tK.i  on  atira 
donc 

d"./r,.y,«c.=^;d«.Iog(i+'A.j'^a'.«K.)4-*i»'Jog(i4-''A.^*,t',ï[c.H-etc.]^ 

équation  qui  en  Élisant  n  négatif,  subsiste  encore, pourvu  quel'on 
change  les  diffîrences  négatives  en  intégrales.  Ces  divers  résultats 
sont  analogues  à  ceux  que  nous  avons  trouvés  dans  le  n*  10,  rela- 
livementaux  fonctions  d'une  seule  variable  ;  et  l'on  y  retrouve  l'ana- 
logie que  nous  avons  observée  entre  les  puissances  positives  et  les 
différences ,  et  entre  les  puissances  négatives  et  les  inté^ales. 

Considérations  sur  le  passage  du  fini  à.  l'infiniment  peUf.    ■ 

19.  Le  passage  du  fini  à  l'infiniment  petit ,  con«ste  à  négliger  les 
différences  infiniment  petites ,  par  rapport  aux  quantités  finies ,  et 
généralement  les  infiniment  petits  d'un  ordre  supérieur,  relative- 
ment à  ceux  d'un  ordre  inférieur.  Cette  omission  semble  6ter  à  ce 
passage,  la  rigueur  géométrique  ;  mais  pour  se  convaincre  de  son 
entière  exactitude ,  il  suffît  de  le  considérer  comme  le  résultat  de 


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DES  PR0BABIUTÉ8.  71 

la  compara^u  des  puissaDces  homogènes  d'ane  variable  indéter- 
minée y  dans  le  développement  des  termes  d'une  équation  qui  sub- 
siste ,  quelle  qne  soit  cette  indéterminée  ;  car  il  est  clair  que  les 
termes  affectés  de  la  même  puissance ,  doirent  se  détruire  mu- 
tuellement. 

Four  rendre  cela  sensible  par  un  exemple,  considérons  Téqua- 
tion  suivante  que  donne  Téquatton  (q)  du  n*  10,  en  y  faisant 

'A  est  la  caractéristique  des  différences  finies,  «'  variant  de  «,  et 
d  est  la  caractéristique  des  di£fërences ,  x'  variant  de  dx'.  L'équa- 
tion précédente  développée  donne ,  en  appliquant  conformément  à 
l'analyse  du  numéro  cité,  les  exposans  des  puissances  de  dj^^,  à  la 
caractéristique  d, 

■'A./^  =^.rfr.,  H- ^^=^  .  dy.,+  etc., 

df^  est  égal  SLj^r^i^,^-^^,.  Supposons  qu'en  développant  la  fonction 
de  a/ H- cfce',  représentée  par/^^.*,,,  on  ait 

^,'4- 1/  =/,.  +d3e'  y^,  4-  dx'* .  z„H-  etc.  î 
on  aura 

df^'  =  dx'  .y^  +  dx'' .  z^  -H  etc.  ; 

d'où  l'on  tire 

^f^-=d^,dy^-\-dx'^.^^-\~^\Xi. 

Développons  pareillement  ^'^+i^,  z,/+t, ,  etc.  suivant  les  puis- 
sances de  <£)/ ,  et  supposons  que  4'on  ait 

7^+^=^;,4-(fo'-^;,+  di".*^+etc.,       _   .     . 
ï*/^.i«f=z,/  H-(i»'.z'„4-etc.j 
on  aura  djr'^  =  dx'y^^  d«'\«,,4-etc. , 

dz^  =:  dx'.z'^+  etc.  j 
partant         d"  .^^  =  dx"  y,  +  dx" .  «„  +  etc. 
+  */»". z^-f-etc; 


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7a  THÉORIE  ANALTOQUE 

L'expression  précédente  de.  'A  .7,,  deviendra  ainsi, 

(    «.(z.-— trL+etc.)| 
-f-'^'-]+*'-C*.'-Hv+etc.)>i    (o) 

(+etc.  ) 

H- <«»'•.  etc. 
d*'  étant  indétfirminé  ,  les  tenues  ind^iendan»  de  /JV  doivent  être 
égalés  séparément  entre  eux  ;  on  a  donc 

Maintenant, ^^  est  le  coeffidenj;  de  dx'  dans  le  développement 
de^i,+ai,;  c'e3t  ce  <juv  l'on  désigne  dans  le  Calcul  différentiel, 
par  -^.  Pareillement^^  est  le  coefficient  de  i£e'dans  le  dévelop- 
loppement  de  j'J,^^;  c'est  ce  que  l'on  désigne  par  -^>  on  par 
■^^ ,  et  ainsi  de  suite  ;  en  substituant  donc  dans  l'équation  précé- 
dente, ^i'+« — ^,/  au  lleu.de  'A .^y^,,,  on  aura  le  théorème  suivant, 

Considéré  comme  résultat  de  la  comparaison  des  termes  îndépen-' 
dans  de  dx',  ce  théorème  ne  laisse  aucun  doute  sur  son  exactitude 
rigoureuse,  et  il  est  visible  par  l'analyse  précédente ,  que  cette  compa- 
raisourevlentànégligerles  termes  multipliés  par  dk' et  ses  puissances, 
relativement  aux  quantités  finies  j  cette  omission  n'ôte  donc  rien  à 
la  rigueur  du  Calcul  différentiel.  Mais  on  voit  de  plus,  d^rion, 
que  les  termes  affectés  de  la  même  puissance  de  l'indéterminée  dx\ 
doivent  se  détruire  mutuellement ,  ce  que  l'on  peut  vérifier  à  pos- 
teriori ;  ainsi  ce  que  l'on  néglige  comme  infiniment  petit  est  rigou- 
reusement nul;  enaorte  que  l'omission  des  infiniment  petits,  rela- 
tivement aux  quantités  finies ,  n'est  an  fond  qu'un  moyen  facile 
d'éliminer  les  termes  superflus  qui  doivent  disparaître  dans  le  ré- 
sultat final. 

Ce 


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DES  PROBABItrrÉS.  l'S 

Ce  rftpprochaneut  du  calcul  aux  diffêrênces  finies,  et  du  calcul 
difiKrentiel,  met  en  ëvidence  la  rigueur  des  résultats  de  ce  dernier 
calcul ,  et  donne  sa  vraie  métaphysique  ;  mais  ses  applications  à 
rétendue ,  à  la  durée  et  au  mouvementj  supposent  de  plus,  le  prin- 
cipe des  limites.  On  peut,  par  un  rapprochement  semblable,  éclair- 
cir  dirers  points  de  l'analyse  infinitésimale ,  qui  ont  été  des  sujets 
de  contestation  parmi  les  géomètres  :  telle  est  la  discontinuité  des 
fonctions  arbitraires  dans  les  intégrales  des  équations  aux  diffé- 
rences partielles.  Ceux  qui  ont  rejeté  cette  discontinuité ,  se  fon- 
daient sur  tx  ({ue  l'analyse  unlinalre  des  cUffêrences  infiniment 
petites  y  suppose  que  les  différentielles  successives  d'une  fonction, 
doivent  être  infiniment  petites  relativement  aux  précédentes,  ce 
qui  n'a  point  lieu  lorsque  la  fonction  est  discontinue.  Pour  éclaircir 
cette  question  délicate ,  il  faut  la  considérer  dans  les  difiërences 
finies ,  et  observer  ce  qui  arrive  dans  te  passage  de  ces  difiërences 
aux  difierences  infiniment  petites. 

Prenons  pour  exemple  l'équation  suivante  aux  diffêrencea  finies 
partielles 

çon  équation  génératrice  est,  par  le  n'  16 , 

'•a-)-''-o-o'=''^    , 

et  en  suivant  Tanalyse  donnée  précédemment ,  11  est  &cile  d'en 
conclure  que  l'intégrale  complète  de  Téquation  proposée  (a)  est 

^*  ../= <p  (* -f- *')+ 4  («—*') . 

^(«H-a:')  étant  une  fonction  arbib*aire  de  s+ic',  et  4(« — «') 
étant  une  fonction  arbitraire  de  *  — a/.  Il  est  fecile  d'ailleurs  de 
s'assurer  que  cette  valeur  satisfait  à  la  proposée,  et  qu'elle  en  est 
l'intégrale  complète ,  puisqu'elle  renferme  deux  fonctions  arbitraires. 
&ipp08ons  présentement  que  dans  la  table  suivante, 


J.. 

.r.. 

.r., 

.r>,.- 

••••J-.-.; 

.,r... 

T.. 

.^., 

.^.. 

,j-.,.- 

■•■■^.-.. 

..^.,. 

T; 

.J-.. 

.r.,. 

.^i..- 

•  ■•■r—>, 

.7... 

(^) 

J''',<t)J  J>  .(Bi  yt,»y  Ji,i 


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74  TJIÉORIE  ANALYTIQUE 

on  connaisse  les  detUE  premiers  rangs  horizontaux  compris  entre 

les  deux  colonnes  vertics^es  extrêmes 

J'...ïJ'.,.»7., -jr-,, 

r.,->^-..»7- -r-,*; 

et  qae  l'on  connaisse  de  plas  tous  les  termes  de  ces  deux  eoloimes  ; 
on  pourra  détenniner  toutes  les  valeurs  de^, ,  „  qui  tombent  entra 
ces  colonnes.  Car  si  Ton  veut  former  le  troisiôme  rwQS  borâosbd  % 
on  observera  que  Téquation  (a)  donne 

En  Élisant  dans  cette  dernière  équation ,  x'ss:  i ,  et  successîremeat' 

âr  =  i  ,ar=3,  «=3 x=n — i ,  on  aura  les  valeurs  de ^,,,j 

^...jjKs,.*  ••■^■-i,«)0ule  troisième  rang  horizontal,  au  moyen  des 
deux  premiers  rangs  horizontaux.  On  formera  de  la  même  manière , 
le  quatrième  rang  horizontal ,  et  ainsi  de  suite  à  Tinfini.  Mais  si  Ton 
veut  déterminer  les  valeurs  de^, ,  ^  qui  tombent  hors  de  la  table  (Z) , 
les  conditions  précédentes  ne  suffisent  pas,  et  â  faut  leur  en  ajou- 
ter d'autres. 
Reprenons  l'intégrale 

et  supposons  «pie  le  second  rang  horizontal  qcù  détermine  une  des 
deux  fonctions  arbitraires ,  soit  tel  que  l'on  ait 

on  aura 

^,, .' =«fl>  (*+»') +  ^  C  «—*')■ 
En  taisant  ar'ssso,  on  a  ç(a:)5Sx-J'«,.; partant    ■ 

Il  est  &cîle  de  voff  que  cette  équation  aatisÊiit  à  Féqnatkm  prc^MV^ 
sée  (a)j  mais  elle  n'en  est  qu'une  intégrale  particulière  qui  répond 
au  cas  où  le  second  rang  horizontal  se  forme  du  premier,  au  moyen 
de  l'équation 

Tant  que  *+ jc'  sera  égal  ou  moindre  que  »,  et  que  «  —  «'  sera 
positif  ou  nul;  on  aura,  la  valeur  de  ^«,^,  au  moyen  du  premier 


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DES  PROBABUrriÉS.  ■  ^5 

rang  horîsoïttal.  Mais  lorsque  *  croissant,  «+*'  devienflra  plus 
grand  que  n ,  ou  lorsque  «  —  j/  dâviendra  n^tif  ;  iï  fiiudrà  déter- 
miner les  valeurs  de  ^,+j,,,  et  de  y,_,r,„,  au  moyen  dès  deux 
colonnes  verticales  extrêmes.  Supposons  que  tous  les  termes  de 
Ces  colonnes  soient  nuls  pet  que  V(»i  ait  fùasî  y» ,  „=■  o  et/. ,  ^  »:  o* 
En  faisant  x  mA  dam  réqaatkm 

on  aura 

En  ^aant  ensuite  ars=n  dans  la  même  équation,  on  aura 

Si  Ton  cliange  ^isulte  dans  cette  dernière  équation  x'  en  n-^:^t 
oaaura 

en  dutngeaikt  eiMx»re  x'  dans  n  -h  x\  on  aura 
et  généralement,  ou  aura 

On  pottrra  aînsi ,  an  moyen  de  ces  deux  équations,  coatsuier  les 
valeurs  de  ^,,xr  à  l'infim,  du  cdté  des  valeurs  positives  de  «, 
et  Ton  en  conclura  ceSes  qui  répondent  à  x  aégatif  ;  au  mOTen  do 
l'équation 

De  là  résulte  la  construction  suivante.  Représentons  les  valeurs 
de  j',,. depuis  x  =o  jusqu'à  x=:n,  par  les  ordonnées,  menées  aux 
angles  d'un  polygone  dont  l'abscisse  soitx,  et  dont  les  deux  extré- 
mités, que  je  dés^e  par  ^et  £,  aboutissent  auxpoints  où  «^o 
et  «=n.  On  portera  ce  polygone  depuis  x^n  jusqu'à  x  =  sn,  en 
lui  donnant  une  position  contraire  à  celle  qu'il  avait  depttis  d;==o 
jusqu'à  x=sn;  c'est-à-dire,  une  position  telle ,  que  les  parties  qui 
étaient  au  dessus  de  l'axe  des  abscisses  x,  se  trouvent  au-dessous , 
le  point  M  testant  d'aUleors  dans  cette  sdcoode  position  ,, à  la 


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^e  THÉORIE  ANALYTIQCE 

même  place  que  dans  la  première ,  et  le  point  A  répondant  ainsi 
à  Tabscisse  x  =  ara.  On  placera  ensuite  ce  même  polygone ,  depub 
s=3n  jusqu'à  s  =  3n,  en  lui  donnant  une  position  contraire  à  U 
seconde,  et  par  conséquent  semblable  à  la  première,  de  manière 
que  le  point  A ,  dans  cette  troisième  position ,  conserve  la  place, 
qu'il  avaitdans  la  seconde,  et  qu'ainsi  le  pointJréponde  à  l'abscisse 
X  =  5n.  En  continuant  de  placer  ainsi  ce  polygone  alternativement 
au-dessus  et  au-dessous  de  Taxe  des  abscisses;  les  ordonnées  menées 
aux  angles  de  cette  suite  de  polygones,  seront  les  valeurs  de^,,,' 
qui  répondent  à  x  positif. 

Pareillement ,  on  placera  ce  polygone  depuis  «  =  o  )usqa'à 
w  =  —  n,  en  lui  donnant  une  position  contraire  à  celle  qu'il  avait 
depuis  «  =  o  jusqu'à  x:s=n,A  ratant  d'ailleurs  à  la  même  place 
dans  ces  deux  positions..  On  placera  ensuite  ce  polygone  depuis 
a;  =  — -  71  jusqu'à  «  =: — an ,  en  lui  donnant  une  position  contraire  - 
à  la  seconde ,  le  point  S  conservant  la  même  place ,  et  ainsi  de  suite 
à  l'infini.  Les  ordonnées  de  ces  polygones  représentent  les  valeurs 
de  j',,0,  qui  répondent  à  x  négatif.  On  aura  ensuite  la  valeur  de 
y^ ,  I,  en  prenant  la  demi-somme  des  deux  ordonnées  qui  répondent 
auxabscisscs  «+*'  et  x  —  a/. 

Cette  construction  géométrique  est  générale,  quelle  que  soit  la 
nature  du  polygone  que  nous  venons  de  considérer.  EUe  servira 
à  déterminor  toutes  les  valeurs  de^,,,,,  comprises  depuis  s  =  o 
iusqu'à  «=:n,  et  depuis  «'=o  jusqu'à  «'=00,  pomru  que  l'on  ait 
^,,,,=0,  et^,,:^^o,  et  que  d'ailleurs  le  second  rang  horizontal  d^ 
la  table  (Z)  soit  tel,  que  l'on  ait 

On  a  par  ce  qui  précède , 

^«  ,»/+■  =  ï  •j'«+«/+»  ;  i + i  •^*-*^— » ,  •  ; 
de  plus , 

donc 

il  suit  de  là  que  dans  la  table  (Z),  le  {n+x')'^'  rang  horizontal ,  est 


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DES  PROBABILITÉS,  77 

le  «"^  rang  pris  avec  un  signe  contraire  et  dam  un  ordre  reïiTersé  ; 
ensorte  que  le  terme  r*™  du  rang  (/H-*')'""  €st  le  même  que  le 
terme  (n — r)***  du  »"^  rang  pris  avec  un  signe  contraire.  On  a 
msuite 

OD  a  d'ailleurs  ^  par  ce  qui  précède, 


partant 

d'où  il  suit  qae  le  (stH-*')'™  î'^S  horizontal  est  exactement  ^al  au 

Considérons  présentement  les  vibrations  U'ano  corde  tendue  , 
dont  la  figure  initiale  soit  quelconque ,  pourvu  qu'elle  soit  três- 
rapprochée  dans  tous  ses  points,  de  l'axe  des  abscisses.  Nommons  x 
l'ïiscisse,  (  le  tems ,  ^,,r  l'ordonnée  d'un  point  quelconque  de  la 
corde ,  après  le  tems  t.  Concevons  de  plus  l'abscisse  w  partagée 
dans  une  infinité  de  parties  égales  à  dx^  et  que  nous  prendrons 
pour  unité  ;  ce  qui  revient  à  considérer  x  comme  un  nombre  infini. 
Cela  posé ,  on  aura  par  les  principes  de  dynamique, 

a  étant  un  coefficient  constant  dépendant  de  la  tension  et  de  la 
grosseur  delà  corde.  Si  l'on  fait  <s=  ~;  on  aura  <â  =  — ,  ct^<,t 
deviendra  une  fonction  de  iv  etde  ar*,  que  nous  désignons  par^,,,^ 
or  la  grandeur  de  dt  étant  arbitraire ,  on  peut  la  supposer  telle ,  que 
la  variation  de  x*  soit  égale  à  celle  de  «,  que  nous  avons  prise  pour 
l'unité  j  l'équation  précédente  devient  ainsi 

a  et  a/  étant  ici  des  nombres  infinis.  Cette  équation  est  la  même 
que  celle  que  nons  venons  de  considérer  y  ainsi  la  construction 
géométrique  q^e  noos  avons  donnée  précédemment ,  peut-être- 


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^  THÉORIE  ANALYTIOTE 

r  et  «  étsM  des  nonobres  entierè  positif,  «  pouranf  £tfe  tmî  ;  c^esl^ 
ii-dire  que  la  diffà^ntieUe  de  cette  quantité  doit  être  infiniment 
petite  par  rapport  à  cette  quantité  elle-même.  Cette  condition  est 
indispensable  pour  que  l'équation  différentielle  proposée  puisse 
subsister  ;  parce  que  toute  équation  diflférentielle  partielle  suppose 
que  les  différentielles  partielles  de  y^^^,  dont  elle  est  formée,  et 
divisées  par  les  puissances  respectives  de  dx  et  de  d^,  sont  des 
quantités  finies  et  comparables  entre  elles  ;  mais  lien  n'oMige 
d'admettre  la  même  condition  rclatirement  aux  diâërences  de^,,,* 
de  l'ordre  n  ou  d'un  ordre  supérieur.  En  prenant  pour  fonctions 
arbitraires,  les  différences  les  plus  élevées  des  fonctions  arbitraires 
Kjui  entrent  dans  l'intégrale  d'une  équation  aux  différences  partielle^ 
jcette  intégrale  ne  renfermera  plus  alors  que  dea  fonctions  arln- 
traiies  et  leurs  intégrales  successives  qui  sont  continues,  parce 
qu'en  général  Tintégraie  7a».ç(5)  est  continue  dans  le  cas  méma 
0Ù  la  fonction  f  (s)  ne  l'est  pas.  La  condition  précédente  se  réduit 
donc  à  ce  que  la  dillKrence  (n — i)*™*  de  chaque  fonction  arbH 
traire  soit  continue ,  c'est-ànlire  que  sa  diffîrentielle  sojt  infiniment 
plus  petite.  Il  ne  doit  donc  point  y  avoir  de  saut  entre  deux  tan- 
gentes consécutives  de  la  courbe  qui  représente  la  fonction  arbitraire 
de  l'intégrale  d'une  équation  aux  difiërentielles  partielles  du  second 
ordre  ;  ainsi  dans  le  problème  des  cordes  vibrantes  que  nous  venons 
de  discuter,  il  est  nécessaire  et  il  suffit  que  deux  élémens  quel- 
fonques  contigus  de  la  figure  initiale  de  la  corde^  forment^entre  eux 
un  angle  infiniment  peu  dif^ent  de  deux  angles  <^it8.  Il  ne  doit 
point  y  avoir  de  saut  entre  deux  rayons  osculateurs  CDnsécuti& 
de  la  courbe  qui  représente  la  fonction  ai^itraire  continue  dans 
l'intégrale,  si  l'équation  aux  diâëcwces  partii^es  est  du  troisièiaQ 
lurdre;  et  ainsi  de  suite. 

Considérations  générales  sur  les  fonetiotu  génératrice*. 

90.  Il  est  souvent  utile  de  connaître  la  fonction  génératrice  d'une 
quantité  donnée  par  une  équation  aux  différences  finies,  ordinaires 
ou  partielles  :  parce  que  l'analyse  oflrant  divers  moyens  pour 
développer  les  fonctions  en  séries,  on  peut  ainsi  obtenir  d'une 
tnanière  fort  simple,  k  valeur  de  la  quantité  cb^xbée.  U  résulte 

du 


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DES  PROBABILITES.  8i 

Sa  n'  5,  que  la  quantité  j',,  donnée  par  l'équation  aux  diffêrencea 
finies 

est  le  coefficient  de  t  dans  le  déTeloppement  de  la  fonction 
^  +  j?.(4-c.f +  g.f"—    ■ 

A,  ByCi..^.H  étant  des  constantes  axbitraires.  En  effet»  si  Ton 
compare  cette  fonction  à  celle-ci, 

on  aura  ,  en  faisant  disparaître  le  dénominateur ,  et  en  vertu  dé 
l'équation  aux  dif^cnccs  en  ^^  ^ 

ji+B.t-{-C,^ +  /f.«^'  =  «^'.C*.^.+  c.^,H-etc.) 

H-  *■- '.(c.j'.4-e.^.+  etc.) 
H-  etc.  j 

en  égalant  ensuite  les  puissances  homogènes  de  t,  on  aura  les 
valeurs  de^  fB,C,  etc.  au  moyen  des  n  valeurs  ^, ,  ^., . .  .y^,  ; 
on  aura  donc  ainsi  la  fonction  génératrice  dey^ 

Si  Ton  suppose  2'._y:.=j'^»  on  aura^,  =  A'.^^  ;  et  alors 
f équation 

or=o.^,+  i'y*+i-f-c-J'«+ -hÇ-y.-^-» 

devient 

o  =  c#.û'.j';-f-ô.A'.^;^ -f-j.A'.^^^,; 

ce  qui  donne  en  int^ant , 

«•X+^-J'lt. H-ç.y:^,=  J)!f.x'-'-f-A'.«^+etc.. 

'JfcT,  Nt  etc.  étant  des  constantes  arbitraires.  Par  le  n'  a ,  a  étant  la 
-  fonction  génératrice  de  j,,  celle  dey',  est 

a.t'-l-^.  f— +  g'.t'— 4.etc. 

ïa  fonction  génératrice  de  y,  ou  de  la  quantité  donnée  par  Véqua-: 

11. 


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8>  TH^RIE  ANALTTIQUE 

tion  précédente  fin  ^^  est  doue 

(^+g.f+C.f...+H.t'-').x'+(^'.f*-'+J'.l'-*+etc.).(c.l''+ft.P'-'.  ..,+?> 
(1— ï)'.(o.C+*.t-'+c.i'-» +P.H-9)  * 

Concevons  maintenant  qUe  a>  A,  c,  etc.  soient  des  fonctions 
rationnelle  et  entières  de  <'  de  l'ordre  n,  et  que  A,  Bj  C,  etc. 
soient  des  fonctions  arbitraires  de  la  même  quantité;^,  sera  fonc- 
tion de»  et  de  if.  Enladév^ppant  par  rapport  aux  puissances  de 
/',  nous  nommerons  y^ ,  ^,  le  coefficient  de  t'''  dans  ce  développe- 
menL  Cela  posé,  «i  l'cm  8iq)po$B 

a  =  a'.f-i-  i'-/"-'.-4-  c',tf'~*+  etc., 
b  ï=  a".<"-|-  6".i'— '+  c".('"~*-H  etc., 
c  =  a"'.t!'+  etc., 
etc. 
L'équation  différentielle  précédente  en  ^.  doimera ,  en  comparant 
les  coefficiens  de  la  puissance  /'*'*•,  l'équation  suivante  aux  diffé- 
rences partielles  en  jr,,  ^  , 

0  =  0'.^,.,,+  6'-j'*,«/+i+  c'-J'*,^/+.   H-  etc. 
+  a" -:>',+..„+  ^''-y^+L^rz+i-f-  etc. 
+  «'V'-M,*'  +  etc. 
+  etc.  ; 
la  £>nction  génératrice  de  la  vahablej', ,  „  de  cette  équatton  sera  donc 

A+B.t+C-f +g.(— * 

t^.V.tf'+b'.t'  .  *'"-'+ c'.f.  C— +  etc. 

+a'.t— .;"     +A".r-'.C— '  +  eto. 

+  o'.('— .f"     -}-etc. 

■+-«te. 

-rf,.B,  C,  etc.  étant  des  fonctions  arbitraires  de  i',  elles  donneront 
par  leur  développement ,  les  fonctions  az^itraires  qui  doivent  entrer 
dans  l'espresaion  de^,, ,,. 

On  peut  encore  déterminer  les  fonctions  génératrices  des  équa- 
tions aux  différences  finies,  dans  lesquelles  lés  coefficiens  sont 
variables.  Considérons  pour  cek  Téquation  aux  difiërences 

0=         a.^,+6'^.+.*Hc.^,-M +  ?-^-+. 

+  «•("'  •J'«-f  i'  -^,.^.+c'  .^*+. -f-  î'  ■JK.+.) 

4-  «• .  (a"  .^,4^"  .J-i+.-H:"  .^,+. H-  î"  ■^,+.) 

H-  etc. 


y  Google 


DES  raOBiJBIUTÉS.  8Î 

Si  Votk  nomme  u  lafonctiongéncratnceâe^,,  on  aura,  enverta 
de  Xéifa6aa  précédente , 

H-4{4.{„.(„"+Ç  +  i....+  i))} 
H- etc. 

AyB,C, H  étant  des  conetantes  arbitraires  qtrî  dépendent 

des  valeurs  de j'.,^,  ,^av  •  •  •J'»-i<  ^  c^t,  si  l'on  substitue  dans 
cette  équation ,  k  valenr  précédenCe  de  a  en  série;  on  roit  qu'en 
Terta  àa  l'éqnatioa  dif^rentielle  proposée,  tous  les  coefficiei»  de 
la  même  pŒssfmce  de  t,  diaparaisseBt  lorsi|ne  cette  pnissanee  est 
égale  ou  plus  grande  que  n  j  et  la  conqxaraison  des  puissances 
inférieures  donnent  un  nomln^  n  d'équations  qui  déterminent  les 
constantes  Ay.B^  C,  eCa^aamt^en  des  valeiirs^., ^,,...^._..^ 

L'équation  diffîrentielle  précédente  n'est  intégrable  généralement 
que  (kos  le  cas  où  elle  est  du  premier  ordre ,  et  alors  les  coeffî- 
ciens  de  l'équation  aux  différences  finies  en  y,  ne  renferment  que 
la  première  ptdssancede  ^r  :  dans  ce  dernier  cas,  on  peut  obtenir 
la  foncti<Na  génâ-atiice  u  par  des  quadratis-es. 

ai.  La  connaissance  des  fonctions  génératrices  des  équations  dU*- 
férenlielles ,  donne  l'e^rcssion  des- intégrales  de  ces  équations ,  aU' 
moyen  de  quadratures  défime».  B.epren<Hi»  pour  cela ,  l'équation 

Substituons  dans  ses  deu»  membre»,  c**^"'  au  lieu  de  f,  c  étMit 
toujoiu's  le  nombre  dont  le  logarithme  hyperbolique  est  l'unité  j  et 
nommons  Z/,  ce  que  devient  alors  u.  En  multipHaiit  ^équation  par 
c~***'^~"'tfer  i.«t  iAt^^:»it^  fax  aura 

l  ...-hy.-b'.*.-''*'^~'+etoJ 

Si  l'on  substitue  pour  c*™''^  sa  valeur  co?  r!>-±  V'— î"'™""'. 


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24  .     THÉORIE  ANALYTIQUE 

et  ai  l'on  prend  l'intégrale  depuis  <»  = — ir  jusqu'à  «■  =  *  ,  !w 

étant  la  circonférence ,  le  second  membre  ae  réduit  à  a  n*^,;  on  a  donc 

j',  =  —  ./f7.eto-.(  C08  ««■—  V" ï  .sinaT'ir) 

mais  cette  formule  a  l*inconTénient  d'introduire  des  imaginaires 
dont  on  peut  se  débarrasser  de  la  manière  sulyante. 
Considérons  l'équation 

o  ==  ay,+  £.^.+, +  9'JK*+» 

et  supposons 

T  étant  ime  fonction  de  i  qu'il  s'agit  de  déterminer ,  ainsi  que 
les  limites  de  Tintégrale.  En  substituant  pour  ^.  cette  valeur  dan» 
l'équation  différentielle  enj>'.,  et  observant  que  l'on  a 

ce  qui  £tit  disparaître  le  coefficient  variable  x-y  on  aura 

0  =  -7'.ï-',(a'4-^......+^) 

En  égalant  à  zéro  la  partie  sous  le  signe  y,  on  aura 
o=T.(a+i....+l) 

Cette  équation  intégrée  donne  T'en  fonction  de  t  Elle  est  la  même 
que  l'équation  diff^ntielle  en  u  du  numéro  précédent ,  en  négli- 
geant dans  celle-ci  te  terme  indépendant  de  u.  La  valeur  de  T  est 
donc  la  partie  de  a  qui  est  indépendante  de  ce  terme- 

Pour  avoir  les  limites  de  l'intégrale  /r— '  .T.dty  on  égalera  à 
zéro  la  partie  hors  du  signe  /,  dans  l'équation  (A)  ;  ce  qui  donne 

o=r.rf.(a'+5: +1). 


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DES  PROBABILITÉS,  85 

Cette  équation  est  satisfaite  ea  supposant  t  infini ,  et  en  le  supposant 
égal  à  l'une  des  radues  de  l'équation 


on  aura  ainsi  n  + 1  limites  de  l'intégrale  /i~'-' .  T.  dt;  en  multi- 
pliant ensuite  chaque  intégrale  comprise  entre  une  de  ces  limites  f 
et  les  n  autres  limites ,  par  une  constante  arbitraire;  la  somme  de 
ces  produits  sera  la  valeur  complète  de  jr,. 

On  peut  étendre  cette  méthode,  aux  équations  à  diâerences  par- 
tielles unies  et  infiniment  petites,  comme  nous  le  ferons  voir  dans 
la  seconde  partie  de  ce  Livre. 

On  voit  par  ce  qui  précède ,  l'analogie  qui  existe  entre  les  fonc^  . 
tions  génératrices  des  variables,  et  les  intégrales  définies  au  moyen 
desquelles  ces  variables  peuvent  être  e3q)rimée8.  Pour  la  rendre 
encore  plus  sensible,  considà'ons  l'équation 

T  étant  une  fonction  de  t,  et  l'intégrale  étant  prise  dans  des  limites 
déterminées.  On  aura ,  x  varknt  de  « 

et  généralement, 

en  ^ant  i  négatif,  la  caractéristique  ^  se  change  dans  le  signe 
intégral  X.  Si  l'on  suppose  »  infiniment  petit  et  égal  à  d^;  on  aura 

—  =  i  -H  dclog-  j  ;  on  aura  donc,  en  observant  qu'alors  A'.^,  se 

change  dans  (fy,j 

^=/W<..-.(log,i)'. 

On  trouvera  de  la  même  manière,  et  en  adoptant  les  dénominâtiionfl 

dttn'3, 

y.j,=/r.*.f-.(a  +  ,^...+  i)'. 


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«6  THÉORIE  AWAIYTIQUE 

Ainsi  la  même  analyse  qui  donne  les  fonctions  génératrices  des 
dérivées  successives  des  rariabtea  j  donne  iea  fonctions  sous  1« 
signe  y,  des  intégrales  définies  qui  expriment  ces  dérivées.  I^a 
caractéristiqae  v'  n'exprime  ,  à  propremeirt  parler ,  qu'un  nombre  i 
d'opérations  consécutives  ;  la  considération  des  fonctions  généra- 
trices rédiût  ces  opâ^tions  à  des  aérations  d'un  p<dyiH>me  à  ses 
diverses  puissances  ;  et  ta  ccoiâdération  des  i&tégrales  iléfiines  doime 
direetenwQt  rex^preasion  de  v'-^i  >  daas  k  ciis  méiae  où  Ton  aap^ 
poserait  i  un  nombre  fractwmuiire. 

M^  in  grand  avantage  de  cctt&  tran^brmatîon  du»  expressiona 
«aalytiquefty  en  intégrales  dé&oies,  est  de  foomir  one  approxioEt- 
tioQ  aussi  commode  que  convergente ,  de  ces  e:^Tessioiis ,  lor»- 
qu'efles  sont  formées,  d'oa  grand  sombre  de  ta-mea  et  de  ^tenrs; 
c'est  ce  qui  a  lieu  dans  la  tiiéoiie  des^obabilUés,  quand  te  nooalu'e 
des  événemen»  (pie  l'oa  couaidére  e^  très-grand.  Alora  le  calcul 
numérique  des  résultat»  aiwsqud»  oa.  est  eonduii  par  la  s(^u£iiïm 
des  problèmes ,  devient  impraticable ,  et  il  est  indbpensable  d'avoir 
1  pour  ce  calcul ,  une  méthode  d'approsimetion  d'autant  plus  con- 
vergente ,  que  ces  résultats  soitt  ^tus  compliqués. 

Leur  expression  en  intégrales  définies  y.  procure  cet  avantage,, 
et  celui  de  donner  les  lois  suivant  lesquelles  la  probabilité  des  ré- 
sultats indiqués  par  les  événemens ,  approché  de  la  certitude  à 
mestu'e  tpie  tes  événemens  se  multiplient,  lois  doi^  la  connais- 
sance est  Tun  des  objets  les-  plus  intéressans  de  la  théorie  des 
probabilités.  Ce  fut  à  l'occasion  d'un  problème  de  ce  genre ,  dont 
Ja  solution  dépendait  de  t'expressîcm  du  terme  moyen  du  bintdne 
élevé  à  une  grande  puissance^  que  Stirlingtrsinafonna cette  expres- 
sion dans  une  série  très-converçente  :  son  résultat  peut  t*Te  re- 
gardé cfHmne  tme  des  choses  les  plus  ingénieuses  que  l'on  air 
trouvées  sur  tes  suites.  Il  est  surtout  remarquable,  en  ce  que 
dans  une  recherche  qui  semble  n'admettre  tpie  des  quantités  a^é-, 
briques,  i!  introduit  une  quantité  transcendante,  savoir  ,  la  racine 
carrée  du  rapport  de  la  circonférence  au  diamètre.  Mais  ta  mé- 
thode de  Stirling,  fondée  sur  un  théorème  de  WalKs,  et  sur  l'in- 
terpolation des  suites,  laissait  àdesirer  une  méthode  directe  qui  s'éten- 
dit à  toutes  les  fonctîom  composées  d'un  grand  nembre  de  termes 


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DES  PROBABILITÉS.  '87 

et  de  facteurs.  Telle  est  la  méthode  dont  je  viens  de  parler,  et 
que  j'ai  donnée  d'abord  dans  les  Mémoires  de  l'Académie  des  Science» 
pour  Tannée  1778, et  ensuite  avec  plus  d'étendue,  dansles  Mémoire» 
de  la  même  académie,  pour  l'année  178a.  Le  développement  de 
cette  méthode  va  être  l'objet  de  la  seconde  Pajrtie  de  ce  Livre , 
et  complettera  aiasi  le  Calcul  des  (bnctioiâ  génératrices. 

Les  séries  auxquelles  cette  méthode  conduit,  renferment  le  plus 
souvent,  la  racine  carrée  du  rapport  de  la  circonférence  au  diamètre  ; 
et  c'est  la  raison  pour  laqueUe  Stiriîng  l'a  rencontrée  dans  le  cas 
particulier  qu'il  a  cojQSÎd^  ;  mais  qaelqu^Hs  eUe&  dépendent 
d'autres  transcendantes  dont  le  nombre  est  infini. 

Les  limites  des  intégrales  défîniea  que  cette  méthode  réduit  en 
séries  convergentes ,  sont ,  comme  on  rient  de  le  voir ,  données  par 
les  racines  d'une  équation  que  l'on  peut  nommer  équation  des  limites.- 
Mais  une  remarque  très-importaitte  dans  cette  analyse ,  et  qui 
permet  de  l'étenÂr  aux  fonctions  que  la  théorie  des  probabilités 
présente  le  plus  souvent,  est  que  les  séries  auxquelles  oB-parrient , 
ont  également  lieu  dans  le  cas  même  où ,  par  des  changemens  de 
signe  dans  les  coefficiens  de  l'équation  des  limites ,  ses  racines  de- 
viennent imaginaires.  Ces  passages  du  positif  au  négatif,  et  du 
réel  à  l'imaginaire,  dont  les  premières  applications  ont  paru,  si  je 
ne  me  trompe,  dans  les  Mémoires  cités,  m'ont  conduit  dans  ces 
Mémoires ,  aux  valeurs  de  |dusieurs  intégrales  définies,  qui  offrent 
cela  de  remarquable,  savoir, qu'elles  dépendent  à-Ia>fois  de  ces  deux 
transcendantes,  te  rapport  de  la  circcHifêreDce  an  diamèb'e,  et  le 
nombre  dont  le  logarithme  hyperbolique  est  l'unité.  On  peut  douQ 
considérer  ces  passages ,  comme  des  moyens  de  découvertes , 
pareils'à  l'induction  dont  les  géomètres  font  depuis  long-tem» 
usage.  Mais  ces  moyens,  quoique  employés  avec  beaucoup  de  pré- 
cautions et  de  réserve ,  laissent  toujours  à  désirer  des  démonstra- 
tions de  leurs  résultats.  Leur  rapprochement  des  méthodes  directes  , 
servant  à  les  confirmer  et  à  faire  voir  la  grande  généraUté  de  l'analyse, 
et  pouvant  par  cette  raison,  intéresser  les  géomètres  ;  j'ai  insisté  par- 
ticulièrement sur  ces  passages  quTIuler  considérait  en  même  tems' 
que  moi ,  et  dont  il  a  4it  plusieurs  applications  curieuses ,  mais  qui 
n'ont  paru  que  depuis  la  publication  des  Mémoires  cités. 


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THÉORIE  ANALYTIQUE 


SECONDE  PARTIE. 


THÉORIE  DES  APPROXIMATIONS  DES  FORMULES  QUI  SONT 
FONCnoNS  DE  TBÈS-ORANDS  NOMBRES. 


CHAPITRE  PREMIER. 

'Z>e  t intégration  par  approximation ,  des  différentielles  qui 
renferment  desjàcteurs  élepés  à  de  grandes  puissances. 

oa.  On  vient  de  voir  que  Ton  peut  toujours  ramener  à  Tintégratioa 
de  semblables  diffêrentielles  ,  les  formules  données  par  la  théorie 
des  fonctions  génératrices.  Nous  allons  donc  nous  occuper  d'abord 
avec  étendue ,  de  Tapproximation  de  ce  genre  d'intégrales. 

Si  Fon  désigne  par  U:,  i/,  u",  etc.  et  <p ,  des  fonctions  .quelQDn<pies 
de  «,  etpar  «,  «',  *",  etc.,  de  très-^ands  nombres;  toute  fonction 
difiercntielle  qui  renferme  des  fonctions  élevées  à  de  grandes  puis- 
sances, sera  comprise  dans  le  tennef  (&.«'.«'''.«"'*. etc.  Pour  avoir 
en  série  convergente ,  son  intégrale  prise  depuis  xs?  o  jusqu'à  a:=  9 , 
on  fera 

<p.  a* .«'''.  z/'"* .  etc.  =^  ; 

et  es  désignant  par  Y  ce  que  devient  j' lorsqu'on  j  change  x  en  fl, 
fia  suppos^a 


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DES  PROBABILITÉS.   '  89 

e  étant  toujours  le  nombre  dont  le  logarithme  hyperbolique  est 
l'unité.  On  aura  ainsi 


Si  Ton  considère  x  comme  une  fonction  de  f  donnée  par  cette 
éipiationj  on  aura ,  en  si^posant  dt  constant , 

t  devant  être  supposé  nul  après  les  diâ«'onttatîons,  dans  les  valeurs 
de  37,  ^T^j  etc.  On  a  généralement 

la  caractéristique  diffêrentielle  se  rapportant  à  tout  ce  qui  la  suit , 
et  dt  pouvant  varier  d'une  manière  quelconque  dans  le  second 
membre  de  cette  équation;  de  plus,  si  l'on  diffîrentie  l'expression 

précédente  àe  t  çu  jr^  et  si  l'on  désigne  —  ^—  par  v ,  on  aura 
dt=s-^-j  on  aura  donc 

j*3r        v.d.v.d.v, ,  .,dv 

àx  étant  supposé  constant  dans  le  second  membre  de  cette  équa- 
tion. Ainsi ,  en  nommant  U  ce  que  devient  u  lorsqu'on  y  change 
s  en  8}  la  valeur  de^^quir^ond  à  xssd,  ou,  ce  qui  revient. 
au  m^ie,  à  t^o,  sera  égal  à 

v.d.v.d.v,... du 

35=1 ' 

on  aura  donc 

fl  _i  rr  *  I    ^''^V  ^  ,   v.d,v.dv   . ,    ,  -, 

d'où  Ton  tire 


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90  THÉORIE  ANAITTIQUE 

|)ar  conséquent 

fydx=^  Ur./dt.c-'.(i  +^.<  +  ^J^.ï'  +  etc.) 

Si  l*on  prend  rintégrale  depuis  t=o  jusqu'à  t  infini ,  on  aura  géné- 
ralement 

yi»(ft.e— =  1.9.3 n; 

partant 

^(&=  ur.{^i  +  -5g-  +  -5iï-  + 3^^ l-etc.^  : 

rintégrale  relative  à  X  étant  prise  depuis  jt=  9  jiiaqu'à  la  valeur  de  » 
qui  répond  à  t  infini. 

Nommons  Y'  et  /7',  ee  .qqe  devienoent^  et  u  lorsqu'on  y  change 
ar  en  6'  ^  on  aura  pareillement 

/•  j      TTfvi/     I  ^^    I  à.v.dv'  ,  d.v'.dv':dv'  .    .  \ 

fyâxs^v'Y'i^  +-ar  ^ — 's^'^ -m ^■®**■j' 

l'intégrale  relative  à  a:'  étant  prise  depuis  «  :=6'  jusqu'à  la  valeur  de  x 
qui  répond  à  t  infini-  £n  retranchant  donc  ces  deux  équations  l'une 
de  l'autre,  on  aura 

/■  7       Trv   f     X    àv    .    d.u.du  ,    d.u.d.v.du  ,    ,  \ 
^rf.=  rr.(n-^  +  -jp-  + 2j5-_-t-etc.) 

—  ï7T'{i  -+-ajr  +  —j^r-  H -^^ H  etc.) 

l'intégrale  relative  à  a:  étant  prise  depuis  ar=:fl  jusqu'à  «=:fl', 
«isorte  que  la  considération  de  t  diluait  dans  cette  formule.  Si 
Q  et  6'  étaient  primitivement  renfermés  dans  ^ ,  il  ne  fiuldrait 
&ire  varier  que  les  quantités  6  et  fl'  qu'introduisent  dans  U  et  U\ 
les  changemens  de  x  end. et  fi'  dans  la  fonction  v. 

Ia  formule  (A)  sera  très-convergente,  si  u  ou  — ^^  est  une 
très-petite  qofmtité  j  or  y  étant,  par  la  6iq»po«itiou ,  égal  à 
ç.tt'.u'^.  «"''.  etc.;  on  a 

■*"         sdu        t'du'    ,  s'du"    ,  t     dp  ' 

Digilizedby  VjOOQIC 


1>ES  PROBABILITÉS.  gt 

Ainsi  dans  le  cas  où  a ,  «',  a",  etc.  sont  de  très^ands  nombres, 
V  sera  fort  petit;  et  si  l'on  £ut  ^  =:«,  et  étant  une  fraction  très- 
petite  ,  la  fonction  u  sera  de  l'ordre  et ,  et  les  termes  successif  de 
la  fermule  (A)  senHit  respectivement  des  ordres  a,  d^,a*,etc. 

Cette  formule  cesserait  ^tre  convergente,  si  la  sopposition  de 
*  ^  6  rendait  très-petit  le  dénon^ttateur  de  l'expreseicni  de  u. 
Sni^Ktsons , par  exenrple,  que  {x-^ay^  soit  un  Êicteor  de  ce  dé- 
nominateur; il  est  (îeâr  que  les  termes  successif  de  la  formule  ' 
(A)  sont  reapectivemeiït  divisés  par  (&— a)^,  (à—af^',  (fl— a)'''"*^ , 
etc.,  et*devi«adront  tr^froonudéraliles,  si  6  est  p«u  défèrent  de  a  ; 
la  conrergence  de  cette  formule  exige  donc  que  (fl— «y,  (fl'— ay 
soient  plus  grands  que  a  ;  elle  ne  peut  conséquemment  être  em- 
ployée dans  rinterralle  où  (s  — a  y  est  égal  ou  moindre  que  a; 
mais  dans  ce  cas ,  on  pourra  faire  usage  de  la  méthode  suivante. 

a3.  Si  Ton  nomme  T  be  que  devient  y  lorsqu'on  y  diai^o  x 
en  a  j  il  est  visible  que  (« — ay  étant  un  &cteur  de  —-^-t  ou, 

ce  qoi  revient  au  même ,  de  — i^i  («—0)^"*"'  sera  un  Êicteur 
de  1(^  — .  Soit  donc 


X  =  a  -h  uf , 


V  ne  devenant,  point  iz^oi,  par  la  8tq^>ositioo  de  «xssa.  Si  l'ott 
désigne  ensuite  par  Z7,  -^  ,  --—- ,  etc.  ce  que  deviennent  »  , 
3x  ■  "^  '  ^^^'  »  'oi^squ'ou  y  change  *  en  o  après  les  di£férentia- 
tionsjonaura,  par  lafbnnuIe(p)dun*Ai  da  second  livre  de  M 

Mécanique  céleste , 


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93  THÉORIE  ANALTTIQUE 

ce  qui  donne 
fyix  =  r.fd,.r^'  .(£r+^.,  + JL^.,.+etc.);         (B) 

cette  formule  pourra  être  employée  dans  tout  l'Intervalle  où  * 
diffêre  très-peu  de  a  j  elle  peut  conséquemment  servir  de  supplé- 
ment à  la  formule  (A)  du  numéro  précédent  j  mais  au  lieu  d'être 
ordonnée,  comme  elle,  par  rapport  aux  puissances  de«,  elle  ne 

l*est  que  par  rapport  aux  puissances  de  a'"'*"';  car  il  est  visible 
que  dans  ce  dernier  cas,  «  n'est  que  de  l'ordre  a'"*"'. 

Pour  déterminer  plus  Êicilement  les  quantités  Z7, -jp-,  etc., 
supposons 

iog  r— log^=  («— û)'^".[^+5.C«— a)+C.(:t— o)'+etc.3. 
Nous  aurons ,  en  changeant  «  en  a  après  les  diJSerentiations , 

'^  =:  —       '^"^'■'"gy        ^ 
i.fl.3....(H-o-dar*"' 


B  ^ 


rf^-^-logy 


etc. 
Koos  aurons  ensuite ,  quel  que  soit  r , 

d'où  il  est  facile  de  conclure  en  développant  cette  expression  de  y% 
et  nommant  Q.{x—ay~^  le  terme  de  ce  développement,  qui  a  pour 
facteur  {x~~ay~'f 

i.a.3 (fw-,).da^'  — «• 

Jjà  formule  (B)  ne  présente  plus  ainsi  d'antres  difficultés  qae  celles 

qui  résultent  de  l'intégration  des  quantités  de  la  forme  Jeât.c  ; 

et  Von  a  généralement , 


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DÈS  PROBABÏUTÉS.  9S 

r  étant  égal  au  quotient  de  lâ  division  de  n  par^c+i  ,8ila  division 
est  possible,  ou  au  nombre  immédiatement  inférieur,  si  eBe  ne  l'est 
pas.  La  détermination  de  riatégralejj'e&c  dépend  donc  des  intégrales 
de  cette  forme 

fdt.C  yJï.dt.C  y...ft         .dt.C 

n  n'est  pas  possible  d'obtenir  exactement  ces  intégrales  par  leé 
méthodes  connues;  mws  il  sera  Éicile  dans  tous  les  cas,  d'avoir 
leurs  valeurs  approchées. 

)i4.  Nous  aurons  principalement  besoin  dans,  la  suite ,  de  la 
Valeur  de  fydx^  prise  pour  tout  l'intervalle  compris  entre  deux 
valeurs  consécutives  de  «,  qni  rendent  y  nul;  nous  allons  consé- 
queiumént  elposer  les  sintplîflcationâ  dont  cette  valeur  est  alors 
susceptible.  Lit  variable  y  ayant  été  supposée ,  dans  le  numéro  pi^- 

cèdent ,  égale  kY.c         ,  il  est  visible  ^e  les  deux  valeurs  de  x 

<{ai  rendent,^  nul,  rendent  également  nuUe  lâ  quantité  c  j 

ce  qui  exi^e  que  ft+i  ^t  un  nombre  pair,  et  que  l'une  des 
valeurs  de  x  réponde  à  f  =  —  oo ,  et  l'autre  à  <=  co  ;  f  est  donc 
alorslenuiirimzini  de^,  compris  entre  ces  valeurs.  Soitju'-f-iE=3i; 

si  Fon  prend  l'intégrale  /f""^^  .dt.  c~  ,  depuis  /==—  eo  juâqu'à 
t=s  00 ,  sa  valeur  sera  nulle  ;  car  il  est  clair  que  les  élémens  de 
cette  intégrale ,  qui  répondent  aux  valeurs  négatives  de  f ,  sont 
égaux  et  de  signe  conb'aire  à  ceux  qui  répondent  au;  mêmes 
valeurs  prises  positivement.  L^iutégrale  f^'^.dt.c^   est  égal  à 


a/f'^.dt.c      ,  cette  derméie  int^rale  étant  prise  depuis  t  nul 


y  Google 


Qt  THÉORIE  ANALTTIQtJË 

jusqu'à  t  infini;  et  dans  ce  cas,  on  a  par  le  numéro  précédent, 

_<«       i-an— ai+0.(aii-^'+0...  .(an— ari+»)  n,^«  j,    — >*' 
/V.dt.c       = ■ ^ '■■J'^    •'"•<' 

r  étant  égal  au  nombre  entier  du  quotient  de  la  division  de  n 
par  i.  Soit  donc ,  en  prenant  les  intégrales  depuis  t  nul  jusqu'à 
f  infini, 

i"i  =fe.dt.c~''. 


*'">=: /J^'.*.c~''i 


la'fottaule  (B)  du  numéro  prét^doit  dcviondra 


d'.C/'  3  d"+M7»*^-' 


,     „„     _  J..a.Jif"*'«'  1.9.3... .(ai+fl). (te'»» 


ri^-.P*^*  ..(a»-')  J*^.r.'- 


4**  i.a.5 (Si — aJ-Ac***  '  J 

Cette  formule  est  la  somme  d'mi  nombre  t  de  snîtes  diflëreiites  f 
àéàraôBaaates  comme  les  pmssanceâ  de  «  >  puisque  U  est  de  Tordit 


lUpliées  reapectiremeat  par  les  transceodsotes  k,  ff'* ,  etc., 
qu'il  est,  par  conséquent,  importait  de  comiaître;  nais  il  si^t 
pour  cela  d'en  connaître  un  nombre  ^al  au  plus  grand  aginbf^' 
entier  compris  dans  ~. 
ConsideroBS  pour  cela,  la  double  intégrale 


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DES  ^BOBAfiUlTSS.  9S> 

les  intégrales  étant  prises  depms  set  x  nuls  jusqu'à  leurs  Taleur» 
infimes.  En  Tintégrant  d'abord  par  rapport  à  «  ,  elle  se  réduit  à 

xnab  cette  dernière  intégrale  Est  — —, ,  n  étant  un  nombre  quel- 

n.ûn  — 

conque  entier  ou  fi*actiomiaire,  an  a  donc 

Intégrons  maintenant  cette  double  intégrale,  d^abord  par  f^jpport 
àx.En  Msant  sx^ss  f,  elfe  devient 


r- 


-./dt.e-'-, 

«t  si  l'on  Eût  A  ss  f ,  on  aura 

»  .fdt.  c-^  .fl—'.tli.i!-'s=  - 


les  intégrales  étant  prises  depuis  t  nul  jusqu'à  t  infini.  Si  l'on  change 
ndans    '^  ,  cette  équation  devient 


n'.fât.r'  '.yî~'~°.*K!-''  '=-fc=!2 


(^)'' 


et  si  dans  cette  nouvelle  é^ation ,  on  change  t  dans  f*^  on 
aura' 

/l'.^^.tg.tr^'.^'-'.df.c^aa      /— \    ■     CT) 

On  aura,  au  moyen  de  cette  formule ,  eny  disant  n=3  ai,  toutes 

les  valeurs  de  A,  M'', A"^'""',  lorsque  l'on  en  connaîtra  la 

moitié,  si  i  est  pair,  ou  là  moitié  moins  un  demi,  si  i  est 
impair. 
En  disant  nss  a  et  rss  3  ;  cette  forônde  donne  ce  résdtat 


y  Google 


9«  THÉORIE  ANALYTIQUE 

remàrquaLIe 

25.  On  peut  en  vertu  de  la  généralité  de  l'analyse,  étendre  les 
résultats  précédens  ,  au  cas  où  /  est  imaginaire.  Considérons  Fin- 
tégrgile  fdx. coa  rx.(r-^''%  prise  depuis  x  nul  jusqu'à  x  infini.  On 
peut  la  inettre  sous  cette  forme 

L'intégrale  yai:.c-*'''*«V^  est  égale  à 

Si  Pon  Ëiit 


«lie  devient 


'—■/"'■c-: 


ici  l'intégrale  relative  à  t  doit  être  prise  depuis  (  ^  —  — 


Jusqu'à  /  infini ,  parce  ipie  ces  deus  limites  répondent  à  x  nul  et 
à  X  infinit 

En  iàisant  r  négatif  dans  cette  formule,  on  aura  Fexpressioii 
derintégraleyîit:.<r-"'''— "^'-^j  mais  dans  ce  cas,  les  Emîtes  de 

l'intégrale  relative  à  *  sont  t=  '^^^  »  et  t  infini  ;  la  rémùon  do 
ces  deux  intégrales  est  donc  égale  à 

r* 

l'intégrale  étant  prise  depuis  *=— oo  jusqu'à  «  =  oo  j  car  la  pre- 
mière intégrale  ajoute  à  la  seconde,  ce  qui  lui  manque  pour  former 
la  moitié  de  l'intégrale  prise  entre  les  deux  limites  infinies  ;  or. 

r* 

ÉeUe  dernière  int^rale  est ^-ï— j  on  a  donc 

,_       _  r» 

/dx.coi  nf.c-*'**  —  ^'C 

L'analyse 

Digilized  by  VjOOQ  IC 


ms  PROBABILITÉS.  97 

L'analyse  qui  vient  de  nous  conduire  à  ce  résultat,  est  fondée  sur 
le  passage  du  réel  à  l'imaginaire  ;  car  on  j  traite  les  intégrales 
rektiTes  à  f  et  prises  entre  deux  limites,  dont  une  est  imaginaire 
et  l'autre  est  infini^ ,  comme  si  ces  limites  étaient  toutes  réelles. 
Mais  on  peut  parvenir  à  ce  résultat  de  la  manière  suivante. 

Nommons  _y  l'intégrale  /diif.cosrjc.c— "**■,  prise  depuis  x  nul 
jusqu'à  X  iofini  ;  on  aura 

Ç^  !=  — yitic .  sin  w .  (T"*'*' 

=  -V.sin rx.tr^''.' ^ ./Hk.cos  raî.c-*'*' :    . 

aoT  aa*  ■*  ' 

on  aura  donc ,  en  prenant  l'intégrale   depuis  x  nul  jusqu'à  x 
infini^ 

L'intégrale  de  cette  équation  est 

T* 

B  étant  une  constante  arbitraire  que  l'on  détefminera  en  observant 
que  r  étant  nul,  on  a 

yz=.Bs=fdx.cr-'*'\ 

Cette  dernière  intégrale  est,  par  le  numéro  précédent,  -î^j  donc 

S  =  ^~  j  par  conséquent 


fdx.CO^rx,<f~**''ssi-—.0    '^J 


ce  qui  est  conforme  au  résultat  trouvé  ci-dessus  par  le  passage 
du  réel  à  l'ima^naire. 

£n  diffêrentiant  an  fois  par  rapport  à  r,  on  aura 

/*"<&.C0S7^.c— '■  ^dr^.g.r^^, 

le  s^eH-ajant  lieu  si  n  est  pair,  et  le  signe — si»  est  impair. 

i5 


dby  Google 


çS  THÉORIE  ANALTnOUE 

Cette  dernière  équation  difiëreatiée  par  rapport  à  r,  donos 

Èo  intégrant  une  foia  par  rapport  à  r,  i'espressioa  de/Hr .  cosr*  .c-^'^' 
on  aura  , 

Lorsque  a  est  nul,  -  devient  infi"' ,  et  l'intégrale  f —,c    *"'  prise 
depuis  r  nul ,  derient  7.  (/»;  donc 

/tir. gin  rx  __  «■ 
_    -^     ~        -• 

s6.  On  peut  de  là  conclure  leS  valeurs  de  quelques  intégrales 
défîmes  singulières  auxquelles  j'ai  été  conduit,  comme  on  le  verra 
dans  la  suite,  par  le  passage  du  réel  à  l'imaginaire. 

Considérons  la  double  intégrale 

^3£ic.ydv.c-rM»+*r).cos  rr, 

lés  intégrales  étant  prises  depuis  x  et^  nuls  jusqu'à  «  et  ^  infinis. 
En  l'intégrant  d'abord  par  rapport  à  ^ ,  elle  devient 

'        /*dx,cowx 
J      i+xr  ■ 

Intégrons-la  maintenant  par  rapport  a  û;.  On  a  par  le  numéro 
précédent, 


V'.^.    ~W'. 


ce  qui  doitne 


Il  s'agit  maintenant  d'avoir  cette  dernière  intégrale  prise  depuis  y 
nul  jusqu'à  jr  infini. 
Pour  cela ,  donnons-lui  cette  forme , 


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DES  probabilités;  99 

r  étant  supposé  positif,  la  quantité  (--^    M  a  un  minimum  qui 
répond  k  _yi=:\/-;  ce  qui  donne  ar  pour  ce  minimum  f  soit 


donc 


^  =  ^.x+i.  VVH-arj 


^  devant  s'étendre  depuis^  ^  o  jusqu'à  ^  ::=  oo,  *  doit  s'étendro 
depuis  £= — 00  jusqu'à  2=a>.  Cette  valeur  4e  jf  ^nne 


1  jj  I  1       *''* 


£n  prenant  les  intégrales  depuis  2=— «o  jusque  k  =  oo,  on  a 
on  a  donc 

partant 

fdy^         ^=s — -^ — , 

-On  wir*  généralement  per  la  même  anafyse ,  ï*înt^rale 

prise  depuis  y  nul  jusqu'à  ^  infini^  et  par  conséquent  attssî  dans 
les  mêmes  limites ,  l'intégrale 

fx   \dr.c""*~', 
a  et  b  étant  positife.  Cela  posé,  on  aura 

on  a  donc 


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C{  a  +bx').dx.cosTX 


loo  THÉORIE  ANALTOQUE 

En  différentiant  par  rapport  à  r  on  a 

/Xffcr.  BÎn  rx  ___   «• 
i+j^  ac'' 

de  là  a  est  facile  de  conclure  la  valeur  de  l'intégrale 

J        m  +  n 

prise  depuis  ic  =  — «0  jusqu'à  x  infini,  le  dénominateur  n'ayant 
point  de  Êicteurs  réels  en  *  du  premier  degré.  Si  l'on  feit 

jK  =3  —  n  -f-  w' .  y/ m  —  7?  , 

cette  intégnde  devient,  en  supposant 

l^n»— M* 
}  •+^' 

Cette  intégrale  doit  être  prise  conune  celle  relative  à  «^depuis  a:'=^—  oo 

jusqu a  i'  =  00 ;  or  lintegrale  /  \^J*    prue  dans 

ces  limites,  est  nulle;  parce  que  ses  éiémens  négatife  détruisent 
ses  éiémens  positifs"  correspondans  j  il  en  est  de  même  de  l'inté- 
grale r^îlJiS^^VîïI^j  k. fonction  intégrale  précédente  se  ré- 
duit donc  à 

On  a  par  ce  qui  précède, 

J  1  +  *" 

En  diffêrentiant  cette  expression  par  rapporta  r,  on  a 

J    .  i  +  «" 

•n  a  donc 


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DES  PROBABILITÉS. 
On  Iroarera  par  la  même  analyse, 


/ 


<2±M:^;5^  —  (6  .  cos  m— a'.sin  m).'jr.<r--V^ 


Si  l'on  difierentie  la  première  de  ces  deux  équations,  i  —  i  fois 
par  rapport  à  m,  et  ensuite  as  fois  par  rappoirt  à  r^  on  aura  l'ex- 
pression de  l'intégrale 


/ 


Maintenant  Jlf  et  ^  étant  des  fonctions  rationnelles  et  entières 
de  s ,  le  degré  de  la  première  étant  supposé  plus  petit  que  celui 
de  la  seconde ,  et  iV  étant  supposé  n'avoir  aucun  fecteUr  réel  du 
premier  degré  ;  on  pourra ,  comme  on  sait ,  décomposer  l'intégrale 


■n 


donc  généralement  l'expression  de  cette  intégrale  définie. 
On  aura  de  la  même  manière,  la  valeur  de  l'intégrale 
ru  ,    ■„ 


n 


'  37.  Reprenons  maintenant  la  formule  (B)  du  n*  aS.  Le  cas  de 
^H- 1  s=  3  étant  le  plus  ordinaire,  nous  allons  exposer  ici  les  for- 
mules qui  y  sont  relatives.  La  formule  (B)  devient  dans  ce  cas , 

'  -3ïî-+etc. 

id.l'ona 


(      U+t.± 

r.fd..,^:\     _^  ^, 

("''i.a.3  •"3» 


<=viogr— log^,  i/=- 


F  étant  le  maximum  dt  y,  et  a  étant  la  valeur  de  x  qui  corres- 
pond à  ce  maximum  f  V'f  -^y  etc.  sont  ce  que  deTÎemient  w, 
j^,  etc.,  lorsqu'on  '7  change  x  en  a.  Cette  formule  donne,  en 


db,  Google 


loa  THÉORffi  ANALYTIQUE 

l'intégrant  depuis  t=T  jusqu'à  «=s  T', 

fy^=.  r.{y+,.^^  -^  ^-r^^f^P  +  etc.)./*.- 

l'intégrale yi/t-c—*'  étant  prise  depuis  /=  7*  jusqu'à  /  =  2",  et  l'in- 
tégrale Jydx  étant  prise  depuis  la  valeur  de  a;  qui  convient  à  (=  T , 
jusqu'à  celle  qui  convient  aiiz=T. 
Si  r<m  suppose  7"= —  «o  etT'^ooj^n  aura  génôralemrat 

Ona  d'ailleurs  par  le  n'  a4,yÉtt.<r-''=a|/;;lafornHileprécé<Iente 
devient  ainsi 

^&=  Y.  ^/-,.(y+i.^^  +  ^  ■ .  .,''3,^1,  +  «te),    .   M 

l'intégrale  yy<£v  étant  prise  eotrQ.les  valeurs  de  s  qui  Rendent 
y  nul,  et  K  étant  le  maximum  as  y  ^  compris  entre  ces  valeurs.  Les 
dififêrens  termes  de  <;ette  formule  se  détermineront  facilement  par 
le  n*  a5,  et  Ton  aura 

--   ^z^i 

»  devant  être  cAiangé  en  a ,  après  les  diJSwentiâtions.  On  a 
la  supposition  de  «  =  a  fait  Jlieparaifre  -^  ;  on  aura  donc 

d'.h^y  __   àdY 

T  et  -^  étant  ce  que  deviennent  y  et  ^,  lorsqu'on  y  change  *  , 
en  a.  Ainsi,  en  ne  considétaitt  dans  la  formule  (d) -que  le  premier 


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■    pES  PROBABIUTÉS.  io5 

"Mrcûte  de  la  série,  on  aura  à  trèa-péu  ^ffès 

Cette  expression  de  yyrf*  sera  d'autant  plus  approchée,  que  les 
fecteurs  de  ^  seront  élevés  à  de  plus  hautes  puissances-  ' 

La  formule  (c)  renferme  l'intégrale  indé6nie  /rfï.c— ''prisedepuis 
«  =  r jusqu'à  t^=T'\  ce  qui  revient  à  la  prendre  depuis  j=o 
jusqu'aux  limites  T  et.  TV  et  à  retrancher  la  première  intégrale 
de  la  seconde.  Il  n'est  pas  possible  d'obtenir  en  termes  finis,  l'in- 
tégrale prise  depuis  t  nui  ;  mais  on  l'obtiendra  d'une  manière  fort 
approchée ,  si  T  est  peu  considérable ,  par  la  série  suivante  : 

/*.«-= r_  Ç  +  ^ .  Ç  -  7^:3 .-  + rxM  •  y  - '"=• 

Cette  série  a  l'avantage  d'être  alternativement  plus  petite  ou  plus 
grande  que  l'intégrale ,  suivant  que  Pon  s'arrête  à  im  terme  positif 
ou  négatif.  Ce  genre  de  séries  que  l'on  peut  nommer  séries-limites , 
a  ainsi  davantage  d£  fkire  connaî^e  les  limites  des  erreurs  des  ap-^ 
proximations.  On  a  encore 

Ces  deux  séries  finissent  toujours  par  être  convergentes ,  quelle 
.  que  soit  Id  valeur  de  T^  mais  leur  convergence  ne  commence  qu'à 
des  termes  éloignés  du  premier,  si  aï"  a  une  valeur  considérable  j 
il  convient  donc  de  ne  les  employer  que  pour  des  valeurs  égales 
ou  moindres  qae  qpatre.  Pow  de  plus  grandes  valeurs  ,  on  poiura 
faire  usage  de  la  série  suivante ,  qui  donne  la  valem:  de  l'intégrale 
/tff.c—'' depuis  <=r!rjusqu'à  ^infini, 

/*.o-  =  '-^.(,-jL,^.  J^,-!^.  +  etc.). 

Cette  série  est  encore  une  sérifr-limite.  En  k  retranchant  de 
î-  V^îr,  valeur  de  l'intégrale yîff.c—*'  prise  depuis  «nul  jusqu'à  t  in- 
fini, on  aùtaiii  ysàeixc  dé  l'intégrale  prise  àepais  t  nul  jùs^i'à  t=^T. 


DigilJzed 


b,  Google 


io4  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Mais  la  série  a  rinconv-âiient  de  finir  par  être  divergente  :  on  obyié 
à  cet  inconvénient ,  en  la  transformant  en  fraction  continue,  comme 
je  Tai  Ëiit  dans  le  dixième  Livre'  de  la  Mécanique  céleste  j  où  j'ai 

trouvé  qu'en  Ëiisant  q  =  -^j  on  a,  l'intégrale  étant  prise  depuis 
t^T  jusqu'à  l'infini, 


^  i+«tc. 

Four  Ëtire  usage  de  cette  esqpression ,  il  £iut  réduire  la  fraction 
continue 


~  i  +  etc. 

en  fractions  alternativement  plus  grandes  et  plus  petUes  que  la 
fraction  entière.  Les  deux  premières  fractions  sont  - ,  —~  j  les 
humérateuTâ  des  fractions  suivantes  sont  tels ,  que  le  numà^tcur 
de  la  fraction  t"^  est  égîJ  au  numérateur  de  la  fraction  (i— i)*"*, 
plus  au  numérateiu*  de  la  fraction  (i— ^)'™',  multq)Uépar  (i— i).;; 
1^3  dénominateurs  se  forment  de  la  même  manière.  Ces  fractions 
successives  sont 

»     _J_     ■  +  !<         '  +  5?  »  +  9T+V     gtc 

Lorsque  q  ou  -^  sera  égal  ou  moindre  que  2»  ces  fractions  don- 
neront d'une  manière  prompte  et  approchée,  la  valeur  de  la 
fraction  entière. 

s8.  On  peut  facilement  éten^^  l'analyse  précédente  aux  doubles, 
triples, etc.  intégrales.  FoUr  cela,  considérons  la  double  intégrale 
Jydxds'j  y  ^^^^  '^^  fonction  de  st  et  de  x/,  qui  renferme  des 

focteurs 


Digilized 


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r>ÈS  PROBABILITÉS.  io5 

facteurs  élevés  à  de  grandes  puissances.  Supposons  que  rintégralo 
relative  à  «'  doive  être  prise  depuis  une  fonction  X  de  «  jusqu'à 
une  autre  fonction  X'  +  X  de  la  même  variable.  En  faisant 
w'  =  X  -+-  tX'  y  l'intégrale  fydxdx'  se  cluuigera  dans  celle-ci , 
/yX.dx.dt;  rintégralo  relative  à  (  devant  être  prise  depuis  *=o 
jusqu'à  *  =:  1  :  on  peut  donc  réduire  ainsi  l'intégrale  J^dx .  dx'  à  des 
limites  constantes  et  indépendantes  des  variables  qu'elle  renferme. 
Nous  supposerons  qu'elle  a  cette  forme,  et  que  l'intégrale  relative 
à  X  est  prise  depuis  ar  =8  jusqu'à  «=«■,  et  que  l'intégrale  relative 
à  x' est  prise  depuis  a/ ^fl'j"8*P^'*  a/ss-aK.  Cela  posé,  ennommant 
K  ce  que  devient^  lorsqu'on  y  cbange  «  et  «*  en  9  et  fl'  j  on  fera 

en  supposant  ensuite 

jp  =  fl  -I-  «,     ar'es  6'-J-a'; 

on  réduira  log  —  dans  une  suite  ordonnée  par  rapport  aux  puis- 
sances de  u  et  de  »',  et  Ton  aura  une  équation  de  cette  forme 

M.u-\-M'.u'  =  t-^^t 
dans  laquelle  Jtf  est  la  partie  du  développement  en  série ,  de 
log  — ,  qui  renferme  tous  les  termes  multipliés  par  u,  et  M'  est 
l'autre  partie  qui  renferme  les  termes  multipliés  par  *»',  et  qui  sont 
indépendans  de  u.  On  partagera  l'équation  précédente ,  4anâ.  les  deux 
suivantes  : 

M.u  =  ty    itf'. «'  =  ('; 

d'où  l'on  tirera  celles-ci,  par  le  retour  des  st^tes, 

Si  étant  une  suite  ordonnée  par  rapport  aux  puissances  de  t  et  de 
t',  et  N'  étant  uniqp.ement  ordonnée  par  rapport  aux  puissances  de  if 
et  étant  indépendante  de  *;  ces  deux  suites  sont  très-convergentes, 
si  _y  renferme  des  fitcteurs  très-élevés.  Maintenant  on  a  dx.  dx' 
=</«.d«'jdeplus  ona 

.„=(i-).*+(i-i)..., 


du' 


db,  Google 


loÇ  THÉORIE  AWAtTTÏQïE 

mais  dans  le  iHTodiùt  du,  du'^  la  ^fiërentielle  du  est  prise  en  ùà' 

«ant  u'  coQStant,  c«  <]«»  rend  £*  coustaot,  oaif's^o^OQQdoQQ 

d«=(i#).*, 

par  conséquent 
çe  q!iii  d<Hme 

Il  est  facile  d'intégrer  les  divers  termes  du  second  membre  de 
cette  équation ,  puisqu'il  se  s'agit  qiw  d'intégrer  des  termes  de  la 
forme  yî'.f&.c-ï. 

Si  l'on  prend  l'iitfégrale  rebiiiTe  à  ff  depnis  ^  nul  jusqu'à  <'  in- 
fini, et  que  l'on  nomme  Q  le  résultat  de  l'iptégration;  oa  aura 

l'intégrale  relatÏTc  à  y  étant  prise  depuis  x'^  fl'  jusqu'à  la  valeur 
de  x'j  qui  répond  à  t'  ùaêsà.  Si.  l'on  change  ^nsmte  doos  F  et  Q, 
6'  eu  «s^,  et  que  l'on  nomme  Y'  et  Q',  ce  que  deviennent  alors  ces 
quantités  ;  on  aura 

l'intégrale  étant  prise  depuis  x'sa^  jusqu'à  la  valeur  de  x',  qui 
répond  à  *'  infini. 

£n  nommant  R  et  R'  les  intégrales  JQdt  et  Jï^di  prises  dçpuj^ 
i  nul  jusqu'à  t  infini  ;  on  aura 

jydx.dx's=^rR-*TR'y 

l'inté^ale  relajtive  à  i^  étant  prise  depuis  j/  xnt'  jusqu'à  x'sssm*, 
et  l'intégrale  relative  à  x  étant  prise  depuis  xisfi  jusqu'à  la  valeur 
de  X  quir^ond  àfii^i.  Si  dans  T,  Jt,  V,  R',  on  change  ôdans  <», 
et  que  l'on  nomme  V,,  R,,  y,,R',  ce  que  deviennent  alors  ces 
quantités  ;  on  aura 

j^'rfx .  dx' =  r. .  ^.  —  r: .  iî; , 


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■  DES  MlOBABItn^;    '  i«7' 

rintégréle  ^«laâire  à  <r'  <éEaDt  prise  entre  les  finîtes  §'  et  «r',  et- 
l'intégrale  relative  à  x  étant  ^ rise  depuis  or  s=  11-  jusqu'à  la  râleur 
de  X  <fiù  répond  à  t  infini^  on  aura  donc 

jydx.dx'  ^YR  —  rs'—  r,R,-\-  t.r:  , 

l'intégrale  relative  à  x  étant  prise  entre  lee  Iknîtes  9  et  <ir ,  et 
rintégrale  relative  k  x"  étant  prise  entre  les  limites  6'  et  «r*. 

Cette  formule  r^nd  à  la  formule  (Â)  du  n*  aa,  qui  n'est  rela- 
tive qu'à  une  seule  ranafate^  die  a ,  cmame  elle ,  rÉoconvénient  de 
ne  pouvoir  s'étendre  aux  interviillos  Tuistns  du  maximum  dey, 
H'i&at ,  pOor  «a»  IntésTdleB ,  en^iloyer  une  méthode  analogue  à 
celle  du  n*  sS.  Ainsi ,  en  supposant  que  dans  rintervalle  cmnprift 
entre  9  et  t^jj  devienne  ua  meu^mum  relativement  à  x^  ensorte 
que  la  condition  de  ce  mammwn  ne  £isse  disparaître  que  la  di^ 
rentiolle  de^,  prise  par  rapport  à  xj  on  fera 

F  étMit  la  Tateur  de  y  ^  «onrioit  à  te  nuuiMwh  <et  -à  «'=:  â';> 
et  si  dans  l'intervaSe  compris  entre  les  limites  des  iateçratioUs 
relatives  k  x  etkx',y  devient  un  maximum;  on  fera 


Comme  nous  aurons  besoin  prîbcipalem^it  dans  la  suite,  de 
rintégrale  Jydx.  dx'  prise  entre  les  linùtes  dex  et  de  x'  qui  rendent 
y  nul,  nous  allons  discuter  ce  cas. 

Considérons  l'intégrale  Jyâx.  dx' ,  y  étant  une  fonction  de  x,  a/, 
qui  renferme  des  Èctelirs  élevés  à  de  grandes  puissances.  &i  Ton 
nomme  a ,  a'  les  valeurs  de  * ,  or'  qui  r^ondent  au  maxîrnum 
de  j',  et  que  Ton  homme  T  ce  maximum}  onïèra 

y  =  J'.tr^'— *'■; 

eu  scq>posant  ensuite 

x  =  a-f-6,     x's5=a'H-8'î 
on  substituera  ces  valeurs  dans  ïa  fonction  log  ^^  et  en  la  déve- 
loppent daBs  tane  s«ite  «irckMnôe  par  rappoit  aux  puîssAncos  et 


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îo8  THÉORIE  ANALYTIQUï: 

aux  produits  de  ô ,  8*  ;  on  aura  une  équation  de  cette  forme 

JH'.fl*+ aiV.flfl'H- P.â"=CH- i". 
Cette  épiatioQ  peut  être  mise  sous  la  forme 

i^/.(9  +  g.(K)-+(p-Kl.e'-=  «■+'"; 

on  fera  donc 

En  dùGfêrentiant  ces  équations  ,  on  aura  des  difl^rentiell^  de 
cette  forme 

dt  —  L.S  +  I.S', 

dt'=;  Z'.dÔ  ■+■  r.S'. 
Maintenant  on  a 

Jydx.dx!  s=fy.à&.S'  ; 

dans  le  produit  S.dHi',  h6  est  pris  en  supposant  fl'  constant ,  et 
aloi^  on  a 

ensuite  d^  doit  être  pris  en  regardant  t  constant,  dans  le  produit 
dt.dt';  alors  on  a 

o  =  Z/ .  dO  +  /.  dÔ', 
df  =  L'.S  4-  P-S'i 
ce  qui  donne 

on  a  donc 

di.dt'  =  S,d^.(Lr--L'I); 

parce  moyen,  rintégralej5'<iô.dô'  est  transformée  dans  celle-ci^ 

^ 'J        W  —  L'I     • 

Le  dénonùnatenr  LT-^L'l  est  une  fonction  de  fl  et  de  fl'  que  l'on 
réduira  en  fonction  de  /  et  de  (',  au  moyen  des  valeurs  de  t  et  de  ^ 
en  6  et  6'.  On  obtiendra  ainsi  l'intégrale  précédente  dans  une  suite 


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DES  PROBABII^iTÉS.  lofl 

de  tenues  de  la  fonne  fp.  f.dt.di!  .c-^'-^'i  les  intégrales  étant 
prises  depuis  tell!  égaux  à  —  co ,  jusqu'à  leurs  valeurs  infinies  posi- 
tives. Ces  intégrales  sont  nulles ,  lorsque  Tun  des  deux  nombres  n 
et  n'  est  impair  ;  et  dans  le  cas  où  ils  sont  tous  deux  pairs  y  n  étant 
égala  ai,  et  n'a  ai',  on  a 


j^.t"'.dt.df.^'-^-=l 


.3.5....9n-TVi.«.5....fl?- 


Si  les  pmssances  auxquelles  les  &cteurs  de  _y  sont  éleyés ,  sont 
trèï^randesj  alors  on  a ,  à  très-peu  près, 

/ddr\                  /  ddr\  /ddY\ 

M—     ^'^^      ov=-=      V^^^>^       p \^) 

(^).  (^).  (ë^)  '•-'  -  que^ennent  {^),  (^) 
et  Ct^  lorsqu'on  y  change  Jretor'enaeta';  l'intégrale  Jfdx.dx'. 
devient  ainsi  à  fort  peu  près , 


.  /r'idrs  i-ddr-^    ,  ddr  y' 


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THÉORIE  ANALTOQÙE 


CHAPITRE  IL 

Del'inUgration  par  i^roxinmtùm,  dM  équations  Uoéaùeet 
aux  d^rences ^uee  et  infimmeHt-petitet. 

99.  Obi  a  ru  -dafis  le  n*  -aa  ,  «fue  JeS  intégrai  -des  ié(|liation8 
linéaires  aux  dififêrences  entre  une  variable  « ,  dont  la  difierence 
fime  «iit  supposée  constante ,  et  une  £>nction  y,  de  cette  variable , 
peuvent  êtretBises  sous  la  forme ^,=yàr',Ç(/x,  ç  étant  "anefoiro* 
ticm.^  X  deiamâmemtilI«<qlle:bfeIlctiallgéItéralt^celde^é({ua-- 
tion  proposée  aux  diflfêrences^  et  l'înt^rale  étant  prise  dans  des 
limites  détermloées  de  x.  En  supposant  i  un  très-grand  nombre , 
on  aura  par  ranalyse  précédente ,  tme  valeur  très-approchée  de 
Cette  intégrale  ,  et  par  conséquent  dej^,.  Mais  cette  méthode  d'ap, 
proximation  étant  très-importante  dans  la  théorie  des  probabilités  ^ 
nous  allons  la  déveloi^er  avec  étendue. 
Considérons  Féquation  aux  différences  finies 

S^A.y.+B^i^.y.-^-C.i^'.y.+  vXc.,        (1)  . 

^,B,C,etc.  étant  des  fonctions  rationnelles  et  entières  de  «, 
auxquelles  nous  donnerons  cette  forme  : 

^  =  a  4-  a^''  •«  4-  «^'^  .*.(«—!)  +  o^'ï  .,.(«— i).(,_a)  4-  etc.  > 
B  =  6H-6<"i.«+  6«.*.(«— 1)+  ôt''.».(*— 1).(*— a)  +  etc., 
C=  e+c".*+c^'î.«.(«— i)-l-  eW.«.(*— 1).(«— a)  +  etc., 
etc.  j 

A  .y,  est  la  di^rence  finie  de  j^, ,  a  étant  supposé  rarier  de  l'unité  3 
A*.^,,  A^.^,,  etc.  sont  les  seconde,  troisième,  etc.  diflfêrences 
de  y,;  et  S  est  une  fonction  de  s.  Cela  posé^  représentons^,  par 
/kf.fdx,  f  étant  une  fonction  d^  x  qu'il  £iut  déterminer ,  ainsi 


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Ï>ES  PROBABILITÉS.  .11; 

^e  1^  linU^de  l'iatjégralo.  Su. désignant x*  par  jy,  on  au^ 

A.^,=yïJ5^.(* — i).ipdXy     A,'./,=:/Jy.(a; — i)'.<pcte,     etc.; 

on  aura  ensuite 

ê.x'ssx.-^f     «.(a— l).ar'=x'.  -j^,     etc.; 

relation  (1)  aux  différences,  devient  ainsi 

(4-etc.  ) 

An  tien  de  Ê|ii:«  :^  4%al  à  fatJf^,  on  pçut  le  supposer  ^al  à 
fc~".^doc-y  alors  on  a 

A.^,=/c-".(c"-' — ^^i).çda;,     A'.j',:^/c~'r.(c~'— i)».f(fa;,     etc. 

De  plus ,  si  l'on  désigne  e-"  par  jy ,  on  aura 

,.c-'-==— -^,    *'.c  !"  =  -^,    etc.; 

en  mettant  donc  les  coefiicièns  de  Téquation  (1}  sou^  cette  forme , 
^  =  o  +  «W .«  +  a^'î.a*  +  etc., 

C  =  e  -^  e^'\s  +  et'>.«'+  etc., 
etc.; 

cette  éqaatioix  prendra  la  forme 


s=y»<te,^ 


jy.[a+» .  (c-'—i)  +«.(<;— —i)'+etc.]  ■ 


|  +  ^.[a«H-6<'>.(c--l)+eC).(c-'-i)--HtcO(" 


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iiï  THÉORIE  ANALYTIQUE 

£n  représentant  généralement  y,  par  f^y.^dx,  le»  deux  formes 
que  l'équation  (  i  )  prend  dans  les  suppositions  de  ^y=2Vf  et  de 
Sy^c-",  seront  comprises  dans  la  suivante 

Ml  NjPjQy  etc.  éXant  des  fonctioDS  de  j:  indépendantes  de  la 
variable  »,  qui  n'entre  dans  le  second  membre  de  cette  équation^ 
qu'autaut  qao  Jy  et  ses  diffîrences  en  sont  fonctiona- 

Maintenant ,  pour  y  sattslàire ,  on  iotégrera  par  parties ,  ses  dj£fê- 
rens  termes  ;  or  on  a 

etc.; 
l'équation  précédente  devient  ainsi 

5=/jy.^.(i!^^-^> +^^-^^+ etc.) 

H-etc.,  ■ 

C  étant  une  constante  arbitraire. 

Puisque  la  fonction  <p  doit  être  indépendante  de  « ,  et  par  con- 
séquent de  jy ,  on  doit  égaler  séparément  à  zéro ,  la  partie  de  cette 
équation,  aCfèctée  du  signe /j  ce  qui  partage  l'équation  précédente 
^ans  les^  deux  suivantes , 


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DES  PROB.VBILITÉS. 


La  première  de  ces  équations  sert  à  déterminer  la  fonction  ç  ;  et  la 
seconde  détermine  les  limite»' dans  lesquelles  l'intégrale  y^.ipdc 
est  comprise.  ' 

On  peut  observer  que  l'équation  (a)  est  l'équation  de  condi- 
tion qiù  doit  avoir  lieu ,  pour  que  la  fonction  diffêrentielle 

soit  une  (U£fêrentielle  exacte ,  quel  que  soit  jy  ^  et  dans  ce  cas , 
l'intégrale  de  cette  fonction  est  égale  au  second  membre  de  l'équa- 
tion (  3  )  ;  f>  est  donc  le  Êicteur  eu  x  seul  qui  doit  multiplier 
l'équation 

o=;./.jy+iy.^  +  P.^-t-etc., 

pour  la  rendre  intégrable.  Si  ip  était  connu ,  ou  pourrait  abaisser 
cette  équation  d'un  degré;  et  réciproquement,  si  cette  équation 
était  abaissée  d'un  degré ,  le  coefficient  de  ^j ,  dans  sa  diâéren- 
tielle  divisée  par  JUdx,  donnerait  une  valeur  de  (p  ;  cette  équation 
et  réqaation  (a)  sont  conséquemment  liées  entre  elles ,  de  manière 
qu'une  intégrale  de  Tune  donne  -une  inte^ale  de  l'autre. 

La  valeur  de  f  étant  supposée  connue ,  on  aura  celle  de  y,  au 
moyeu  d'ime  intégrale  définie.  L'intégration  de  l'équation  (i)  aux 
différences. finies ,  est  donc  ainsi  ramenée  à  l'intégration  de  l'é- 
quation (a)  aux  di£^ences  infiniment  petites,  et  à  une  intégrale 
définie. 

Considérons  présentement  l'équation  (5),  et  faisons  d'abord  iS=o. 
Si  l'on  suppose  que  jy ,  -^ ,  i^ ,  etc*  deviennent  nuls  ,  au 
moyen  d'une  même  valeur  de  x ,  <pie  noua  désignerons  par  h , 
et  qui  soit  indépendante  de  «  ;  il  est  clair  qu'en  supposant  C  nul , 

i5 


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ii4  THÉORIE  ANALTTIQUE 

cette  valear  satisfera  à  TéquatiOB  (3),  et  qu'ainsi  elle  sera  une  des 
limites  entre  lesquelles  on  doit  prendre  Ilntégraleyêiy.^dr.  La 
supposition  précédente  a  lieu  visiblement,  dans  les  deux  cas  de 
jyss=^  et  de  cTt^ssc^";  dans  le  premier  cas,  l'équation  x=o, 
et-dans  le  second  cas,  Féquation  x=«o,  rendent  nulles  les  quan- 
tités jy ,  ~^,  "S^i  ***^'  ï'*'^  ^iToir  d'autre»  limites  de  l'intégrale 
fJ^.^dx,  on  observera  qne  ces  limites  devant  être  indépendantes 
de  A,  il  EàVLt  dans  l'équation  (5),  égaler  séparément  à  zéro,  les 
coefficiens  de  S/j  -^ ,  etc.;  ce  qui  donne  les  équations  soirantes, 


G  =z  Q^  —  etc., 
etc. 

Ces  équations  sont  au  nombre  i ,  si  i  est  l'ordre  de  réqtiatîoa 
di£fêrentielle  (a);  on  pourra  donc  éliminer,  à  leur  moyen,  toutes  ' 
les  constantes  ari)itraire8  de  la  valeur  de  9 ,  moins  une  ;  et  l'on  aura 
une  équation  finale  en  x ,  dont  les  racines  seront  autant  de  limites 
del'intégrale/yy.^f/x.  Ou  cherchera  par  cette  équation,  un  nombre 
de  valeurs  différentes  de  x,  égal  au  degré  de  l'équation  diffêren- 
tielte  (1).  Soient  ç,  9''',  ç**>,  etc.  ces  valeurs;  elles  donneroot 
autant  de  valeun  di£fêrentes  de  tp,  puisque  les  constantes  arbi- 
traires de  f ,  moins  une  ,  sont  déterminées  en  fonctions  de  ces 
valeurs.  On  pourra  ainsi  représenter  les  valeurs  de  ip ,  correspon- 
dantes aux  limites  ^,  y*'>,  5*'>,etc.,par  S.^,^'^^*^'',J^'^•'.^*'',  etc.; 
£,  ^'^,  ^''t  etc.  étant  des  constantes  arbitraires;  et  Fon  aura 
pour  la  valeur  complète  de  7-, , 

^.=5./jy.x.dic4-^'* -/«iy.?^^'*  .<te +£<•). /jy.xw.dic -H  etc.; 

l'intégrale  du  premier  terme  étant  prise  depuis  x  =  A  jusqu'à  x= j , 
celle  du  second  terme  étant  prise  depuis  x = A  iusqu'à  x  ^  y^"' ,  et 
ainsi  du  reste.  On  dét^miuura  les  constantes  B ,  Sf-'^ ,  etc. ,  au 
moyen  d'autant  de  valeurs  particulière  de/,. 


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DES  PROBABILITÉS.  n5 

Si^posODS  maintenant  que  dane  l'équatioa  (5)^  S  ne  soitpa»  nul. 

Si  l'on  prend  l'intégrale  f^f.fdx  depuis  x=:ih  jusqu'à  x  égal  à  une 

quantité  quelconque  ^  j  U  est  clair  que  Ton  aura  C=  o  y  et  qqe  S  sera 

ce  que  devient  la  fonction 

^/.(^^-^+etc.) 

4-etc., 

iorsqa'on  y  change  x  en  p.  Ainsi  ponr  le  succès  de  la  mâbode  pré- 
cédente ,  â  est  nécessaire  qne  S  ait  la  fbrme  de  cette  fonction.  Fai- 
sons,  par  exemple ,  «^  =  jCj  et 

5=/ï'.[/H-/ï'>.*-f-^'*>*-(-ï— 1)+^'' .«■(*—»).(«— a) -f-etc.]; 

en  comparant  cette  râleur  de  5  à  la  précédente ,  on  aura 


r>  .jj  =  P^  —  etc. , 
etc., 

X  derant  être  change  en^  dans  les  seconds  membres  dé  ces  équa- 
tions doM  le  Bombrâ  est  égal  au  degré  de  Téquation  dififêrentîelïe 
(3).  On  pourra  donc,  àleur  moyen,  détenniner  les  constantes  arbi- 
traires de  la  valeur  de  ^  ;  et  si  l'on  désigne  par  4  »  ce  que  devient 
9,  lorsqu'on  a  ainsi  déterminé  ses  arbitraires,  on  aura 

y.^fx-.-^dx. 

De  là  et  de  ce  que  l'équation  (  1  )  est  linéaire ,  il  est  facUe  de  con- 
clure que  si  S  est  égal  à 

p'.ll+  ^■î.s-|-A'>.«.(«— 1)  +  etc.] 

+  etc. 
En  nommant  ^'j  «te. ,  ce  que  devient  4  lorsqu'on  y  change  succès-» 


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ii6  THÉORIE  ANALYTIQUE 

sivçment  p,  /,?'!,  etc.,  en;?,,  /,,  /['',etc.,  en/»,,  etc.;  on  aura 

la  première  inEégrale  étant  prise  depuis  x  =  h  jusqu'à  x  ^p ,  la 
seconde  étant  prise  depuis  x=A  jusqu'à  x  =p,,  etc.  Cette  valeur 
de  7-,  ne  renferme  aucune  constante  arbitraire  j  mais  en  la  joignant 
à  celle  que  nous  avons  trouvée  précédemment  pour  le  cas  de  S  nul', 
on  aura  l'expression  complète  de  /,. 

3o.  Si^osons  maintenant  que  l'on  ait  un  nombre  quelconque 
d'équations  linéaires  aux  diâerences  finies  entre  un  pareil  nombre 
de  variables ^„_7-,',j'",  etc.,  et  dont  les  coefiiciens  soient  des  fonor 
tions  rationnelles  et  entières  de  a.  Faisons  alors 

j',=fa:'.ijidx,    y,s=/x'.^'dXy     y,:=/x'.^"dx,     etc.; 

ces  diverses  intégrales  étant  prises  entre  les  mêmes  limites  déter^: 
minées  et  indépendantes  de  s.  Nous  aurons 

A.j;=/x'.(x—i).fdjç,  ,     A'.j.^sfic.Çx—iy.^dx  ,     etc.; 
A  .j'^ r=.f3f .  (ar— 1) - ^'dx ,    A' .j,  i=fx' .  (x— i)* . ^'dx ,    etc, ; 
etc. 

Les  équations  dont  il  s'agit,  pourrcmt  ainsi  être  mises  sous  le» 
formes  suivantes, 

Ss^/xf.zdXj    ^:=/x'.z'dx ,    Sf's=/j:'.z"dx,    etc., 

S,  jS*,  jS",  etc.  étant  des  fonctions  de  s  seul,  etz,«',  z'\  etc.,  étant 
des  fonctions  rationnelles  et  entières  de  la  même  variable  ,  et  de 
X,  (p,  <p',  <ti",  etc.,  dans  lesquelles  <p ,  ?',  etc.  >  sont  sous  Une  forme 
linéaire. 
Considérons  d'abord  l'équation 

3=fx'.zdXj 
-on  a 

.=Z+..A.Z  +  i4=;>.A-.Z  +  i:fc^|='i.i'.Z+elc.; 

Digitized  by  VjOOQ  le 


DES  PROBABILITÉS.  117 

la  caractéristique  A  des  diS^reuces  tinies  étant  relative  à  la  variable  «, 
et  Z  ,  A. ^,  etc.  étant  ce  que  deviennent  c,A.z,  etc.,  lorsqu'on  7 
suppQse  s=.o.  On  aura  donc 

5=/C.d:r.(z+«.A,Z  +  i^^^.A'.Z4-etc.).; 
S  l'on  feitic's=  «T/.j  on  aura 

sx'  =  x.-^  f    s. {5 — i).x'=«'.-T-f-,    etc.'i 

Téquation  précédente  devient  ainsi 

S=/<i..(z.  jy +:r.  A.z/^  +  î;^  .  ^  +  etc.); 

d'où  l'on  tire  en  intégrant  par  parties,  comme  dans  le  numéro  pré- 
cédent ,  les  deux  équations  suivantes, 

+  etc. 
C  étant  une  constante  arbitraire.  L'équation 

traitée  de  la  même  manière ,  donnera 

„=Z'-ii^  +  £J^^_etc.,         M 

+^-^.(^— •)       ■  '" 

H-  etc. 

les  équations  ^'s=fi&*^'dx;  S"=fcif.z"'dx,  etc. ,  produiront  des 
équations  semblables ,  que  nous  désignerons  par  (a") ,  (6")  ;  (a'") 
{b'");  etc. 


(A) 


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j  18  THÉORIE  ANAirriQUE 

Les  équations  (o),(o')>  («")>  «'c-  détermineront lea  variables 
ç,^',  ip",  etc.  en  ftHKtion de  X j  et  les  équations  (6), (6'j,  (i"), etc. 
détermineront  les  limites  dans  lesquelles  on  doit  prendre  les  ialé- 
%r»ies/x'.zdJCy/x'.z'dXf  etc.  L'une  de  ces  limites  est  x^o.  Pour 
avoir  les  autres,  on  supposera  d'abord  S,  5*,  5",  etc.  nuls;  les 
'  constantes  C,  C,  C",  etc.  seront  par  conséquent  nulles  dans  les 
équations  (b) ,  (è') ,  etc. ,  puisque  la  supposition  de  x  =  o  rend  nuls 
les  autres  termes  de  ces  équations.  £a  égalant  ensuite  séparément 

à  zéro ,  les  coefficîens  de  Jy ,  -^ ,  etc.  dans  ces  mêmes  éq^tioos, 
on  aura  les  suivantes , 

•    „  =  x.A.g--'t---':-^>+eto., 

■■  """       1.3  '* 

etc.; 

o  =  x.A.Z iî T — i-f-elc., 

o  = —  etc., 

1.3  ' 

etc.  ; 
e\c. 

On  éliminera,  au  moyen  de  ces  équations,  toutes  les  constantes 
arbitraires,  moins  une ,  des  valeurs  de  ^ ,  9',  f",  etc. ,  et  l'on  ar- 
rivera à  une  équation  finale  en  x,  dont  les  racines  seront  les  limites 
des  intégrales  J'x'.pdXf/x'.f'dx^  etc.  On  déterminera  autant  de 
ces  limites  qu'il  est  nécessaire ,  pour  que  les  valeurs  de  j^, ,/,',  etc. 
soient  complètes. 

Supposons  maintenant  que  5, ne  soit  pas  nul,  et  qu'il  soit 
égala 

/ï'.[/^+/t'> .  «  H-/^'î .  «.(«— OH-etc.]. 

En  Êdsant  C=  o  dans  l'équation  (b) ,  et  en  y  mettant  x'  au  lieu  de 
.  jy ,  on  aura 

^.[i+fï.H-f->.«.(*-i)+etc.]=x'.(x.A.Z-^^^^-Htc.) 


+,.^.(^£i^_ete.) 


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DES  PROBABILITÉS.  ng 

d'où  l'on  co&dut  d'abord xs=p,  emorte  qnelofl  intégrales /i/.ffKr^ 
fxf.p'dxj  etc.,  doivent  être  prises  depuis  x=o  jusqu'à  x=p.  La 
comparaison  des 'coeflicieils  de  «-,  s.^s^—i) ,  etc.,  donnera  ensuite 
autant  d'équations  entre  ly  f'^,  etc.,  et  les  constantes  aii>itrair«s 
des  caressions  de  f ,  9',  etc.  L'égalité  à.zéro  de  ces  mêmes  coeffi- 
ciens,  dans  les  équations  (£'),  (b"),  etc.^  donnera  de  nourelleft 
équations  entre  ces  arbitraires  que  l'on  pourra  ainsi  déterminer 
au.  moyen  de  tontes  ces  équations.  On  aura,  par  ce  procédé ,  les 
valeurs  particulières  de  ^, ,  qui  satisfont  au  cas  où  5',  5",  etc. 
étant  nuls ,  ^  a  la  forme  que  nous  venons  de  lui  supposer ,  ou,  plus 
généralement ,  est  égal  à  un  nomln'e  quelconque  de  fonctions  de 
la  même  forme. 

Pareillement,  si  l'on  suppose  que  5,  y,  etc.  étant  nuls,  £f  est 
la  somme  d'un  nombre  quelconque  de  fonctions  semblali^s ,  on 
déterminera  les  valeurs  particidières  de  j^.^y, ,  etc. ,  qui  aatiâfont 
àce  cas,  et  ftinùdu  reste.  En  réunissant  ensuite  tontes  ces  Tueurs,' 
à  celles  que  1'<mi  aura  déterminées  dans  le  cas  où  S,  Sf,  etc.  sont 
mÙB  ;  on  aura  les  expressioiu  complètes  de  _y, ,  X,  etc. .  corres-. 
pondantes  au  cas.  tua  3  j  S'y  etc.  <mt  les  formes  précédentes. 

Il  est  &cile  d'étendre  cette  méthode  aux  équations  aux  diCfêrencea 
infiniment  petites,  on  en  partie  finies,  et  en  partie  infiniment 
|>etite8 ,  et  dans  lesquelles  les  coefficîens  des  vailles  {HÏDcipales 
et  de  leurs  di£fêrences,  sont  des  fonctions  ratlMmeiles  de  «,  que 
l'on  peut  toujours  rendre  entières ,  en  fiùsant  disparaître  les  déno- 
minateurs. Si  l'on  désigne,  comme  ci-dessus,  par^,,^,',  etc.,  le» 
variables  principales  de  cw  équations  >  et  si  l'on  ^t 

j',=ifx' ,<^dx j      y,=s/x'.ç'dXf    etc.; 


^^/jf.ipdxAo^je  ,    ^'s=yxf.^(ir.(log.  x)',    etc.; 

A..)'.=A'.(x— j).çda;,  A.\j',ss/x'.{x~iy.pdx  ,    etc.; 
ete.; 


dy 
gf=/x'.ç'tixAo^x, 


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^terminera  les 
des  intégrales 


plusieurs  cir- 
jmmodes  (pie 


tion  de  la  mé- 
]uations  dific- 
x.  Les  degrés 
équations  aux 
les  puissances 
le  considérant 
îlle  en  p  sera 
Les  coefficicns 
rentielle  en  ^ 
as  où  ce  plus 
îtendu. 
suivante , 


principale  y, 
tes.  Si  l'on  fait 


,  eu  intégrant 

n'       1  f^ 

Digilized  by  VjOO^  IC 


DES  PROBABILITÉS.  lai 

par  parties  comme  dans  le'  numéro  précédent ,  les  deux  équations 


sQîrantes , 


o=jH'.»— - 
o  =  C+AI*.J>. 
Ia  première  donne  en  l'intégrant, 


H  étailt  une  constante  arbitraire.  Supposons  C  laA  dans  la  seconde 
équation;  x=o  ou  x  =  co  sera  l'une  des  limites  de  Vintégrale 
/^,fdxy  suivant  que  l'on  prend  x"  ou  c'~'".pour  jy.  On  déter- 
minera les  aulres  liiiiites ,  en  résolvant  ré<{uation  o=N<p.^. 

A[^liquoDs  à  cette  inté^ale ,  la  méthode  d'ai^roximatLoii  du 
u^  s3.Si  Ton  désigne  par  a,  la  valeur  de  Ji^.doiuiée  par  l'équation 

.  osrf.cjv-p.jy)» 

et  par  Q,  ce  que  devient  lafooclùux^tP'^yTloraqu'on  y  chailgQ 
X  en  a }  im  fera 

ce  qui  donne 

*=  Vlog  Q  — log  (ATip)— log  jy. 

log  eÇy  est  de  Tordre  s  j  si  Fon  suppose  s  très-grand,  et  si  Ton  feit 

^  SB  »,  a  sera  un  très-petit  coeSldeqt  La  quantité  sous  le  radir 

cal  prendra  cette  forme  Σ=£^ .  x,  X  étant  une  fonction  de  x  —  a 

et  de  «  j  on  aœra  donc ,  par  le  retour  des  suites,  k  valeur  de  « 
.en  /,  parune  série  de  cette  fonne,  ' 

a:ss:a4- «* .  A<-|-a.  AW.<*+«^  .AW.i* +  etc. 
Maintenant,^,  étant  égal  à  fiy.^âx^  à  l'on  subsUtue  dans  cette 
inté^e,  au  lieu  de  ?.jy,  sa  valeur ^tr — ,  elle  deviendra 
Q*y  -yy -c^*' j  et  si  dans  ^,  on  substitue  pour  «,  sa  valeur  pré- 

16 


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laa  THÉOaiE  ANALTOQUE 

eédente  ài  <f  on  abra^,  par  Hpe  diûte  de  cette  foniK, 

y.=  a'.Q.fdt.e-''.[I'^ci'.f^.tr^a..f'\.t'-\-J.fi^.t^-^  etc.], 

les  limites  de  l'intégrale  relatîre  à  Menant  se  déterminer  par  la 
condition  qu'à  ces  limites,  la  quantité  N<p.^j,  ou  son  équivalent? 
<2<c~''j  soit  nulle;  d'où  il  suit  que  ces  limites  sont  £=— oo  et 
<  =  co  ;  on  aura  donc  par  le  n*  â4  > 

^,=*'.<2V'-0  +  ï.«.^'>+^.»'.i««4-^.«'./^-f-etc.). 

Cette  expression  a  l'avantage  d'être  ind^ndante  de  la  détenni'» 
nation  des  limites  en  jc,  qui  rendent  naUe  la  fonction  Nf.^j'i 
ensorte  qu'dle  subsiste  dan»  le  cas  même  où  cette  ^Miction,  éga- 
lée k  zéro ,  n'a  point  de  racines  ré^es  ;  elle  subsiste  encore  dans 
le  cas -de  «  négatif.  Cette  remarqae  analogue!  à  celle  que  nous  aTona 
Ëdte  dans  le  n'  95,  et  i|im  .tient  y  comme  elle,  à  la  généralité  de 
l'analyse ,  est  très  -  remarquable  en  ce  qu'elle  donne  le  moyen 
â'téteadre  la  formiUe  précédente ,  à  un  grûkL  nombre  de  cas  aux- 
quels la  méthode  qui  nous  y  a  conduits  ,  semble  4r4bord  ae 
reJuser. 

Cette  formule  ne  renferme  que  la  constante  ari>îtraire  /T,  et 
par  conséquent,«0e  n'est  qu'une  intégrale  paitienfière  de  l'équation 
différentielle  proposée. en j',,  si  cette  équation  est  d'un-ordre-supé- 
rieur  à  l'unité.  Pour  avoir  dans  ce  cas,  l'intégrale  complète,  il 
fendra  cherdier  danal'équation  o=:d(?t'<p,^y  ),  autant  de  valeurs 
différentes  de  x.,  qu'il  y  .a  d'unités-danscet  ordre.  Soient  a  t  a\ 
o",  etc.  ces  valeurs;  on  changera  successivement  dans  l'expression 
précédente  de  y„  a  en  a\  a",  etc. ,  et  Jï  en  H',  H",  etc.;  on  aui^ 
autant  de  valeurs  particulières  qui  renferment  dracune  une  aibt- 
traire,  et  dont  la  somme  aéra  l'expression  complète  de  ^,. 

Quand  les  coeffîciens  de  la  proposée  en  ^,  renferment  des  puis- 
eances  de  s  8iiq>ériçur«6  &  l'unité  ;  on  peut  quekpiefbis  décomposer 
cette  éqijation  en  plusieurs  autres  qui  ne  renferment  cjue  cette  pre-: 
mière  puissance.  Si  l'on  a ,  par  exemple ,  l'équatioa  . 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  laS 

}tf  étant  TUM  fonction  ratJoiuK^le  cft  «atjère  de  *-;  OB^i&etlrA  C«tto 
tbnction  sous  la  forme 

g. Is  +  b). (s +  b'-).0+b-). etc.  _ 
i^+fj-(.S-i-f').is+f'].ttC.* 

on  fïara  ensuite 

f,+.  =  (s+/).fc    ,    C  =  (H-/')-'.%    etc. 

Il  est  facile ,  par  ce  qui  précède ,  de  détenniner  2, ,  f, ,  etc.  en  in- 
tégrales définies ,  et  de  réduire  ces  intégrales  en  séries  conrei^^tes, 
lorsque  3  est  un  grand  nombre.  On  aura  ensuite 


Dans  plusieurs  cas  où  Féquation  diffêrentielle  en  0  etairi;  d*un  ordre . 
supérieur  au  premier,  ne  peut  être  intégrée  rigoureusement,  on 
peut  détenniner  ip  par  une  approximation  trèa-convergenle  ;  en 
substituant  ensuite  cette  Valeur  de  f  dcme  l'iatégrale  /x'.fdx,  on 
peut  obtenir  d'une  manière  f<Ht  ï^procbée  la  valeur  de  cette 
intégrale. 

53.  Uanalyse  exposée  dans  les  numéros  {véoédau^s'étend  encore 
aux  équations  à  différences  partielles ,  finies  et  infiniment  petites. 
Pour  cela,  considérons  d'abord  l'équation  linéaire  aux  diffêrentieîles 
partielles  dont  les  coefiiciens  sont  constans.  En  désignant  par^,,.^ 
la  variable  principale,  «et  a'  étant  tes  deux  variables  dont  elle  est 
fonction} etreprésentantcetteéquation parcelle-ci,  ^=0,  f'étîmt 
une  fonction  Ùnéaire  de^,,^  «t  de  ses  dif^ênceft  partielles;  ou  y 
supposera 

>  étant  une  fonclioade  a:j  alors  l'équaticù  r=o  prend  cette 
forme 

M  étant  une  fooctioo  de  x  et  dé  x%  sttns  «  m  «'.  En  égalabt  dooo 


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334  THÉORIE  ANALYTIQUE 

•  M  à  zéro,  on  atira  la  valcor  de  ce'  eu  x ,  et  cette  Taleor  subsÈitaée 
dansTintégrale/c.  x'''.^rfx,  donnera  l'expression  générale  de  j',,i„ 
dans  laquelle  ^  est  une  fonction  arbitraire  de  a:  j  les  limites  de 
rintégrale  étant  indépendantes  de  x,  mais  d'ailleurs  arbitraires.  Si 
l'équation  proposée  o=  V ^  est  de  l'ordre  n,  il  &udra,  au  moyen 
de  l'équation  JfcTsso,  déterminer  un  nombre  n  de  valeurs  de  x' 
en  X.  La  somme  des  n  valeurs  àitfsf.a^^.^àx  qui  en  résulteront, 
et  dans  lesquelles  on  pourra  mettre  pour  9  des  fonctions  arbitraires 
différentes  de  x,  sera  l'expression  complète  de  _;',,„. 

Il  résulte  de  ce  que  nous  avons  dit  dans  la  première  partie  de 
ce  ÏJvre ,  que  l'équation  M^^  o  est  l'équation  génératrice  de  Téqua- 
tion  proposée  jr=o. 

Considérons  présentement  l'équation  aux  différences  partielles 

o=r-*-*.7'+»'.Jî, 

dans  laquelle  F'^  7*,  et  A  sont  des  fonctions  quelconques  linéaires 
de^,,,/  et  de  ses  différences  partielles  y  soit  finies ,  soit  infiniment 
petites.  Si  l'on  7  suppose  y  comme  ci-dessus  > 

x'  étant  une  fonction  de  x  qu'il  s'agit  de  déterminer.  Ou  aura  une 
équation  de  cette  forme 

0=:/x'.x'''.^d;x.(J/+2V.«4.P.«'), 

Mj  N  et  P  étant  des  fonctions  de  x  et  de  x',  sans  $  ni  a';  or  on  a 

donc  si  l'on  détermine  x*  par  cette  éipiation 

dy      p.dx 

■^"^  .ffx  * 
on  aura 

x'.x'^(A^.H-i'V)=2Vx.^:^^; 

par  conséquent,  si  l'on  dés^ne  x'.x'''  par  jy,  et  si  l'on  suppose 
que  l'on  a  substitué  dans  Jtf  et  N  pour   x'  sa  raleui'  en  x , 


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.     DES  PROBABOrrÉS.  laS 

tn  aura 

Cette  équation  intégrée  par  parties  ^  comme  dan»  les  nmnéros  prér 
cédens,  donne  les  deux  suivantes, 

o=M<P ^ — ; 

La  première  détermine  f  en  x,  et  la  seconde  domie  les  limites  de 
rintégraley^.^dlx. 

Cette  valeur  de  y,-,,  ne  ren&rmant  point  de  fonction  arbitraire , 
elle  n'est  qu'une  intégrale  particulière  de  l'équation  proposée  aux 
di£fêrences  partielles.  Pour  la  rendre  complète^  on  observera  que 
l'intégrale  de  l'équation 

"F*  -"  AT  ' 

qui  détemûne  *'  en  x ,  est  «'  =  Q ,  Q  étant  une  fonction  de  x , 
et  d'une  constante  arbitraire  que  nous  désignerons  par  «;  en  re- 
présentant donc  par  4 1  une  fonction  arbitraire  de  u ,  l'équation 
proposée  aux  différences  partielles  sera  satisfaite  par  cette  valeur 
dej',,,, 

l'intégrale  relative  à  x  étant  prise  entre  les  limites  déterminées  par 
l'équation  o  =  ^(p .  «Ty ,  et  Tintégrale  relative  à  u  étant  prise  entre 
des  limites  quelconques.  Cette  valeur  de  y,'„  sera  donc  l'intégrale 
complète  de  l'équation  proposée  aux  différences  partielles ,  si  celle- 
ù'est-da  premier  ordre;  mais  si  elle  est  d'un  .ordre  supérieur^  il 
Ëiudra,  au  moyen  de  l'équation  oi=N^.J'^y  déterminer  autant  de 
valeurs  de  x  en  u,  qu'A  7  a  d'unités  dans  cet  ordre.  La  réunion 
des  valeurs  de  ^,,„  auxquelles  on  parviendra ,  sera  l'expression 
complète  de  ^,,^ 


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ij6  théobie  analttiqiie 


.    CHAPITRE  m. 

Appîù;ation  des  méthodes  précédents  ,  à  Papproxtmathn 
de  àuferses  JurwUons  d£  trèê-gnxndt  nombres, 

l^ARjKi  les  diverses  fonclioiu  auxquelles  ces  méthodes  peuvent 
s'appliquer,  je  vais  Gousidérer  les  produits  des  nombres ,  les  dévfr- 
loppemens  des  polynômes,  et  les  différences  infiniment  petites  et 
finies  des  fonctions ,  ces  direrses  quantités  étant  celles  qui  se  pré- 
isentent  le  plus  souvent  dans  l'analyse  des  hasards. 

De  l'approximation  des  prùduita  composés  d'un  grand  nombre  de 
facteurê,  et  des  termes  des  polynômes  élevèa  d  de  grandes  puissances, 

55,  Proposons-nous  (Pintégrer  Téquation  axix  différences  finies 

o=(«+i)'J'.— y-*.- 
fii  l'on  y  suppose 

y,x=.fxf,^dx\ 

on  aura ,  en  dé^nant  jc  par  Jy , 

d'où  l'on  tire  en  intégrant  pat-  pailies,  suivant  la  méthode  {ffécé* 
dente,  lea  deux  équations  suivantes, 

o  =  x'"*''.ip. 
là  première  éqaation  donne,  en  Tintégrant, 


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DES  PROBABÏtïTÉS.  1*7 

ri  la  second  donne ,  pour,  détenobicsr  les  deux  limites  de  Hut^ 
graleyx'.^tir, 

ces  limites  sont  par  conséquent  x  s=  o  et  x  :=  00.  Ainsi  Ton  a 

y,^s.A  .fifdx.c~' , 

l'intégrale  ^tant  |^e  f^puis  x  =:=  o  jusqu'à  x  ii^ ,  et  A  étant  une 
constante  arbitraire. 

Four  avoir  cette  int^^^  en  série ,  an.  déteneinera,  conformé- 
Kent  »  la  méthode  exposée  dans  le  n*  a5 ,  la  valeur  de  x ,  qui 
rend  x*.  c"*  un  maximum  j  cette  videur  est  t.  On  fera  donc,  sui-^ 
Tant.la  méthode  citée, 

£n  suf^sant  x^«-f'â,  cette  équation  devient 

(iH-;)'.c-<  =  <r-'-; 
partant 

ce  qui  donne  par  le  retour  des  suites 


par  conséquent 

<te  =  d9=<ù.v/n.(i+j-|^  +  ^  +  etc.), 

la  fonction yx'.pd!x.c~*  deviendra  donc 

«■.c- ./ett.  c-*'.»^  .(1 4- -^ -h  gî^ + etc.). 

L'intégrale  relative  à  x  devant  être  prise  depuis  x  nul  jusqu'à  x  m>- 
fini ,  l'intégrale  relative  à  t  doit  être  prise  depuis  f  =s  —  00  jusqu'à 
t^op.  En  intégrant  conuue  dans  le  n"  3o,  on  aura 

/.=Jrf.«'+i.  <r[,  ,vS*.(i  +  ^  +  etc.). 


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138  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Od  peut  détemuner  fort  simplement  le  Ëicteor  1 4-  -- — h  etc. 

de  cette  manière.  Désigaons-le  par 

i  +  f+?  +  etc.; 
ce  qui  donne 

j:=A.>'+i.c—.  \/ot-(i +4  + ?  +  «!«•)• 

En  substituant  cette  valeur  de^,  dans  réqoation  proposée  - 

J',*.  =  («H-0-.r.i 


(i  +  l)"^\o-  .(.+-^+^+eto.)«i+f +£+etc., 

OU 

(,  +£  +  ^  H-  etc.).Cc-('  +  »'»6('  +0-  i] 

«"—?-+:      ^    '—etc.; 
or  on  a 

>  -(.+i).iog(i+i)=i-(.+0-  C--i+i-^+^'-) 


On  aura  'donc,  en  observant  que  c   '*■*'       ^ki— .j-^+ etc., 
(.+f+g+ete.).(-ji;+^-etc.)=-5+»^-etc.; 
ce  qui  donne ,  en  comparant  les  puissances  semblables  de  ' , 

idonc 

Dic|i1  zed  by  VjOOQ le 


SES  PaOBASILITÉS.  i>9 

Oa  déterminera  la  conatanTe  ail>ttniiro  A  »  au  moyen  d'une  Talenr 
particulière  de^,  ;  en  supposant ,  par  exemple ,  que  «  étant  égal  à  f- 1 
on  ait  j', = Kj  on  aura 

Y-siA.xfdx.cr'i 
ce  qui  donne 

_i^      r      ■ 

par  conséquent, 


'  .cr' 


V^ 


fxfdx.c— 


('+ir;+35b+«'«->     fe> 


Voyons  maintenant  de  quelle  nature  est  la  fonction  y,-  Four  c^, 
il  faut  intégrer  Téquation  aux  <li£fêrences  finies 

On  troare  &cilement  que  son  intégrale  est 

^,=  r.(;t+i).(/*+a).(/*H-5) *j 

on  aura  donc,  en  comparant  celte  expression  à  la  formule  (^),  ' 

(M+i).{At+a).(^+5) 

1"  +  i.e-.  v^îî/i  + -j- + -ji-, +.«.■) 

Si  Ton  &It  ju  is  o ,  on  aura  yV*  i£r.  c^'ss  1  ;  partant 

i.a.5.....=.'+i.c-.  v'w.(i  +  7j:7  +  ^+etc.). 
81  Ton  bit  /<  =3  ^ ,  m  étant  moindre  que  n;  on  aura 

V  étant  nn  nombre  entier  ;  ainsi 

»7 


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i3o  THÉORIE  ANALYTIQUE 

or  oB  a 

(,.+  =  +  l).I„g(.  +  ^)  =  (.'+=+r).(»_^+etc.) 

On  a  d'ailleurs ,  en  faisant  xr^r^ 

fx"  .dx.c-'=  —.fx"       .dx.c~'=s:m./^'dt.e-f% 

l'intégrale  rçlallTe  à  *  étant  prise  depuis  l  s=  o  fusqu'à  /  inâni.  Ea 
substituant  ces  râleurs  dans  la  fom^ule  (q'),  elle  donnera    . 

m.(m+  n).(m  +  2n).  .  i  .  .(m-hs'n) 

ji'J       "      '■cr-'./fl»-.(^i  +     ^  ^^  J^i       +etc.j 
= yi^.d,.,w.  ■ :       (O 

ensorte  que  la  valeur  approchée  du  produit  des  termes  de  la 
progression aritboiétique  m,  m+n^  m  +  a»,  etc.  dépend  des  trois 
trîHiscMidantes  c ,  -ît  etyî*~'dl*.o— '". 
Si  dans  cette  équation  on  feit  pour  plus  de  simplicité  n=i,ce 

qui  changement*,  et  si  Ton  observe  queyî     dt'.(r-'=-.ftdt.<r-'i 
on  aura 


0±î^ii#^+-) 


En  changeant  fi  dans  —  a»»  ou  aura 

(i— /t).(a  — ^5 C*'— A*) 

En  multipliant  ces  deux  équations ,  Tune  par  l'autre,  on  awa 


(j_^->.(4— ;.-)-(«'"-K)  = 


ft-fdl.c—.Jfdt.i! 


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DES  PROBABttlTÉS.     •  iSi 

L'équation  (r)  du  n*  a4  doute 

•»(-5-)' 
Ea  feisaDt  n;=i  et /cssr — i,0Qa 

on  a  donc 

SI  l'on  Ëiît  iA>  infiniment  petit,  cette  équation  donne 

27r=i*.a'.3*....s".(i  — ^H-etc.).«'-*^-'.c»^; 
£viBiuU  difflc  râioatioD  précédente  par  celle-câ ,  on  atffa 

SiPon  fait  «'infini,  on  a  pour  régression  de  sin  9, 4)  étant  égal  à /t^r, 
le  produit  infini 

l'expression  de  sin  9  est  ainsi  décomposabl*  dans  nne  infinité  de 
Ëicteur8}ce  que  l'on  sait  d'aiUeura. 

Eo  STçpoaajd  p  imaginaire  et  égal  «  ^'^  V^ ,  sin  p  devient 
— 7=-;  on  a  donc 

c'-c-f  =  .^■.(i  + 1) .  (>  +  ^^) .  (,  +  ^) , 

•■'•■('+ 7^-)  •  0  +  .-^■+ '"=■)  ' 

et  en  Élisant  e'  infini,  on  voit  que  c*'— c-t'  est  égal  au  produit 
in&QÎ 


s^'.  (1  +  ^') .  (i  H-^.).etc, 


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iSa  THÉORIE  ANALrnQUE 

On  aura,  par  un  procédé  semblable ,  le  produit  continu  de  ^cteon 
dont  le  terme  général  est  une  fonction  rationnelle  entière  ou  frac- 
tionnaire de  s.  Mais  l'erpression  à  laquelle  on  parviendra,  pourra 
contenir  d'autres  transcendante»  dépendantes  dlntégrales  d^imes 
de  la  forme /à/'d^.c"'. 

On  peut  observer  ici  que  ces  produite  étant  nris  sous  la  forme 
fjif.^dx;  leur  diSerentiation  par  rapport  à  la  variable  «,  présente 
.  une  idée  claire,  et  alors  on  a  pour  cette  di£rérentieUe,yV.f(fx.logx. 

liCs  expressions  de  y,  données  par  les  formules  (g)  et  (?')  àa 
numéro  précédent  y  ont  encore  lieu  suivant  la  remarque  du 
n*  5o,  dans  le  cas  où  <  et  /*  sont  négatif ,  quoique  dans  ce  cas, 
TéquatioD 

qui  détermine  les  limites  de  l'intégrale  d^nie  qui  représente  la 
râleur  dej', ,  n'ait  pas  plusieurs  racines  réelles.  Si  dans  la  for-- 
mule  (y)  du  numéro  précédent,  (m  change  «  dans  —  « ,  et /t  dan» 
— /i  f  elle  devient 

r.>/=T.^V».(.-^^+^-.„.) 

y-'—  ,_}    rdx.<r-  ' 

.  Y  étant  la  valeur  de  j^,  qm  répond  à  «  s=  — /*.  Toute  la  difficulté 
se  réduit  à  intégrer  T  _m-.  Pour  y  parvenir ,  il  feut  suivre  le 
même  procédé  dont  on  a  &it  usage  pour  réduire  en  série,  TintéT 


graley. 


"  ''J^  ,  On  fera  donc 


—  fi  étant  la  valeur  de  x  donnée  par  l'équation 


on  aura  ainsi 


rdx.<r'       t*'.  V^     r  rf«.c-»V^ 


a/*     ""    (— ly    'J  (^ft—  m.\/^y' 

DigilizedbyLjOOQlC 


J     x^  C-iy*  J 


DES  PROBABILITÉS.  135 

L'intégrale  relaUre  à  x  devant  s'étendre  entre  les  deux  limite»  qai 
rendent  nulle  la  quantité  ^,  il  est  clair  que  l'intégrale  retatiTe 
à^doits'étOTdred^uiswss— 00  jusqu'à  w^oo;  cnréunissant 
donc  les  deux  quantités ,—^r:  et r==^  >  •?"   '"é- 

pondent  aux  mêmes  valeurs  de  <v ,  affectées  de  signes  contraires  ^ 
on  aura 

Tintégrale  relative  à  «■  étant  pfise  depuis  w^o  jusqu'à  4r  =  ec> 
Si  l'on  développe  les  quantités  sous  le  signe/,  les  imaginaires 
disparaissent,  et  Une  reste  qu'une  fonction  ré^le  que  nous  dé- 
signerons par  Qdm  ;  on  aura  ainsi 

partant 

_r.c->..t/^.(.--J-  +  -g|-,-..,.) 

Voyons  présentement  quelle  fonction  de  s  est^*.;.  Pour  cela, 
reprenons  Téquation  primitive 

o  =  (.+»).y,— ^,^.,; 

en  y  changeant  <  dans  —  s ,  et  fiiisant  y^,  ss  b,  ,  elle  devient 

0=(« l).U,+  B,_,J 

équation  dont  l'intégrale  est 

(— ly-'-.y 

"'~  l'("+rt(a+f) (<-i)— •>'-" 

F  étant  comme  d-deasns ,  égal  à  y    ,  Si  l'on  compare  cette  ex^ 


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i34  THÉORIE  ANALTTIQTTE 

pression  d&^_î  à  la  précédente ,  et  tà  l'on  obsenre  que  a—-'ft 
est  un  nombre  entier,  et  qu'ainsi  l'on  a  {— i)*'~'''=i  ;  or  aunt 

En  dinsant  les  deux  membres  de  cette  équatioa  pw  «,  et  le«  ren* 
versant  ensuite,  on  aura 

(/H-i).0*+3).(^5). .  .^«ill^ .  (i  +^  +  etc.).yi2rf<r. 

;&  l**n  o<Hnpare  cette  équation  à  la  formule  (y')  du  numéro  pré- 
cédent ,  on  a  ce  résultat  remarquable , 

Je  suis  parrena  à  cette  éqaation  générale ,  dans  les  Mémoires  de 
rAcadémie  des  Sciences  pour  l'année  1789,  par  r«nalysc  précé- 
dente, fondée ,  comme  on  v<Ht,  sur  le  passage  du  réel  à  Timagî- 
naire.  En  faisant  successivement  dans  Q,  M^^irM=a,;u=:3,etc., 
on  aura  les  valeurs  d'un  nombre  infini  d'ùité^^es  définies;  «inri 
dans  le  cas  de/t=i ,  l'équation  (O)  donne 

/Jm.Çcoi'm+m.iinm) «■ 
!+•■                — ë' 

annule  que  j'ai  donnée  pareî&ement  dans  le^  Mémoires  cités.  Cette 
formule  et  toutes  celles  du  même  genre  ,  peuvent  se  vérifier  par 
les  formules  du  n*  a6  ;  car  on  a  par  ce  ntuoéro, 

Nous  observerons  ici,  comme  dans  les  Mémoires  cités,  quey' 
étant  égal  à  — lî—i  .fQdtr  j  on  a ,  en  substituant  au  lieu  de  fQdtr , 
sa  valeur  donnée  par  Féqnation  (0) , 

rJj:.c-'_a-,.,r,(—i)~''*i^_a*.(—i)~'*+J 


'dLr.ç-' 
je" 


dby  Google 


DEè  PaOBABUTTÉS.  i35  ■ 

la  preniière  intégrale  étant  prise  entre  lee  deux  Talenrs  iougincôrês 
de  X  qui  rendent  nulle  la  quantité  -^ ,  et  les  deux  autres  inté- 
grales étant  prises  d^nits  se  nul  jusqu'il  œ  inÊni  ;  ce  qui  donne  un 
moyen  Êicilede  transformer  dans  celles-ci ,  les  intégrales  rdx.snx 

J        xf 


et/- 


34.  Considérons  maintenant  l'équatÎQn  générale 

Si  Ton  Eût 

ï— n»     ^_n  4-1,     p=i>i 
dk  prend  cette  forme 

8lipp090318 

nous  aurons,  en  intégrant  par  partùs, 

OS=iX-.f.(x—p) 

•i-fic—'.l<pdx.(n'x — 7ïp)-f.(p— x).d^> 

Cette  équation  donne  pour  déterminer  9 -,  la  soirante, 
4*611  l'on  tiré  en  intégrant» 

A  étant  une  constante  arbitraire.  On  aura  ensuite  pour  déterminer 
les  limites  de  Tintégrale,  l'équation 

ou 

o = ic^'.  (;>— a:)-'-*'— . 

Ces  limites  sont  donc  j:  =:so  et  x=/ï,  si  n  ■+-  «  etn'+i-*-B  sont 
des  quantités  ponUres.  Ami  l'on  aura,  en  prenaiU  Tinté^ale  dans 
ces  limites , 


y  Google 


\  i36  THÉORIE  ANAITTIQUE 

On  déterminera  la  constante  ^,  au  mojea  d'une  valeur  partie^' 
Uère  de  ^,.  Soit  y    cette  valeur  j  on  am^ 


-rf  =  - 


par  conséquent, 


fie  .dx.ip  —  x) 

Intégrons  présentement  Téquation  proposée  aux  différences  en  y,- 
Son  int^ale  est 

^  -_  («+^) ■  Cn+^+  0 («+J-0  ^    „^^ 

•ï^'  — («'+/«+0-(n'+**+a) {n'+sY-TM-P       ' 

Dans  cette  expresuon,  conune  dans  toutes  celles  formées  de  pro- 
duits ,  les  fecteurs  du  numérateur  ne  commencent  que  pour  la 
valeur  de  s  qui  rend  le  dernier  acteur  égal  au  premier,  ce  qui  a 
lieu  ici  lorsque  s  est  égal  à  ^  + 1  ;  il  en  est  de  même  des  acteurs 
du  dénominateur.  Pour  la  valeur  de.  a  égale  à  /£ ,  le  numérateur  ctle 
'  dénominateur  so  rédoiscnt  i^  Tonité  qui -est  censée  les  multiplier 
l'un  et  l'autre.  Si  l'on  compare  les  deux  ex^nresaions  précédentes 
de  y,,  on  aura 

Faisons  ji — xss/ru';  le  second  membre  de  cette  équation  de- 
viendra 

.  M-an'-^-r    ,                     -+_! 
1—/1  Ju .aa.(i  —  u'j 

P  '  .  »n— oV+l     ,       ,  ..'•■*■/*"'  ' 

/u  .du.  (i — u») 

les  int^ales  étant  prises  depuis  u  ss  o  jusqu'à  uas  i ,  parce  que 
ces  limites  répondent  aux  limites  xsp  et  x=o.  On  a  donc 

(>.4-yVCB+^,)....(n+j-0_/»'^"^^'.rf».(i-u')''''^' 
(«'+,.+i).C«'-|-/*+a) . . . («'+*)  ~  ^^"--«H-.  .du.(,_„.)''+'— »  ■ 

Supposons  n  s=  ï ,  n' ss=  o  et  fi:^  1  ;  si  Ton  observe  que 


dby  Google 


DES  PROBABILITÉS.  iS? 

on  aura 

1.3.1  ...^ =  -—./du.Ci— a')      ^ 

Le  premier  membre  de  cette  équation  est  le  coefficient  du  terme 
moyen  ou  indépendant  de  a ,  du  binôme  Q  *4-t  aV  ;  on  aura  donc 
au  moyen  des  méthodes  précédentes,  ce  coefficient,  par  une  ap- 
proximation rapide ,  lorsque  «  est  un  grand  nombre.  Pour  cela , 
nous  ferons 

^  — «,    1  — «-=0— '•; 
ce  qui  donne  ______ 

et 

Supposons 

y'i_-c—f —«•.*.[!  4-a.5^'>.c+«'.9«.t*H-«'.çW.ï'+ etc.]. 

En  prenant  les  dîfifêrences  logarithxniijii*^  ^^  deux  mmibr^  do 
cette  équation  y  on  aura 

1  +3« .  qCO.  f +5rt'  ■  ç W.  t*+7*' .  at^J .  t*+  etc. aJ.c""'  . 

t+A,q'-0y+<t\qW.^+K'.qm.tf+9tC.  i— c""^'  ' 

et  ce  dernier  membre  est  ^al  à 

1— «.*»+-î^.|4 ^-(•+  etc. 

'   i.fl i.a.o        

On  aura  donc  en  comparant  cette  quantité  au  premier  membre  > 
et  réduisant  au  même  dénominateur  ;  l'équation  générale 


i.a      '       "   '     i.a.S    '  1,9.3.4 


g*"'  étant  égal  à  runité.  Si  Ton  feitauccessivement  dans  cette  équa- 
tion, i=i,  i=:i,i=:5,  etc.;  on  aura  les  Valeur»  saccessive»  }<'', 

j8 


db,  Google 


i38  THÉORIE  ANALYTIQUE 

?'*'»  9^%  ctc.j  et  l'on  trouvera 

On  aura  ensuite 

L'intégrale  relative  à  u  devant  être  prise  depuis  a=o  jusqu'à  u=i, 
rintégrale  relative  à  *  doit  être  prise  depuis  t  nul  jusqu'à  (  infini  ; 
on  aura  donc  par  le  n*  a? 

[  +i:i|:2.«3.y04_etc.] 

.  partant  ' 

.'■'■' '  t/('-i).-|    +Li^..,..,<.)+etc.       j' 

Ainsi  Ton  aura  par  une  suite  très-convergente,  le  terme  moyen 
ou  indq)endant  de  o ,  du  binôme  ('  4-  «J  • 

On  parviendra  plus  simplement  à  ce  résultat,  par  la  méthode 
suivante ,  qui  peut  s'étendre  à  un  polyncnne  quelconque. 

35.  Nommons  y,y  le  terme  moyen  ou  indépendant  de  a,  du  bi- 
nôme Q-  -ha\  ,  ou,  ce  qui  revient  au  même ,  le  terme  indépendant 

de  c***'^,  dans  le  développement  du  binôme  (c**"^"'  +  c~*  V-'^». 
iSi  l'on  multiplie  ce  développement  par  dv ,  et  qu'on  l'intègre  depuis 
1?  nul  jusqu'à  «w  =  |  ■*  ;  il  est  facile  de  voir  que  cette  intégrale 
sera  i-^.y,,  et  qu'ainsi  on  a 

£n  effet ,  en  développant  le  binôme  renfermé  sous  le  signe  /,  et 
eubstituaiitaUliçudee*»'*V-'j  sa  valeur  co83rw±V — i-sinarw, 


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DES  PROBABILITiS.  i3g 

on  aura  le  terme  moyen  du  binôme ,  phu  une  suite  de  cosinus 
de  l'angle  air  et  de  ses  multiples  ;  en  les  multipliant  par  dm ,  et 
les  Intégrant,  cette  suite  se  transformera  dans  une  suite  de  srnus 
de  l'angle  air  et  de  ses  multiples,  sinus  qui  sont  nuls  aux  deux 
limites  ir  ==0  et  •»-  =  ^  t.  Il  ne  restera  ainsi  dans  l'intégrale  que 
le  terme  moyen  du  binôme ,  multiplié  par  7  tt.  Cela  posé ,  si  Ton 
substitue  au  lieu  du  binôme  c  ^^'  +  c—  V'--^,  sa  valeur  a .  cos  ir , 
on  aura 

en  8iq>posant  sin  «■  ss  u ,  on  aura 

l'intégrale  étant  prise  depuis  u  =  o  jusqu'à  u  ^  1  ;  ce  qui  coïncide 
arec  ce  que  l'on  a  trouvé  dans  le  numéro  précédent. 

Considérons  maintenant  le  trinôme  Q  -f- 1  -f-  a  Y,  et  nommons  ^^ 
le  terme  moyen  ou  indépendant  de  a ,  dans  le  dcvoloppement  de 
ce  trinôme.  Ce  terme  sera  le  terme  indépendant  de  c='="V^,  dans 
le  développement  du  trinôme  (c*V^~4-i  +  c— •*^'-ï)'j  on  aura 
conséquenunent ,  en  appliquant  ici  le  raisonnement  qui  précède , 

j',=  ^./rf'*.(iH-a.cos«')'; 

l'intégrale  étant  prise  depuis  •s-^o  jusqu'à  irs=T.  La  condition 
du  Tnaximum  de  la  fonction  (i  +  a.cos-v)'  donne  sin<ir^o; 
ensorte  que  les  deiix  limites  de  rint^rale,«-=o  et  'V='7r,  ré- 
pondent à  des  maxima  de  cette  fonction  ;  on  partagera  donc  l'inté- 
grale précédente  dans  les  deux  suivantes , 

/(*»,(  1  -t-a.cosir)',    ( — ly. /d<ir.  (a.  coS'O-^i)'; 

la  première  de  ces  intégrales  étant  prise  depuis  ir  nul  jusqu'à  la 
valeur  de  •»-,  qui  rend  nulle  la  quantité  a.cos  «•+  i  j  et  la  seconde 
iht^ale  étant  prise  depuis  <arz=:o,  jusqu'à  sa  valeur  qui  rend  nulle 
là  quantité  3 .  cos  ir  ~  1 . 


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.  ^4o  THÉORIE  ANAimOtTE 

Foor  obtenir  la  première  mtég^fdé  en  série  convergente,  oa 
'  fera 

(  1 4- a  •  cos  AT  )' =  3* .  c-*' s 

en  supposant  a  =  ->  extrayant  la  racine  s  de  chaque  membre  >  et 
développant  cos  «r  et  (r-^%  on  aura 


d*où  l'on  tire  par  le  retour  des  suites, 

»=«^^.V/g.(i— ^  +  etc.); 
partant , 

/rf'ir.(i4-a.cos«r)'=^^./d(.c-''.(i  —  |^+etc.). 

l'intégrale  relative  à  (  doit  être  prise  depuis  t  nul  jusqu'à  *  iit- 
fini;  on  aura  donc 

/rf«-.(i+a.cos«-)'  =  51~^.(a-^  +  etc.). 

On  trouvera  de  la  même  manière 

/rf«r.(a.co8«r-i)'=-7^-  (i  -7^;+^^^ 
on  aura  donc 

v.=:-^-Ci  -  4-+etc.W -^^ -(i  — |-+etc.Y 

s  étant  supposé  un  très  grand  n<Hnbre ,  cette  quantité  se  réduit  à 

très^eu  près  à  — y^.  C'est  l'expression  fort  approchée  du  terme 

moyen  ou  indépendant  de  a ,  du  binôme  Q  H-  i  H-  «)  " 

On  déterminera  de  la  même  manière ,  le  terme  moyen  d'un  po- 
lynôme quelconque,  élevé  à  une  très-haute  puissance.  Supposons 
d'abord  le  nombre  des  termes  du  polynôme ,  inq>air  et  égal  à  ao+i  j 


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DES  PROBABttlTÉS.  i4» 

ft  r^résentone  ce  polynôme  par 

— -f-  -j^rr*  .•-+-  + !•+■«•  ••  .■4-a"~"'+'a". 

En  substituant  tf*V^  pour  a ,  ce  polynôme  devient 

iH-a.cosw-+-  a. ces  air..  .,.+  a.co8  7Mrj, 

or  cette  fonction  est  égale  à  — ^^.^ .  J —  ;  la  puissance  «  Aa  po- 
lynôme est  donc 


\        ein  i  «        y 


Le  terme  moyen  de  cette  puissance,  est  le  terme  indq>endant  d^ 
«9-,  dans  son  développement  en  cosinus  de  Tangle  <!»■  et  de  ses 
multiples.  On  aura  évidemment  ce  terme,  en  miûtipliant  la  pui^ 
sance  par  d^  ;  en  prenant  ensuite  l'intégrale  depuis  tr  =o  jusqu'à 
vss-TT,  et  en  la  divisant  par  7t.  Ce  tenue  est  donc  égal  à 


La  condition  da  maximum  de  -     .  \ donne  réqoatioB 

tang  (îîi±lVw  =:  (an-f*  i).tangi  «•, 

H  y  a  depuis  -w  nul  jusqu'à  *=-*,  plusieurs  Jnaxima  alternative- 
ment positiË  et  négatife.  Le  premier  répond  à  v  nul  et  donne 


y- 

.Pour  aToir  rintégrale  précédente ,  depuis  ce  maximum  jusqu'au 

■m  f — ^—j-* 

point  où  '    \^\,       œt  nul,  ce  qui  a  lieu  d'abord  lorsque 


db,  Google 


THÉORIE  ANAtTTIQUE 


«r  s=  — ; — ,  on  fera 

(îpg_-y.,„..,.-. 

En  prenant  les  logarithmes ,  et  réduisant  eu  séhe  relatiTement 
aux  puissances  .de  ir ,  la  fonction 

'on  aura 

ce  qui  donne 

Vintégralâ  précédente  devient  ainsi 

*         J  vn.in+i).s  ' 

Elle  doit  être  prise  depuis  t  nul  jusqu'à  t  infini  ;  car  à  l'origine ,  ou 
lorsque  -v  est  nul,  t  est  nul;  et  à  la  limite,  où'ar  ^— v    >  t  est 

1  '  '  »  an  -)-  1  ' 

infini  ;  cette  intégrale  devient  donc,  en  ne  considérant  que  le  pre- 
mier terme,  et  n^ligeant  les  soivans  qui  sont,  par  rapport  à  loi, 
de  l'ordre  -, 

Lé  second  maxâmmi  est  n^tif,  et  répond  à  tme  Taleur  de 
/an  +  J\  ,g. ^  comprise  entre  lis*  et  ~w.  En  effet,  l'équation  du 
maximum 

tang(^î^).'W=(an4-i>.tangiw, 
donne 


db,  Google 


DES  PROBABILITÉS.  i45 

Ainsi  ( — X_Vi7  étant  compris  dans  le  second  maximum  entre 
V  et  aw,  tang  f^^^tJ.Yflp.  surpasse  tj  par  conseillent  (ï^—ij.'W 
aurpasse  a--f-î*iilest  donc  conqHÏs  entre  fw  etf  ■*.  L*éq»M»tioB 
précédente  du  maximum  donne 


an  +  1 


Ce  dernier  membre  est  plus  petit  que 

a      /■*'     i-» 

'  7  -v  ne  surpassant  pas  i  'jr ,  il  est  facile  de  s'aafiurer  que  '-"™ 
n'est  jamais  moindre  que  sa  valeur  qui  répond  à  ir^Tr,  et  qui 
est  égale  à  -  ^  le  second  membre  duni  Jl  s'agit,  est  doue  généra- 
lement plus  petit  que 


Aelatirement  au  second  maximum ,  (~^j.«"  étant  compris  entre 
^?r  etf  TT,  ce  mendire  sera  phu  petit  que  (*n-^i).7;  ainsi  la 

.    /an+i\ 

,  flm  [ — ^i—y^ 
pTiissance  «  de —  ,  *,  ■  . — ,  ne  surpassera  point  (aBH-i)'.(|)'j 

elle  sera  donc ,  lorsque  s  est  un  trés-^and  nombre  ^incompïo^le- 
ment  plue  petite  que  la  même  puissance  correspondante  an  premier 
maximum  y  et  qui  est  égal  à  (3/z4~l)'• 
On  verra  de  la  même  manière ,  que  le  troisième  maximum  est 

compris  entre  (î^y^y^rcsi-s-,  et(ïî^yir  =  *w,  et  qu'à  ce 

maximum,  la  puissance  s  de  — — ■.— ^ — ^^  ne    surpasse  pas 
(2n+i)'.(5)'j  que  le   quatrième-  maximum  est   connpris  entre 


y  Google 


t44  THÉORIE  ANALYTIQUE 

^?5+lV,y2=jJ.  ^j  et  (22JhiV  flpssB^^,  et  qu'à  ce   maximum^ 

la  puissance  «  de  — \  '[J —  ne  sorpasse  point  (a/H-ï)''(iT)'»  *' 
ainsi  de  suite. 

Maintenant,  si  à  partir  de  Pun  quelconque  de  ces  maxima^ 
on  lait 

A.(^)..y_/.„(î^).„Y 

n  étant  la  râleur  de  <v  qai  correspond  à  ce  maximwns  et  si 
l'on  &it 

<ir  =  n  +  ir'  j 

on  aura  en  prenant  les  logarithmes  des  deux  membres  de  l'équatioa 
précédente  entre  ir  et  «, 

j.log  8in(î^).(n-HpQ— s.logsini(n-h«')     - 

=«.riog  aiii  (^^)-  n  —  log  sin  i  n"]  —  *•. 

En  développant  le  premier  membre  de  cette  équation  suivant  les 
puissances  de  <v-'}  la  comparaison  de  la  première  puissance  donnera 
d'abord  l'équation  du  maximum 

tong  (i^).n=(an-fi)-tang  i  n- 
En  ne  o<onsidérant  ensuite  que  la  seconde  puissance  de  «-',  on  aura 

ce  qui  donne 

a^=  ,    "^  .    .,  ; 
l/».(«+0.»»' 
rmtégrale 


prise  entre  les  deux  limites  entre  lesquelles  —   .  f      ■  est  nul 


de 

Digilized  b 


db,  Google 


DES  PROBABILITÉS.  i46 

de  part  et  d'autre  du  maximum  de  cette  fonction ,  est  donc  à  très- 
peu  près 


l/an-Crt+O.iW 


'\      sinin      y' 


Cette  expression  a  généralement  lieu  pour  les  intégrales  relatires 
à  tons  les  maxima  qui  suivent  le  premier  ;  seulement  il  fent  n'en 
prendre  que  h  moitié  relativement  au  dernier  qui  correspond  à 
n  =  9r. .  11  résulte  de  ce  qui  précède  ,  que  cette  expression  par 
rapport  au  second  maximum  est  moii^e ,  abstraction  Êûte  da 
signe,  que 

que  relatiretnânt  an  troiâi^triA  Tnaximum ,  elle  est  moindre  qutv 

»  {-.y. 

y' an  (n+i).CT-  ^'^  ' 

et  ainsi  de  suite.  Lorsque  »  est  un  très^and  nombre ,  ces  quan- 
tités décroissent  avec  imc  extrême  rapidité ,  et  elles  sont  incom- 
parablement plus  petites  que  la  quantité  relative  au  premier 
maxmium,  et  qui;  comme  ou  Ta  ru,  est 

(a«+i)'.l^   . 
V^fl«,(»+l).i)r 

on  peut  donc  n'avoir  égard  qu'à  cette  dernière  iutégrale ,  et  Ton 
voit  que  cela  est  rigoureux  dans  le  cas  de  n  infini;  car  l'équation 
de  condition  du  maximum,  donne  alors  (^^^Vn=(ïî^\')f, 

r  étant  un  nombre  entier,  ce  qui  rend .  ^  ■  —  fini,  excepté 

lorsque  IT  est  zéro ,  ce  qui  répond  au  premier  maximum. 

Si  le  polynôme  est  composé  d'un  nombre  de  termes ,  pair  et 
égal  à  3» ,  tel  que 


dby  Google 


i46  THÉORIE  ANALYnQUE 

en  y  substituant  c*V^  au  lieu  de  « ,  il  devient 

a.cos  î  w+  a.cosi'ir -f-a.cos  (^^^^J.iir, 

ou  ^-r^.  Ce  polynôme  élevé  à  une  puissance  entière  et  .positive, 
ne  peut  avoir  de  terme  moyen  ou  indépendant  des  connus  de  l'a- 
et  de  ses  multiples ,  qu'autant  que  cette  puissance  est  paire  j  repré- 
sentons-la par  a«  :  îdors  le  twme  moyen  sera 

l'intégrale  étant  prise  depuis  ir  nul  jusqu'à  iws;*.  Cette  intégrale 
80  compose  de  diverses  intégrales  partielles  relatives  aux  divers 
TnanimadiG  la  fonction  ||^^;  mais  ou  s'assurera  fikcilement,  par 
l'analyse  précédente ,  que  toutes  ces  intégrales ,  lorsque  a*  est  un 
très-grand  nombre ,  et  lorsque  n  est  plus,  grand  que  l'unité ,  sont 
incomparablement  plus  petites  que  celle  qui  est  relative  au  premier 
maximum  qui  correspond  à  «ar  nul  ;  et  alors  on  trouve  à  tressa 
près  le  terme  moyen  de  la  puissance  as  du  polynMne,  égal  k 

«_.).(<>»  4-. 

En  rapprochant  ce  résultat,  du  précédent ,  on  voit  que  si  l'on  nomme 
généralement  n'  le  nombre  des  termes  du  polynôme,  et  s' la  puis- 
aance  à  laquelle  fl  eet  élevé  ;  le  terme  moyeu  du  développement  sera, 
lorsqu'il  y  en  a  un , 

'■t/g      _ 


v^^ 


et  pour  qu'il  y  ait  un  terme  moyen ,  ( n'—  j).s'  doit  être  on  nombre 
pair  ;  c'est-à-dire  que  l'un  ou  l'autre  au  moine ,  des  nomlnres  n'—i 

et  s',  doit  être  pair. 

36.  L'analyse  précédente  donne  encore  le  coeificieot  de  c^^  dans 
le  développement  du  polynôme 

(a^'-ha""*'. . .  .-Ho~'-f-i  +_a... .  +  fl"-' -f- a")'i 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITES,  14? 

fonr  l'obtenir ,  on  observera  que  le  coefficient  de  (£  dans  le  dé- 
veloppement de  ce  polynôme ,  est  le  même  que  celui  de  a"  ;  en 
nommant  donc  ^,ce  coefficient ,  en  faisant  a  =  c*'''— ',  et  réunis- 
sant les  deux  termes  du  développement,  relatife  à  tf  et  a~' ,  on 
aura  a^^.cos  m- pour  leur  somme.  Maintenant,  si  l'on  multiplie  ce 

Ai.(ï!+i).,Y 
polynôme^  ou  sa  valeur  l  — \-^ j  par  d^rr .  cos  /w ,  et  qu'on 

intègre  le  produit  depuis  'sr:=o  jusqu'à  <ar=:7r;  il  est  clair  que 
tous  les  termes  disparaîtront  j  excepté  celui  où  r  est  égal  à  /;  . 
l'intégrale  se  réduira  donc  à  a-f^f/^-tr.cos'./fl»;  ce  qui  donne 


fer: 


^,=-.ya4r.co8.i^.' 

Fonr  intégrer  cette  fonction ,  on  fera  r.anune  rî-nlessus  , 


:  (an H-  ly-c-''. 

En  prenant  1^  logarithmes  et  développant  par  rapport  aux  puîssancea 
de  ir ,  on  aura  par  le  retour  des  suites,  pour  «•,  une  expression  de 
cette  forme  » 

«=  ^^^|^=.(i +>i-+etc.); 
ce  qui  transforme  nntégrale  précédente  dans  celle-^ci , 

l'intégrale  étant  prise  depuis  £.nul  jusqu'à  t  infini.  On  peut  &cile- 
ment  l'obtenir  par  le  n°  a6 ,  et  l'on  trouvé ,  en  n'ayant  égard  qu'à 
son  premier  terme,  pour  sa  valeur , 


y  Google 


i48  THÉORIE  ANALYTIQUE 

C'est  la  valeur  cherchée  du  coefficient  de  a*  '  dans  le  âéreloppeméat 
du  polynôme ,  lorque  sa  puissance  3  est  très.-élcTée. 

Cherchons  maintenant  la  somme  de  tous  ces  coefficiens ,  depuis 
celui  de  a~'  incluslTemeot,  )U8qu'à  celui  de  a'  iaclusiremeDt^  /  étant 
un  grand  nombre,  mai»  d'un  ordre  inférieur  à  s.  Four  cek,  oous 
observerons  que  Ton  a  par  le  n*  10, 

=(fr-i-â'y+v..f+e.c.; 

d*où  ron  tire  parle  numéro  cité, 

2  .jyi = J^t .  rf/—  k-Jf^rï'-yj-h  etc.  H-  constante. 

£n  prenant  l'intégrale  depuis  le  terme  correspondant  à  /  nul  inclusi- 
vement ,  on  aura  la  somme  des  yaleurs  de  j,  depuis  cette  origine 
jusqu'au  terme  j,  exclusivement.  La  constante  arbitraire  sera  égale 

alors  à  î-.y. —  t:-'w~'  ^^- j  ^^^  ^  somme  dea  valeurs  de  yi, 
depuis  /  Dïd  inclusivement  jusqu'à /i  inclusiremenl ,  aéra 

Supposons  maintenant 


^< 


-<""+'>'- ^^    -— --^ 


/i..(n+.).JM7r' 

alors  les  différences  de  jt  seront  successivement  d'un  ordre  infé- 
rieur les  unes  aux  autres  ;  en  ne  considérant  donc  que  les  trois 
premiers  termes  de  la  série  précédente ,  on  aura 

pour  la  somme  des  coefficiens  des  termes  du  développement  de  Id 
puissance  s  du  polynôme ,  depuis  /  nul  inclusivement  jusqu'à  ri  in- 
clusivement. En  doublant  cette'  somme ,  et  en  retranchant  de  ce 
double ,  le  terme  y, ,  on  aura  pour  la  somme  des  coefficiens ,  depuis 


Diç|i1zed  ^v 


(Google 


DES  PROBABILITÉS.  i4s 

Celai  da  terme  correspondant  à  a~'  inclusivement,  jnsqa'à  cdtii  du 
tenue  correspondant  à  a'  indusirement, 

t/».(»+i)..,r    ^  ^' 

57.  Nous  arons  supposé  dans  les  exemples  précédens ,  que  ïeaf 
équations  aux  différences  en^, ,  n'araient  point  de  dernier  terme  > 
donnons  un  exemple  d'une  équation  jouissant  d'un  dernier  terme  f 
et  pour  cela,  considérons  Féquatfon  aux  diffêrences 

Enlisant 
on  aura 

ce  (pii  donne  d'abord  pour  déterminer  ^,  l'équation 

(i+':)-d<f  +  (,i  +  l).<tdx^o; 
d'où  l'on  tire  en  intégrant, 

♦  =  (■+»>'"'■      . 
ji  étant  une  constante  arbitraire.  Ensuite  on  a 

ea 


d'où  Ton  tire 
ensortc  que 

.+.)'*■  ' 

l'intégrale  étant  prise  depuis  x  9:0  jusqu'à  a:  z=p.  En  ajoutant  à 
cette  valeur  de^;,  celle-ci 


db,  Google 


n5o  THÉORIE  ANALTriQUE 

rint^ale  étant  t>rù^  depuis  x  nul  jusqu'à  x  tnôni ,  et  S  étant 

une  arbitraire  ;  on  aura  pour  Tintégrale  con^jléte  de  M  {Hr<^>esée 

expression  que  Ton  peut  mettre  sous  cette  forme 

la  première  intégrale  étant  priao  d^piàB  x  nul  jusipj'à  x  infini  j  «t 
la  seconde  étant  prise  depuis  x^ssp  jusqu'à  x  infini  - 
Maintenant,  l'intégrale  de  la  proposée 

^  =  *\]r,  4-  (^  ■"  0  .^,+, 
est 

0  étant  une  arbitraire ,  et,  S  étâUtla  câraotwistiqile  des  dîËKrencfts 

finies;  ensorte  que  la  fonction.  Z-^-'  •••  '\^^"' '■"^'~^'*'^hp'  est 
égale  à 

c'est-à-dire,  à  la  somme  des  s  prenuers  termes  du  binôme  (i +/?)'. 
Si  l'on  compare  cette  expression  de  ^^  à  la  précédente ,  on  aura 

-  i.(i-o... .0-^+0  •  (.'2—  ^ — ..=.3 -f} 

Si  Ton  fait  ^  ^  i  dans  cett«  équattOD ,  et  ai  l'on  observe  que  le  pro- 
duit 1.2.3 (5 — i)  se  réduit  alors  à  l'unité,  comme  on  l'aita 

dans  le  n'  54;  on  trouve  après  les  îu^gratioQS  J?'=<2:  ainsi  B' 
étant  une  arbitraire,  cette  équation  se  partage  dans  les  deux 
suivantes, 

i.a.5 (^— i)      _  /■i-'.ifa 

i.Ci-i)....0-«+O  ~J{i+xy*" 
■  .a.3....(.— 0  ;.(i— 0...(i-,i+i),  ...     ,.  ,  _„    rif-'.dx. 


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DES  PH0BABÏLmÉ3.  i5i 

d'où  Ton  tire  - 

'  l'intégrale  du  numérateur  étaût  ptiâe  «depuis  x  =/> jusqu'à  Jc  infini; 
et  celle  du  dénominateur  étant  prise  depuis  x  nul  jusqu'à  jc  inâni. 
Lorsque  s  et  i  sont  de  grtmds  bembree ,  H  swa  fecile  de  réduire  ce» 
deux  intégrales  en  séries  conrergentes ,  par  les  formules  des 
n**"  33  et  a5.  On  aura  ainsi  la  sommé  de  *  premiers  termes  du 
binôme  élevé  à  une  grande  puissance,  par  une  approxîmàtioo 
d'autant  plus  rapide ,  ^e  cette  puissance  sera  ;^U8  haute. 
Si  l'on  «^ctue  les  intég^tions,  l'éc[uatioQ  précédente  devient 

n-r+-7:7— r—'H — '  i.3.a...cj— ) — -^ 

■  (i-^+0....(i— 3         P- 
••"■^    i.a.3.....Cf-i)    ■(.+«'- 

Le  second  membre  de  cette  équation  est  une  transformatioli  de 
la  s<Hrtme  partieHe  dos  Uitnes  da  binôme  (i  +p  )',  tranaformatioD 
qui  peut  être  utik. 

De  ^approximation  des  déférences  infiniment  petites  et  Jîniea , 
trëa-élevêes  ,■  deê  fonciiona. 

58.  Considérons  une  fonction  quelconque  de  z ,  que  nous  repré- 
senterons par  f  {z).  En  y  changeant  z  en  i  +  '»  désignôtiâ  par 
y,  le  coefficient  de  V  dans  le  développement  de  cette  fonction  ; 
nous  aurons 

— Z^LJ^Ssil  .3.3.^  .-.*.Jf,, 

t  étant  supposé  ntil  apris  les  dilKrentiations  ;  et  conuôe  t)n  a 
'      d^     ^^  "^^    '  ^°  supposant  (  nuîj  on  aura  , 


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iSa  THÉORIE  ANALTOQUE 

Ainsi  la  recherche  de  la  di^rence  s'""  de  ^  («),  se  rédoit  à  dévc^ 

lopper  la  fonction  f{z  +  t)  en  série. 

&ippo8ons  que  cette  fonction  de  <  soit  une  puissance  d'unpolynràiie 
de  t ,  que  nous  représenterons  par 

(a  +  bt-i-  cC+  etc.)**- 
En  e^rimant  par 

r.+J'.-'+j'.-*'- . .  .+^..c4-etc., 

son  développement  en  série^  on  aura,  en  prenant  les  diCfêrences 
logarithmiques , 

./4.(&  +  !irf+ete.) y,  +  ay..f....+  jyi.f*-'-f  etc. 

a+bt+<^+ etc.  ~y,+y,.t+y^.f +_y,.C+ etc.* 

Multipliant  en  croix,  et  comparant  les  termes  multipliés  par  f-', 
on  aura 

a.^.^,4-6.(*  — i).^,^,  +  c.(j— 3).^,^-4-etc. 

Représentons  par  ficf-'^-dx,  l'expression  de  y,;  cette  équation 
devient 

/       b       c  \'  (^■(-H-iH-^+etc.)) 

o=x'.(a-f-|  +  |i+etc.).^/*'J       "^      /      ^  \}. 

^       "      ^  ^  |+^d^.(*+-+etc.)) 

En  galant  séparément  à  zéro ,  la  partie  de  cette  équation ,  affectée 
du  signe  intégral,  ou  a 

o=<*p.(a+^  +  J+etG.)+/i^d;r.(^+^+etc.)j 

ce  qui  donne  en  intégrant , 

^  étant  une  constante  arbitraire.  La  partie  de  l'équation  précé- 
dente, hors  du  signe  intégral,  donnera  ensuite  pour  déterminer 
les  Umites  de  Tintégrale, 

o=5j-.(«-|--4.^-f-etc.)      ; 


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DES  PROBABILITÉS.  i53 

ces  limites  sont  donc  x=Oj  et  x  égal  aux  diverses  racines  de 
réqoation 

o=aaH--H-J;-hetc. 

On  aura  donc  par  les  méthodes  précédentes ,  et  par  une  approxi- 
mation très^ompte ,  les  coefiiciens  des  puissances  très-élerées  de 
t ,  dans  le  développement  en  série  de  la  puissance  , 

(a  +  ft(+c«'H-etc.)'', 

et  par  conséquent  ou  aura  les  différentielles  très-élevées  de  la 
puissance 

(a'H-6'^+cV+etc.)^ 

qui  se  change  dans  la  précédente ,  en  changeant  x  dans  z  +  '>  et 
&îsaqt 

o  =  a'  -4-   ô'z  -f-  c'a'  -f-  etc. , 
è  =  b'  -h  ac'z  H-  etc. , 
c  sa  c'  -(-  etc. , 
etc. 

Appliquons  cette  analyse  à  un  exemple. 
X  étant  le  sinus  d'un  angle  6 ,  on  aura 


Pour  avoir  régression  du  second  membre  de  cette  équation ,  nous 
observerons  que  Ton  a ,  par  ce  qu'on  vient  de  voir , 

y,  étant  le  coefficient  de  V  dans  le  développement  de  [i — (z+()']~*\ 
On  aura  ensuite 

les  limites  de  l'intégrale  étant  données  par  Téquation 


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i54  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Ces  limites  sont 

x=— — i —  ,    x^o,    «:=— — ï 

i  +  *  '  '  1  — » 

Comme  x  a  trois  yaleors ,  l'expression  de^,  prend  cette  forme ,  par 
le  n*  ag, 

A  et  ^'  étant  des  constantes  arbitraires ,  et  la  première  int^rale 
étant  prise  depuis  x = — -«-  ]as<|a'à  x  =s  o ,  et  la  seconde  étant 
prise  depuis  a:s=  o  jusqu'à  x  =  -^.  Si  Pon  Ëtit 


L'expression  précédente  de  ^,  devient 


la  première  intégrale  étant  prise  depuis  ir=o  josqu'à  •»  égal  à 
l'aide  dont  le  cosinus  est  —  x ,  et  la  seconde  étant  prise  depuis 
ce  dernier  angle  jusqu'à  4rs=7.  Four  déterminer  les  arbitraires 
B  et  B\  on  observera  qne 


d'où  il  est  iàcile  de  conclure 

partant 

_j,,— î —  ./ifw.  (s + ces  <»•)', 

l'intégrale  étant  prise  depuis  ir=o  jusqu'à '0-=^.  En  prenant  cette 
intégrale,  et  observant  que 


féw.  cos".ir=  ^  ,fdisr .  (c*»^^+  tr^y^')' 

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i.B.3.....ar         i.5.5..^.(ar— 0  , 

i".(».a.3.  ....r)»'* —     a.4.e....ar     *' 


DES  PROBABILrrÉS. 


VU  CHU  a 

cette  expression  est  fort  composée ,  lorsque  ^  est  un  grand  nombre  ; 
mais  alors  on  peut  obtenir  sa  valeur  d'une  manière  fort  approchée , 
en  appliquant  à  l'expression  de  y,  sous  forme  d'intégrale  définie , 
les  méthodes  exposées  ci-dessus.  La  fonction  sous  le  signe  intégrîd 
ayant  deux  nuunma ,  l'on  à  l'origino  de  l'Intégrale ,  et  l'autre  a  son 
extrânité ,  nous  la  décomposerons  dans  les  deux  suivantes, 


y,^ î-;^.[/dw.(«+cos  «■)'+(— !)■./*»•. (cos  «■  —  «)']  i 

la  première  iuté^ale  étant  prise  d^uis  «■  nul  jusqu'à  tr  égal  à 
l'angle  dont  le  cosinus  est  — 2 ,  et  la  seconde  intégrale  étant  prise 
depuis  4F-  nul  jusqu'à  tr  égal  à  l'angle  dont  x  est  le  cosinus.  Soit 
-  s=  CE .  et  Msons 

(r-f-C08ir)'=(i+x)'.c""    ; 

«n  aura  «Q  prenant  les  logiarithmes  et  l'éduisant  cos  ir'  en  série , 

d'où  il  est  Ëicile  de  conclure 

flr=  Jt.  v'a.(i-*-«}-(i  —  '•^'~'^<'+etc.)i 

on  aura  ainsi ,  en  observant  que  Tintégrale  diût  être  prise  depui» 
t  nul  jusqu'à  t  infini, 

/<*sr.(r-|-C08«r)'  =  ^pE.(i4.,/  +^.(1  -  1^  +  etc.) 

En  diangeant  z  dans  —  je,  on  aura 


db,  Google 


i56  THÉORIE  ANALYTIQUE 

partant 

y.= '.      _ . (i  - 'JSpl  +  etc.') 

dans  le  cas  de  s  très-grand ,  cette  expression  ae  réduit  à  fort  peu 
près  à  ce  terme  très-simple , 


Si  l'on  muItipKe  Texpression  (b)  de^, parle  pro^t  i.a-3. 
produit  qui  par  le  n'  53 ,  est  égal  à 

s'*"  .  C-.  V'^-(l  H-  ^  -t-  etc)r 

on  aura  à  très-peu  près 


'  5g.  Lorsqu'une  fonction  ^,  de  s  peut  être  exprimée  par  une 
intégrale  définie  de  la  forme  faf.^dx^  les  différences  infiniment 
petites  et  finies  d'un  ordre  quelconque  n,  seront  par  le  n*  ai, 

^  =/(:•. (p<ir.(log*)', 

Si  au  lieu  d'eiq)rimer  la  fonction  de  5,  par  Tintégrale  fxf.^âx^  on 
Texprime  par  l'intégrale  fc-'^.^dx^  alors  on  a 

-^  =  (—  lYtfic^.^dx.c''"^ 
A"  .y,  z=f<fdx*  c~" .  (c"*—  i)'. 

Pour  avoir  les  intégrales  »'""",  soit  finies,  soit  infiniment  petites  , 
il  sufBra  de  fêtire  n  négatif  dans  ces  expressions.  On  peut  observer 
qu'elles  sont  généralement  vraies  ,■  quel  que  soit  n ,  en  le  supposant 


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DES  PROBABILITÉS.  iS^ 

même  firactiomiaire  ;  ce  qui  donne  le  moyen  d'avoir  les  différences 
et  les  intë^ales  correspondantes  à  des  indices  fractionnaires.  Toute 
la  difficulté  se  réduit  à  mettre  sous  la  forme  d'intégrales  définies, 
mie  fonction  de  x;  ce  que  Ton  peut  &ire  par  les  n"*  39  et  3o, 
lorsque  cette  fonction  est  donnée  par  une  équation  linéaire  aux 
différences  infiniment  petites  ou  finies.  Comme  on  est  principale- 
ment conduit  dans  l'analyse  des  hasards ,  à  dçs  expressions  qui  ne 
sont  que  les  difierences  finies  des  fonctions ,  ou  une  partie  de  ce» 
différences  ;  nous  allons  y  appliquer  les  méthodes  précédentes,  et 
détenniner  leurs  valeurs  en  séries  convergentes. 

4o.  Conndérons  d*ahord  la  fonction  -,.  En  la  désignant  par^,,. 
eUe  sera  déterminée  par  l'équation  aux  di^'enoes  infiniment  petite- 

Si  l'on  siq>po9e  dans  cette  équation , 
elle  deviendra 

d'où  l'on  tire  en'  intégrant  par  parties ,  conformiément  à  la  méthod!& 
du  n"  99 ,  les  deux  équations 

0=1? — ai~> 
o=x(p.jy. 

La  première  donne  en  l'intégrant, 

^  étant  une  arbitraire.  La  seconde  équation  donne  pour  les  limités 
de  llntégrale  fc"^.  ^dx ,  x  ss  o  et  x  =:  00.  On  aura  donc  dans 
ces  limites. 


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i58  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Pour  déterminer  la  constante  A,  nous  obserrerons  qae  s  étant  i, 

le  premier  membre  de  cette  équation  se  réduit  à  rumté  j  ce  qui 

donne 


partant 


OU  aura  donc  par  le  numéro  précédent 

^•?  — fi^^Jx.<r' '    W 

les  intégrales  du  numérateur  et  du  dénonunateur  étant  prises  depuis 
K  nul  jusqu'à  x  infinL 

Pour  dérelo{^er  cette  expresàon  en  série ,  supposons 

a:^ .  c— '.  (c— — I  )"  =  o^' .  c— .(c-*— l)".  C-" , 

a  étant  la  valeur  de  x  qui  répoi^  au  maximumûa  premier  meml»-e 
de  cette  équation.  Si  Pon  fidt  *=a-|-ô,  on  aura,  en  prenant  les 
logarithmes  de  chaque  membre ,  et  en  déreloppant  le  logarithme 
du  premier ,  dans  une  suite  ordonnée  par  rapport  aux  puis- 
sances de  d, 

A-fl'-hA'.9'  +  A".0*+etc.  =  r; 

les  quantités  a ,  A ,  A',  h",  etc.  étant  données  par  lea  équations 

suivantes  : 

i— i  n.tr' 

etc.  i 
on  aura  donc  par  le  retour  des  suites, 

fl=>  1-   f,         ''''      I  (5y-4AA-) ,.  ,  „.„^. 


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DES  PROBABILITÉS.  1% 

et  cette  suite  sera  d'autant  plus  couyergente ,  que  le  nombre  n 
sera  plus  considérable.  En  substituant  cette  valeur  de  fl  dans  la 
fonction yaS-c-!*',  et  prenant  l'intégrale  dans  les  limites  t=—ço 
et  ts^ooy  limites  qui  correspondent  aux  limite»  x^o  et  x^oor 
on  aura 

/**-'dï.c-'*.(c*'— 1)» 

==a'-*.c-.Cc--i)-. ^ . (1  +  — ^çj^r—  4- etc.). 
On  a  d'ailleurs 

fx^'dx.c-'a^ifx'dx.c-'i       • 

et  lorsque  i  est  très-grand ,  od  a  par  te  n*  Ss  f 

en  divisant  donc  Tune  par  l'autre ,  le»  deux  valeurs  de 

f>^'dx,c-".(c-t-'iy   et  fx^'dx.c-^i 
on  aura 

,.-^(r)  ■^'-'^'"'-'>'  (^■+' — TSF— +«**=■{ 

"•?-  e«A*  ■] L_etc..  \ 

I,  la»  •  / 

Pour  avoir  la  ££^reDCe  ffnie  n'""  de  la  puissance  positive  j*; 
il  suffit ,  par  le  n'  5o ,  de  changer  daxu  cette  équation  i  dans  -^  iV 
et  l'on  aura 

A'.*'=(H-b)'— n.(j+n— i)'4-Î^^^Î^^.CH-n— a)'— etc. 
■a,l,t,  t',  etc.  étant  dasiKes  par  les  é(]uati<H» 


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i6o  THÉORIE  ANALYTIQUE 

_>-H_ c_ 

"~    a  c* —  I  ' 

etc. 

La  série  (/*')  cesse  d'être  conTergente ,  lorsque  a  est  une  très- 
petite  fraction  de  l'ordre  -;  car  il  est  visible  que  les  (piantités 

ly  /,  r,  etc. ,  formant  alors  une  progression  croissante,  chaque  terme 
de  la  série  est  du  même  ordre  que  celui  qui  le  précède.  Pour  dé- 
terminer dans  quel  cas  a  est  très-pelit,  reprenons  l'équation 


a  e*—  r 

On  peut  la  transformer  dans  la  suivante  j  lorsque  a  est  très-petit, 
4'où  Ton  tire  à  très>pea  près ,  dans  la  supposition  de  a  très-petit , 

'+= 

ainsi  a  sera  fort  petit  toutes  les  fois  que  t  —  n  sera  peu  considé- 
rable relativement  à  ;+  ^-  Dans  ce  cas,  on  déterminera  A'. s' 
par  la  méthode  suivante. 
Reprenons  l'équation 

âaoa  laquelle  se  chasge  la  formule  (^fi),  lors^'on  y  Eût  i  négatif 

et 


db,  Google 


DES  PROBABILÎTÉS.  i6i 

«t  égal  à  —  *'.  On  peut  mettre  la  fonction  (c~"—  ï  )'  sous  cette 
forme 

=  (-.)-.c-?.x..(.  +:L|:  +  i^.^+e«.)i 
on  aura  donc 

/^.o-.C^-a)-=(-.)-./^.c-<-*3'.(i+°-5  +e.4 
Siron&it 

on  aura  généralement 

«r  on  a  trauTé  dans  le  n*  35 ,  par  le  passage  du  réel  à  l'imaginaire , 

/dj'.c— '  _  air.^l)''"' aj.(— 1)'~' 
~~^'            jS—d^.c-'  —  (r— O-C^-aj-fr— 3)Mc.' 

partant  ou  aura 

A-.;^=(i-B+i).(i-H-a).. .  .(•(»  + 1)" 

i-Ki-njCi-»— 0- 


=<('+0' 


1    -Ki—»).(i-l.-0(i— »—!■)■(•— »-^- '^ 


+  .tc.  -5..6.«^.(,  +  ^) 


0**) 


Cette  série  sera  très-convergente,  si  i—n  est  peu  consiiJéraMe 

relatiTement  à  j  +  -  ;  elle  peut  d'ailleurs  être  employée  dans  le 

cas  où  i  est  fractionnaire ,  comme  il  est  &cile  de  s'en  convaincre. 
Quant  au  produit  (i — n  +  i).(*— n-ha)....ï,  il  est  &cile  de 
l'obtenir  en  série  conrergente ,  par  le  n*  Sa. 


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i6a  THÉORIE  ANALYTIQUE 

La  formtOe  précédente   est  une  application  triâ-sônplé  de 

réquatîon 


que  nous  avons  donnée  dans  le  n"  lo  ;  car  en  déreloppant  le 
second  membre  de  cette  équation,  et  £ùsant  y,^=s\  ou  obtient 
directemeut  cette  fotmule  que  nous  avons  conclue  des  passages 
du  réel  à  l'imagiiiciire  ;  ce  qui  confirme  la  justesse  de  ces  passages. 

4i.  Les  formules  (/*'  )  et  (/*"  )  des  ntunéros  précédens,  siqn 
posent  n  égal  ou  moindre  que  i.  En  effet ,  si  Ton  considère  Tex- 


./- 


dont  le  développement  a  produit  ces  formules  ;  on  voit  que  les  limites 
des  inté^aies  du  numérateur  et  dn  d^iominaftear  étant  dâerraÏBée» 
par  le  numéro  précédent,  en  égalant  à  zéro  le  produit  des  quan- 
tités sous  le  signe  intégral ,  par  x;  ces  limites  seront  toutes  ima- 
ginaires, lorsque  i  sera  plus  grand  que  n  ;  au  lieu  que  dans  le  cas 
où  i  sera  moindre  que  n ,  les  limites  de  intégrale  du  numéra- 
teur seront  réelles ,  tandis  que  celles  du  dénominateur  seront 
imaginaires  ;  il  Ëtat  donc  alors  ramener  ces  dernières  limites  à 
l'état  réeL  Pour  y  parvenir,  nous  observerons  que  l'on  a  géné- 
ralement 

Si  l'on  Élit  dans  cette  expression,  i  négatif  et  égal  à  —  r— — , 
m  étant  moindre  que  n  ;  on  aura 

.  rdx.tr' i—i.Y'*.fx   'dx.c-' 

or  on  a  par  le  n*  52 ,  les  intégrales  étant  prises  depuis  x  nul  jiraqu'à 

Digilizedby  VjOOQIC 


DES  FROBAfiILITÉ&  i65 

('+;>•("+?)■ ■•=4^^^. 

i  étant  ici  positif  :  c'est  Texpreseioa  de  j  —^r  ^oi*'  <**  ^^i'  ^û"* 
usage  dans  le  cas  qae  nous  examinons  icL  Si  l'on  Eût  jc  =t*, 


et  réquation  (T  )  du  n*  34  donne,  en  j  changeant  r  dans  ni+ 1» 
n'._p-^'dt.(r-^  ./ir~'dt.ù-<'  =  — ~-j 

a' 

on  aura  donc 

n      * 

d'où  l'on  tire ,  en  substituant  cette  valeur  dans  l'ei^ressîon  pré- 
cédente de  A'.i', 

A'.s*= yâ^ftc  .  c~'.J^^,.c~".{c-^ — l)";      (/*'")   - 

les  intégrales  étant  prises  depuis  x  nul  jusqu'à  x  infini. 

Le  procédé  qui  vient  de  noue  conduire  à  cette  équation,  est 
fondé  sur  les  passages  réciproques  du  réel  à  l'imagioaire  ;  mais 
'  on  peut  J  parvenir  directement  par  l'analyse  snirante  ipd  colIfi^- 
mera  aiiisi  la  justesse  de  ces  paauges. 

Si  l'on  prend  l'intégrale  f   -J^.,-  depuis  »««  jusqu'à  x  infini j 

on  aura,  en  fttisaBt  i  =  r+  —  ,  la  fonction    * 


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»64  THÉORIE  ANALYTIQUE 


or  on  a  généralement, lorsqueaestiafiniment petit, 


/  étant  zéro  ou  un  nombre  entier  positif;  car  si  l'on  développe  c— ** 
en  série,  et  que  l'on  désig^ne  par  i.x^s^  un  terme  quelconque  de 

cette  série ,  on  aura 

En  effet,  si  g  surpasse^,  ce  terme  devient  nul  par  la  supposition 
de  «  infiniment  petit  Si  g  est  égal  ou  moindre  que/,  9  +  r  —f  sera 
égal  ou  moindre  que  r,  et  par  conséquent,  il  sera  plus  petit  quen; 
et  alors,  par  la  propriété  connue  des  différences  finies,  A'.sf*'^^ 

sera  nul.  n  suit  de  là  que  A'.J-^— ,  omj-^ — ^.  ~*  - 
se  réduit  à 


(-fc-O-^'.A".*^' 


/dx.c- 


=  ■(■+?)■(•+")••■■' 

l'intégrale  étant  prise  depuis  x  nul  jusqu'à  x  infini.  Si  Ton  £iît 

a/ 

xv=.—j  on  aura 

les  intégrales  étant  prises  depuis  x  et  je'  nuls  jusqu'à  x  et  x'  infinis  ; 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  106 

on  aura  donc 

c_o-..ri£:^.A.... 


!»<■■ 


•(■+=>("+ï)-^' 


.  f^dx.c-' 


En  substituant  pour^i-f-^V (a+^J i^saraleur- 

et  observant  que  l'on  a  par  ce  qui  précède , 

iyv~  "Ac'.  c-./x~dx .  0-=-^, 

am  — ,  w , 

on  atffa  la  formule  (/*'")» 

Si  i  est  un  très-grand  nombre ,  on  aura  par  le  n*  Sa ,  Inté- 
grale /x'dx.c~';  on  aura  ensuite  par  ce  qui  précède  ,  l'intégrale 
J — : — ^^^  ~''-;. ainsi  l'on  obtiendra,  par  une  série  très-conyer- 
gente ,  la  râleur  du  second  membre  de  la  formule  citée. . 

Supposons  i  infiniment  petit,  r  sera  nul ,  et  -  sera  une  fraction 
infinim^it  petite ,  on  aura  donc 

un  ' 

la  formule  (jit"^  domiera  ainsi 

..1  /*c~"dx  f  _j.       v, 

AMog*=— y  -— -.fc— — ï)", 

expression  que  l'on  réduira  facilement  en  série  convergente,  lors- 
que n  est  un  grand  nombre. 

43.  On  a  soUTent  besoin ,  dans  l'analyse  des  basards,  de  ne 
considérer  dans  l'expression  de  A". 5',  que  la  partie  dans  laquelle 
les  quantités  élevées  à  la  puissance  i  sont  positives.  Nous  allona 
détermina  la  somme  d«  tous  ces  termes.  Four  cela,  reprenons 


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tee  THÉORIE  AWAITTIQUE 

la  formule  (/*'")  du  numéro  précédent.  Si  l'on  y  substitue  au  lien 

de  A".*',  sa  valeur 

(s^^y—n.(s^nr~-iy-}-  "■  ^7'^  .(^+n— ay— etc-i 

et  si  l'on  y  change  ensuite  s  dans  —  j  ;  on  aura ,  en  ne  continuant 
les  deux  séries  du  premier  membre  de  l'équation  suivante ,  que 
jusqu'aux  termes  dims  lesquels  la  quantité  élevée  à  la  puissance  i, 
devient  négative ,  et  observant  que  le  signe  -f-  a  lieu ,  si  n  est  paÎTi 
et  le  signe  —,  si  n  est  Imptàr, 

(  1  y .  Qn— 5)'— n .  (n— i— 1)'+ î:^-^ .  (n— s— ay— etc.] 

*(-iy.p-«.  (,_!)'+  iLif^ria.  c,-ay_etc.] 


Si  Ton  change  dans  la  dernière  intégrale ,  x  en—  ax'.y^ï,  elle 
devient,  ap^s  toutes  les  réductionB , 

8— '.  (— 1)^  ./x'-'-' .  dx'.  [cos  (af— n) .  jZ-V^  ■  8iû  (3tf— b)  .  x^ .  (^^y  ; 

l'intégrale  relative  à  x'  étant  prise  depuis  V  nul  jusqu'à  x'  infini. 
On  dura  donc 

(1)' .  Qn— ^y— n .(»— ^— 1)'+  "•'^""'^ . (n— j— 3)'—  etc.] 

d=(-iy.Q'-«.(.-iyH-  ïiÇ=il.(.-3)'-  etc.]  ^^ 

t=:i — — — .a"~'.(— 1)  *  .sîn^^dx.c~'.yjc'?~*"'.(ir' 
X  [cos(a* — n) V — \/—  i*.sin(aj— n).^:'].^-^^^". 

Supposons  r=n— 1 ,  ce  qui  donne  »  =:n— 1+— ,  et  comparons 
séparément  les  parties  réelles  et  les  parties  imagindires  de  Téquation 
jtrécédente.  On  a 

(iy:^(i)-T>.(x)^=i^i 

Digilized  by  VjOOQ  IC 


DES  PROBABILITÉS.  167 

or  on  a  '  

I  =co8a/jr  +  v^— i.sina/w, 

/étant  un  nombre  entier;  on  aura  donc 

(l)»=:C03 H  (/i^.sm , 

Les  valeurs  corre^ondantes  de  (—1)"  sont 

cos  CaM-i)-^-M/=^-8Jn{3H-i)-^. 

Maintenant  (  1  )'  devant  être  supposé  égal  à  runité ,  dans  l'équa- 
tion(o),il&ut  choisir  /  de  manière  que  cos  ^ — ^+\/^^.sin^-^ 
soit  1 ,  ce  qui  exige  que  l'on  ait 

"imv  „ 

n  ^     ' 

/étant  un  nombre  entier  que  noua  pouvons  supposer  nul; 
alors  on  a 

(—1)"  =  cos  î^+  v/=T.8iD^; 

mais  on  a 

=fcC-i)'=±(-i)"-*  "=-{-iF  •■ 

la  partie  imapiaire  du  premier  membre  de  l'équation  (o)  est  donc 

— l/rr.sin  ^ .  [^— «.(jwiy4."-C^'^'>.(j— 2y-.etcQ. 

Déterminons  la  partie  imaginaire  du  second  membre  de  Téqua- 
tion  (o).  On  a 

on  a  ensuite 

(-i)~*^'=-y/=ï.(-ir 
à  cagse  de  rsan— i  et  de  is-it—i+^;  or  on  a  par  ce  qui 


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i68  THEORIE  ANALYTIQUE 

précède , 


on  aura  donc,  pour  la  partie  imagiiiaire  du  second  membre  de 
l'équation  (o), 

-3— .l/:=r.^^./<te'.x'"".C08[(2^B)jc'-^3(^)'>'''''^- 

Si  Ton  égale  cette  fonctioD  «  la  partie  imagimùre  au.  premier  membre 
de  cette  équation  ;  ai  l'on  observe  de  plus  que 

en  Iài8ant*=yï'"^'^'(Û.<r-'',  Tintégrale  étant  prise  depuis  t  nul 
jusqu'à  t  infini;  enfin,  si  l'on  suppose  as — n=zi  on  aura 


="±f../y-^.d^.co,{z^-^).(s^):      (p) 

Pans  le  premier  membre  de  cette  formule  ,  la  série  doit  être 
continuée  jusqu'à  ce  que  Ton  arrive  à  une  quantité  négative  élevée 
à  la  puissance  n  —  i  +  — ,  £  ne  sm^assant-  point  n  ;  dans  le  se- 
cond membre ,  l'intégrale  doit  être  prise  depuis  x'  nul  jusqu'à  x' 
infini. 

La  comparaison  des  parties  réelles  des  deux  membres  de  l'équa- 
tion (o)  conduit  au  même  résultat  ;  et  d'ailleurs  »  elle  prouve  que 
pour  la  coïncidence  des  deux  résultats  tirés  de  la  comparaison 
des  quantités  réelles  entre  elles  et  des  quantités  imagbaires  entre 
sUes ,  il  est  nécessaire  de  supposer ,  comme  nous  l'avons  Ëiit,  /=  o. 

On 


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DES  PROBABILITÉS.  i6g 

On  peut  encore  parrenlr  à  la  formiile  {p),  au  moyen  de  Téqua- 
tion  suivante} 

«•[?(H-3,n)— ?(z,  «)]==  (n+z+a).^(a+a»»)+(»— ')•?'(•«,«), 

^(z^n)  étant  le  coefficient  de  ds  dans  la  diffêrentielie  de  9(z,n), 
et  9  (£,  n)  étant  égal  à 

tous  les  termes  dans  lesquels  la  quantité  élevée  à  la  puissance  i 
est  négative,  devant  être  rejetés,  et  x  ne  surpassant  point  n , 
ensorte  que  la  quantité  élevée  à  la  puissance  (,  ne  surpasse  jamais 
an.  En  résolvant  cette  équation  aux  différences  infiniment  petites 
et  finies,  par  la  méthode  du  n"  5o,  et  déterminant  convenablement 
les  constantes  arbitraires ,  on  parvient  à  la  formule  (p  ). 

Nous  allons  maintenant  donner  quelques  applications  de  c^te 
formule ,  qui  vont  nous  conduire  à  plusieurs  Uié<Mrèmes  curieux 
d'analyse. 

Supposons  m  nulj  alors  on  a 

la  formule  (p)  devient  ainsi 


i.a.3 (n— â).i>" 

fiaf.  eo»  sa/,  f    ■  j  ■  j 

on  a 

log(^-=„.log(,  -  J  «'■+^  a:-*  -  etc.); 

ce  (pli  donne 

on  aura  donc ,  par  le  n'  a6 ,  en  feisant  x  =  ry/ïï, 


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1,0  THÉORIE  ANALYTIQUE 

^•'°t^"=  V/J.-»-'"-  D-^..(.-6..-5.)+eto.] 

= i.a.8 (n-ÔV"" ^ ~''   ^^^ 

la  série  de  ce  dernier  metobre  devant  être  arrêtée  aus  puissance» 
des  quantités  négatives. 

En  diffërentiant  cette  équation  par  rapport  à  r,  on  aura,  avec 
la  <xnidition  de  l'eiclûslOD  ^ca  puissances  des  quantités  négatives , 

_ ",  I  in     ■  ■  rÇa-h-  V'ii)'*^.(ii-K  t^i*— a)'-'+^^^^^^^-C«+f  i^»-^'~'— «*c  1 

ï.a.3...n— fl.a*  U  i.a  .  _l 

En  coâtinuatit  de  dîfiërentier  ainsi ,  on  aura  ks  valeurs  des  diffi:- 
rences  inférieures  »  pourvu  cependa&t  que  le  ntMubre  de  ces  di£^ 
rentiations  'soit  fort  petit  relativement  au  nonabre  n.  On  peut 
observer  que  ces  équations  subsistent,  en  y  fitisant  r  négatif;  car 
coszx'  ou  cosx'r^n  est  le  même  dans  les  deux  cas  de  r  positif 
et  de  r  négatif. . 

On  peut  y  en  int^ant  successivement  Téquatioil  (9) ,  obtenir  ^des 
ftéorémes  analogues  sur  les.dififêrences  finies  des  puissances  su- 
périeures à  n ,  en  excluant  toujours  les  puissances  des  quantités 
négatives.  Ainsi  Ton  a^  par  une  première  intégration, 

'  i.a.3.....».a" 

-  y^./rfr .  c" '^[i  — ^.(1  —  6r*+5r»)]H-etc. 

On  déterminera  la  constante  arbitraire  C,  en  disant  conuuencer 
«Teo  r.lïntégrale/rfr.c"''",  et  en  obserrantqu'alor»  r  étant  nul, 


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DES  PR0BA3IUTÉa.  171 

le  dernier  ooenatibre  4e  réquatioQ  s&  réduit,  à  CQit«  QOnit««t«.  Hv» 
ce  oap  1 W  premier  devieut 

B- -.  n .  (rt^a)"+ îî:teil.(ff  — 4)"  —  etc. 

Mais  on  a,  comme  on  sait,  sans  l'exclusion  des  puissances  de« 
quantités  négatives, 

B"— n.(»^a)"-4-^..,.:^». (»*-»)*  qs  (—»)*»:  1. a. 5...  J».  a", 

le  signe  supérieur  ayant  lieu  si  n  est  pair  ^  et  le  signe  inférieur  ai 
n  est  impair.  Dans  les  deux  cas ,  on  voit  que  la  somme,  des  termes 
<tans  tesqaek  les  quantitée  éleréoe  à  la  puissance  n  sont  Bégativ>es  > 
e^  9gale  à  la  somme  dea  autres  tenaoes  ;  (m  a  dfMic,  avfic  rexic^u- 

ûon  des  puissances  des,  quantités  négiMiTe&^  *, 

„._„.(„_a)-+:i:^=ll.(„-.4)--fttc.^i.a.5...B.3— i 
ce  qui  donne  C=7;  par  conséquent, 


En  intégrant  de  nouveau  cette  expression,  et  déterminant  conve- 
nablement la  constante  arbitraire  )  ou  trQ«.Te 

43.  On  peut  étendre  le»  méthodes  préc«dieiltes  à  la  détermina- 
tion de  la  diSèrence  n*™  d'une  puissance  quelconque  d'une  fonc- 
tian  ratioBnelle  d«  <.  Q  mKt  pour  c«b  lit  tédaire  par  la  métboda 
du  Q*  99 ,  cette  fonction  à  la  lorme/x' .  fax.  ]i(ai>  «n  a  vn  qufaluf 


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173  THÉORIE  ANALYTIQUE 

on  parvient  pour  âëterminer  f ,  à  une  équation  difiërenlielle  d'un 
degré  égal  au  plus  haut  e^osant  de  s  dans  cette  fonction,  el  qui 
le  plus  souvent  n'est  pas  întégrable.  On  peut  obvier  à  cet  in- 
convénient ,  au  moyen  de  multiples  intégrales ,  de  la  manière 
suivante. 
Considérons  généralement  la  fonction 

Si  dans  l'intégrale yV-'tir.e*^^'''-',  prise  depuis  x  nul  jusqu'à  x 
inGni,  on  change  (sH-p).a:  en  x\  elle  devient  7j4rrr/^'^''^-o~^> 
la  nouvelle  intégrale  étant  prise  dans  les  limites  qui  la  précèdent.  Xa 
Gompaitfson  des  deux  intégrales  donnera 

Il  suit  de  là  que 

C'+P)'.Cj-H'r-C^-H'T.etc. 

yâJ-'.a;"^-'.  x"*-'.  etc.  dx  .  dx'.d^.  etc.  c-l^'-l''-^-P'''-*lc--'C'^-^^^-^-*^^te.)  ' 

—  ■  fa^'dx.  <r'  .faf-'djf.ç-''  .fx'^—âa? .  c"'*.  etc.  ' 

toutes  les  intégrales  étant  prises  depuis  x  >  y,  V^  etc.  nuls  jusqu'à 
leurs  valeurs  infinies  ;  on  aura  donc 


A'.T- 


'CH^y.Cj+p'V'.etc. 
—  '      /x'-'<ir.c-'./a:"'-'da;'.c--'.etc.  ' * 

On  réduira  facilement  en  séries  convergentes ,  par  la  méthode  du 
n"  4o,  le  numérateur  et  le  dénominateur  de  cette  expression;  et  si 
l'on  change  dans  ces  séries,  les  signes  de  i,  t',  etc.;  on  aura  la  valeur 
trèfr-approchée  de 

A-.(«-|-i'y-(«+//.etC., 

n  i  U  ''>  ^^-  *^^^  supposés  de  très-grands  nombres.  On  trouvera 
par  le  amuàx)  dté , 


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DES  PROBABILITÉS.  173 

4-.(j+i,)'.(.+i/)".etc. 

)      ■  C 7  )       ■  etc. ct'*l')-*H'+?0-»'-*««-'::^-«M- . (c*^'*»"  — ])■ 

a,  a',  etc.  étant  déterminés  par  les  équations 

i  +  i    ,  n-t**^"*"^- 

°—a H»— />  — JJKSSTZT' 

etc. 

Le  cas  ïe  plus  ordinaire  est  celui  dans  lequel  les  expoSanâ  / ,  i'y 
i",  etc.  sont^aux,  et  s-j-p,  «+y,  etc.  forment  une  progression 
arithmétique.  On  peut  obtenir  alors,  par  la  méthode  suivante  y  la 
différence  finie  de  leur  produis  élevé  à  mie  haute  puissance. 

Considérons  la  diQërence  A''.(*.«— i)'.  Si  l'on  £tit  «=y-f-|, 
elle  devient 

En  développant  Cette  fonction  en  série,  oti  A 

A".i'"— 7.A'./*fe'H-iiîî=^.A'.«'"-<— efo. 

Les  formules  du  n*  4o  domneroni  lai  valeur  approchée  de  chagin  des 
tennes  de  cette  sérié ,  et  l'on  voit,  par  ces  formules ,  que  n  et  »  étant 
de  très-grands  nombres,  A'.***-'  est  d'un  ordre  nïoindre  de  deux 
unités,  que  A'.***;  d'où  il.  suit  que  chaque  terioe  de  la  série  précé- 
dente est  d'un  ordre  inférieur  d'une  tmité ,  à  celui  qui  le  précède  - 
ce  qai  montre  la  convergence  de  la  série. 

-  On  arriverait  au  même  résultat  en  résolvant  par  approximation , 
l'équation  différentielle  du  second  ordre  en  9,  à  laqueÛe  conduit  la 
médiodç  du  n*  99.  Lorsqu'on  supposa 


Q'*--{y'=A-"'<pdxi 


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174  THÉORIE  ANALTnqCE 

on  a 

£a  &i3^t  disparaib-e  s'  des  cô«£Bctens  de  cette  équation ,  par  la 
méthode  citée ,  dan»  les  terme»  affectés  du  signe  intégral  ;  égalant 
ensuite  à  zéro ,  la  sonuoD^  de 'ces  tonnes,  et  si^posant  ensuite  daas 
réquation  difierentielle  que  l'on  obtient  ainsi, >  égal  à  une  suite 
ascendante  par  rapport  aux  puji^ga^c^  de  x  ;  oo  aura  une  série 
convergente.  On  aura  e 


d'où  Ton  tirera  une  valeur  en  série  de  A*/.)'' — 7)   >  ^'  ^^"^^  laquelle 
il  suffira  de  changer  le  signe  de  c ,  poujc  avoir  la  rakur  d^ 

A..(.'._0.       . 

Cette  manière  de  résoudre  par  approximation ,  Téquation  di£^ 
ren,tieUe  en  ^ ,  et  que  nou»  a-roa»  îçdiquée  à  la  fin  du  a*  3o,  peut 
servir  dans  un  grand  noEohre  de  cas  où  cette  équatîoi;i  n'est  pas 
intégrable  exactement 


Remarque  gémêraU  *ar  la  oojwêPgtnoê  âaa.  séries. 

44.  Nous  terminerons  c^te  Introduction ,  par  une  observation 
jv^rtaote  sur  la  convergence  des  série»  doiri;  now  avcms  ^t  nv 
«i  ^équent  usage.  Ces  aédes  bonvwgi^  tréA-rs>i*''^iV^B^  ^^ns  letiF9 
preouers  termes;  mais  seittye^t  cette  coiove^oce  dàvww  et  finit 
pv  se  changer  en  diTerg«nee^  £Ue  hq  doit  pa0  empêobier  l'usage  ^ 
ceft8érie$î  en  a'en^jcaot  q^e  leurs  prQiaien  lecvMs^  dom  Wsqu^te 
iâ  convergence  est  rapide  ;  car  le  veste  d^  là  séfâ^  »  que  l'on  n^ 
glige,  est  le  développepi^  d'iwe  fooctÏQii  a%i^btique  ou.iBté^e, 
très-petitç  par  rapport  9,  ce,  qi^  p^éoèdo.  Poiir  reoib'e:  oelft  s^nsi^ci 
par  un  exemple ,  considérons.  ]»:  développ^st^t  eii  ^çiç ,  à».  If iflir 
tégrate  /dt .  c-'" ,  prise  depuis  «  =*  y  jusqu'à  t  infini.  On  a ,  par 
le  n*  a? , 


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DES  PROBABarTÊS.  17S 

Cette  série  finit  par  être  divergente,  quelque  grande  que  soit  la 
valeur  que  l'on  suf^ose  à  Tj  mais  alors  on  peut  employer  sans 
erreur  sensible  ,  ses  premiers  termes.  En  efifet,  si  l'on  considère, 
par  exemple,  ses  quatre  premiers  termes,  le  reste  de  la  série  sera 
''  ai'^ -f  '^'  i  or  cette  quantité,  abstraction  feite  du  signe, 
est  plus  petite  que  le  terme  —  '■■  ^-^ —  qui  précède  j  c'est-à-dire« 
que  l'on  a 


•j.f^:Ç^  =  constante^  ^-  3./^. 

En  déterminant  la  constante,  de  manière  que  l'intégrale  soit  nulle» 
lorsque  t=T,  on  aura  —-  pour  cette  ccmstante;  on  aura  donc, 
en  prenant  l'intégrale  depuis  £  =  7*,  Jusqu'à  t  influî , 


La  série  précédente  peut  donc  être  employée,  tant  qu'elle  est  c<m' 
Tergente  ;  puisque  l'on  est  sûr  que  ce  que  l'on  néglige ,  est  au-dessous 
du  terme  auquel  on  s'arrête. 

Cette  série  jouit  encore  de  cette  propriété ,  savoir,  qu'elle  est 
altematiTement  plus  grande  et  plus  petite  que  sa  râleur  entière , 
suivant  que  l'on  s'arrête  à  un  terme  positif,  ou  à  un  terme  négati£ 
On  peut  nommer  par  cette  raison ,  ce  genre  de  séries,  séries-Iimitesj 
Au  reste ,  on  a  vu  dans  le  n*  a  7 ,  que  dans  le  cas  où  elles  sont  diver- 
gentes; on  peut ,  en  les  réduisant  en  fractions  continues,  obt^iir 
des  approximations  toujours  convergentes. 

Ce  que  nous  venons  de  dire  sur  la  série  précédente ,  peut  s'étendre 
à  toutes  celles  que  nous  avons  considérées,  et  d<»t  ôter  toute  in- 
quiétude sur  les  usages  que  nous  en  avons  bits.  £n  effet,  on  peut 
toujours  arrêter  ces  séries  au  point  où  elles  cessent  d'être  conver- 


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176  THÉORIE  ANALTTIQUE 

gentes ,  et  représenter  le  reste  par  une  intégrale.  C'est  ce  qne  nons 
allons  faire  voir  sur  la  fonuule  la  plus  générale  àa  dérelf^ement 
des  fonctions  en  séries. 
On  a ,  en  prenant  l\ntégrale  depuis  2  =:  o , 

/t/z.f  (x— z)  =  ?»  (x)  —  (p  (x— 2) , 

<p'  (x)  étant  la  différentielle  de  <p  (x)  divisée  par  âx.  Si  Ton  dés^oe 
pareillement  par  9"  (x)  la  diCfêreaatieUe  de  f'  (x)  divisée  par  dx;  par 
<p"'  (x)  la  diflërentielle  de  f"  (x)  divisée  par  Jx ,  et  ainsi  de  suite  ; 
on  aura 

yïz.f'(x— Z)  =  Z.Ç'(X  — 2)+/zrfZ.^"(X  — 1), 
/2£/z.(p"(X— 2)=iZ'.ç"(X  — z)  +  /'|2'rf2.?"'(X — Z), 

etc.  ^ 

En  continuant  ainsi ,  on  trouvera  gâiéralesnent 

En  comparant  cette  expression  à  la  précédente,  on  aura 

+  ....i....„-/'"'^'-'^"""(»-')- 

Faisons  * — z:=f,  l'équation  précédente  prendra  cette  forme 

f(t+z)=f{i)+z.if(t)+-^.^'(i) +._|L_.^«(r) 

+7xr73;-/»'"''«'-'^-"'>-(«-Hi— »'). 

l'intégrale  étant  pris»  depuis  z'=o  jusqu'à  z'=;z.  Il  es»  clair  qw 
si  l'on  feisait  dans  cette  intégrale,  ip'"*'\(/  +  z — a')  constant,  oa 
aurait  un  trop  grand  résultat,  si  l'on  prenait  ia  plus  grande  valeur 
de  cette  quantité;  et  un  trop  petit  résultat,  en  prenant  sa  plus  petits 
Taleur.  Il  7  a  donc  dans  l'ioterralle  de  z'  =  o  à  2'=z ,'  une  valeur 
de  z'  telle  qu'en  supposant  cette  quantité  constante,  ou  aura  ua 


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DES  PROBABILITÉS.  177 

résultat  exact.  Soît  u  cette  valeur  j  l'intégrale  précédente  devient  ainsi 


l.fl.5....lH-L 

ce  qui  donne 

.p(f+2)=:<pC0-HZ.?'(0 +  _4:_       4iW(f) 


r.â.3....n-t-i 


^=r.çe+'ï.(«+Z— U), 


z  —  a  étant  compris  entre  réro  ot  a.  On  pourra  ainsi  juger  de  la 
conrergence  de  la  série  et  du  degré  d'approximation,  lorsqu'on 
s'arrête  à  l'un  de  ses  termes. 


FIN  DR  LA  PRElsaÈRE  PARTIE. 


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LIVRE  IL 

THÉORIE  GÉNÉRALE  DES  PROBABUIXÉS. 


CHAriTRE  PREMIER. 


Principes  généraux  de  celie  Théorie. 

1 .  k)s  a  vu  dans  l'bitrodactîon ,  que  la  probabJtité  tPon  événement, 
est  le  rapport  d«  nombre  des  cas  qui  lui  sont  fe  voraWes ,  au  uomlH'e 
d*tous  les  cas  possibles  ;  lorsque  rien  ne  porte  à  croire  que  l'un  de 
ces  cas  doit,arriv*ir  plutôt  «jua  le»  aucres,  ce  qui  ke  rend  pour 
SOUS ,  également  possibles.  La  juste  appréciation  de  ces  cas  divers , 
est  un  des  points  les  plus  délicats  de  l'analyse  des  hasards. 

Si  tous  les  cas  ne  sont  pas  également  possibles ,  on  déterminera 
leurs  possibilités  respectives;  et  alors  la  probabilité  dej^vénemest 
sera  la  somme  des  probabi.Iit«t,_de  chaque  cas  favorable.  En  effet, 
nommons  p  la  probabilité  du  premier  de  ces  cas.  Cette  probabilité 
«st  relative  à  la  subdivision  de  tous  les  ca? ,  en  d'autres  également 
possibled.  Soit  iVla  somme  de  tous  les  cas  ainsi  subdivisés ,  et  n 
la  somme  de  ces  cas  qui  sont  fhvorables  anj>remier  cas;  <m  aura 
jp^^.  On  aura  pareillement  p'= y,/?"  =5jç,  etc.j  en  marquant 

d*un  trait,  de  deux  traits ,  etc.,  les  lettres  petn,  relativement  au 
second  cas ,  au  troi»ème,  etc.  Maintenant,  la  probabilité  de  l'événe- 
ment dont  il  s'agit ,  est,  par  la  définition  même  de  la  probabilité ,  égale  à 

«  4-  »'  4-  "*  +  *tc. 
_  j 

«He  est  donc  ^ale  à  p  +jï'H-/»"H-  «te- 


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i8o  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Lorsqu'un  éTéDement  est  composé  de  dexis  érénemens  simples, 
indépendans  l*un  de  l'autre;  il  est  clair  que  le  nombre  de  tous  les 
cas  possibles ,  est  le  produit  des  deux  nombres  qui  expriment  tous 
les  cas  possibles  relatifs  à  chaque  événement  simple  ;  parce  que  cha- 
cun des  cas  relatife  à  l'un  de  ces  événemeùs,  peut  se  combiner  avec 
tous  les  cas  relatifs  à  l'autre  événement.  Par  la  même  raison ,  le 
nombre  des  cas  favorables  à  l'évéoement  composé  ,  est  le  produit 
des  deux  nombres  qui  expriment  les  cas  favorables  à  chaque  évé- 
nement simple;  la  probabiKtô  de  l'événement  composé,  est  donc 
alors  le  produit  des  probabilités  de  chaque  événement  »mple.  Ainsi 
la  probahiUté  d'amener  deux  fois  de  suite,  un  as  avec  un  dé,  est 
un  trente-sixième  r  lorsque  l'on  suppose  les  faces  du  dé  par&itement 
égales  j  parce  que  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles  en  deux 
coups ,  est  trente-six ,  chaque  cas  de  la  première  projection  pou- 
vant sç  pOtiïbiXier  trrec  les  six  oa»  de  la  •ecoad»  ;  et  parmi  tous 
ces  cas ,  un  seul  donne  deux  as  d«  suite.    .      . 

En  général ,  si  /> ,  p',  p",  etc.  sont  les  poes&ilités  respectives  d^ 
nombre  «pielCÔiiqûe  d'événeineBs-sinipleo  mdépendâiM  le«  uns  des 
autres;  le  prodiùt  p-p'-f^>  etc.  sera  la  probabiliCc d'an  événement 
composé  de  ces  ^vénemens. 

Si  les  événemens  simples  sont  liés  entre  eux ,  de  manière  que  la 
supposition  de  l'arrivée  du  premier ,  influe  sur  la  probabilité  de 
Tarrivée  du  second  ;  on  aura  la  probabilité  de  Pévénement  composé, 
en  déterminant ,  i°  la  probabilité  du  premier  événement;  3°  la  pro- 
babilité que  cet  événement  étant  arrivé ,  le  second  aura  lieu. 

Four  démontrer  ce  priudpe  d'une  manière  générale ,  nommons/) 
le  nombre  de  tous  lés  cas  possibles ,  et  supposons  que  dans  ce 
nombre,  il  y  en  ait  /»'  làvoraWes  au  premier  événement.  Supposons 
ensuite  que  dans  le  nombre  p',  il  y  eh  ait  q  &vorables  an  second 

événement^  il  est  clair  que  -  sera  la  probabilité  de  l'événement  com- 
posé. Mais  la  probabilité  du  premier  événement  est  ^  ;  la  proba- 
bilité que  cet  événement  étant  arrivé,  le  second  aura  lieu,  est  ^; 
car  alors  un  des  cas  p'  devant  existerj  ou  ne  doit  considérer  quo 


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DES  PttOttABimta  i8i 

ces  cas.  MaintKbtmt  ob.%. 

P       P  V  * 
ce  qui  est  la  traduction  en  analyse  ,  du  principe  énoncé  çî-dessua. 

En  considérant  comme  événement  composé ,  révénement  observé, 
ipint  à  un  événement  futur  ;  la  probabilité  3e  ce  dernier  événement, 
lirée  de  révénement  observé ,  est  évidemment  la  probabilité  au« 
^  l'événement  observé  ayant  lieu ,  révénement  futur  aura  lieu  pareil- 
lement; or,  par  le  principe  que  iion»-'»'5nons  d'eaposer^  cette  pro- 
babilité multipUéo  yar  celle  de  révénement  observé ,  déterminée 
à  priori ,  ou  indépendamment  de  ce  qui  est  déjà  arrive,  est  égale 
à  celle  de  l'événement  composé,  déterminée  à  priori;  on  a  donc 
ce  nouveay  principe ,;rçlatifà  la  probabilité ^esévéuemens futurs, 
déduite  d^es  éyénemcns  observés.  , 

I/a  probabilité  d'an  crcpement  futur  ,  tirée  d'un  événement  ob- 
servé ,  est  îe  quotient  de  la  division  de  la  probabilité  de  révéœniQiit 
Goaposé  de  ces  deux  événemens,  et  déterminée  à  priori,  par  la 
probabilité  de  l'événement  observe ,  déterminée  pareillement  à 
priori. 

De  là  découle  encore  cet  autre  principe  relatif  à  la  prdsabiUté  dea 
causes ,  tirée  des  événemens  observés. 

Si  un  événement  observé  peut  résulta  de  n  causes  différentes  ; 
leurs  probabilités  sont  respectivement ,  comme  les  probabilités  de 
l'événement,  tirées  de  leur  existence  ;  et  la  probabilité  de  chacune 
d'elles ,  est  une  traction  dont  le  numérateur  est  la  probabilité  de 
l'événement,  dons  l'hypothèse  de  l'existence  de  la  cause, et  dont  la 
déDominateur  est  la  somme  des  probabilités  semblables  >  rçlativea» 
à  toutes  les  causes. 

Gjnsidérons ,  en  efTel,  comme  événement  composé ,  l'événement 
observé ,  réspllaut  d'une  de  ces  causes.  La  probabilité  de  cet  évé- 
nement composé,  probabilité  que  nous  désignerons  pa^c  ^,  sera,, 
par  ce  qui  précède ,  égale  au  produit  de  lajrobabilité  de  révénement 
observé,  déterminée  àpriori,et  que  nous  nommerons  F,  par  la 
probabilité  que  cet  événement  ayant  lieu ,  la  cause  dont  il  s'agit, 
existe ,  probabilité  qui  est  celle  de  la  cause ,  tirée  de  l'érénement 


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i8a  THÉORIE  ANALYTIQtJE 

observé,  et  ^e  noasnommerons^.  On  atu-a  donc 

La  probabilité  de  rérénement  composé ,  est  le  produit  de  la  proba- 
bilité de  la  cause,  par  la  probabilité -que  cette  cause  ayant  lieu, 
l'événement  arrivera,  probabilité  que  nous  désignerons j»ar  .Ht_ 
Toutes  les  causes  étant  supposées  à  priori,  également  possibles  , 
ta  probabilité  de  chacune  â'cU«a  ^t  -  ;  on  a  donc 

La  probabilité  de  l'événement  observé  ^  est  la  somme  de  tous  les 
J5  relatifs  à  chaque  cause  ;  en  désignant  donc  par  <$.- ,  la  somme 


réquation  i*  =  ë;  deviendra  donc 

ce  qui  est  le  principe  énoncé  ci-dessus ,  loracfue  toutes  les  causes 
sont  à^riori  également  possibles.  Si  cela  n'est j)as ,  en  nommant  j? 
la  probabilité  à  priori  de  la  cause  que  nous  venons  de  considé- 
rer ;  OD  aura  E  :=  Hp  ;  et  en  suivant  le  raisonnement  précédent , 
on  trouvera 

ce  qui  donne  les  probabilités  des  diverses  causes,  lorsqu'elles  ne  sont 
pas  toutes  j  également  possibles  à  priori. 

Pour  appliquer  le  principe  précédent  à  un  exemple ,  supposons 
qu'une  urne  renferma  trois  boules  dont  chacune  ne  puisse  être  que. 


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DES  PROBABILITÉS.  i83 

blanche  ou  Doire  ;  qu'après  avoir  tiré  une  boule ,  on  la  remette 
dans  l'ume  pour  procéder  à  un  nouveau  tirage ,  et  qu'après  nt 
tirages,  on  n'ait  amené  que  des  boules  blanches.  Il  est  visible  que 
l'on  ne  peut  Ë:ire  à  priori,  que  quatre  hypothèses;  car  les  boiÂes 
peuvent  être,  ou  toutes  blanches, ou  deux  blanches  et  une  noire, 
ou  deux  noires  et  une  blanche ,  ou  enfin  toutes  noires.  Si  Ton  coa- 
«dère  ces  hypothèses  comme  autant  de  causes  de  l'événement 
observé j  leit  probabilités  de  l'événement,  râktiTe&  à  ces  causes» 
seront  ■ 

1,    S,     ^,     o. 

Les  probabilités  respectives  de  ces  hypothèses ,  tirées  de  l'événement 
observé ,  seront  donc ,  par  le  troisième  principe , 

3"  a"  I 

g-^a-^-i  »  *    3"'+a»+  i  »        5"-t-fi'H-i  '     °' 

On  voit ,  au  reste ,  qu'U  est  inutile  d'avoir  égard  aux  hypothèses  qui 
excluent  révénement  ;  parce  que  la  probabilité  résultante  de  ces 
hypothèses ,  étant  nulle,  leur  omission  ne  change  point  les  exprès 
sioDS  des  autres  probabilités. 

Si  l'on  veut  avoir  la  probabilité  de  n'amener  que  des  boules 
noires  dans  les  m'  tirages  suivans;  on  déterminera  à  priori  ^  les 
probabilités  d'amener  d'abord  m  boules  blanches,  ensuite  m'  boules 
noires.  Ces  probabilités  sont,,  relativement  aux  hypothèses  précé-, 
dentés, 

a-  a-' 

et  comme  àpriori  ,  les  quatre  hypothèses  sont  également  possibles , 
la  probabilité  de  l'événement  composé  sera  le  quart  de  la  somme 
des  quatre  probabilités  précédentes ,  ou 


Les  probabilités  de  Pévénement  observé,  détenninées  à  priori- , 
dans  les  quatre  hypothèses  précédentes ,  étant  respectivement 

a3* 


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i84  '  THÉORIE  ANALYTIQUE 

3»  a»  1 

35.       gi»       2='-     *"' 

le  fuart  de  leur  sonune  ^  ou 

VV  3=  y'' 

Sera  la  probabilité  de  l'événement  observé ,  déterminée  à  priori; 
en  divisant  donc  la  probabilité  de  révénement  composé ,  par  cette 
probabilité ,  on  aura  par  le  second  principe, 


3^.(3-+ 2»+ 1)» 

pom*  la  pr(^>abilité  d'amener  m'  booles  noires, dans  les  m'  tiragef 
suivans. 

On  peut  encore  déterminer  cette  probabilité ,  par  le  principe 
suivant. 

La  probabilité  d'un  événement  futurcst  la  somme  des  produits 
de  la  pro^bîlîté  de  chaque  cause,  tirée  de  l'événement  observé, 
par  la  probabilité  que  cette  cause  existant,  l'événement  futur  aura 
lieu. 

Ici  les  probabilités  de  chaque  cause  y  tirées  de  l'événement 
observé,  sont,  connue  on  Ta  vu, 

3"  a"  "  I 

'6-+a-+i'      3"+a"+i»     S=+ïqr7>     ^i 

les  probabilités  de  l'événement  futur,  relatives  à  ces  causes,  sont 

respectivement 

1  a"' 

la  somme  de  leurs  produits  respectifs ,  ou 

3-'.C3"4-a-+i)' 

sera  la  probabilité  de  révénement  futur,  tirée  de  l'événement  ob- 
servé; ce  qui  est  conforme  à  ce  qui  précède. 
Si  l'on  suppose  quatre  boules  dans  l'urne ,  et  qu'ayant  amené  une 

boule 


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DES  PROBABILITÉS.  iSS 

boule  blanche  aa  premier  tirage ,  on  cherche  la  pïobâbilité  dé 
n'amener  que  des  boules  noires  dans  les  m'  thtiges  soiranfi  ;  on 
trouvera,  par  lea  principes  exposés  ci-dessus  ^  cette  probabilité 
égale  à 

Si  le  nombre  des  boules  blanches  égale  celui  des  noires  ;  la 
probabilité  da  n'amener  que  des  boules  noires  dans  m'  tirages ,  est 

^.  Elle  surpasse  la  précédente ,  lorsque  m'  est  égal  ou  moindre 

que  5  i  mais  elle  lui  devient  inférieure ,  lorsque  m'  surpasse  5 ,  qnoi- 
que  la  boule  blanche  extraite  d'abord  de  l'arne ,  indique  une  supé- 
riorité dans  le  Qombre  des  boules  blanches.  L'explication  de  ce 
paradoxe  y  tient  à  ee  que  cette  indication  n'exclut  point  la  supé- 
riorité du  nombre  des  boules  noires  ;  elle  la  rend  seulement  moins 
probable  ;  au-  heu  que  la  supposition  d'une  égaUté  par&ite  entre 
le  ncHubre  dgs  blanches  et  celui  des  noires ,  exclut  cette  supério- 
rité i  ôr  cette  supériorité ,  quelque  petite  que  soit  sa  probabilité  , 
doit  rendre  la  probabilité  d'amener  de  suite ,  m' boules  noires ,  plus 
grande  que  deûis  le  cas  de  L'égalité  des  couleurs,  lorsque  m'  est 
considérable. 

I  L'inégalité  qui  peut  exister  entre  des  choses  que  Ton  suppose 
par&itement  semblables^  peut  avoir  sur  les  résultats  du  calcul  des 
probabilités,  une  influence  sensible  qui  mérite  une  attention  pàr- 
'  ticulière.  Considérons  le  jeu  de  croix  et  pile ,  et  supposons  qu'il 
soit  également  fecile  d'amener  croix  que  pile  ;  alors  la  probabi- 
lité d'amener  croix  au  premier  coup,  est  7,' et  celle  de  l'amener 
deux  fois  de  suite ,  est  j.  Mais  s'il  existe  dans  la  pièce  une  inégalité 
qui  lasse  paraître  une  des  feces  plutôt  que  l'autre,  sans  que  l'on 
connaisse  la  Êice  que  cette  inégalité  Et vorise }  la  probabilité  d'amener 
croix  au  premier  coup,  restera  toujours  \  ;  parce  que  dans  l'igno- 
tMice  où  l'on  est ,  de  la  fece  que  cette  inégahté  fevorise  ;  autant 
la  probabilité  de  l'événement  simple  est  augmentée ,  si  cette  iné- 
gahté lui  est  Ëivorable  ,  autant  elle  lest  diminuée,  si  cette  inégalité 
lui  .est  clentfaire.  Mais  la  prob^iHté  d'amener  croix  deux  fois  de 
suite ,  est  augmentée ,  malgré  cette  ignorance  ;  car  cette  probabilité 
est  égale  à  celle  d'amener  croix  au  prranier  coup,  multipliée  par 

a4 


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i86  THÉORIE  ANALYTIQUE 

ta  probabilité  que  Tajant  aoaeoé  au  premier  coup  »  on  Faméners 
BU  âecond;  or  son  arrivée  au  premier  coup  ^  est  un  motif  de  croire 
fpie  l'JDegalité  de  I^  pièce ,  la  fiiTOrise  ;  eUe  augmente  doiiic  la  pro- 
babilité de  l'amener  au  second  ;  jiinsi  le  produit  des  deux  probabi- 
lités est  accru  par  cette  iné^UtéJPour  soumettre  cet  objet  au  calcul, 
supposons  que  l'inégalité  de  la  pente  accroisse  de  la  quantité  a. , 
U  pr<diabilit6  de  l'ëvénewent  simple  qu'elle  ikTorise.  Si  cet  événe- 
ment est  croix ,  la  jurobabilité  sera  7  4^  « ,  et  la  probabUité  de  Famé' 
ner  deux  fois  de  suite  sera  (j+«)'.  Si  l'événement  Ëivorisé  est 
pil€}  laprobabUité  de  croix  sera  7— a,  et  la  probabilité  de  Tamener 
deux  fois  de  suite  sera  (  r — et  )'.  Comme  00  n'a  ^avance ,  awww 
raison  de  croire  que  Fmégalité  ferorise  jJulAt  Ton  que  Tautre  des 
évâiemens  simples ,  il  est  clair  qne  pour  avoir  la  probabilité  de 
f  événement  composé  croix-croix  ^  il  feut  ajouter  tes  àeas.  probaH- 
Ktés  précédentes,  et  prendre  la  moitié  de  leur  somme,  ce  qui  donne 
i  +  *'  pour  cette  probaWUté  :  c'est  aussi  la  probabilité  de  pile-pile. 
On  trouvera  par  le  même  raisonnement,  que  la  probal^té  de 
l'événement  composé  crmx-pile  ou  pile-croix,  tst^— a.*;  ^j^on- 
séquent,  elle  est  moindre  que  celle  de  la  répétitiian  du  m^e  évé- 
nement simple.  - 

Les  considérations  précédentes  peuvent  être  étendues  â  des  évé- 
nemens  quelconques,  jj  représentant  la  probabilité  d'un  événement 
simple,  et  1  — p  celle  de  l'autre  événement  j  si  l'on  désigne  par  P, 
la  probabilité  d'un  résultat  relatif  à  ces  événemens ,  et  que  Ton 
suppose  que  p  soit  réellement  jjzfco.,*  étant  une  quantité  incon- 
nue ,  ainsi  que  le  signe  qui  raffecte  ;  la  probabilité  P  du  résultat 
sera 

dâP    .        i  .  d*P 

•"57"+"  i.fl.5.4**  •^" 

£n  feisant  pssp\  c'est-à-dire  en  supposant  que  le  résultat  relatif 
aux  événemens }  soit  n  fpis.  Ja  répétition  du  premier^  la  probabUit« 
P  deviendra 

l'erreur  inconnue  joej'qn  pç«t  supposer  dans  la  probabilité 

Di!::7ed  ny  V_T    " 


■:   DES  PROBABILÏTÉS.  .j^ 

des  évéasmm*  sim^des^  accrofe  twqoura  la  probàhffité  des  cvéa&- 
m^  ç<Hnposëisâela  répétition  dp  même  événement 

9.  La  {H^^rabiËté  et»  éréntmem  «rt  s  détermiBer  l'espérance 
M  la  craiiite  de«  personnes  intéresaéea  à  leur  existence.  Le  mot 
espéranca  a  diveroes  acceptions  ;  fl  exprime  généralement  l'avan- 
tage de  celui  qui  attend  un  bien  quelconque ,  dans  nne  supposition 
qui  n'est  que  vraisemblable.  Dans  la  théorie  des  hasards ,  cet  avan- 
tage  est  le  produit  de  la  sonune  espérée,  par  la  probabilité  de    . 
l'obtenir  :  c'est  la  somme  partielle  qui  doit  revenir,  lorsqu'on  ne  ,     <^_^^^^^^  6„^„r 
veut  point  courir  les  risques  de  l'événement,  en  supposant  que    n»^  iafuntu. 
la  répartition  de  la  somme  entière  se  Ëisse  proportionnellement 
aux  probabilités.  Cette  manière  de  la  répartir,  est  la  seule  éqmti^e, 
quand  on  Ëiit  abstraction  de  toute  circonstance  étrangère  j  parce 
qu'avec  un  égal  degré  de  probabilité ,  on  a  un  droit  égal  sur  la 
somme  espérée.  Nous  nommerons  cet  avantage,  eapérande  mathé- 
'matigue,  pour  le  distinguer  de  l'espérance  morale  qui  dépend , 
comme  lui,  du  bien  espéré  et  de  ta  probabilité  de  l'obtenir,  mais 
qui  se  règle  encore  sur  mille  circonstances  variables  qu'il  est  près-  ' 
que  toujours  impossible  de  définir,  et  plus  encore,  d'assujétir  au 
calcul.  Ces  circonstances,  il  est  vrai,  ne  faisant  qu'augmenter  ou 
diminuer  la  valeur  du  bien  espéré ,  on  peut  considérer  l'espérance 
morale  elle-même  comme  te  produit  de  cette  valeur,  par  la  proba- 
bilité de  l'obtenir  ;  mais  on  doit  alors  distinguer  dans  le  bien  espéré, 
sa  valem-  relative ,  de  sa  valeur  absolue  :  celle-ci  est  indépendante 
des  moti&  qui  le  font  désirer ,  au  lieu  que  la  première  croit  avec 
ces  moti6. 

On  ne  peut  donner  de  règle  générale  pour  apprécier  cette  valeur 
relative  ;  cependant  il  est  naturel  de  supposer  la  valeur  relative 
d'une  somme  infiniment  petite  ,  en  raison  directe  de  sa  valeur 
absolue ,  en  raison  Inverse  du  bien  total  de  ]^  personne  intéressée. 
En  effet ,  il  est  clair  qu'un  franc  a  très-peu  de  prix  pour  cetui  qui 
en  possède  un  grand  nombre,  et  que  la  manière  la  plus  naturelle 
d'estimer  sa  valeur  relative ,  est  de  la  supposer  en  raison  inverse 
de  ce  nombre. 

Tels  sont  les  principes  généraux  de  l'analyse  des  probabilités. 

Dic|i1  zed  by  VjOOQ le 


i88  THÉORIE  ANALTTIQOE 

Noos  allons  maintenant  les  appliquer  aux  questions  les  plus  déln 
cates  et  les  plus  difficiles  de  cette  analyse.  Mais  pour  mettre  de 
Tordre  dans  cette  matière,  nous  traiterons  d'abord  les  questions 
dans  lesquelles  les  probabilités  des  ércnemens  simples ,  sont  don- 
nées ;  nous  considérerons  ensuite  celles  dans  lesquelles  ces  possi- 
bilités sont  inconnues ,  et  doivent  être  détenoinées  par  les  éréne^- 
mens  observés. 


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PES  PROBABILITÉS.  '  1189 


CHAPITRE  IL 

De  ta  probabilité  àes  éi>ênemens  composés  d*événemenè 
simples  dont  les  poss^i^iés  respectives  sont  données, 

9.  Si  l'on  développe  le  produit  (i4-/>).(i-f'p').(i+p*).etc; 
coiliposé  de  n  &cteura^  ce  déreloppement  renfermera  toutes  les 
combinaisons  possibles  des  n  lettres /»,j5',  p", . .  •p^'~^\  prises  une 
à  une,  deux  à  deux,  trois  à  trois,  etc.  josqu'à  n;  et  chaque  com- 
binaison aura  pour  coefficient  l'unité.  Ainsi  la  combinaison  pp'p" 
résnltantdu  produit  (*+/>)  •  (i+p')  •  i^-i-p")  )  muItipKé  par  le  terme  i 
du  deTcloppement  des  autres  Ëicteurs  ;  son  coefficient  est  éTidem- 
ment  l'unité.  Maintenant,  pour  gyoir  !e  nombre  total  des  combi- 
nai8on8_de  n  lettres  prises  x  à  a:  ;  on  observera  que  chacune  de 
ces  combinaisons  devient/?",  lorsqu'on  suppose  p',p",  etc.  égaux 
à  p.  Alors  le  produit  des  n  Êicteurs  précédens  se  change  dans  le 
binôme  (i  +/>)'  ;  or  le  coefficient  de  jf  dans  le  développement  de 
ce  binôme ,  est 

i.a.3 X  ' 

cette  quantité  e^rime  donc  le  nombre  ded  combinaisons  des.  a 
lettres  prises  «  à  ».  On  aura  le  nombre  total  des  combinaisons  de 
ces  lettres,  prises  une  à  une,  deux  à  deux,  etc.  jusqu'à  n  à  n,  en 
Ëusant  ps=i,  dans  le  binôme  (iH-p)',  et  en  retranchant  l'anité;  ce 
qui  donne  a'— i  pour  ce  nombre. 

Supposons  que  dans  chaque  combinaison,  on  ait  égard  non-seu- 
lement au  nombre  des  lettres,  mais  encore  à  leur  situation  ;  on 
déterminera  le  nombre  des  combinaisons  ,  en  observant  que  dans 
la  combinaison  de  ^çuz  lettres ,  pp',  oii  peut  lOettre  y  à  la  seconde 


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tg»  THÉORIE  ANAXTnQtm 

place  y  et  ensuite  à  la  première  ;  ce  qui  donne  les  denx  combinai" 

sons  pp'j  p'p.  En  introduisant  ensuite  une  nouvelle  lettre  ^'  dan» 

chacune  de  ces  combinaisons,  on  peut  la  mettre  à  la  première, 

à  la  seconde  ou  à  la  troisième  place;  ce  qui  donne  3.5  combinai- 

sons.  En'  continuant  ainei ,  cm  voit  que,  dant  une  combinaison  de  x 

lettres ,  on  peut  leur  donner  i .  a .  3 . . . .  j:  situations  difiërentes  ;  d'où 

il  suit  que  le  nombre  total  des  combinaisons  de  n  lettres,  prises 

X  k  X,  étant  par  ce  qui  précède ,     • 

»(«-0-('-^) (»-H-0/ 

— — ^— — — -  , 

le  nombre tot^Jes combinaisons ,  lorsqu'on aé^rd  àladiil^ent^ 
situation  des  lettres,  sera  cette  màne  fonction ,  en  supprimant  son 
dénominateur. 

On  peut  Ëicilement,  au  moyen  de  ces  formules,  déterminer  les 
bénéfices  des  loteries.  Supposons  que  le  ncnobre  des  numéros  d'une 
l'j.terie,  soit  »,  et  qu'il  en  sorte  r  à  chaque  tirage;  on  veut  avoir 
la  probabilité  qu'une  combinaison  de  «  de  ces  numéros,  sentira  au 
premier  tirage. 

Le  nombre  total  des  combinaisons  des  niun^ros,  pris  r  à  r,  est 
par  ce  qui  précède , 

w.(w — i).(f»— a]...  ■  .{h — r+i) 
i.a.î r  * 

Four  avoir  parmi  ces  combinaisons,  le  nombre  de  celles  dans 
lesquelles  les  *  numéros  sont  compris ,  on  observera  que  si  l'on 
retranche  ces  numéros  de  la  totalité  des  numéros ,  et  que  l'on 
combine  r  —  sk  r—  s ,  le  reste  n  —  s  y  le  nombre  de  ces  combi- 
naisons sera  le  nombre  cherché  ;  car  il  est  clair  qu'en  ajoutant  les 
s  numéros  k  chacune  de  ces  combinaisons,  on  aura  les  combinai- 
sons r  à  rdes  numéros  dans  lesquelles  sont  ces  s  numéros.  Ce 
nombre  est  donc 

(n-,].(n-*^i)....(«-T+i). 
i.a.3.."."(r^r)      '        ' 

en  le  divisant  par  le  nombre  total  des  combinaisons  rkr  des  n  nu- 
méros, (m  aura  pour  la  probabilité  cherchée , 

r.Cr-O.Cr-a)....(r-^+0      . 

■   JI.(b—i).  (»—»)....(« — *+!)* 


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DES  PROBABintÉS.  igi 

Bndiirisant  cette  quantité  par  i.«. S.... j,  on  atva  par  ce  qui 

pr«cèd«,  la  probabilité  que  let  s  noméros  sraliroiit  daâs  ud  otén 

âétxnniné  entre  eux.  On  ain^  la  pndsabiMté  que  les  «  preu^en 

numéros  do  tirage ,  seront  ceux  de  la  combinaison  proposée,  ea  U.  in<ti  •<  menu,  u  (h  m^W-i^ 

observant  cfuc  cette  {«t^biUté  rcTÎent  k  celle  d'amener  cette  HUcytinMicn  imif^viv-xM 

comiànaifton,  en  supposant  qu'il  ne  sort  que  »  numéros  à  d»qu*  "^^  ;';:''7 '*'■,'  ,*'  '^'  ''***. 

tirage  ;  ce  qui  revient  a  mire  r  s**  oaas  la  fonctum  precWenle  tpn  ^  ,^^'^,^  j^^  mt<i>'r  ?û 

devient  ainsi  ^,((wrD,'i»m^n<Wï-*M  tw> /^: 

i.a.S t  -   ^. 

».(«— O....Cn— i  +  O  ^ 

Enfin ,  on  aura  la  probabilité  que  les  a  numéros  clioisis  sortiront  le» 
ftraniers  dan»  un  ordre  defi^^iiDé,  en  réduisant  le  numérateur  de 
cette  fraction ,  à  l'unité. 

Les  quotiens  des  mises  divisées  par  ces  probabilités ,  sont  ce 
que  la  loterie  doit  rendre  aux  joueui^  ;  l'excédâDt  de  ces  quotiens 
sur  ce  qu'elle  donne ,  est  aon  bénéfice.  En  efSst,  si  Ton  nomme  p 
la  probab^^  cbi  joueio',  m  b«  mfse ,  et  x  ce  <pw  la  loterie  doit  tut 
rendre ,  poiur  Tégatité  du  jeu  ;  x  '—  m  sera  la  mise  de  la  loterie  ; 
car  ayaid  reçu  la  mise  m ,  &t  rendant  «  au  joneor  ;  eOe  ne  met 
au  jeu  que  x  — m.  Q£,pfliirJ'é^litéd_u  jeu.,  l'espérance  mathé- 
matique de  chaque  joueur  doit  êVde  égale  à  sa  cramte  :  son  es- 
pérance est  le  produit  de  la  mise  x— m  de  son  adversaire^,  par 
la  prt^Ktbilitéj;  de  l'obtenir  rsa  crainte  est  le  [nrodait  de  sa  mis« 
m,)  par  la  probabilité  i  —p  de  la  perte.  On  a  donc 

;».(x-.m)=(i— /?).mi 
c'est-à-dire  que  pour  l'égalité  du  jeu,  les  mises  doivent  être /réct-  t^fvhfrUefViO) 
proquesjaux  probabilités  de  gagner.  Cette  équation  donne 


ainsi  ce  que  la  loterie  doit  rendre ,  est  le  quotient  de  la  mise  di- 
visée par  la  probabilité  du  joueur  pour  gagner. 

4.  Une  loterie  étant  composée  de  n  numéros  dont  r  sortent  à 
chaque  tirage ,  on  demande  la  probabilité  qu'après  i  tirages ,  toqs 
les  numéros,  seront  sortis. 

Nommons  z.,*  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  après  i  tirages, 


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«93  THÉORIE  ANALYTIQUE 

la  totalité  des  o**!  ,3,  3, jp  sera  sortie.  Il  est  clair  que  ce  lu^nbrê 

est  égal  au  nombre  x.,f_,  de  cas  dans  lesquels  lesn"  1,3, 5, ...9—1 
sont  sortis ,  moins  le  nombre  de  cas  dans  lesquels  ces  numéros 
«tant  sortis^  le  n*  g  n'est  pas  sorti;  or  ce  dernier  nomtre  est  éri- 
demmentlemême  que  i^elui  des  cas  dans  lesquels  les  n"  1,  s,  S,.-?— 1 
«eraient  sortis ,  si  l'on  ôtait  le  n*  g  des  n  nnmâ'os  de  la  loterie, 
et  ce  nombre  ests»_,,^,;waaâflaiL 

Maintenant  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles  dans  tm  seul  tirage, 
étant  "■(»-0("-^>---^("— H-t)  ^  ^^^^  j^  ^^^  ^^  ^^  possible» 

dans  i  tirages,  est 

/B.(«-i),(»*-a) (>>-r+i)V 

\ ■i.i..5....r  )■ 

jLe  nombre  de  tous  les  cas  dans  lesquels  le  n*  1  ne  sortira  pas  dans 
ces  i  tirages ,  est  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles ,  lorsqu'on 
retranche  ce  numéro  des  n  numéros  de  la  loterie  j  et  ce  nomln'e  est 

/(a-Q.Çn-a) C«-r)V.. 

V.  i.u.i r  J* 

le  nombre  des  cas  dans  lesquels  le  n*  1  sera  sorti  dans  i  tirages» 
est  donc 

/"-("-p.-  ..(«-H-OV     /Cii-i).C»i-fl)....C.*-^)V 
V  i.a-3....r         J      \  i.a.g....r  J » 

ou 

/(H-0.(n-^)....(Br-r)Y. 
*^*  V,  i.a.3....r         /  » 

cVst  la  valeur  de  z,,,.  Cela  pose,  l'équation  (i)  donnera,  en  yTaisant 
succesûremeut  ^  ss  a ,  7  =  3 ,  etc. , 

^'* - ^  A i.ii.3....r ; ' 

''  V»  i.a.3....r  /' 


etc.; 


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DES  PROBABILITJÉS.  193 

etjgméralenient., 

«-,.— ^'  •  i, 1.9.3.. ..r )  • 

Ainsi  la  probabilité  que  les  0""  1 ,  a ,  S, . .  .^  sortiront  danâ  i  tirages, 
étant  é^e  à  x,,,  divisé  par  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles , 
elle  sera 

C«.(i*-i).Ci.-2)....C»-r+0J       • 

Sironifoitdans  cette  expression  9  =  /», on  aura, -«étant  îdlara- 
riable  qui  doit  être  supposée  nulle  dans  le  résultat , 

&'.ls.(s-x) (J-^H-OJ 

Cir.(,^o....c»-n-i)ï 

pour  l'expression  de  la  probabilité  que  tous  les  numéros  de  la 
loterie  sortiront  dans  i  tirages. 

Si  n  et  i  sont  de  très-grands  nombres ,  on  aura  par  les  formules 
du  n°  40  du  premier  livre ,  la  valeur  de  cette  probabilité,  au  moyen 
d'une  série  très-convergente.  Supposons ,  par  exemple ,  qu'il  né 
sort  qu'un  numéro  à  chaque  tirage ,  la  probabilité  précédente 
devient 


Froposons-nons  de  déterminer  le  nombre  i  de  tirages  dans  lesquels 

cette  prol^ilité  est  r ,  n  et  i  étant  de  très-grands  nombres.  £n 

suivant  l'analyse  du  numéro  cité,  on  déterminera  d'abord  a  par 
réquation 

ce  qui  donne 

:  ^  :  ...    -  ^    .  .  «■+  »J     .  ^  .1  .,-.-■-  , 

On  a  ensuite  par  le  n'  4o  du  premier  Livre,  lorsque  <r^  est  une 
quantité  très-petite  de  l'orcb-e  -^ ,  ciMUzne  cela  n  lieu  dans  la  ques- 
tion présente}  on  a  f  d^je,  aiix  quantités  près  de  Tordre  \,s  étant 

95 

DigilJzed 


b,  Google 


ï94  THÉORIE  ANAÏ-TTIQUE 

supposé  nul  dans  le  résultat  du  calciil , 

....    G?r)-+-.c--.c-o- 

or  on  a ,  aux  quantités  près  de  Vordre  ^.  » 

O+t)     =•  ' 

en  supposant  ensuite  c~'  =  r,  on  a 

de  plus ,  réquation  qui  détermine  a ,  donne 

»-t-i— na=(»+i).xî 
d'où  Ton  tire 

on  aura  donc,  atix  quantités  prés  de  Tordre  ^ , 
Pour- déterminer  *,  reprenons  l'équation 

on  aura  par  la  formule  (p)  du  n'ai  du  second  livre. de  Ut 
Mécanique  céleaUt 

-f— V 

j  *e«nt  supposé  ^  à  c  '^"-'.  Cette  Taleuriej  doBBe 


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DES  PROBABIUTÉÏ.  195 

par  coiuëqnëiit',      . 

En  égalant  cette  quantité  à  la  fraction  ^ ,  on  Auti 

or  on  a 

i+i»— «.logy;  " 
on  aura  donc  à  très-peu  près  pour  rexprëssion  du  nombre  i  cte 
tirages ,  après  lesipieb  la  probabilité  que  tous  les  numéros  seront 


sortis  est 


» = Gog  B— log  log  i) .  (b— i  H-  i  log  A)  -H  1  log  i  ; 

on  doit  observer  que  tous  ces  logarithmes  sont  hyperboliques. 

Supposons  la  loterie  ctHnposée  de  dix  miUô  numéros ,  ou  n^ioooOf 
et  Â:=  3,  cette  formide  donné   ■ 

»  i=  96767,4 

pour  rexprëssion  du  nombre  de  titrages,  dans  lesquels  on  peut 
parier  nn  contre  un,  que  les  dix  mille  billets  de  la  loterie  sortiront  ; 
il  y  a  donc  un  peu  moins  d'un  contre  un  à  parier  qu'ils  sortiront 
dans  95767  tirages,  et  un  peii  plus  d'un  comreun  à  parier  qu'ils 
sortiront  dans  96768  tirages.' 

On  déterminera  par  une  analyse,  semblable ,  le  nombre  des  tirages 
dans  lesquels  on  peut  parier  un  ooatre  un,qne  tous  les  niunéros 
de  la  loterie  de  France-  sortiront.  Cette  loterie  est,  coname  on  sait, 
composée  de  90  numéros  dont  ànq  sortent -à  chaque  tirage.  La 
prolMtbilité  que  totus  ies  nnm^x}8  sortiront  dans  1  tirages,  est  alors 
par  ce  qui  précède,'. 

C«.(»-0.C'>-a).('i-3).C'— 4)]'    * 

n  étant  val  égal  à  9oVet  s'  derant  être  suppoàé  nul  dans  le  résultat 


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,196  THÉORIE  ANAiYTIQUE 

du  calcul.  Si  l'on  ait  s=s' —  a,  cette  fonction  ttevieut 

ou  en  développant  en  s^e , 

j  devant  être  supposé  égal  à  —  a  dans  le  résultat  du  calcul. 

On  a  par  le  n*  4o  du  [nremier  Livre,  en  négligeant  les  tenues 
de  l'ordre^,  et  supposant  c~*  très-petit  de  l'ordre -î^, 

a  étant  donné  par  Tequation 

(5M-i).(i-c-^ 


Ou  a  ainsi ,  en  négligeant  les  termes  de  Tordre  ' , 

7 îïi:^'— 7 "^TTÏ! — -(l— C^'-C 

(n— a)»'  (1— c-")'"        ^  ■' 

or  on  a 

■  ■  '  -  '     ^"''^ . 

on  aura  donc  aux  quantités  près  dé  Fordre  4 1 


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DES  PROBASaiTÉS.  197 

En  sidïstituAnt  pour  a  sa  râleur,  et  observant  qae  i  est  fort  peu 
difG^rent  de  n^a,  dans  le  cas  présent ,  coiume  on  le  verra  ci- 
après;  ou  a.à  trè&-peu  près, 

10. i  a-(n— s)  ' 

Je  conserve  pour  ploa  d'exactitude ,  le  terme  ^V^_^<  »  quoique  de 
l'ordre  \,  à  cause  de  la  grandeur  de  son  Êtcteur  la  ;  on  aura  donc 

(n — a)*       ^  '     \  a-C»  —  S)  *     a  / 

Si  l'on  change  dans  cette  e^ression  5i  dans  5i  —  a ,  on  aura  celle 


de 


A". 4*^ 


(~'L-  v»-*  '  "i^^^  ^  râleur  de  a  ne  sera  plus  Ut  même.  Soit  a' 
cette  nouvelle  râleur,  (m  aura 

->—    (Si-O.Q-c-O 

c— ■>•(■  + ^) 

ce  qui  donne  à  trés-peuprès , 

, a 

""    "*«  — a' 
Alors  on  â 

»— a' 

d'où  Toa  tii'e  ;  en  négligeant  les  quentitéa  de  l^ordre  ' , 

(l-^)-=(,-c-)-., 

tor  oanséqûent  on  a ,  en  négligeant  les  quantitéa  de  l'ordie  \, 


On  anra  donc ,  aux  quantités  près  de  l'ordre  i,  ; 

i;i..(n-0.(»-a).(n--3),(n-4)J 


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,98  THÉORIE  ANALTnOUE 

Cette  quantité  doit,  par  la  condition  du  problème,  être  égale  à  j, 

ce  qui  donne 

d'où  Ton  tire 

par  coméqoent  on  a  en  logarithmes  hypeii>oliques , 

or  on  a ,  aux  quantités  près  de  Tordre  |-.| 

a= ^i 

on  aura  donc 

En  substituant  pour  n  sa  valeur  90 ,  on  trouve 

ensorte  qu*U  y  a  nn  peu  moins  d'An-  cootre  ns  à  parier,  que  tràs 
les  numéros  sortiroitt  dans  85  tirages ,  et  un  peu  plus  d'un  contre 
un  à  parier  qu'ils  sortiront  clans  86  tirages'. 
.  Un  moyen  fort  simple  et  très-approcbé  d'obtoilirl^  Taterdei, 
est  de  supposer  ^-r- ,  ou  la  série 

dgale  au  développement 

Digilizedby  VjOOQIC 


DES  pjEtQpABarrÉa.  i^ 

fln  binôme  Ti  —  (~^—)T-  ^^  ^^^i  '**  ^'^^^  séries  ont  les  lieui 
premiers  termes  égaux  re^ectifemeat  Leurs  troisièmes  termes 
sont  aussi,  à  très-peu  prés,  égaux  entre  etis^  car  on  a  à  fort  peu 

près  (— ~)  ^(pl  à  (— ~)  •  En  effbt ,  lemrs  It^àri^mies  hyper- 
boliques sont,  en  négligeant^ le*  termes  de  Tordre  ^,é^ux  l'un 
et  l'autre  à  —  -.On  verra  dç  la  même  manière ,  que  les  qua- 
trièmes termes,  les  cinquièmes,  etc.,  sont  très-peu  dtfférens,  lors- 
que n  et  i  sont  de  très-^ands  nombres;  mais  la  diffêrence  s'accroît 
sans  cesse ,  à  mesure  que  les  termes  s'élMgnent  du  premier ,  ce 
qui  doit  à  la  fin,  en  produire  une  sensible  entre  les  séries  elles-mêmes. 
Four  l'apprécier ,  déterminons  la  valeur  de  i  conclue  de  l'égalité  deà 

iieux  séries.  En  égalant  à  J,  le  binôme  fi  —  (^^)'l')  on  aura 

ces  logarithmes  pouvant  être  à  volonté ,  hyperboliques  ou  tabu- 
laires. Soit  ij^  =  I  —  £.  Nous  Mirons  en  [H-enant  les  logarithmes 
hyperboliques  de  chaque  membre  de  cette  équation , 

i.log*=si-i-Iog(V— «>«='«+ ^  +«tc. 
ce  qui  donne  à  très-peu  prés , 

■    A  ara-/' 

on  aura  donc  en  logarithmes  hyperboliques , 

log  (x  -  V/^)  =  log  *  =  log  log  *- log  n  -  i^V 


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aoo  THÉORIE  ÀNALTriQtE 

On  a  ensuite  ' 

log^^^  =  — i ^3— etc. 

L*espres9ion  précédente  de  i  devient  ainsi  à  très-peu  près, 

ic=».(Iogra— loglogA).(i  —  ^H-i.logi; 

l'excès  de  la  râleur  trouvée  précédemment  pour  i ,  sur  celle-ci ,  est 

î^.(log»-loglogA)î 

cet  excès  devient  infini ,  lorsque  n  est  infini  ;  mais  il  &ut  un  très- 
grand  nombre  pour  le  rendre  bien  sensible  ;  ,et  dans  le  cas  ds 
p=  loooo  et  de  ^=  a  ;  il  n'est  encore  que  de  trois  unités. 
Si  l'on  considère  pareillen^ent  le  développement 

-5V 


.-».("-=iy+ 


etc. 


•  de  l'expression  ^■^^^''~'Y''~^Y''l?.^''~^7  >  comme  celui  du 
)»nome  Fi  —  (— — -)  J  î  on  aura  pour  déterminer  le  nombre  iàe 

coups  dans  lesquels  on  peut  parier  un  contre  un^  que  tous  les 
numéros  sortiront,  l'équation 


C!S  qui  donne 


M. 


Ces  logarithmes  peuvent  être  tabulaires.  En  disant  n  =  90 ,  on 
trouve 


re  tabulaire! 

)  =  85,aoé, 

ces 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  *oï 

ce  qtù  diffère  très-peu  de  la  râleur  c  s=  85,g5  que  nous  âvona 
trouvée  ci-dessus. 


6.  Une  nme  étant  supposée  renfermer  le  nombre  x  de  boules, 
on  en  tire  une  partie  ou  la  totalité  >  et  Ton  demande  la  pFcbabi-r 
lité  que  le  nombre  des  boules  extraites  serap^r. 

La  somme  des  cas  dans  lesquels  ce  nombre  est  l'unité ,  égale 
évidemment  x;  puisque  chacune  des  boules  peut  également  être 
extraite>  La  somme  des  cas  dans  lesquels  ce  nombre  égale  3,  est 
la  somme  des  combinaisons  des  x  boules  prises  dçux  à  deux  ,  et 

cette  somme  est ,  par  le  n'  5 ,  égale  à  '^  ,  ~  ■  La  somme  des  cas 
dans  lesquels  le  même  nombre  égale  3 ,  est  la  somme  des  com- 
binaisons des  boules  prises  trois  à  trois,  et  cette  somme  est 
f-'u^^^^-^'^TlV-  et  ainsi  de  suite.  Ainsi  les  termes  successiÊ  du  dé- 

veloppemeut  de  la  fonction  (1  +  1  )'—  1 ,  représenteront  tous  les 
cas  ^ms  lesquels  le  nombre  des  boules  extraites ,  est  successive- 
ment 1,  a,  3,  etc.  jusqu'à  x;  d'où  il  est  Ëicile  de  conclure  que 
la  soname  de  tous  les  cas  relatif  aux  nombres  impairs,  est 
x.(iH-i)' — î.(i — 1)%  ou  a*"*;  et  que  la  somme  de  tous  les  cas 
relatife aux  nonibres pairs, est ï.(i+i)'+7.'(i — i)* — i  jOua*-'— i. 
La  réunion  de  ces  deux  sommes  est  le  nom*bre  de  tous  les  caspos- 
siUes  -j  ce  nombre  est  donc  a*  —  i  ;  ainsi  la  probabûité  que  le  nombre 

des  boules  extraites  serajair,  est  _^  ^  ,  et  la  probabilité  que 
ce  nombre  sera  impair .  est  "i,-;  il  y  a  donc  de  l'avantage  à  parier 
avec  égalité ,  pour  un  nombre  impair. 

Si  le  nombre  x  est  inconnu,  et  si  l'on  sait  seulement  qu'il  n» 
peut  excéder  n,  et  que  ce  nombre  et  tous  les  inférieurs  sont  éga- 
lement possibles  ;  on  aura  le  nombre  de  tous  les  ca»  possibles  rela- 
tl&  aux  nombres  impairs ,  en  faisant  la  somme  de  toutes  les 
valeurs  de  a*-*, depuis xc=  1  jusqu'à x=in,  etfl  estfecile  de  voir 
que  cette  somme  est  a" — i.  On  aura  pareillement  la  somme  de  tous 
les  cas  possibles  relati&  aux  nombres  pairs ,  en  sommantla  fonction 
«'"-'— I ,  depuis  jc=:  I  jusqu'à  xssn,et  l'on  trouve  cette  somma 

a6 


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^oa  THÉORIE  ANALYTIQUE 

«gale  à  a" — n-—  i  ;  la  probabilité  d'un  nombre  pair  est  donc'  aloW 
■~^-—~—i  6t  celle  d'un  nombre  impair  e8t-=§— ^ — . 

Supposons  meiintenant  que  l'urne  renfeitne  le  nombre  xde- 
boules  blanches ,  cl  le  même  nombre  de  boules  noires  ;  on  demande 
U  probabilité  qu'en  tirant  un  nombre  pair  quelconque  de  boules, 
og_aménera  autant  de  boiJes  bïancbes  que  de  boules  noires ,  tous 
fcs  nombres  pairs  pouvant  être  également  amenés. 

Le  nombre  des  cas  dans  lesquels  une  boule  blanche  de  Fume 
peut  se  combiner  avec  ime  boule  noire,  est  évidemment  x.x.  Le 
nombre  des  cas  dans  lesquels  deux  boules  blanches  peuvent  se 
combiner  avec  doux  boules  noires ,  est  ^'^^~'^  .  f-v^^~~0  gt  ainsi 
de  suite.  Le  nombre  des  cas  dans  lesquels  on  amènera  autant  de 
boules  blanches  que  dd  boules  noires ,  est  donc  la  somme  des  carrés 
des  termes  du  développement  du  binôme  (  i  +  i  ]*,  moins  l'uRtté. 
Pour  avoir  cette  som^ne  ^  noua  observerons  qu'elle  est  égale  au 

terme  indépendant  de  a ,  dans  le  développement  de  ^i  H-^T  ■(  I -H*)' 
Cette  fonction  est  égale  à  ■'"^— .  Le  terme  indépendant  de  a,  dans 
«on  développement,  est  ainsi  le  eoeffident  dtt  terme-moyen  da 

binôme (i -f-a )";  ce  cqefficieiit  est  /'"'g-'-"— ■^;;  le  nombre  des 

cas  dans  lesquels  on  peut  tirer  de.  l'urne  autaiU  de  boules  blanches 
que  de  boules  noires,  est  donc 

1 ,3.5. ..ax 


(i.3.3....a:)» 

iiC  nombre  de  tous  les  ca»  possibles  est  la  somme  des  termes 
impairs  dans  le  développement  du  binôme  (  i  -f'  r)**,  moins  le  pre- 
mier, ou  l'unité.  Cette  scHMitté  est ■î-,(i+ï)"'-|-ï'(i—'')*';l*  nombre 
•des  cas  possibles  est  donc  a*""'— i  ;  ce  qiâ  donne  pour  l'expression 
de  la  probabilité  chercbéi ,  ' 

Kg.3-..flj  _  ■       ,       - 

(>.a.5....j;)'       ' 

'Dans  le  cas  où  ar  est  un  grand  nombre ,  cette^obabilité  se  réduil 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  ao5 

par  le  n°  5a  du  premier  livre  ,  à  --7=)  «  étant  toujours  la  demi- 
cffconférenGe  dont  i  est  le  rayon. 

6.  Considérons  un  nombre  ^  -f-  a/-  d'urnes ,  dont  la  première 
renferme p  boules  blanches  et  ^-boules  noires;  la  seconde,  p'  boules 
blanches  et  q'  boules  noires  ;  la  troisième ,  p"  boules  blanches  et 
g"  boules  noires,  et  ainsi  de  suite.  Supposons  qpie  l'on  tire  succes- 
sivement une  boule  de  chaque  urne.  Il  e^t  clair  que  le  nombre  de 
tous  les  cas  possibles  au  premier  tirage,  est^  +  §-;  au  sccon<l 
tirage ,  chacun  des  cas  du  premier  pouvant  se  combiner  avec  les 
jj'+j' boules  de  la  seconde  urne, on  aura  (/)-l-9).(p'-j-ç')  pour  le 
nombre  de  tous  les  cas  possibles  relatif  aux  deux  premiers  tirages. 
Au  troisième  tirage ,  chacun  de  ces  cas  peut  se  combiner  avec 

les  p"  4-  ç"  boules  de  la  troisième  urne  ;   ce  qui  donne 

Cp+?)-(y+?')'Cp"'+*9")  po"*"  le  nombre  de  tous  les  cas_po8r 
sibles  relatils  à  trois  tirages ,  et  ainsi  du  reste.  Ce  produit  pour 
la  totalité  des  urnes ,  sera  composé  de  x+x'  facteurâ;  et  la  somme 
de  tous  les  termes  de  son  développement ,  dans  lesquels  la  lettre 
Py  avec  ou  sans  accent ,  est  répétée  x  fois ,  et  par  conséquent  la 
lettre  ç,x'  fois,  exprimera  k  nombre ^es  cas  dans  lesquels  on 
peut  tirer  des  urnes,  x  boules  btauches  et  x'  boules  noires. 
-  Si  p',  p",  etc.  sont  égaux  à  7; ,  et  si  y',  g",  etc.  sont  égaux  à  y  ; 
le  produit  précédent  devient  ip-hg)'*''.  Le  t^me  multiplié  par, 
p^. g"' dans  le. développement  de  ce  binôme  est 

(a>K)-(x+j:'-0 ....  (x+i;        ^ 
ou  ; 

.      i.fl.3....(a>KiO 


..a.3....a'*' 


.p-.j-. 


Ainsi  cette  quantité  exprime  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  on 
peut 'amener  ^  boules  hlaUc^es  et  x'  boules  noires.  Le  nombre 
de  tous  les  cas  possibles  étant  (p  +y  )'^'',  la  probabilité  d'amener 
X  boules  blandics  et  x'  boules  noires ,  est 

i.g.g...(g+y)      f  P  y  {  'j  Y 

DigilizedbyLjOOQlC 


io4  th]§orh:  analtoque 

où  l'on  doit  observer  que  — ^  est  la  probabilité  de  tirer  un* 

boule  blanche  de  Fune  des  urnes  >  et  que  -^  est  la  probaMIité  d'éa 
tirer  une  boule  noire. 

Il  est  visible  qu'il  est  par^tement  égal  de  tirer  x  boules  blanches 
etx'  boules  noires,  de  x+y  urnes  qui  ren&rment  chacune  p 
boules  blanches  et  q  boules  noires,  ou  d'une  seule  de  ces  urnes, 
pourvu  que  Ton  remette  dans  l'urne  la  boule  extraite  à  chaque 
th-age. 

Considérons  maintenant  un  nombre  x-^x'-j-x"  d'urnes  dont  la 
première  renferme/»  boules  blanches,  g  boules  noires,  et  r  boules 
rouges;  dontlaseconderenferme;7'boiilesblanches,j'boules  noires, 
«t  /  boules  rouges  ;  et  ainsi  de  suite.  Supposons  que  l'on  tjre  une 
boule  de  chacune  de  ces  urnes.  Le  nombre  de  tous  les  cas  possibles 
«era  le  produit  des  xH-a:'+  ^"  facteurs , 

(i>+î+r).(p'-f-y'-f-/^).(p"+9''+r'0.«tC. 

IjB  nondïre  des  cas  dans  lesquels  on  amènera  x  boules  blanches  f 
^  boules  noires,  et  x"  boules  rouges,  sera  la  somme  de  tous  les 
termes  du  développement  de  ce  produit ,  dans  lesquels  Ja  lettre  p 
*era  répétée  x  foisj  là  lettré  y,  x'  fois,  et  la  lettre  r,  x"  fois.  Si 
toutes  les  lettres  accentuées  /)',  <?',  etc.,  sont  égales  à  leurs  corres- 
pondantes non-accentuées ,  le  prodiùt  précédent  se  change  dans  le 
trinôme  ^  p + g  -|-  r)'*'''^"*.  Le  terme  de  son  développement  qui  a 
pour  ïaoteur/ï'.5''.r^,  est 

ainsi  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles  étant  (/H-gH"'")'*''"^'*»  ^ 
probabilité  d'amuier  4:  boules  blancheà,  x'  boules  noires,  et  a^ 
boules  rouges ,  sera 

i.fl.3...x.Kfl.3...a/.i.a.3.:..jr  '  Kp^^rJ  'Kp-H+rJ   'V.p+ç+r/    ' 

t>ù  ron  doit  observer  que-^^_^_^,  J:^^i  ?+?+7  ^**°'  *^  P^**' 
habilités  respectives  de  tirer  de  chaque  urne ,  une  boule  blanche, 
«ne  boule  noire ,  <l  une  boule  rouge. 


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DES  PROBABILITÉS,  ao5 

On  voit  généralement  que  si  les  urnes  renferment  chacune  ]« 
même  nombre  de  couleurs ,  p  étant  le  nombre  des  boules  de  la  pre- 
tnièré  couleur;  q  celui  des.  boules  de  la  seconde  couleur;  r,«,  etc., 
ceux  des  boules  de  la  troisième,  de  la  quatrième,  etc.;  a>f-a:'-4-^'+aj"' 
•4- etc.  étant  le  nombre  des  urnes  ;  la  probabilité  d'amener  x  boules 
de  la  première  couleur ,  a^  boules  de  la  seconde,  x"  boules  de  la 
troisième,  x"'  boules  de  la  quatrième,  etc. ,  sera 

i.a.5...x.i.a.3...a:'.i.a.3...a;'.i.a.5...a;*.etc  *  \p-f-ç+r-fj+etcy 


*j.  Déterminons  maintenand  la  probatàlité  de  tirer  des  nmea 
précédentes,  x  boules  blanches  ,  avant  d'amener  soit  J:^'  boules 
noires},  soit  jc"  boules  rouges,  etc.  Il  est  clair  que  n  exprimant 
le  nombre  des  couleurs,  cela  doit  ^arriver  au  ï^u?  .tard , après 
o-+a/^a:"+etc.— »-f-i  tirages:  Car  lorsque  le  nombre  des 
boules  blanches  extraites  est  égal  ou  moindre  que  x ,  celui  des 
boules  noires  extraites ,  moindre  que  a:',  celui  des  boules  rouges 
extraites, moindre  que  x",  etc.  ;  le  nombre  total  des  boules  extraites, 
«t  par  conséquent,  le  nombre  des  tirages  est  égal  ou  mcnndre  que 
*i:4--^+  x"-+-etc.— »+  1;  on  peut  donc  ne  considérer  ici  que 
a>4-ar'+x"H-etc.— n+x  urnes. 

Poiur  avoir  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  on  peut  amena* 
x  boules  blanches  au  ^ÎÈH-j)'™'  tirage,  il  feut  déterminer  tous  leâ 
cas  dans  lesquels  x  —  i  boules  blanches  seront  sorties  au  tirage 
x+i — 1.  Ce  nombre  est  le  terme  multiplié  par  jj*-'  dans  le  dé- 
reloppement  du  poljnqme  (iH-ff+TH-etc.)'*?"',  et  ce  terme  est 

i.fl.3.  ...fx+i— 0  ,_    /     .      ■     .    .1 

i.^.s...(x-o.T.».3...r^^  .<s4-H-elcJ'. 

En  le  combinant  avec  lea  p  boules  blanches  de  Furne  x-f  /,  on 
aura  un  produit  qu'il  Êuidra  encore  multiplier  par  le  iionilH'e  de 
tous  les  cas  possibles  relatifs  aux  x'-f-o^'-f-etc— n — j-f-i  tirages 
cuiraus,  et  ce  nombre  est 


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ao6  THÉORIE  ANALYTIQUE 

on  aura  donc 

pour  le  nombre  des  cas  danâ  lesquels  l'événement  peut  arriver 
précisément  au  tirage  x  +  i.  Il  faut  cependant  en  exclure  les  cas 
dans  lesquels  g  est  élevé  à  la  puissance  S^,  ceux  dans  lesquels  r  est 
élevé  à  la  puissance  j:",  etc.  j  car  dans  tous  ces  cas ,  il  est  déjà  ar- 
rivé au  tirage  x  + 1  —  i ,  ou  x*  boules  noires ,  ou  x"  boules  rouges, 
ou  etc.  Ainsi  dans  le  développement  du  polynôme  (y-+-r4-etc.)',  il 
ne  faut  avoir  égard  qu'aux  termes  multipliés  par  ç/./^.V.etc. , 
dans  lesquels  /est  moindre  que  x',  f  est  moindre  que  x",  /"  est 
moindre  que  x"',  etc.  Le  terme  multq>lié  par  y',  t^,  V.etc,  dans 
ce  développement,  est 

i.a.3.../...u'i!.'^>'.';Vg---/'-^c-'^''^'*^'^^' 

Tous  les  termes  que  l'on  doit  considérer  dans  la  fonction  (a)  8ont 
donc  représentés  par 

i.fl.3...j:— i.i.3.3.../.i.a.3.../'.elc.  ^     * 
XCp+9H-'-+etc.)-'-^''+«'-J^/'-~— +•;     (b) 

parce  que  i  est  égal  à  /-hf'-¥-  etc.  Ainsi  en  donnant  dans  cette 
dernière  fonction,  k  /  toutes  les  valeurs  entières,  depuis  f=ff 
jusqu'à  /sxx* —  1  ;  à  /"'  toutes  les  valeurs  depuis  f=o  iusqu'à 
/'=  x"  —  1 ,  et  ainsi  de  suite ,  fô  somme  de  tous  ces  termes  exjHi-  ■ 
mera  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  rérénement  proposé  peut 
arriver  dans  x-f-x'+etc. —  n  +  i  tirages.  Il  feut  diviser  celte 
somme  par  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles,  c'est-à-dire  par 
(p-f-ç-f-'H-etC. )'**'*•''*'*"""*'.  Si  Ton  désigne  pary  la  probabilité 
de  tirer  une  boule  blanche  d'une  quelconque  des  urnes  ;  par  y' 
celle  d'en  tirer  une  boule  noire;  par  r*  celle  d'en  tirer  une  boute 
rouge,  etc.;  on  aura 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  hoj 

la  foiicti<Hi  (A)  divisée  par  (jj+g+r-î- etc.)'^"'"^"'-~""*"S  deviea- 
ifati  ainsi; 

L^-.(^/+/--Htc-i)    ■..,>,    ,/.^>^.^tc. 

i.a.3...x-i,i.a.3.../.i.?.3.../'.etc  ■'^     '  ■ 

La  somme  des  termes  que  Ton  obtiendra  eir  donnant  à  f  toutes 
les  valeurs  depuis  /^  o  jusqu'à  /=  x' —  i }  à  y  toutes  les  vàleara 
depuis  _^'=o  jusqu'à,  y ^x" — i,etc.,ser&  la  probabilité  cher- 
chée d'amener  x  boides  blanches  avant  x'  boules  noires,  ou  m^ 
boules  rouges  y  ou  etc. 

On  peut,  d'après  cette  analyse,  déterminer  <e  sort  d'un  nombr(î_ 
n  de^jouwirs_^,  5jC,  etc.,  dont  y,  5',  X,  etc.  représentent  ks 
adresses  respectives,  c'est-à-dire,  leurs  probabilités  de  gagner  uni 
coup,  IcirsquC  pour  gagnerlapartie,ilmaiiqueji:  coups  au  joueur^, 
j^  coups  au  joueur  B ,  or"  coups  au  joueur  £7,  et  ainsi  de  suite  ; 
car  il  est  clair  que  relativement  au  joueur  A ,  cela  revient  à  dé- 
terminer la  probabilité  d'amener  x  boules  blanches  avant  x'  boules 
noire»,  ou  af'  boules  rouges,  etc.j  en  tirant  successivement  une' 
boule  d'un  nombre  j::^H-a/-f-a:"+etc.— n-f-i  d'urnes  qui  ren- 
ferment chacune  p  boules  blanches ,  q  boules  noires ,  r  boules 
Touges,  etc.,  p,  y,  r,  etc.  étant  respectivement  égaux  aux  numé- 
rateurs des  fractions  p^,  g',  r' ,  etc.  réduites  au  même  dénomi- 
Bateur. 

8-  Le  problème  précédent  peut  être  résolu  d'une  manière  fort 
simple,  par  l'analyse  des  fonctioos^nératEicfîp.  Nommons^,,^,,,  „(, 
la  probabilité  du  joueur-^  pour  gagner  la  partie.  Au  coup  suivant, 
■cette  probabilité  se  change  dans  jr,_,  „,^,,„(, ,  si  ^  gagne  ce  coup , 
■et  la  probabilité  pçur  cela  est  p'.  La  même  probabilité  se  change 
"dans^,,„_,,,»,,„  »si  le  coup  est  gagné  par  le  joueur  B,  et  la  pro-, 
fc^îKté  pour  cela  est  ç' ;  elle  se  change  dans _j',,^,r„_,,„e.  si  le  coup 
«st  gagné  par  Iç  joueur  C,  «t  la:  probabilité  pour  cela  est  r*,  et 
ainsi  de  suite  ;  on  a  doiu  l'équation  aux  diSerences  partielles , 

.^-.^>,.A.=i/-^,-.,^,«/,eK.+î'-^r,«/-t,«»,«c.H-'^.r',i',"'— ,«..4-eta 

Soit  «  une  fonction  de  ï,  *',  *",  etc.,  telle  que  ^,,1/,,/,,  ,„. ,  soit  le 
coefficient  de  f,t''^J''*.çtc.  dans  son  développement;  l'équatioQ 


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ao»  THÉORIE  AIÎALTTIQUE 

{»%eédenfe  ans  différences  partielles  donnera ,  en  passant  des  coefIî|)i 

ciens  aux  fonctions  génératrices^ 

B=  w.(jP'(  +  jrY -4- /^«"^  etc)  ; 
d'où  l'on  tire 

j  — p'f-f-yVH- //("+ etc-i 
par  conséquent , 

oequi  donne 


t  —  1  —  oV—  Vf  —  ei 


i-hr.(yY+r'ï"-+-etc.) 
uy  ^  ,,  \+  ^^ .  (sV+/^'+etc.)' 

^  lj-iiï±^ï±î2.(2V+/f"+etc.)' 

etc. 
Maintenantle  coefficient  de  (•.«'*'.("**. etc.  dans  p  est  ^,,i,,;^,Mc; 

et  le  même  coefficient  dans  nn  terme  quelconque  du  dernier 
membre  de  l'équation  précédente,  tel  que  ku. p''.t/''.^"^. etc. ,  est 
^i'''-j'o,^~w.^'-w,Mc-j  la  quantité,^e,,/_j/ ,,»_«/,  ne.  eat^ale  à  l'uniîé, 
puisqu'alors  il  ne  manque  aucim  coup  au  joueur  ^.  De  plu» ,  il 
feut  rejeter  toutes  les  valeurs  de^,,,,_i,,,„_i„,^,  dans  lesquelles  l'. 
est  égal  ou  plus  grand  que  x',  ï'  est  égal  ou  plus  grand  que  a/',  et 
ainsi  de  suite  ;  parce  que  ces  termes  ne  peuvent  être  donnés  par 
réqoation  aux  difiËrences  partielles ,  la  partie  étant  finie ,  lorsque 
Tun  quelconque  des  joueurs  B ,  C,  etc.  n'a  plus  de  coiqis  à  jouer  ; 
il  ne  Êiut  donc  considérer  dans  le  dernier  membre  de  l'équation 
précédente ,  que  les  puissances  de  i'  moindres  que  x*,  que  les 
puissances  de  f  moindres  que  a:",  etc.  L'expression  précédente  de 

~  donnera  ainsi ,  en   repassant  des  fonctions  génératrices  aux 

coefficiens,  ' 

-     i4-x.(î'4-/+etc.) 

-^^■(/H-'^+etc;)-    ^ 

-^^^#=*=2i.(,'+XH-etc.)' 
(-frète. 

pourvu 

Digilizedby  VjOOQIC 


r!r^.-*",*«.=P 


Ï)ES  PROBABILITÉS.  109 

pomrvTi  qne  Ton  rejette  les  termes  dans  lesquels  la  puissance  de  g' 
surpasse  x'—  1 ,  ceux  dans  lesquels  la  piJssance  âe  r'  surpasse 
«"—  1  ^  etc.  Le  second  membre  de  cette  équation  «e  âév^opp^ 
dans  une  suite  de  termes  compris  dans  la  {brmule  générait 


i,a.3. 


i.fl.8..;(aH-/+/'-Hitc.~i)  ^     ,/    -     . 


La  somme  de  ces  termts  relatiâ  à  toutes  les  valeurs  de  / ,  depuis 
/  nul  jusqu'à  /=*' —  1  ;  à  toutes  les  valeurs  de  /',  depuis  /' 
nul  jusqu'à /'s=x" —  1 ,  etc.,  sera  la  probabilité  ^,,^,,„,,te.;  ce  qui 
est  coi^orme  à  ce  qui  précède.  *  - 

Dans  le  cas  de  deux  joueurs  A  et  27 ,  on  aura  pour  la  probar 
bilité  du  joueur  A  y 

En  changeant  j/  en  ^,  et  ;r  en  je^,  et  réciproquement,  on  aura 

^       \    ^        r    '         i.a       ■'^  '  i.!ï.3,..,(a:— 1)  'ir        f 

pour  la  probabilité  que  le  joueur  B  gagnera  la  partie.  La  somme  do 
ces  deux  expressions  doit  être  égale  à  l'unité  ;  ce  que  l'on  voit  cvi- 
demment  en  leur  donnant  les  former  suivantes.  La  première  ex- 
pression peut ,  par  le  n"  67  du  premier  Livre,  être  transformée 
dans  celle-ci. 


^— 0    ^' _,    Cj-Hc'-t).(:t>4^— a)    g^ 


i.a.3. ...(;!/— 0 
et  la  seconde  peut  être  transformée  dans  celle-ci, 

,   (x-)-a/-l)...Cx'+i)    ,■»-■ 
^         l.!i.3...C»>-i)       •  ,"-' 

Xa  somme  de  ces  expressions  est  le  déreloppement  du  binôme 


■r 


db,  Google 


flio  THÉORIE  ANALYTIQUE 

(y-^j' )«-*-«'-•,  et  par  conséquent  elle  est  égale  à  IMnîté;  parce 
que  AonB  devant  gagner  chaque  coup,  la  8(Hiune-p'4-  q'  deleurs 
^  probabilités  {)our  cela ,  est  Tuiitté. 

Le  problème  que  nous  Tenons  de  résoudre,  est  celui  que  l'on 
nomme  problème  des  partis .  dans  l'analyse  des  hasards.  Le  cheva- 
lier de  Meré  le  proposa  à  Pascal,  avec  quelques-autres  problème» 
sur  le  jeu  des  dés.  Deux  joueurs  dont  les  adresses  soqt  égales ,  ont 
mis  au  jeu  la  même  scnmne;  Us  d<»vent  jouer  jusqu'à  ce  que  l'un 
d'eux  ait  gagné  un  nombre  de  fois  donné ,  son  adversaire  ;  mais 
ils  conviennent  de  quitter  le  jeu,  lorsqu'il  manque  encore  x  points 
au  premier  joueur  pour  titteindre  ce  nombre  donné ,  et  lorsquHI 
manque  x'  points  au  secoad  joueur.  Ou  demande  de  quelle  manière 
ils  doivent  se  partager  la  somme  mise  au  jeu.  Tel  est  le  problème 
que  Pascal  résolut  au  moyen  de  son  triangle  arithmétique.  H  le 
proposa  à  Feïmat  qui  en  donna  la  solution  par  la  v6ie  des  caish- 
"binaisons;  ce  qui  occasionna  entre  ces  deux  grands  géomètres  une 
discussion ,  à  la  suite  de  laquelle  Pascal  reconnut  la  bonté  de  la 
méthode  de  Fermât,  pour  un  nombre  quelconque  de  joueurs. 
Malheureusement  nous  n'avons  qu'une  partie  de  leur  corre^on- 
dance,  dans  làquellâ  oii  vbït  les  premiers  élémens  de  la  théorie  des 
probabilités,  et  leur  application  à  l'un  des  problèmes  les  {dus  curieuï 
de  cette  théorie. 

Le  proUème  proposé  par  Pascal  à  Fermât,  revient  à  détcrminet' 
les  probabilités  respectives  des  joueurs  pour  gagner  la  partie;  car 
il  est  clair  que  l'enjeu  doit  être  partagé  entre  les  joueurs ,  propor- 
tionnellement à  leurs  probabilités.  Ces  probabilités  sont  les  mêmes 
que  celles  de  deux  joueurs  .^  et  5 ,  qui  doivent  atteindre  un  nombre 
donné  de  points,  x  étant  le  nombre  de  ceux  qui  manquent  au 
joueur  -^,  et  a/ étant  le  nombre  de  ceux  qui  manquent  au  joueur^, 
en  imaginant  une  urne  rei^ermant  deux  boules  dont  l'une  est 
blanche  et  l'autre  est  noire ,  toutes  deux  portant  le  îi"  i ,  la  boule 
blanche  étant  pour  le  joueur  ^ ,  et  la  boule  noire  pour  le  joueur  B. 
On  tire  successivement  une  de  ces  boules ,  et  on  la  remet  dans 
l'urne  après  chaque  tirag*.  En  nommant  j-*,*'  1^  probabilité  que 
le  joueur  ^  atteindra  le  premier,  le  nombre  donné  de  points,  ou, 
ce  qui  revient  au  même,  qu'il  aura  x  points  avant  que  f  en  ait 


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DES  PROBABILITÉS.  aix 

V,  on  aura 

car  si  la  boule  que  l'on  extrait  est  blanche,  j'^,,^  se  d^^e  en 
^•-i,»'»  et  81  la  boule  extraite  est  noire, ^,,„  se  change  eayl_^_,f 
et  la  probabilité  de  chacun  de  ces  érénemeiis  est  ^;  bu  a  donc 
l'équation  précédente. 
I^  fonction  génératrice  de  ^,,^  dans  cette  équation  aux  difîc- 
^rences  partielles,  est  ^  par  le  n*  ao  du  premier  Livre, 

j|f  étant  une  fonction  arbitraire  de  ^.  Four  la  déterminer,  nous 
obs^rrerons  quej;,,,  ne_£eutj!iYO,ir_  lieu,  puisque  la  partie  cesse  , 
lorsque  l'une  ou  l'autre  des  variables  *  et  x'  est  nulle  ;  M  doit 
donc  avoir  pour  facteur  t'.  De  plus^?-,,^  est  l'unité ,  quel  que  goit  x';  la 
probalulité  du  joueur  ^  se  changeant  alors  en  certitude  :  or  la  fonc- 
tion génératrice  de  l'unité,  est  généralement  —_Ji  car  les  coeffi- 
dens  des  puissances  de  ^  dans  le  développement  de  cette  fonc: 
tion,  sont  tous  égaux  à  l'unité  j  dans  le  cas  présent,  ^.^«,  pouvant 
avoir  Ueu  lorsque  j:'  e^  ou  i ,  ou  a ,  ou  5,  etc.  ;  i  doit  être  égal  à 
l'unité;  la  fonction  génératrice  de  /.„  est  donc  égale  à  —~p-t 
c*est  le  coefficient  de  f  dans  le  développement  de  la  fonction  gé- 
nératrice de/,,,,,  ou  dans 

M 


on  a  donc 
ce  qui  donne 


-i(— if  ■ 


par  conséquent  la  fonction  génératrice  de  /, 


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su  THEORIE  ANALYTIQUE 

En  la  déreloppant  par  rapport  aux  puissances  de  £ ,  on  a 

Le  coe£&àent  de  f  dans  cette  série ,  est 


y^;;^  est  donc  le  coefficient  de  /'''  dans  cette  dernière  quantité  : 
or  on  a 

t 

i-+-.j'.r+-.      ^^     .f  ..■•^^„_..  i.a.3..,(a/— 0  •'^  ^^''- 

_  ~        -_^  . 

En  réduisant  en  série  le  dénominateur  de  cette  dernière  fraction , 
«t  multipliant  le  numérateur  par  cette  série ,  on  voit  que  le  coefii- 
dent  de  H  dans  ce  produit,  est  ce  que  devient  ce  numérateur  lora- 
qa^on  j  Eût  £*  s=s  1  j  on  a  donc 


.^\ 


^  -c/.^]-^-(^+0_  ^^1   a:.(aH-0.(^+a) 


..-1- 


3.3 

g.(a;+i)...(j+y— a) 
i.a.3...Ca:'— i)  "     * 


résultat  conforme  à  ce  qm  précède. 

Concevons  présentement  qu'H  y  ait  dans  l'urne  une  boule 
blanche  portant  le  n'  i,  et  deux  boules  noires,  dont  une  porte  le  n'  i, 
et  l'autre  porte  le  n*  a  j  la  boule  blanche  étant  favorable  à  .^ ,  et 
les  boules  noires  à  sun  adversaire  :  chaque  boule  diminuant  de 
son  numéro,  le  nombre  de  points  qui  manquent  au  joueur  auquel 
elle  est  favorable.  y^,„  étant  toujours  la  probabilité  que  le  joueur 
A  atteindra  le  premier  le  nombre  donné ,  on  aura  Téquation  aux 
^difi^nces  partielles 

car  au  tiTEtge  suivant,  si  la  boule  blanche  SfMrtjjK.^,  deTientj-,.^,;^ 


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DES  PROBABILITÉS.  9i5 
«!  la  botUe  ncnre  numérotée  i  sort ,  y,,t,  deTieiit_/^j;^^,  ;  et  si  la 
boule  noire  numérotée  a  sort,  _?',,„  de™nt^^^_,j  et  la  probahi- 
lité  de  chacun  de  ces  érénemens  est  j. 
La  fonction  génératrice  de  y,^:,,  est 
M 

'M  étant  une  fonction  arbitraire  de  ^,  qui  doit ,  par  ce  qui  pré-: 
cède,  avoir  pour  Ëicteur  x',  et  dans  le  cas  {o^ent,  être  égale  à 

cnsorte  que  la  fonction  génératrice  de  y,;^  est 
''■(■- 


lie  coefficient  de  e  danâ  le  déreloppement  de  cette  fonction ,  est 


3--1  — i-'o— ji-— 11")" 
«t  il  résulte  de  ce  que  nous  Tenons  de  dire ,  que  le  coefficient  de 
tl''  dans  le  développement  de  cette  dernière  quantité,  est  égal  à 


i+ 


j.f.Ci+O  ,  j.(x+i)   f-Çt-K)' 


i.(»+0.(»+a)    f'-Çi+O' 


-i-etc. 


CH  rejetant  da  déreloppement  de  cette  série ,  toutes  les  puissances 
de  i  supérieures  à  t!''^  et  supposant  dans  ce  que  l'on  conserve , 
/'=  1 ,  ce  sera  l'espression  de  j»,,,,. 

Il  est  &cile  de  traduire  ce  procédé  en  formule.  Ainsi  en  suppo- 
«ant  x'  pair  et  égal  à  a/H-a,  on  trouve 


_-_J_    f,    I    -r  •   I  »■(*+')  i-'l-  »-(»+0- 


■[«• 


+..:.t:^<;4:.f:^.-{'-HH-.)+^r±^....+^r±i^j 

x.(:r+0...(^r+i)     I     ,    |.^_^v  I    (■r+a).(r+0....41 

^i.a.3,...Cr+s).3"**''  l'^^l'^^-' ^       ..a.3...(r-0    ) 

:j      x.(j+i) (-r-f~3r)  ; 

^'^  j.a.3..  ..iar-H;.3'-^'*''  : 


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91^  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Si  l'on  suppose  x'  impair  et  égal  à  ar  H- 1 ,  on  aura 

T^..!..3...(r+0.5-^'-  i'-t-l.'^-'-lJ-t        r:^ +  i.a.3...(r-,)J 

I  ».(:»+i)...(»+H-0     f ,   I  (r  I  j1  I  fr+'iC^+O         1   (r+a)(r+0...5l 
^^i.a,l..(r+a).3"-'"  '  ('"n'^-aM  ^-' +..a,S.. .  .(i^j; 

..(j;-<-2r— 0 


^     i.a.3 ar.3" 

Ainsi  dans  le  Câs  de  j:  =  a  et  x*^  5 ,  on  a 
35o 


J-..»» 


7^9 


Concerons  encore  qu'il  y  ait  dans  l'urne  deux  boules  blanches 
distinguées  pomme  les  deux  boules  noires ,  par  les  n"  i  et  s  ;  la 
probabUite  du  joueur  jé  sera  donnée  par  Téquation  aux]  djifêrences 
partielles . 

y..„=i.j',-,,«  +  i.j'.-,,»+  j. /.,«-,+ i-7„,_i. 

-  La  fonction  génératrice  de  j',,„  est  alors ,  par  le  W  ao  du  premier 
livre, 

ar+N.t 

■-i'-i'-î'^-!'"' 

M^XN  étant  deux  fonctions  arbitraires  de  i.  Four  les  déterminer, 
on  observera  quey.,,,  est  toujours  égal  à  l'unité,  et  qu'il  &ut  exclure 
dans  ilf  la  puissance  nulle  de  ^;  on  a  donc 

Pour  déterminer  JV,  cherdions  la  fonction  génératrice  de^,,,,.Sî 
rqn_observe  gue  j',,,,  est  égal  à  l'unité ,  et  que  le  joueur  A  n'ayant 
plus  besoin  que  d'un  point ,  il  gagne  la  partie ,  soit  qu'il  amène  la 
boule  blanche  numérotée  i ,  ou  la  boule  blandie  numérotée  a  ; 
Féquation  précédente  aux  différences  partielles  donnera 

Digitizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABILITÉS,  ai5 

Supposons  y..;<  =  i — y^;onaufra 

La  fonction  génératrice  de  cette  équation  est 

m  +  nif 

m  et  n  étant  deux  constantes.  Pour  les  déterminer,  on  obserrera 
quey.^.^Ojet  que  par  conséquente^  c=  i  j  ce  qui  donne  nissi.  La 
fonction  génératrice  de  y'^  est  donc 

1— Jf— ij--' 

On  a  eiMuite^idetniiient.j',,,  =  |,ce  qui  donne ^1=1;  j'^  est  le 
coefficient  de  f'  dans  le  développement  de  la  fonction  précédente , 
et  ce  coefficient  est  n-f-j;  on  a  donc  »+^  =  j,  ou  n=:^.  La 

fonction  génératrice  de  l'unité  est  -^— j ,  parce  qu'ici  toutes  les  ■ 
puissances  de  /'  peuvent  être  admises  ;  on  a  ainsi 


t'' 


pour  la  fonction  génératrice  de  ^i,,,.  Cette  même  fonction  est  le 
coefficient  de  t  dans  le  développement  de  la  fonction  génératrice 
de^,,^,  fonction  qui,  par  ce  qui  précède,  est 
f 

r=7- 


..(i  — il'  — ji'')+jr.i 


ce  coefficient  est 

c-o-o 

en  l'égalant  à 


>— i'  — 4''  — f— l""- 


N 


■JC-il")        1  — Ji-  — il"' 
il" 


(.-O.C.-if-Jl-)' 


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ii6  THÉORIE  ANALYTIQUE 

La  fonction  génératrice  de  y,,.,  est  ainsi 

Si  Ton  déretoppe  en  série  te  fonction 


C+Q.^t' 


i+^''.C>+0+^-t".C»+0'+^.f^Ci-K)^-Kte. 
+^^^£>+^.*'-(i+0+|-.f.(H-t')'+^.t^.(i+fy+etc.] 

+  etc. 

Si  Ton  rejette  de  cette  série,  toutes  les  puissances  de  t  autres  <jae 
<*,  et  toutes  les  puissances  de  ^  supérieures  à  t^'',  et  si  dam  ce  qui 
reste,  on  Êiit  ï=i,  «'=1 ,  on  aura  l'expression  de  ^,,w  lorsque  x  est 
égal  ou  plus  grand  que  l'unité  :  lorsque  a:  est  nul,  on  a^,,^=i.  II 
est  fecile  de  traduire  ce  procédé  en  formule ,  comme  on  l'a  ^t  pour 
le  cas  précédent. 

Nommons  z.,,/  la  probabilité  du  joueur  B;  la  fonction  généra^ 
trice  de  r,,^  sera  ce  que  devient  la  fonction  génératrice  de  ^,,^ 
lorsqu'on  y  charge  t  eç  t',  et  réciproquement  j  ce  qui  donne  pour 
pette  fonction , 

En  ajoutant  les  deux  fonctions  génératrices ,  leur  somme  se  rér 
duità 

dans  laquelle  le  coefficient  de  f .  f'*'  est  l'unité  ;  ainsi  Ton  a 


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DES  PROBABILITÉS.  017 

ce  qui  est  TÎsible  d'ailleurs,  puisque  la  partie  doit  être  nécessaire- 
ment gagnée  par  Tau  des  joueurs. 

'  9.  CoDceyoos  dans  ime  urne,  r  boules  marquées  du  n°  1 ,  r boules 
marquées  du  n'  a ,  r  boules  marquées  du  n"  3 ,  et  ainsi  de  suite 
jusqu'au  n*  n.  Ces  boules  étant  bien  mêlées  dans  Turne,  on  les 
tire  toutes  successiremeot  ;  on  demande  la  probabilité  qu'il  sortira 
au  moins  une  de  ces  boules ,  au  rang  indiqué  par  son  numéro , 
ou  qu'il  en  sortira  au  moins  deux,  ou  au  moins  trois,  etc. 

Cherchons  d'abord  la  probabilité  qu'il  en  sortira  au  moins  une. 
Pour  cela ,  nous  observerons  tpa'aucui»  hmilp  n*»  [««nt  sortir  à  son 
rang ,  que  dans  les  n  premiers  tirages  ;  on  peut  donc  ici  faire 
abstraction  des  tirages  suirans  ;  or  le  nombre  total  des  boules  étant 
771,  le  nombre  de  leurs  combinaisons  n  à  n ,  en  ayant  égard  à  l'ordre 
qu'elles  observent  entre  elles ,  est  par  ce  qui  précède  , 

nt.(m—i).(m'—a)..  ..(wi— n+i)i 

c'est  donc  le  nombre  de  tous  les  cas  possibles  dans  les  n  premiers 
tirages.  -■  .        ■ 

Considérons  une  des  boules  marquées  du  n*  1 ,  et  supposons 
qu'elle  sorte  à  son  rang ,  ou  la  première.  Le  nombre  des  combi- 
naisons des  n^— 1  autres  boules  prises  n—  1  à  n—  1 ,  sera 

(m — 1) .  (r»— 3) ....  (m—n-^l)  j 

(^est  le  nombre  des  cas  relata  à  la  supposition  que  nous  venons 
de  &îre  ;  et  comme  cette  supposition  peut  s'appliquer  aux  r  boules 
marquées  du  n*  i ,  on  aura 

■  r.(m— i),(m — 3) (ra — w+i) 

pour  le  nombre  des  cas  relatife  à  l'hypothèse  qu'une  des  boule& 
marquées  du  n"  1 ,  sortira  à  son  rang.  Le  même  résultat  a  lieu  pour 
l'hypothèse  qu'une  quelconque  des  n  —  1  autres  espèces  de  boules 
sortira  an  rang  indiqué  par  son  numéro  :  en  ajoutant  donc  tous  les 
résultats  refôtifs  à  ces  «Ûverses  hypothèses ,  on  aura 

nr.{m—i).(rn — a) (m — n-i-i),     (a) 

pour  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  une  boule  au  moins  sortira  9. 

a8 


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si8  THÉORIE  ANALYTIQUE 

son  rang ,  pourra  toutefois  que  Ton  eu  retrandie  les  cas  qid  sont 

répétés. 

Pour  déternïiner  ces  cas,  coosidérons  une  des  boules  du  n'  i , 
sortant  la  première ,  et  une  des  boules  du  n*  a ,  sortant  la  se- 
conde. Ce  cas  est  compris  denx  fois  dans  le  nombre  précédent  ; 
car  il  est  compris  une  fois  dans  le  nombre  des  cas  relatiâ  à  la 
supposition  qu'une  des  bonles  numérotées  i ,  sortira  à  sou  rang  , 
et  une  seconde  fois  y  dans  le  nombre  des  cas  relatife  à  la  supposir 
tion  qu'une  des  boules  numérotée  a,  sortira  à  son  rang;  et  comme' 
cela  s'étend  à  deux  boules  quelconques  sortant  à  leur  rang,  on  voit 
qu'il  fetrt  retrancHer  ffuTkombre-drô  oae  précédens,  'le  nombre  de 
tous  les  cas  dans  lesquels  deux  boules  sortent  à  leur  rang. 
-  Le  nombre  des  combinaisons  de  deux  boules  de  nnméros  diflGkens 
est  -■>"—■--.  r*;  car  le  nombre  des  numéros  étant  n,  leurs  combi- 
naisons deux  à  deux  sont  au  nombre  "'^"~-<  ;  et  dans  chacune  de 
ces  combinaigons ,  on  peut  combiner  les  rboules  marquées  d'un  des 
numéros,  arec  les  r  boules  marquées  de  l'autre  numéro.  Le  nombre 
des  coml»naisons  des  m— a  boules  restantes ,  prises  n — a  à  n— a  y 
«I  ayant  égard  à  l'ordre  qu'elles  observent  entre  eUes ,  est 

(ffî— a).(m — 3) (m — n+i); 

«insî  le  nombre  des  cas  relatife  à  la  suppoatioQ  que  deux  boules 
Matent  à  kur  rang,  est 

ï:^.,-.(r«-3).Cr«-3). ...  .(m-n+i); 

«n  k  retrancfafmt  du  nombre  (a) ,  on  aura 

»r.(m— i).(rn — a). .  .(m— n-f-i) 


pour  le  nombre  de  tous  les  cas  dans  lesquels  une  boule  au  moins 
sortira  à  son  rang,  pourvu  que  l'on  retranche  encore  de  cette 
fonction ,  les  cas  répétés  j  et  qu'on  lui  ajoute  ceux  qui  manquent 


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DES  PROBABILITÉS.  big 

Ce*  cas  sont  ceux  dans  lescfuels  trois  boules  sortent  à  leur  rang. 
En  nommant  k  ce  nombre ,  il  est  répété  trois  fois  dans  le  premier 
terme  de  la  fonction  (a');  car  il  peut  résulter  dans  ce  terme,  des 
trois  suppositions  de  chacune  des  trois  boules  sortant  à  son  rang. 
Le  nombre^^  est  pareillement  compris  trois  fois  dans  le  second 
terme  de  la  fpnctioa;  car  il  peut  résulter  de  chacune  des  suppo- 
sitions relatives  à  deux  quelconques  dès  trois  boules  sortant  à  leur 
Irang  ;  ainsi  co  second  terme  étant  a£fecté  du  signe  — ,  le  nombre 
k  ne  se  trouve  point  dans  la  fonction  {a')  ;  il  faut  donc  le  lui  ajouter 
pour  qu'elle  contienne  tous  les  cas  dans  lesquels  une  boule  au  moins 
sort  à  son  rang.  Le  iiomlw«  xtcs  combinaisons  dès  n  niunéros  pris 

trois  à  trois,  est"'^"~     g"*-,  et  aMoame  on  peut  comlnner  les  r 

boules  d'un  des  numéros  de  chaque  combinaison,  arec  les  r  bouleft 
Aol  second  nuinéro,  et  arec  les  r  boules  dii  troisième  nuniéro,  on 
aura  le  nombre   total   des   combinaisons   dans   lesquelles   trois 

boules  sortent  à  leur  rang ,  en  multipliant  "■'■  ~ '^'s  """  ■^'  P^ 
(rn— 5).(m— 4), .  .(m^^n-f-i),  nombre  qui  exprime  celui  des  com- 
binaisons des  rn— 5  boules  restantes ,  prises  n — 5  à  n— S ,  en  ayant 
égard  à  Tordre  qu'elles  obserrent  entre  elles.  Si  l'on  ajoute  ce  ^o- 
duit  à  la  fonction  {a') ,  on  aura 

n.r.{m — 1).(7»— a).,  .(m— n+i) 
—  "•^"~'\r-.(ra— 3).(wi-^)...(rff— B+i) 


Cette  fonction  e:q>rime  le  nombre  de  tons  les  cas  dans  lesquels  une 
boule  au  moins  sort  à  son  rang,  pourra  que  l'on  en  retranche 
encore  les  cas  répétés.  Ces  cas  Sont  cetix  dans  lesquels  quatre 
boules  sortent  à  leur  rang.  En  j  a|^Uquant  les  raisonnemens 
précédens ,  on  verra  qu'il  faut  encore  retrancher  de  la  fonction  {a") , 
le  terme 

— i^ ^  ^  g  ' i.r*.(/7i— 4).(rn— 5). . .  .(m— n+l). 

En  continuant  ainsi ,  on  aura  pour  l'exgression  du  nomlu'e  des  cas 
dans  lesquels  une  boule  au  moins  sort  à  son  rang 


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«3P  THÉORIE  ANALTnQtJE 

n.r.(rtt— i).(r«— a). .  .(m— n+i) 
—  ÎL^Z:1Ï.,-.(to— a).(ni— 5). .  .(/7»-^n+l) 

■^-"•^""'^^■^"^^7^.(771— 5).(m-4)...(/7i--«+i)î    (A) 

«.(b— i).(n— a).(n— S)     ,  ,  ,,    ,         r\        /  i  .^ 

■~ j.a.â.4    ^.r«.(m— 4).(m— 5). .  .(m— n-f-i) 

+  etc. 

la  série  étant  continuée  aussi  loin  qu'elle  peut  Téfre.  Dans  cette 
fonction ,  rTif»<]iift  «ombmaùan  n'est  point  répétée  ;  ainsi  la.  combi- 
naison de  s  boules  sortant  à  leur  rang ,  ne  s'y  trouve  qu'une  fois  ; 
car  cette  combinaison  est  comprise  s  fois  dans  le  premier  terme 
de  la  fonction,  puisqu'elle  peut  résulter  de  Chacune  des  s  boules 
sortant  à  son  rang;  elle  est  retranchée  '■'  ^*~.'.j  fois  dans  le  second 
terme ,  puisqu'elle  peut  résulter  des  combinaisons  deux  à  deux  des 
ê  boules  sortant  à  leur  rang  ;  elle  est  ajoutée  *-'-—■  'S*^-  fois  dans 
le  troisième  terme ,  puisqu'elle  peut  résulter  des  combinaisons  de 
s  lettres  prises  trois  à  trois,  et  ainsi  de  suite  ;  elle  est  donc  dans 
la  fonction  (A)  ,  comprise  un  nombre  de  fois  égal  à 

et  par  conséquent  égal  à  i— fi — i)',ou  à  l'unité.  En  divisant  la 
fonction  (A)  par  le  nombre  77i.(r;^-i). (m — a)....(/7i— n-4-i)de 
tous  les  cas  possibles,  on  aura  pour  Pexpressîon  de  la  probaÛlité 
qu'une  boule  au  moins  sortira  à  son  rang, 

*■        i.a.(m— i)^i.a.3.(n»— O-Cm— a) 

(a-0.C«-a).(n-3).r^  . 

~i.a.3.4.(r«-i).Cni— a).(ni— 3)    ^  ^"^-     W 

Cherchons  maintenant  la  probabilité  que  x  boules  au  moins  sorti- 
ront' à  leur  rang.  Le  nombre  des  cas  dans  lesquels  a  boules  sortent 
à  leur  rang,  est,  par  ce  ^  précède , 

""""•.'.rî!l;.>"'~'"^"-'-'-t"-»)-t"-'-')- ■  ■('■"-'■+').  w 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  aài 

potirva  que  l'on  retranche  de  celte  fonction ,  les  cas  qui  sont 
répétés.  Ces  cas  sont  ceux  dans  lesquels  «  + 1  boules  sortent 
à  leur  rang,  car  Us  peuvent  résulter  dans  la  fonction,  de  «-f-i 
boules  prises  s  k  s  ;  ces  cas  sont  donc  répétés  s  +  i  fois  dans  cette 
fonction  ;  par  conséquent  U  faut  les  retrancher  s  fois.  Or  le  nombre 
des  cas  dans  lesquels  s-^i  boules  sortent  à  leur  rang, est 

ï±=lL^^^j^P^.^..(™_^.).(„_^>) (™-^,). 

En  le  multipliant  par  «,  et  le  retranchant  de  la  fonction  (b), 
on  anra 

I.!l,3...f  ^  '    ^  '  ^  ' 

Bans  cette  fonction ,  plusieurs  cas  sont  encore  répétés ,  savoir ,  ceux 
dans  lesquels  «+a  boules  sortent  à  leur  rang  j  car  ils  résultent 
dans  le  premier  terme ,  des  5  +  ^  boules  sortant  à  leiu*  rang ,  et 
prises  «  à  «  ^  ils  résultent  dans  le  second  terme ,  des  «  +  a  boules 
sortant  à  leur  rang ,  et  prises  «H-ià«  +  i,  et  de  plus  multipliés 
par  le  Ëtcteur  s ,  par  lequel  on  a  multiplié  le  second  terme.  Us 
sont   donc    compris   dans    cette  fonction ,  le   nombre   de   fois 

■^"^  '— ^.(j+a))  aûMÎ  il  feut  multiplier  par  Tunité  moins 
ce  nombre  de  fois,  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  ^ -f-a  boules 
sortent  à  leur  rang.  Ce  dernier  nombre  est 

n.(n~-\)An — 3)...(ft— *— 1)     ,..   ,  .    ,  •T\       f  ,     \ 

-^ ,.a\3...C,+a) ^.^'-(m— ^3).(/w— ^— 5)....Cr»-n+l); 

le  produit  dont  il  s'agît  sera  donc 

'•^r::i::(::;:7"-'^--("-^-')-  •  •  •('»-»+o  .'41^. 

£n  rajoutant  à  la  fonction  {b') ,  on  aura 

l^^j  +  a  *  i.a.Cm— j).(rrt— j— i) 


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S99  THÉORIE  ANALYTIQUE 

c'est  le  nombre  âe  tous  les  cas  possibles  dans  lesquels  s  botdes 
sortent  à  leur  rang ,  pourvu  que  Ton  en  retranche  encore  les  cas 
qui  sont  répétés.  En  continuant  de  raisonner  ainsi ,  et  divisant  la 
fonction  Bnale  par  le  nombre  de  tous  les  cas  posaiUes  ;  on  aura 
pour  Texpression  de  la  probabilité  que  s  boules  au  moins  sortiront 
à  leur  rang  ^ 

(n-i).(„_a)...(»-j+i).f-' 
i.a.t...  *.(rn— i).(ra-^).  ..(m— j+i) 

*+i  *    rn—s  *+a*  i,3.(rn— j),(rA— i^i)        I       ffn 

j+^*i.9.3.(ra— O-Crn— •— 0-("— *— a)    T^     J 

On  aura  la  probabilité  qu'aucune  des  boules  ne  siHtira  à  son 
rang ,  en  retranchant  la .  formule  (  B  )  de  l'umté  ;  et  Ton  trouvera 
pour  sou  expression , 

Ei.».3...ni]— n.r.Ci.a.3...Cni— i)]+^i-^^^^.r*.[i.a.3...(m— a)3— etc. 
'  i.s.3.^..m 

On  a ,  par  le  n'  53  du  premier  Livre ,  quelque  soit  », 
1,3.3.  ...»=/x'dir.c~', 

rintégntle  étant  prise  depuis  x  nul  jusqu'à  x  jnfinL  L*expre8sioti 
précédente  peut  donc  élre  mise  soua  cette  forme , 

— 7^^.-^ — ■   w 

Supposons  le  nombre  m  de  boules  de  Tume ,  ti^s^and  ;  alors 
en  appliquant  aux  intégrales  précédentes ,  la  méthode  du  n'  34 
du  premier  Livre ,  on  trouvera  à  très-peu  près ,  pour  11zd£grale  du 
numérateur , 

X  étant  la  valeur  de  x  qui  rend  un  maximum  «  la  fonction 
jc'"-'.(x— r)".c~*.  L'équation  relative  à  ce  maximum  donne  pour  X, 
les  deux  vîdcurs 


X==- 


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DES  PROBABILITÉS.  aaj 

On  peut  neconùdérericiqueldplua  grande  de  cesvakursqui  est, 
aux  quantités  près ,  de  l'ordre  — ,  égale  à  m  -h  -^^  ;  alors  l'int^ 
grale  du  numérateur  de  la  fonction  (o)  devient  à  peu  près 

V/cr-0.(.-i)  +  i 

L'intégrale  du  dénominateur  de  la  même  fonction  est ,  par  le  n*  Sa , 
à  fort  peu  près, 

la  fonction  (o)  devient  ainsi 


On  peut  la  mettre  soxis  la  forme 

o-r 

m  étant  supposé  un  très-grand  nombre ,  cette  fonction  se  réduit 
à  fort  peu  près  à  cette  forme  très-simple , 

C'est  donc  Texpreséion  fort  approchée  de  la  probabilité  qu'aucunç 
des  boules  de  l'urne  ne  sortira  à  sou  rang,  lorsqu'il  y  a  im  grand 
nombre  de  boules.  Le  logarithme  hyperbohque  de  cette  expression, 
étant 


on  voit  qu^elle  va  toujours  en  croissant  à  mesure  que  n  augmente  ; 
.qu'elle  est  nuUe  j  lorsque  nssiy  et  qu'elle  devient  -,  lorsque  a 


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S34  THÉORIE  ANALYTIQUE 

est  infini,  c  étant  toujours  le  noudtre  dont  le  logaritluiie  hjper-i 

bolique  est  l'unité. 

Concevons  maintenant  un  nombre  i  d'urnes  renfermant  cha- 
cune le  nombre  n  de  boules ,  toutes  de  couleurs  dilKrentes  ^  et 
que  l'on  tire  successivement  toutes  les  boules  de  chaque  urne. 
On  peut ,  par  les  raisonnemens  précédens ,  déterminer  la  proba- 
bilité qu'une  ou  plusieurs  boules  de  la  même  couleur  sortiront  au 
même  rang  dans  les  i  tirages.  En  effet ,  supposons  que  les  rangs 
des  couleurs  soient  réglés  d'après  le  tirage  complet  de  la  première 
urne ,  et  considérons  d'abord  la  première  couleur  :  supposons  qu'elle 
sorte  la  première  dânsTës"ïirâge5  de»*—  i  autres  urnes.  Le  nombre 
total  des  combinaisons  des  n—\  autres  couleurs  dans  chaque 
urne  est ,  en  ayant  égard  à  leur  situation  entre  elles ,  i .  a .  3 . .  .-(n — i  )  ; 
ainsi  le  nombre  total  de  ces  combinaisons  relatives  aux  i  —  i 
urnes ,  est  [i  '.  a  ■  3 . . .  (n — 1)]'~'  ;  c'est  le  nombre  des  cas  dans  lesquels 
la  première  couleur  est  tirée  la  première  à  la  fois  de  toutes  ces 
urnes  ;  et  conune  il  7  a  n  couleurs ,  on  aura 

».[i,a.3.  ...(n— 1)]^' 

pour  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  une  couleur  au  moins  arri- 
vera à  son  rang  dans  les  tirages  des  i —  1  urnes.  Mais  il  y  a  dans 
ce  nombre ,  des  cas  répétés  ;  aiusi  les  cas  où  deux  couleurs  arrivent 
à  leur  rang  dans  ces  tirages ,  sont  compris  deux  fois  dans  ce 
nombre  ;  il  làut  donc  les  en  retrancher.  Le  nombre  de  ces  cas  est , 
par  ce  qui  précède , 

en  le  retranchant  du  nombre  précédent,  on  aura  la.  fonctioa 

«.[1.3. 3.. ..(»-i)]'--ï:^.[i.=. 5.. ..(»-!■)]-. 

Mais  cette  fonction  renferme  elle-même  des  cas  répétés.  En  con- 
tinuant de  les  exclure ,  comme  on  l'a  fait  ci-dessus  relativement  à 
une  seule  urne  ;  en  divisant  ensuite  la  fonction  finale ,'  par  le  nombre 
de  tous  les  cas  possibles,  et  qui  est  ici  [i.a.5. .  ..ra]'""';  oa  aura 
pour  la  probabilité  qu'une  des  n —  1  coiUeurs  au  moins  sortira 


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■  DES  PROBABILITÉS.  aaS    . 

à  son  rang  dans  les  î  —  i  tintes  qui  suirent  le  premier , 

'     ■  ^  — i.=..t«.(«-03'-!  +  i.9.3.Cn.(«_.).0.-a)ï-'-"-^**'-» 

expression  dans  laquelle  il  faut  prendre  autant  de  termes  qu'il  y  a 
d'imités  dans  n.  Cette  expression  est  donc  la  probabilité  qu'ail 
moins  une  des  couleurs,  sortira  au  même  rai:^  dans  les  tirages 
des  i  urnes. 

lo.  Ck)nsidérons  deux  joueurs  jé  et  Sj  dont  les  adresses  soient 
p  et  ^ ,  et  dont  le  premier  ait  a  jetons,  et  le  secood,  (  jetons. 
Supposons  qu'à  chaque  coup ,  celui  qui  perd  donne  un  jeton  à  son 
adrersaire ,  et  que  la  partie  ne  finisse  que  lorsqu'un  des  joueurs 
aura  perdu  tous  ses  jetons  ;  on  demande  la  probabilité  que  l*ua 
des  joueurs ,  -^  par  exemple ,  gagnera  la  partie,  avant  ou  au  a'"* 
coup. 

Ce  problème  peut  être  résolu  avec  Êicilité  par  le  procédé  sui- 
vant qui  est  en  quelque  sorte,  mécanique.  Supposons  b  égal  ou 
moindre  que  a,  et  considérons  le  développement  du  binôme  C/H-?)*- 
Le  premier  terme  p*  de  ce  développement  sera  la  probabilité  de  jé 
pour  gagner  la  partie  au  coup  b.  On  retranchera  ce  terme,  du  dé- 
veloppement, et  l'on  en  retrandiera  pareillement  le  dernier  terme 
9*,  si  & = a  ;  parce  qu'alors  ce  terme  exprime  la  probabilité  de  JR 
pour  gagner  la  partie  au  coup  b.  Ensuite  on  multipliera  le  resta 
parp-hff.  Le  premier  terme  de  ce  produit  aura  pour  fecteurp'.j', 
et  comme  l'exposant  b  ne  surpasse  que  de  6  -^  i  l'exposant  de  y  > 
il  en  résulte  que  la  partie  ne  peut  pas  être  gagnée  par  le  joueur  ^^ 
au  coup  b  -hijce  qui  est  visible  d'ailleurs  ;  car  si  ^  a  perdu  un 
jeton  dans  les  b  premiers  coups ,  il  doit ,  pour  gagner  la  partie 
gagner  ce  jeton  plus  les  b  jetons  du  joueur  B,  ce  qui  exige  b~i-a 
coups.  Mais  si  a  =  5  + 1 1  on  retranchera  du  produit,  son  dernier 
terme  qui  exprime  la  probabilité  du  joueur  B  pour  ^gner  la  partie 
au  coup  b-^i. 

On  multipliera  de  nouveau  ce  second  reste,  par  jj+y.  Le  pre- 
mier terme  du  produit  aura  pour  facteur  p**'.?,  et  comme  l'ex- 
posant de  p  y  surpasse  de  b  celui  de  y ,  ce  terme  exprimera  la 
probabilité  de  -^  poiu*  gagner  la  partie  au  coup  $  +  3-  On  retrao-: 

39 

Digilizedby  VjOOQIC 


aafi  THÉORIE  ANALYTIQUE 

chera  pareillement  du  produit ,  le  denùer  terme ,  di  Texposant  de  f 

y  surpasse  de  a  celui  de  p. 

On  multipliera  de  nouveau  ce  troisi^e  reste,  par  />+  ^ ,  et  Ton 
continuera  ces  multiplications  jusqu'au  nombre  de  fois  n  —  6 ,  en 
retranchant  à  chaque  multiplication ,  le  premier  terme ,  si  Texpo- 
sant  de  p  y  smpasse  de  b ,  celui  de  q,  et  le  dernier  terme ,  ta 
Fexposant  de  ^  y  surpasse  de  a,  celui  de  p.  Cela  pose,  la  somme 
des  premiers  termes  ainsi  retranchés ,  sera  la  probabilité  de  ^ 
pour  gagner  la  partie ,  avant  ou  au  coup  n  j  et  la  somme  des  der- 
niers termes  retranchés  sera  la  probabilité  semblable  relative  aa 
joueur  -ff. 

Pour  avoir  une  solution  analytique  du  problème ,  soit  y,^^  la 
probabilité  du  joueur  J  pour  gagner  la  partie ,  lorsqu'il  a  x  jetons , 
et  lorsqu'U  n'a  plus  que  x'  coups  à  jouer  pour  atteindre  leç  n  coups. 
Cette  probabilité  devient  au  coup  «uivant ,  ou^,^,.,,_, ,  ou^_,^_„ 
suivant  que  le  joueur  ^  gagne  ou  perd  le  coup  ;  or  les  (HrabaUlilés 
respectives  de  ces  deux  évéuemens  sont  j>  et  jf  j  on  a  dond'équatioD 
aux  di£^ence8  partielles, 

Vwir  intégrer  cette  équation,  nous  consid^erons ,  comaie  fotécé- 
demment ,  une  fonction  u  de  f  et  de  ;'  génitrice  de  j',,^,  ensorte 
qae^«,„  swt  le  coefficient  de  t't'''  dans  le  dévdf^pemeiit  de  cette 
fonctJoiLBn  repassant  des  coef&ciens,  aux  fonctions  génerabiccs, 
Féquation  précédente  dcmn^ra 


iPen  Fon  tire 
par  conaéçMDt 

ec  qui  donne 


DigiUzedbyLjOOQlC 


,    D£S  PROBABILITÉS.  ^47 

donc  

Cette  équation  peut  être  mise  sons  la  forme  suirante, 

u    ■  If 

(  0+v^^)'+(?-v/î^^)'        1 

pV?— *w 77=7=^ — l 

l  VF'"*'  ) 

LVxptessioD  précédente  de  ^ ,  donne 

±y'^.-4p}  =  ^  — fi 
oa  a  donc 

c--^)a+v/p^y-(?-\/^)'. 


\/r.-'W 


«ons  cette  forme ,  Pambiguité  dn  s^e  =t  disparaît 

Maintenant  «  l'on  repasse  des  fonctions  génératrices  à  Icurtt 
coefiiciens ,  et  si  ?on  observe  que  ^,,.,  est  nul ,  parce  que  le 
iouenr  ^  perd  nécessairement  la  partie ,  lorsqu'il  n'a  plus  de  jetons; 
réquation  précédente  donnera  ,  en  repassant  des  fonctions  géné- 
ratrices aux  coeffîciens , 

"x[JP*-".^,.,+i,_.H-X— «j'.,.^_,. .  .+^— "^■\^,.,^_^.+etc.J, 
la  série  du  second  membre  s'arrêtant  lorsque  n—'ar—i  a  une 
Taleur  négatiye.  X^*^,  XS"^,  etc.,  sont  les  coefficiens  de  p^. 


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Aa8  THÉORIE  ANALYTIQUE 

p^  f  etc.,  dans  le  développement  de  la  fonction 

0+ v^^7)-G-  \/r.-4P9y 


vIT 


(0 


■4P9 


Si  Pon  nomme  «'  le  coefilcient  de  f  dans  le  déreloppemént  de  ui 
il'  aera  une  fonction  de  **  et  de  je ,  génératrice  de^;'^.^,.  Si  l'on  nomme 
pareiUemeut  7^  le  coefficient  de  t  dans  le  développement  de  »,  le 
produit  de  -rp=>  psr  ^  fonction  (i),  sera  la  fonction  génératrice 
dû  second  membre  de  l'équation  précédente;  cette  fonction  est  donc 
égale  à  «'.  Supposons  «=a+i, alors ^,_,,  devient y^»_,,,  et  cette 
quantité  est  égale  à  l'unité  ;  car  il  est  certain  que  ^  a  gagné  la 
partie,  lorsqu'il  a  gagné  tous  les  jetons  de  B;  u'  est  donc  alors  la 
fonction  génératrice  de  l'unité;  or  s'est  ici  zéro  ou  un  nombre  pair^ 
car  le  nombre  des  conps  dans  lesquels  J  peut  gagner  la  partie ,  est 
égal  à  6  plus  un  nombre  pair  :  en  efifet ,  ^  doit  pour  cela  gagner 
totts  les  jetons  àeff,  et  de  plus  il  doit  regagner  chaque  jeton  qu*il 
a  perdu ,  ce  qui  exige  deux  coups.  Ensuite  n  exprimant  im  nombre 
de  coups  dans  lequel  ^  peut  gagner  la  partie,  il  est  égal  à  b  plus 
un  nombre  pair  ;  x'  étant  le  nombre  des  coups  qui  manquent  au 
joueur  J  pour  arriver  à  »,  est  donc  zéro  ou  un  nombre  pair.  De 
là  il  suit  que  dans  le  cas  de  »=sa4-A,  u'  devient  -:^i  on  a 
donc 


/r-^T-Q-Vh-'^  T 


ce  qiù  donne  la  valeur  de  T'.  En  la  multipliant  par  la  fonction  (i) 
divisée  par  a'.p*",  et  dans  laquelle  on  Ëtit  «s: a,  ou  aura  k 
fonction  génératrice  de  ^,,,/  égale  à 

bigilizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABEJT^. 
Dans  le  cas  de  a^^thj  elle  deTient 


(i-t").i:(:+*^i-4pv-''*)'+c>-/^^^-o*a' 

£d  déreloppant  la  fonction 


(i  4.  Vi— 4pç.i")'+(i—  Vi— 4pî.t"}',    (?) 

suivant  les  puissances  de  ^*;  le  radical  disparaît,  et  le  plus  haut 
exposant  de  *'  dans  ce  développement ,  est  égal  ou  plus  petit  que  a. 
Mais  si  l'on  développe  (1  —  V»— ^ro,!")-  suivaui  lea  puissances 
de  ï'%  le  plus  petit  exposant  de  i'  sera  aa;  la  fonction  (5-)  est  donc 
égale  au  développement  de(i+  Vi—V?-*'*)'»^**  rejetant  les  puis- 
sances de  ^  supérieures  ka. 
Maintenant  on  a ,  par  le  n»  5  du  premier  Livre , 

«•=1 — o.«+— ^^ i.*'— ^^^^  ï i.a'+etc., 

•    ^.a  i.a.3  '  ' 

jT  étant  celle  des  racines  de  Féquation 

qui  se  réduit  à  ruDité>  lorsque  a  est  nul.  Cette  racine  est 

a  ' 

en  supposant  donc  »s=pq.^%  on  aura 

•n  aura  ainsi,   . 

eLÏI ^____ 

,-a.„.C+±S£^.p-^.^.-±<£=&L^.^^.f.+  .„.  ' 


db,  Google 


s5o  THÉORIE  ANALYTIQUE 

la  série  du  dénominateur  étant  contiimée  excluairemcot  jusq^aat 
puissances  de  ^  supérieures  à  a-  Ce  second  membre  doit  être , 
par  ce  qui  précède,  dirisé  par  i  —  ï'*,potor  avoir  k  fonction  gé- 
nératrice de/,,,,;  la  quantité ^,,1,  est  donc  la  somme  des coeffîciens 
des  puissances  de  f',  en  ne  considérant  dans  le  dévelc^pement  de 
ce  membre ,  par  rapport  aux  puissance  de  ^,  que  les  puissances 
égales  ou  inférieures  à  ar'.  Chacun  de  ces  coeffidens  exprimera 
la  probabilité  que  A  gagnera  la  partie  au  coup  indiqué  par  l'expo- 
sant de  la  puissance  de  /'. 

Si  l'on  nomme  z,  le  coefficient  correspondant  à  t'''^,  on  aura 
généralement 

o  3=  £,-~a .pq . rt_,  +  °'^^  ^      .p'y' .%_,—  etc.  ; 

d'où  il  est  &cile  de  conclure  les  valeurs  de  x. ,  x^,,  etc.,  en  obser- 
vant que  «_,,  £_,,  etc.  sont  nuls,  et  que  *.=^'.  La  valeur  de  zj 
étant  ^ale  à^,,.^^,  on  aura  celles  de  ^,,,,j',.,^,/,^^,  etc.  L'é- 
quation aux  différences  partielles  à  laquelle  on  est  immédiatement 
conduit,  se  trouve  ainsi  ramenée  à  une  équation  aux  difiërences 
ordinaires  qui  détermine,  en  l'intégrant,  la  valeur  de/,,,,.  Mais 
on  peut  obtenir  cette  valeur  par  le  procédé  suivant  qui  s'appliqua 
au  cas  général  où  a  et  6  sont  égaux  ou  dififêrens  entre  eux. 

Reprenons  la  fonction  génératrice  de  /,,x,  trouvée  ci-dessus; 
/,  „  est  le  coefficient  de  f^~*  dans  le  développement  de  la  fonction 


3».p*, 


Ç.(i-.")' 


en  supposant 

Il  résulte  du  n*  5  du  premier  Livre ,  que  si  l'on  considère  les  deux 

termes 


db,  Google, 


DES  PROBABILITÉS.  a5x 

que  Ton  &S8e  «ssuite  successÏTeDient  y=i  et  ^ss—-!  dans  le 
premier  terme ,  et  t'  égal  saceessirement  à  toutes  les  racines  de 
réquation  Q = o ,  dans  le  secood  terme  ;  la  somme  de  tous  les  termes 
que  l'on  obtient  de  cette  manière ,  sera  le  coefficient  de  /*',  dans  la 
déreloppement  de  la  fraction 

P 
Q.ii-n' 
Ce  que  le  premier  terme  produit  dans  cette  somme  est 

Four  avoir  les  racines  de  l'équation  Qs=o,  nous  ferons 


('  =  - 


ce  qui  donne 


X«s  racine»  de  l'éqiution  Q  =o  aont  donc  représentées  par 

(r+Q.ir 

r  étant  un  nombre  entier  positif  qui  peut  e^étendre  depois  r=o 
jusqu'à  r=a  +  ^  — 3.  Lorsque  a  +  &  est  un  nombre  pair,  7 'TT 
est  ime  des  valeurs  de  •»*;  il  feot  Texdure ,  parce  que  cos  <9  de-  . 
Tenant  nul  alors ,  cette  valeur  de  <ir  ne  rend  pas  Q  nul.  Dans  ce 
cas ,  l'équation  Q^o  rfa  que  a-f-i — a  racines;  mais  comme  le 
terme  dépendant  de  la  valeur  trss^itj  e^  multiplié  dems  régres- 
sion de  _/,,„,  par  une  puissance  positive  de  cos  ■  -  ■  î.  ^"^  ?  on  peut 
conserver  la  valeur  de  r  qui  donne  ir  =  ^V,  puisque  le  terme  qui 
lui  corre^ond  dans  l'expression  de  j',,,,  disparaît 
Maintenant  on  a 


db,  Google 


33â  THÉORIE  ANALYTIQUE 

d'où  l'on  tire ,  en  rertu  de  l'équation  sin  (a + Â) .  «■  :=  o , 

dQ  _4-(fl-H>)Vp^-^o'(r+i).w _4.(a  +  b)V^.i-^i)'^ 

le  terme 

—  p 

Cl -(-).«"*-' -^ 
derient  ainsi,  en  observant  que 

la  somme  de  tous  les  termes  que  Ton  obtient ,  en  donnant  à  r  toutes 
les  valeurs  entières  et  positives,  depuis r=BO jusqu'à  r=a-H> — a» 
sera  ce  que  produit  la  fonction 

—  p  , 

nous  dési^erpD3  cette  somme  par  là  caractéristique  S  placée  devant 
la  fonction  (h). 
Si  Tonfeit  r'4-is=aH-6— (r-|-x),on  aura 

a+b  ■  a+o     ' 

cos     *•  T" /    ?=  COS     ^^  ' 


pe  là  ^  est  fecile  de  conclure  que  dans  la  f<Hiction  (h),  le  terme 
relatif  à  r+i  est  le  même  que  le  terme  relatif  à  r'-j-  i  ;  on  peut 
donc  doubler  ce  terme ,  et  n'étendre  alors  la  caractéristique  iS 

qu'aux  valeurs  de  r  comprises  depuis  n^o  jusqu'à  r  e=  ~ — - , 


dby  Google 


DES  PROBABILITÉS.  aSS 

«i  o+i  est  pair,  ou  r= ''"'"^~',  si  a -H  i  est  impair.  Cela  posé, 
on  aura  en  observant  que 

•J^'.-*"— V^»-^ 5+5 


En  changeant  a  en  6 ,  ;?  en  ^ ,  et  réciproquement ,  on  aura  la  pro- 
babilité que  le  joueur  B  gagnera  la  partie  arant  le  coup  a  +  ai  ^ 
ou  à  ce  coup. 

Supposons o  =  6 ;  8in  ^i^^f^  deviendra  ain  7.  (#■+ i).w.  Ce 
6inus  est  nul, lorsque  7+1  est  pair;  il  suffit  donc  alors  de  considérer 
dans  l'expresMondej',,,^,!,  les  valeurs  impaires  de  r  +  i.  En  les 
exprimant  par  a*  +  i ,  et  observant  que  sin  "■^■— -  ==  (—  j  y, 
on  aura 


'-+^ 

3.$  -i-  1  devant  comprendre  toutes  les  valeurs  impaires  contenues 
dansa  —  1. 

Si  Ton  change  dans  cette  expression ,  ;>  en  y ,  et  réciproquement  y 
on  aura  la  probabilité  du  joueur  B  pour  gagner  la  partie  en  a+a* 
coups.  La  somme  de  ces  deux  probabilités  sera  la  probabilité  que 
la  partie  sera  finie  api^s  ce  nombre  de  coupsj  cette  dernière  pro- 
i>abilité  est  donc 


3o 


db,  Google 


>54  THÉORIE  ANAtTTIODE 

Si  lea  adresses  jp  et  j|  aaat  égiale?,  cette  eipresûtMi  derienl 

,.(2£±0j:)— ■) 

Lorsque  a+  ai  est  im  grand  nombre,  on  peut  en  conclure  d'iule 
manière  fort  approchée ,  le  nomlM'e  de  coups  nécessaire  pour  que 
la  probabilité  que  la  partie  finira  dana  ce  nombre  de  coupe,  soit 
égale  à  une  fraction  donnée  7. -Un  aura  alors 

«+ at  étuit  suppoeé  un  tt^graiidiKwnbrâlÔFt  supérieur  au  BOBfcre 
«,  S  8u0lt  d«  considérer  te  tenue  du  premier  immthn  qui  conea- 
pond  à  s  nul,  et  alors  on  a 

ces  logarithmes  pouvant  être  à  ToI<mté  hyperboliques,  os  tabulaires. 
Si  dans  les  formules  précédentes,  on  suppose  a  infini,  b  restant 
un  nombre  fini  ;  on  aura  le  cas  dans  lequel  le  joueur  j4  joue  contre 
le  joueur  B  qui  a  primitivement  te  nombre  ô  de  jetons ,  jusque 
ce  qu'il  ait  gagné  tous  les  jetons  de  £ ,  sans  que  jamais  celui-ci 
poisse  gagner  ^,  quel  que.  soit  le  nombre  dea  jeton»  qu'il  Mga^ie. 
Sajos  ce  cas^  b  fonotioa  génératrice  (6)  de  j;^„  se  réduit  à 

car.  alors  (  1— Vi -— V^.  f")*  et  (1  —  V/i —Vî- *")**■*  ^^®" 
loppés ,  ne  renferment  que  des  puissances  infinies  de  ^,  puissances 
que  l'on  doit  négliger ,  quand  on  ne  considère  qu'un  nombre  fini 

DigiUzedbyLjOOQlC 


ms  PROBABILITÉS.  a35 

<fe  wapê.  On  ft  par  ce  ^  fwécède 


(H-^i_ép5-.i")-» 


i.a.3         '^^       ' 


•t-«tc 


En  multipliant  ce  secftsd  membre  par  -^'^■■^,. ,  le  coefficient  de 
i'M-.i  aéra 

c'est  la  râleur  de  y,,t^,i ,  oa  la  {ffobdxtté  -«[tte  ^  gagnera  la  ^irtie 
avant  ou  au  coup  b  -f-  ai. 

Cette  valeur  serait  très-pénihle  à  réduire  en  nombres, si   et  si 
étaient  de  grands  nombres  ;  Û  serait  surtout  très-difïlcile  d'obtenir 
par  son  moyen ,  le  nombre  de  coi^s  dans  lesquels  ^  peut  parier 
un  contre  un  de  gagner  la  partie  ^  mais  on  peut  j  parvenir  Ëtci- 
lement  de  cette  manière. 

Reprenons  la  formule  (H)  b'ouvée  cî-desms.  Dans  le  cas  de  a 
infini ,  etp  étant  supposé  égal  ou  plus  grand  que  g,  si  l'on  y  sup^ 
pose  ■^^^^.'Ts*^,  et  -  =  dç,  elle  devient 

^  fl***^.p'.(P9)"^     /•dp.rin  a».ain  6».  (cpay)*-*-» 

Fintégrale  devant  être  prise  depuis  ?^o  jusqu'à  ç=ia-.  Danslo 
cas  de  p  moindre  que  g ,  la  même  expression  a  Ceu  ^  pourvu  que 
Ton  change  le  premier  terme  i  y  dam  ^ 
8i  psstg,  cette  expression  devient 

a     rdp.ain  b^.jco»  »)*^*"-' 

Fint^rale  étant  prise  depuis  4)  nul  jusqu'à  f  =:  ^  ?r.  Supposons 
maintenant  que  b  et  i  soient  de  gran^  sombres.  I^  maximum  d« 
la  fonction 


dby  Google 


«36  THÉORIE  ANALYTIQUE 

répond  à  f  ^  o  ;  ce  qui  donne  i  pour  ce  maximum.  La  fonctioa 
décroît  ensuite  arec  une  extrême  rapidité,  et  dans  l'iotervalle  où 
elle  a  une  valeur  sensible ,  on  peut  supposer 

logsin?  =  log  (p +log  (i  — ir)=log«>— î.?", 
log  (cos?i)'*"^'=  {b+»i+i).loi(\—i.r+Ti-f) 

ce  qui  donne,  en  négligeant  les  sixièmes  puissances  de  4>,  et  ses 
quatrièmes  puissances  qui  ne  sont  pas  multipliées  par  fi+ai-t-i , 

en  Élisant  donc 

„.=  i±ii±i. 

a 
OU  aura 


partant, 


/•■».^.i,.(c.>).^.  ^  p>(-|'>') 

Cette  dernière  intégrale  peut  être  prise  depiiis  4)  ss  o  jusqu'à  4)  in- 
fini; car  elle  doit  être  prise  depuis  9=0  jusqu'à  ^s^'x';  or  a* 
étant  un  nombre  considérable ,  c-*'*"  devient  exces&ÏTement  petit, 
lorsqu'on  y  feit  ^  =;  {  w ,  ensorte  qu'on  peut  le  supposer  nul ,  vu 
l'extrême  rapidité  avec  laquelle  cette  exponentielle  dkninue ,  lorsque 
f  augmente.  Maintenant  on  a 


on  a  d'ailleurs  par  le  n*  a6  du  premier  liyre , 


y  Google 


DES  PROBABtLrrÉS.  jiSy 

/-    -  "       ' 
/lilp.co» J». «->•»•= -^.c   ^', 

_3j^   -p  /       4;      _i!_y 
d'où  Ton  tire»  en  snttposant 

Ainsi  hi  probabilité  que  ^  gainera  la  partie  dans  le  nombre  b-i-ai 
de  coups,  est 

.__^.[>.^--î:éi.(.-î7»)]. 

Fintégrale  étant  prise  depuis  t  nul  jusqu'à  {ssT,  T'  étant  ^al 

.A» 


^^- 


Si  Ton  cherche  le  nombre  des  coups  dans  lesquels  on  peut  parier 
m  contre  un  que  cela  aura  lieu ,  on  fera  cette  probabilité  égale 
à  7,  ce  qui  donne 

/d,.c-^==  ^  +  I^.(i_î  2-). 
Hommous  T  la  râleur  de  <,  qui  correspond  à 

et  snpposoiu 

g  4tiiit  de  l'ordre  ^.  L'intégrale  fdt.c->'  sera  augmentée  à  tréi- 


db,  Google 


«38  THÉORIE  ANALYTIQUE 

peu  près  de  ç,c~^';ce  qm  donne 

on  aura  donc 

Ayant  eifisî  y*  aux.  ^andtés  prés  de  l'ordre  ^,  l'équation 

aa' =  *4- ai+ feap  ^ 
donnera,  aux  quantités  près  de  l'ordre  -^^ 

Pour  détermina  la  raleiia'  de  7**,  nou»  obscrrerons  <jt>?ici  T  ett 
plus  petit  quie  j  ;  ainsi  Féquation  transcendante  et  intégrale 

p«nt  4tre  trajuToimée  dass  ia  sniraiite , 

£a  résolvant  cette  équation ,  on  trouve 

!r'*=o,9ioa497. 
En  supposant  (e^  loo,  on  aura 

6+a*=sa5780ji4. 

Il  7  a  donc  alors  du  désavantage  à  parier  un  contre  un ,  que  A 
gagnera  la  partie  dans  33780  coups,  jnais  il  y  a  de  l'avantage  à 
parier  qu'il  la  gagnera  dans  93781  coups, 

11.  Un  nombren+i  de  joueurs  jouent  ensemble  aux  conditions 
suivantes.  Deux  d'entre  eux  jouent  d'abord ,  et  celui  qui  perd  se 
retire  après  avoir  mis  un  fi^c  au  jeu,  pour  n'y  rentrer  qu'après 


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DES  FBOBABIUfÉS.  339 

que  tous  les  autres  joueurs  ont  )oaé  f  ce  qui  a  Inu  généralenent 
pour  tous  les  joueurs  qui  perdent,  etquî  par  là  devleunent  les  der- 
niers. Celui  des  deux  premàers  joueurs  qui  a  gagné ,  joue  arec  le 
troisième ,  et  s'il  le  gagne,  il  continue  de  jouer  avec  le  quatrième, 
et  ainsi  de  suite  jusqu'à  ce  qu'à  perde ,  ou  jusqu'à  ce  qui!  ait  gagné 
successivBment  tous  les  joueurs.  Dans  ce  dernier  cas,  Ea  partie  est 
finie.  Mais  si  le  joueur  gagnant  au  premier  coup ,  est  taiacu  par 
l'un  des  autres  joueurs,  le.rainqeeur  joue  arec  le  joueur  suivant, 
et  continue  de  jouer  jusqu'à  ce  qu'il  soit  vaincu,  ou  jusqu'à  ce 
qe'il  a^  gï^né  de  suite  tous  les  ioacurs  ;  le  jeu  «ontiaue  ainâi 
jusqu'à  ce  qu'il  y  ait  un  joueur  qui  gagne  de  suite  tous  les  autres, 
ce  qui  finit  la  partie,  et  alors  le  joueur  qui  fô  gagne ,  emporte  tout 
ce  qui  a  été  mis  au  jeu.  Cela  posé , 

Déterminons  d'aAocd  la  prohabilité  que  le  {eu  finira  précisément  , 
au  coup  s  ;  nommons  2^  cette  probahilité.  Four  que  la  partie  finisse 
au  coup  x,it&at(faeleiowewqacenb-eaujeu:au  coup^;— n-f-i, 
gagne  ce  coup  et  lès  n  —  1  coups  suivans  ;  or  il  peut  entrer  contre 
un  joueur  qui  n'a  gagné  qu'on  seul  coup  :  en  nommant^P  la  pro-  , 
habilité  de  cet  événement ,  -^  sera  la  probahilité  correspondante 
que  la  partie  finira  au  coup  x.  Mais  Ik  probabilité  z_,  que  la  partie 
finira  au  coup  «—1,  est  évidemment -^i^.  Car  il  est  nécessaire 

pour  cela  qu'il-  y  ait  ua  joueur  qui  ait  gagné  un  coup ,  an  eoup 
X— n+ 1)  et  qui  jouant  à  ce  coup,  le  gagne  et  les /t — a  coups 
suivans j  et  la  probabilité  de  chacun' de  ces  événemens  étant  .Pet 
-^=\ ,  la  probabilité  de  Tévénemeat  composé  sera  -^r^  ;  on  aura 
donc  «_,=!-ïrj-,  et  par  conséquent. 


\ .  z,_ ,  est  donc  la  probabilité  que  la  partie  finira  au  coup  x ,  rela- 
tive à  ce  cas. 

Si  le  joueur  qui  entre  au  jeu  a<t  coup  x — n-f- 1 ,  joue  à  ce  coup 
contre  un  joueur  qui  a  déjà  gagné  deux  coiq>8  ;  en  nommantP'  la 

probabiËté  de  ce  cas ,  ~  sera  la  probahilité-  relatire  à  ce  cas ,  que  la 


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34o  TBiÉOIUE  ANALYTIQUE 

partie  finira  an  coup  x.  Maia  on  a 


car  pour  que  la  partie  finisse  au  coup  «  —  a ,  il  feut  qu'au  coup 
X —  n  +  1 ,  l'un  des  joueurs  ait  déjà  gagné  deux  coups,  et  qu'il  gagne 
ce  coup  et  les  n  —  5  coups  suirans.  Chi  a  doue 


■^ .  2^_  est  doue  là  probabilité  que  la  partie  finira  au  cdup  «, 

relatire  à  ce  cas;  et  ainsi  de  suite. 
Eu  ra38emMant  toutes  ces  probabilités  partielles,  on  aura 

Ia  fonction  génératrice  de  s,  est,  par  le  premier  livre, 

4CO ^ 

""S'  ""a* '^ar^i  ' 

DU 

i.4(0.(a-0 

Pour  déterminer  •\'(t),nom  observerons  que  la  pardenepeutfinir 
au  plus  tôt  qu'au  coup  »,  et  que  la  probabilité  pour  cela  est-;^; 
car  il  làut  que  le  rainqueur  au  premier  coup ,  gagne  les  n — i  coups 
suirans  ;  -^(t)  ne  doit  donc  renfermer  que  la  puissance  n  de  £ ,  et  •—- 

doit  être  le  coefficient  de  cette  puissance  ;  ce  qui  donne  4  (0  =  ~^i  • 
^usi  la  fonction  génératrice  de  z.  est 

La  somme  des  çoefficiens  des  puissances  de  t  jusqu'à  l'infini,  dans 
Je  développement  de  cette  fonction,  est  la  probabilité  que  la  partie 

doit 


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DES  PROBABarrÉS.  34i 

doit  fiqir  après  une  infinité  de  coups  ;  or  on  a  cette  somme  en 
faisant  f  =  i  dans  la  fonction ,  ce  qui  la  réduit  à  Tunitc  ;  il  est  donc 
certain  que  la  partie  doit  finir. 

On  aura  la  probabilité  que  la  partie  sera  finie  au  coup  x  ou.avant 
ce  coup ,  en  déterminant  le  coefficient  de  f  dans  le  développe- 
ment de  la  fonction  précédentef  divisée  par  i  —  (;  la  foncUon  gé- 
nératrice de  cette  probabilité  est  donc 


Donnons  à  la  fonction  génératrice  de  z<,  cette  forme 

2,    '■•("-0    A 1.    J!_   .   J_       *"         ^■tc^ 

le  coefficient  de  f  dans  ■C'5'~.\r  est 
OQ  a  donc 

'  -  <-^t.'ii^^''  •(--^^) +^"'- . 

expression  qui  n'est  relative  qu*à  x  plus  grand  que  n,  et  dans  laquelle  * 
il  ne  Ëtut  prendre  qu'autant  de  termes  qu'il  y  a  d'unités  entières 
dans  le  quotient- :  lorsque  x  =  n,  on  a  z«=  -^ 

En  développant  de  la  même  manière  la  fonction  génératrice  de  la. 
probabilité  que  la  partie  finira  avant  ou  au  coup  x,  on  trouvera 
pour  l'expression  de  cette  probabilité, 

+  ^^"'"t'i.tr'"^°^-(^-5^+6)-etc., 

cette  eiq>re89ion  ayant  lieu  dans  le  cas  même  de  x=n. 

il 


db,  Google 


«43  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Déterminons  maintenant  Jes  probabilités  respectives  des  jonenrS 
pour  gagner  la  partie  au  coup  x.  Soit  ^.,,  celle  du  joueur  qui  h 
gagné  le  premier  coup.  Soient  y^, ,  ^,_, , . .  .y.-,,*  celles  des  )Oueur8 
suivans,  et  y„_,  celle  du  joueur  qui  a  perdu  au  premier  coup ,  et 
qui  par  là  est  devenule  dernier.  Désignons  les  joueurs  par  (o),(i), 
(a), ...(» — i),  («).  Cela  posé,  Ifc  probabilité  y,^,  du  joueur(r) 
devient  y^,_,_,,  si  au  second  coup  le  joueur  (o)  est  vaincu  par  le 
loueur  (i);  car  il  est  visible  que  (r)  se  trouve  alors,  par  rapport 
au  vainqueur  (i) ,  dans  la  même  position  où  était  (r—  i)  par  rap- 
port au  vainqueur  (o)  :  seulement,  il  y  a  un  coup  de  moins  à  jouer 
pour  arriver  au  coup  x ,  ce  qui  change  x  dans  a: —  i.  Présentement 
la  probabilité  que  le  joueur  (o)  aéra  vîôncu  par  (i)  est  ~;  ainsi 
T-j'f-i,*-.  est  la  probabilité  du  joueur  (r)  pour  gagner  la  partie  au 
coupx,  relative  au  cas  où(o)  est  vaincu  par  (i).  Si  (o)  n'est  vaincu 
que  par  (a) ,  y,^,  devient  y,^,,,_, ,  et  la  probabilité  de  cet  événement 
étant  ^,  on  a  ^._yr-.,«-.  pour  la  probabilité  du  joueur  (r), de  gagner 
la  partie  au  coup  as,  relative  à  ce  cas.  Si  le  joueur  (o)  n'est  vaincu 
que  par  le  joueiir  (r) ,  j-,,,  devient  ^e.»-r)  et  la  probabilité  de  cet 
événement  est  — j  ainsi  ^,.^,.,_,  est  la  probabilité  du  joueur  (r) 

pour  gagner  la  partie  au  coup  x,  relative  à  ce  cas.  Si  le  joueur 
(o)  n'est  vaincu  que  par  le  joueur  (rH-i),^,_,  se  change  dans 
T",-,.,—^,  ;  car  alors  le  joueur  (r)  se  trouve-,  par  rapport  au 
■vainqueur,  dans  la  position  primitive  du  joueur  (  n —  i)  par  rap- 
port au  joueur  (o)  :  seulement  il  ne  reste  que  x — r— i  coups  à 
jouer  pour  arriver  au  coup  x.  Or  la  probabilité  que  (  o  )  ne  sera 
vaincu  que  par  le  joueur  (r+i),est-;^;  -;^.^^,,i^_,*stdonc 
la  probabilité  de  (r)  pour  gagner  la  partie  aucoup  x,  relative  à -ce 
cas.  En  continuant  ainsi,  et  rassemblant  toutes  ces  probabilités  par' 
tielles ,  on  aura  la  probabilité  entière  _/,,,  du  joueur  (r)  pour  gaguec 
la  partie  ;  ce  qui  donne  l'équation  suivante, 


dby  Google 


DÈS  PROBABILITÉS.  a45 

Cette  expression  a  lieu  depuis  r=  i  jusqu'à  r  =n  —a.  Elle  donne 

£a  retranchant  cette  équation,  de  la  précédente;  on  aiira  ceUe-oi 
aux  dU^ences  partidles, 

>',..— r^-,,_,  +  ^.^,,^-—  o;     Cl) 

celte  éqttâtion  s^étend  depuis  r=:±»  )usqu*à  r==fi— a. 

On  a  y  par  le  raisonnement  précédent ,  les  deux  équations 
suivantes. 

Mais  l'expression  précédente  de  ^,,.  donne 

Ea  retranchant  cette  équation  de  la  préoédente  y  on  aura 

ainsi  Téquation  (i)  subsiste  dans  le  cas  de  r=:n— i. 
lie  raisonnement  précédent  conduit  encore  à  cette  équation 

^...  =  5.^-^.,^.+  ^.^^.,;_. . .  .+  ^.^..._.^,. 
00  qui  donne 

En  retranchant  cette  équation,  de  celle-à  que  donne  rexpression 
générale  dey,,,, 

Dic|i1ized  by  VjOOQ  le 


244  THÉORIE  ANALTTIQUE 

©t  Élisant -.(j',,,4-j»',,,)  =5,,,;  on  aura 

L'équation  (1)  subsiste  donc  encore  dans  le  cas  même  de  rs=  1 , 
pourvu quel'on  y  change  j',,,  dans^y,,^  On  doit  observer  <iue_j',_^ 
est  la  probabilité  de  gagner  la  partie  au  coup  x ,  de  chacun  des 
deux  premiers  joueurs,  au  moment  où  le  jeu  commence^  car  cette 
probabilité  devient,  après  le  premier  coup, y,,,  ou  ^,,,,  suivant 
que  le  joueur  gagne  ou  perd ,  et  la  prob£d>iUté  de  chacun  de  ces 
événeraens  est  î. 

Maintenant,  la  fonction  génératrice  de  Téquation  (1)  est,  par  le 
n*  so  du  premier  Livre, 

— ^^^^,       (^) 
»■- «'+^-*' 

t  étant  relatif  à  la  variable  a?,  et  **  étant  relatif  à  la  variable  r, 
ensorte  que  j^,,.  est  le  coefficient  de  tf'^  dans  le  développement 
de  cette,  fonction;^  (f)  est  une  fonction  de  t  qu'il  s'a^tde  dé-: 
terminer. 
Four  cela, nous  ferons 


r==- 


la  fonction  génératrice  de  y,^  sera  le  coefficient  de  f'  dans  le  dé- 
Teloppement  de  la  fonction  (a)  ;  elle  sera  donc 

la  probabilité  que  la  partie  finira  prédsément  au  conp  x,  est  évi- 
demment la  somme  des  probabilités  de  clique  joueur  pour  la  gagoer 
à  ce  coup  -j  elle  est  donc 

par  conséquent  la  fonction  génératrice  de  cette  probabilité  est 


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DES  PROBABILITÉS.  945 

'•VW- 1— (ï- 

EnPégalantàla  fonction  génératrice  de  cette  probabilité,  que  noua' 
aroDS  trouvée  ctdessus ,  et  qui  est 

• i        ' 

onaiBH 

J^.t-.Ca— 0(1— *7') 

*(0— ^ 7 r~\î 

Ainsi  la  fi)ncti<m  génératrice  de  Téquation  (i)  aux  diffêrences  par- 
tielles^ est 

r.(a-ïr-('T-).(i-t+^.c).(i-B'+^»-)* 

la  fonction  géné-atrice  de  y,,,  est  donc 

Le  coefficient  de  ^  dans  le  développement  de  cette  fonction  ,  est 
la  probabilité  du  joneor  {f)-  de  gagner  la  partie  an  coup  x.  On  pourrEt 
ainsi  déterminer  cette  probabilitépar  ce  développement.  La  sonuue 
de  tous  ces  coefiîciens  jusqu'à  x  infini ,  est  la  probabilité  du  ioueuf 
(r)  de  gagner  la  partie  j  or  on  a  cette  sonuue,  en  &isant  <=i 

dans  la  fonction  précédente,  ce  qui  donne  rs=— ^— ;;  nonunon» 
P  cette  dernière  quantité,  et  désgnons  par  ^^  la  probabilité  de  (r) 
de  gagner  la  partie ,  on  aura 


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«46  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Cette  expression  s'étend  depuis  rsso  jusqu'à  rasn-^i,  pourVtt 
qu'on  y  change  j'«  dans  y^  ^j^  exprimant  b  probabilité  de  gagner 
la  partie ,  des  deux  premiers  joueurs  aa  moment  où  ils  entrent 
an  jeu. 

Bfaintcnant,  chaque  joueur  perdant  déposant  on  franc  an  jeu, 
détenninoDS  l'avantage  des  difiërens  joueurs.  Il  est  clair  qu'après 
X  coups  ,  il  y  arait  x  jetons  au  jeu  ;  l'avaiitage  du  joueur  (r)  relatif 
à  ces  X  jetons,  est  le  produit  de  ces  jetons  par  la  probalâlité  /,y 
de  gagner  la'  partie  au  coup  x;  cet  avantage  est  donc  x.^,,,.  la 
valeur  de  x.j',,.  est  le  coefficient  de  ^~^.dt  dans  la  difiërentîella 
de  la  Tonction  génér&tric«  de  y^yy  en  divisant  donc  cette  diffîren- 
tielle  par  cU,  et  en  y  siq>po6ant  ensuite  /^  i ,  on  aora  la  somme 
de  toutes  les  valeurs  de  x.y,_,  jusqu'à  x  infini  ^  c'est  l'avantage  du 
joueur  (r).  Mais  il  &ut  en  retrancher  les  jetons  qu'il  met  au  jeu  à 
diaque  coup  qu'il  perd;  OT y,^,  étaïUja  probaÛJité  de  gagner  la 
partie  au  coup  x,  a'.^,,,_.^,  sera  sa  probabilité  d'entrer  au  jeu, 
au  coup  X — n-\-\y  puisque  cette  dernière  probabilité  y  multipliée 
par  la  probabilité  -^y  qu'il  gagnera  ce  coup ,  et  Ica  r  —- 1  coups 

suivans  est  sa  probabilité  de  gagner  ia  partie  au  coup  x.  E^  suppo- 
sant donc  qu'il  perde  autant  de  fois  qu'il  entre  au  jeu ,  4a  somme  de 
toutes  les  valeurs  de  3'.^,,,_,^.,  jusqu'à  x  inâcti^  serait  le  désavau' 
tâge  du  joueur  (r)  ;  et  comme  la  somme  de  toutes  les  valeurs  de 
y. ,.-,+,  est  égale  à  la  somme  de  toutes  les  valeurs  de  y._,y  ou  à 
y,y  on  aurait  a"._y,,  ou— '^^'""^^^  pouf  le  désavantage  du  joueur 

(r).  Hais  il  ne  perd  pas  chaque  fois  qu'il  entre -au  |eu ,  parce  qu'il 
peut  entrer  au  jeu  et  gagner  la  partie ^  il  faut  doac  àVec  d&  a'.^,, 
la  somme  de  toutes  les  valeurs  de^.  ou^r>  «t  alors  le  désavantage 
de  (r)  est  ^""^^IJ^^-  Pour  avoir  FaTantage  entier  de  (r),  fl 
£iut  retrancher  cette  dernière  quantité,  de  la  somme  des  valeurs 
de  x.y,_,-y  en  désignant  donc  par  S  cette  somme,  Pavantage  di) 
loueur  (r)  sera 

5      (='--O-0-f)-P- 

a  — p  — p-         » 

B  étant,  comme  on  l'a  vu,  la  différentielle  de  la  fonction  généra* 


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mS  PROBABILITÉS.  947 

trice dey,,;  divisa  par  dt  / el  dans  laquelle  on  siçpose  easiûte  fc=i . 
Dtms  cette  8U|q>OBition ,  on  a 

^^Pi     ^  —  —  "P-i^—p)- 

Désignons  pw  T,  I^yanlage  de  (r) ,  on  troarerit 

Cette  équation  servira  depuis  ^s=to  jnsqu'à  re»»  —  1,  pourvu 
que  l'on  y  change  F,  dans  ï^,,  Y,  étant  l'avantage  des  deux  pre- 
miers loueurs ,  au  moment  ou  ils  entrent  au  |eu. 

Si  au  commencement  de  la  partie ,  chacun  des  joueurs  dépose 
au  jeu  une  somme  a;  l'avantage  du  joueur  (/■)  en  sera  augmenté 
de(n-f-i).a,  multiplié  par  la  probante ^, ,  que  ce  joueur  gagnera 
la  partie  ;  maisil&ut  enôter  la  mise  a  de  ce  joueur;  illautdoac, 
pour  avoir  alors  son  avantage,  augmenter  l'expression  précédentv 
de  Y',y  de  la  quantité 

B— p— < 

Lorsque  Favantage  de  (r)  devient  négatif,  il  se  change  en  désa- 
vantage. 

13.  Soit  q  la  probabilité  d'un  événement  simple ,  à  chaque  coi^  ; 
on  demande  la  probabilité  dé  TuneDér  i  fois  de  suite,  dans  te 
nombre  x  de  coups. 

Nommons  z«  la  probalnlité  que  cet  événement  composé  aura 
lieu  précisément  au  coup  x.  Pour  cela ,  il  est  nécessaire  que  l'éré- 
nemlent  simple  n'arrive  point  au  coup*—/,  et  qu'il  arrive  dans 
les  (  coups  suivans ,  Pévénement  auuposé  .n'étant  .point  arrivé 
précédemment.  Soit  alors  P  la  probabilité  que  l'événement  simple 
n'arrivera  point  au  coup  x — i  —  1.  La  probabilité  correspondante 
qu'il  n'arrivera  point  au  coup  x— /,  sera(*  — y).P;  et  la  proba- 
bilité correspondante  gue  Tévénement  composé  aura  lieu  précisé- 
nunt  au  coupx,  8era(i  -—q).P.^.Ce,  sera  la  partie  de  2«  cor- 


ci  byGoOglc 


a48  THÉORIE  ANALTOQUE 

respondante  à  ce  cas.  Mais  la  probabilité  que  l'évéûement  con*r 
posé  arrivera  au  coup  a?  —  i ,  est  évidemment  F.  j' j  on  a  donc 

ainsi  la  valeur  partielle  de  z,,  relative  à  ce  cas,  est(i — y).x,_,. 
Ck>nsidérons  maintenant  les  cas  où  révénemeut  simple  arrivera 
au  coup  X — i  —  \.  Nommons  P  la  probabilité  qu'il  n'arrivera 
pas  au  éoiqp  x — »— a;  la  probabilité  qu'il  arrivera  dans  ce  cas 
au  coup  * — (  —  1,  sera  y.f  et  la  probabilité  qu'il  n'arrivera  pas 
au  coup  j; — t'usera  (i — q).q.P';\A  valeur  partielle  de  z,  relative 
à  ce  [cas,  sera  donc  {\—q).q.P'.^.  Mais  la  probabilité  que  l'évé- 
nement composé  arrivera  précisément  au  coiq)  a:— a,  est  P'-j'; 
c'est  la  valeur  de  z,_,j  ce  qui  donne 

(1 — q).q.*t^  est  donc  la  valeur  partielle  de  2,,  relative  an  cas 
où  l'événement  simple  arrivxra  au  coup  x—i  —  1,  sans  arriver 
au  coup  X  — I — a- 

Ou  trouvera  de  la  même  manière  que  (1— f).^. 2.^,  est  la  va- 
leur partielle  de  s,,  relative  au  cas  où  l'événement  simple  arrivera 
aux  coupa  x — »— 1  etx— >  — a,  sans  arriver  au  coup  «— t— Jj 
et  ainsi  de  suite. 

En  réunissant  toutes  ces  valeurs  partielles  de  zv,  on  aura 

«,  =  (i— y).(z^,H-y.z_+9».r_...H-y^".z,_,). 
n  est  làcile  d'en  conclure  que  la  fonction  génératrice  de  7.  est 


car  cette  foQction  génératrice  est 

.     f(0  ■ ^ 

un 

»(0.(.-^0 


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'  DES  PROBABILITES.  aig 

jLa  faoction  p  (t)  doit  être  détenninée  par  la  cofiditûm  qu'elle  ne 
doit  renferaoer  que  la  puissance  i  de  t,  puisque  réTénement  com- 
posé ne  peut  commencer  à  être  possible  qu'au  coup  i  ;  de  plus  * 
le  coefficient  de  cette  puissance  est  la  probabilité  f',  que  cet  éré-^ 
Dément  aura  lieu  précisément  à  ce  coup. 
£n  divisant  la  fonction  génératrice  précédente ,  par  i—t,on  aura 


pour  la  fonction  génératrice  de  la  probabilité  que  rérénement 
composé  aura  lieu  avant  ou  au  coup  x. 
En  développant  cette  fonction ,  on  aura  pour  le  coefiicient  de 

r*',  la  série 

■+.etR.,     _- 

la  série  étant  continuée  jusqu'à  ce  que  l'on  arrive  à  des  lacteura 
tiégatife.  Cest  l'expression  de  la  probabilité  que  l'événement  com- 
posé aura  lieu  au  coup  x — i,  ouavantce  coup.  • 

Supposons  encore  que  deux  joueurs  A  fil  B,  dont  les  adresses 
respectives  pour'  gagner  un  coup ,  sont  y  et  1  —  7 ,  jouent  à  cette 
condition,, que  celui  des  deux  qui  aura  le  premier  vaincu  i  foi^ 
de  suite  son  adversaire ,  gagnera  la  partie  ;  ou  demande  les  pro- 
babilités respectives  des  deux  joueurs  pour  gagner  la,  partie  preci* 
sèment  au  coup  x. 

Soit  y,  la  probabilité  de  ^ ,  et  y'^  celle  de  B.  Le  joueur  A  ne 
peirt  igagner  la  partie  au  coup  x,  qu'autant  qu'il  commence  bu 
récranmence  à  gagner  B  an  coup  x  —  i-^  1 ,  et  qu'A  «ontinue  d« 
le  gagner  les  i — 1  coups  auivans.  Or  ovïuit  de  commencer  le  coupr 

X — i-i-i ,  B  aura  d^jà  gagné  ^,  ou  une  fois,  ou  deux  fois, o^ 

■54      ■      ' 


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*5o  THÉORIE  ANALYTIQUE  - 

i  — 1  fois.  Bans  le  premier  cas ,  si  l'on  nomme  P  la  pTobabifit^  Ae 
ce  cas,  P.{i — y)*"'  sera  la  probabilité^^,  de  5  pour  gagner  la 
partie  au  coup  *  —  i ,  ce  qui  donne 


Mais  si  B  perd  au  coup  jr— i-f-i  et  aux  i — i  coups  stûrans, 
^  gagnera  la  partie  au  coup  « ,  et  la  (nrobabilite  de  cela  est  P.f'i 
■^j^!;:2,  est  donc  la  partie  de  ^, ,  relative  au  premier  cas. 

Dans  le  second  cas ,  si  Ton  nomme  P'  sa  probabilité ,  i* .  (i— ^)'-* 
serala  probabilité,/^  de  JB  pour  gagner  la  partie  an  coup  x—  a. 
La  probabilité  de  ^  pour  gagner  la  partie  au  coup  ic,  relative  à 
ce  cas ,  est  P'-^*;  on  a  donc  .^  '^^il^  poui:  cette  pro]>abilité. 

£n  continuant  ainsi,  on  î^ura 

j''=^r[i^~9)-y^,+(i-^y-y:^ M^-9)'~'y^i.j- 

Sii'on  change  ç  en  i  —  f,^«  ea^^^et  réciproquement,  on  aura 

Maintenant,  u  étant  fonction  génératrice  de  y, ,  celle  de  j'^  sera  ^ 
par  tout  ce  qui  précède, 

iç . ut. (i+yf-H^C  . .  .+  ^'-'t'~*) , 

i  étant  égîJ  à  ^'"^  .  Mais  Pexpressîon  précédente  de  y'^  ne  com- 
mençant à  avoir  Ueu  que  lorsque  xs=j-f-i ,  parce  que  pour  des 
valeurs  plus  petites  de  x,  ^,_,,  y,^,,  etc.  sont  nulsj  U  &ut,  pour 
compléter  Véxpre^on  précédente  de  la  fonction  génératrice  de^^, 
lui  ajouter  une  fionctioa  ratkamelle  et  «itiére  de  f ,  de  Tordre  i,  et 
dont  tes  coefficiens  des  juiissemces  de  t  soient  les  valeurs  dç  X  > 
loràqué  ar  est  égal  ou  plus  petit  que  ï.  Or^^  est  md,  lors^exest 
moindre  que  *  ;  et  lorsqu'il  est  égal  à  * ,  ^^  est  f  i  —  9  )*,  parce  quil 


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DES  PROBABILITES.  aSi 

caprime  aïon  ta  probabilité  de  S  pour  ga^er  U-  partie  a^è* 
i  coupa;  la  fonctÎDBà  ajouterez  dmc(<t— 9)'.*';  aiunia  fiwctioa 
Çéoérabice  de  jr'^  est 

Si  Ton  nomme  u'  ceUe  fooction ,  l'expression  dey,  en  /^, ,  ^1^,)  etc., 
donnera  pour  la  fonction  génératrice  de  y. ,  en  changeant  dans 
celle  deyâ}  ^  dans  4,  y  dans  1  —  ?, 

Cette  fjantité  est  donc  égale  à  u^  d'où  Ton  tire*  en.  7  wbstltiuuH 
pour  u  sa  valeur  précédeute , 

En  changeant  y  en  1  —  y ,  on  aura  la  fonctiony  génératrice  de  y_. 
Si  Ton  (firise  ces  fonctions  par  1  — < ,  on  aura  les  fonctions  généra- 
-liriees  deïprobadsililésrespectiTee  de.<tf  etde  ^,  poor  gagner  la  pailû 
iBTaot  on  ancoup  «. 

Si  Ton  suppose  /  =  1  dans  u,  on  aura  ]a  probabilité  que  jf  ga- 
gnera la  partie  ;  car  il  est  cjair  qu'en  développant  u  suivant  les 
puissances  de  t,  et  en  supposant  ensuite  <  =  i ,  la  somme  de  tous 
les  termes  de  ce  développement  sera  celte  de  toutes  les  valeurs 
de  r,.  On  trouve  ainsi  la  probabilité  de  ^  pour  g<igaer  la  partie^ 
ég^e  à 

la  probabilité  de  S  est  doôiË 


ns  maintenant  4jue  les  )ouiatirB ,  k  cimifaer  cenp  4»% 
perdent  j  déposent  un  franc  au  jeu ,  et  détemiilions  leur  sort  res< 
pecti£  Il  est  clair  <|q9  le  gain  du  iotvmr  J  sera  Xj  s'il  gagne  la 


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afia  THÉORIE  ANALTTIQTJE 

partie  au  coup  x,  puisque  y  aura  x  francs  déposés  au  jeu  ;  aiisa' 
la  probabilité  de  cet  évéaenent  étant ^,  par  ce  qui  précède,  S.ajr, 
sera  l'expression  de  l'avantage  de  ^,  le  signe  S  s'étendantà  toutes 
les  valeurs  possibles  de  x.  La  fonction  génératrice,  de  y^  étant  u 
ou  =r ,  T'  étant  le  numérateur  de  l'expression  précédente  de  « , 
'et  3r étant  son  dénominateur;  il  est  facile  de  voir  que  l'on  aura 
S-wr»  en  diffërentiant  ^  ,  et  en  supposant  ensuite  *^i  dans  cette 
di£fêrentielle  ,  ce  qui  donne  avec  cette  condition , 

:Pour  avoir  le  désavantage  de  ^,  on  observera  qu'à  chaque  coup 
qu'il  joue ,  la  probabilité  qu'il  perdra ,  et  par  conséquent  qu'il  dé-^ 
posera  un  franc  au  jeu,  est  i  —  ^;  sa  perte  est  donc  le  produit 
de  1  —  ^ ,  par  la  probabilité  que  le  coup  sera  joué  ;  or  la  probabilité 
gue  le  coup  x  sera  joué,  est  i — ;»'_, — ^^,;  la  fonction  généra- 
trice de  l'unité,  est  ici  _  ,et  celle  de^^^.+j-^,  est  —J, .  — .-  ; 
r"  étant  ce  que  devient  î"  lorsqu'on  y  change  9  en  t  ■ —  y ,  et  réci'- 
proquem«Bt  j  ainsi  la  fonction  génératrice  du  désavantage  de  A  eat 

Le  numérateur  et  le  dénommateur  de  cette  fonction  sont  divisibles 
par  1  — 1\  de  plus ,  on  aura  la  somme  de  tous  les  désavantages 
'  de  ^  ;  ou  son  désavantage  total ,  en  faisant  ttsi\  dans  cette  fonc- 
tion génératrice  ;  le  désavaotage  total  est  donc  par  tes  méthode» 
connues,  et  en  observant  que  r'H- 7"' ^'ï',  lorsque  ï  =  i, 

{^—q).{àT—âT'~dT•) 

t  étant  supposé  égal  à  ronité,  après  les  di£^[%ntiations.  Si  Toirre'^ 
tranche  cette  expression ,  de  celle  dé  l'avantage  total  de  ^  ,  on  aura 
pour  rexpresaioji  du  sort  de  de  joUeur, 

qàT^{\—<i).{àT-~dT^        T.dT 

-    -   T.dt         ~~Tr3t'      


y  Google 


DES  PROBABILITÉS.  b55 

le  fiort  de  B  eera         . 

t  étant  su[yposé  runité  après  les  diffêreDtiations  j  ce  qui  domiQ 

^        r=^.(a-y).[9^'+(i-^)'--V'-'.(i-79)'-']; 

Ç=  ï.(i— f).9'.[i— 3.(1— y)']— ?-9'-[i— (i^?)'] 

<>n  aura  7^'  et  -^ ,  eu  changeant  dans  ces  deux  dernières  expres- 
sions,y  dans  i—jv, 

i3.  Une 'urne  étant  supposée  contenir  n+i  boules,  distinguées 
par  les  n^o,  1 ,  a,  3,. .  ..n  j  on  en  tire  une  boule  que  l'on  remet 
dans  Tume  après  le  tirage.  On  demande  la  probabilité  qu'après 
)  tirages,  la  somme  des  nombres  amenés  sera  égale  à  «. 
•  Soient^,,  ^, /sj^.../!,  les  nombres  amenés  au  premier  tirage ,  au 
second,  au  troisième ,  etc.  ;  on  doit  avoir 

*.4-*.+'s. ..■+'.=*•      (i) 

/, ,  (3. . .  .*)  étant  supposés  ne  pas  varier,  cette  équation  n'est  sus^ 
ceptible  que  d'Une  combinaison.  Mais  si  l'on  fait-  varier  à  la  -  fois 
't.  et  f. ,  et  si  l'on  suppose  que  ces  variables  puissent  s'étendre  indé- 
finiment depuis  zéro ,  alors  le  nomlure  des  combinaisons  qui  donnent 
réquation  précédente  sera 

car  2,  peut  s'étendre  depuis  zéro ,  ce  qui  donne 

/.  =  *— fa— (4,..  — ft,    , 

jusqu'à^ — ts  — t^. .  .r— (,,  ce  qui  donne  f,=ojles  valeurs  négative» 
des  variables  f, ,  U  devant  être  exclues. 


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«54  THÉOHIE  ANALTTIQUE 

Maintenant ^  le  nombre  5+  1 — /s— £4.  • .— /i  «et  stucenptible  de 
plusieurs  valeurs,  en  rertu  des  yariatioias  de  /j,  '4,  etc.  Supposons 
d'abord  t^,  ts,  etc.  inrariables ,  et  (|ue  t,  puisse  s'étendre iadéfinimeot 
depuis  zéro^  alors  si  l'on  fait 

en  intégrant  cette  variable  dont  la  diffîrence  finie  est  Tunité ,  oa 
aura  — -~-  pour  son  intégrale  ;  mais  pour  av(Kr  la  somme  de 
toutes  les  valeurs  de  x ,  il  &ut ,  comme  Ton  sait,  ajouter  x  à  cette 
intégrale  ;  cette  somme  est  donc  î-i^iii.  Il  fiiut  y  firire  «  égal  à 

sa  plus  grande  valeur ,  que  Ton  obtient  en  Ëdsant  tt  nul  dans  la 
fonction  *+ 1  —  t, —  (<. . . . — f,;  ainsi  le  nombre  total  des  combi- 
,  naisous  relatives  aux  variations  de  t, ,  i;  et  t.,«9t 

I.S  ' 

En  faisant  encore  dan3  cette  fonction 

elle  devient  ^'-  f  ^  '■  ;  en  rintégrant  depuis  »:=  o ,  et  ea  ajoDlant 

la  fonction  elle-même,  à  cette  intégrale,  on  aura  Ç^^O-j?-(^0. 

'  ^^      '  1.8.3 

la  valeur  de  x  nulle  répond  à  i^ssss•^a—ti,..  .—t,,  et  sa  plus 
^ande  valeur  ré{M»id  à  /4  niU ,  et  par  conséquent  elle  est  égale  à 
f-t-S-^ft... — t,;  en  stdètituant  donc  pour  a:,  cette  valeur  dans 
rintégrale  précédeode,  on  aura 

-     O  +  5  —h—te. . .—  tihis+a^ts  —  U- .  —'ti).{s+i  —  ts—k'  ■  -^'Û 

pour  la  somme  de  toutM  les  combinais!^  relatives  aux  variations 
de  2, ,/.,  /j,  ^4.  En  continuant  ainsi,  on  trouvera  généralement  que 
le  nombre  total  des  combinaisons  qtd  donnent  Féquation  {i},  dsBft 
la  supposition  où  les  variables  f.,j;,.,.ti  peu  vent  s'étendre  indéfi^ 
nisicnt  depuis  zéro^  est 

DigiUzedbyLjOOQlC 


Di:S  FROBABUITÉS.  ntS 

mais  dans  la  question  présente,  ces  variables  ne  peurént  pat 
s'étendre  au-delà  de  n.  Pour  exprimer  cette  condition ,  nous  obser- 
verons que  l'urne  renfermant  n+i  boules, la  probabilité  d'extrair»* 
Tune  qudconque  d'entre  elles ,  est  —~~^  ;  ainsi  la  probabilité  d« 
chaculie  des  valeurs  de  /, ,  depuis  zéro  jusqu'à  n ,  est  -■^-  I^ 
pr(^)ab3ité  des  valeurs  de  /,  égales  ou  sapérieteres  à  n + 1  >  «st  nufie  ; 
on  peut  donc  la  représenter  par  ^-^^ — ,  pourvu  que  Ton  fosse 
i^  1  dans  le  résultat  du  cakul;  alors  b  pixdïabilîté  d'ane  valeur 
quelconque  de  t,  peut  être  généralenient  exiaimée  par  '  *3i-'    » 

pourvu  qu'on  ne  fasse  commencer  l,  que  lorsque  t,  aura  atteint 
n-i-x,  et  qu'on  le  8U{^>eoe  à  la. fin,  égale  à  l'unité:  il  en  est  de 
même  des  probïd>ilités  des  autres  variables.  Maintenant,  là  proba- 
bilité .de  l'équation  (i)  est  le  produit  des  probabilités  des.raleurs 
de  <,,«>,  ^,  etc.  ;  cette  probalùlUé  est  donc  ('•-^-  -)  î  le  nombre 
des  combinaisons  qui  donnent  cette  équation ,  mnltipHées  par 
leors  probabilités  réactives ,  est  ainsi  le  produit  de  la  fraction  (a) 

mais  il  iaut  dans  le  développement  de  cette  fonction ,  n'appL'quer 
i*^'  qu'aux  combioaisoDS  dans  lesquelles  une  des  variables  com- 
mence à  surpasser  n  :  il  &ut  n'appliquer  Z""^'  qu'aux  combinai-  " 
sons  dans  lesquelles  deux  des  variables  commencent  à  surpasser  n, 
et  ainsi  du  reste.  Si  dans  l'éqoaâon  (i)  oa  suppose  qu'une  des  va- 
riables,/,, par  exemple,  surpasse  n;  en  faàsâBKt,:ssn-^i^t[y 
cette  équation  devient 

«  — n^i^  (,'+(,  +  '3+etc.  j 

■      ■•  ,-■]  >.  "" 

la  variable  /,'  pouvant  s'étendre  i  nd^mqaent  <$  d^^  das.  variablas 
telles  que  f,  et  /,  surpassent  n;  en  Élisant 

DigiUzedbyLjOOQlC 


/ 


356  THÉORIE  ANALYTIQUE 

l'équation  devient 

*— an— 3  =ï,'+/^  +  ^i+etc., 

et  ainsi  de  suite.  On  doit  donc,  dans  la  fonction  (a)  t^e  nous  avons 
dérivée  de  Téquation  (i),  diminuer  «  de  n+i,  relativement  au 
système  des  variables  £| ,/,,«, ,  etc.  Ou  doit  le  diminuer  de  an+  3 , 
relativement  au  système  des  variables  <^ ,  <ô  's,  etc.  ;  et  ainsi  du 
reste.  Il  faut  par  conséquent ,  dans  le  développement  de  la  fonc- 
tion (b)  par  rapport  aux  puissances  de  /,  diminuer  dans  chaque 
terme,  a  de  l'exposant  de  la  puissance  de  /jenfêuaant  ensuite /^i, 
.cette  fonction  devient 


(H-^-w-a) 


)-C'H-0'  , 


la  série  devant  être  continuée  jusqu'à  ce  que  l'un  des  fecteurs  s^-n^ 
«— 3n— 1,.«— 5n— 3,  etc.  devienne  nul  ou  négatif. 

Cette  formule  donne  la  probabilité  d'amener  un  nombre  donné  «, 
en  projetant  i  âéa  d'un  nombre  n+i  de  faces  chacun,  le  plus 
petit  nombre  marqué  sur  ces  Ëtces  étant  i.  Il  est  visible  que  cela 
revient  à  supposer  dans  l'urne  précédente ,  tous  les  nombres  des 
boules,  augmentés  de  l'unité;  et  alors  la  probabilité  d'amener  le 
nombre  a  +i  dans  i  tirages ,  est  la  même  que  ceUe  d'amener  le 
nombre  a  dans  le  cas  que  nous  venons  de  considérer;  or  en  £ii- 
gant  *+»=*',  on  a  s^=sa' — »;  la  formule  (c)  donnera  donc  pour 
la  probabilité  d'amener  le  nombre  s'  en  projetant  les  i  dés , 

-   (/-,).(/-a)....c/-i+o     t.(y-^i-^).(^-/.-^....(/-t-B) 

i.a.3....{i— !).(«+ 0*  i.a.3....0—i  ).(«+!)' 

,    '-O— ■)'    (/— an— 3).(y— an-^.  ...(/.-fc-an^i) 
"*        r^-*  i.a.3....Ci-i).(H-i}'  *'"'■ 

lia  formule  (c)  appUquée  au  cas  où  ^  et  n  sont  des  nombres  infinis, 
«e  transforme  dans  la  suivante , 

Celts 


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DES  PROBABILITÉS.  967 

Cette  expression  peut  servir  à  déterminer  la  probabilité  que  la 
somme  (^s  inclinaisoDS  à  Pécliptique ,  d'un  nombre  i  d'orbites ,  sera 
•omprise  dans  des  limites  données^  en  supposant  que  pour  chaque 
orbite,  toutes  les  inclinaisons  depuis  zéro  jusqu'à  l'angle  droit, 
soient  également  possibles.  En  effet ,  si  l*oh  conçoit  que  l'angle  droit 
^ie,  soit  divisé  en  un  nombre  infini  n  de  parties  égales,  et  que  * 
renferme  un  nombre  infini  de  ces  parties  ^  eu  nommant  f  la  somme 
des  inclinaisons  des  orbites ,  on  aura 

*        9  ^ 

Eâ  multipliant  donc  l'expression  précédente  par  da  ou  par  ^ . 
et  en  l'intégrant  depuis  9  —  *  jusqu'à  f  -{-  < ,  on  aura 


(o) 


.    I  (?^0-'--(^-O+^M^-O^tc.| 

c'est  l'expression  de  la  probabilité  que  la  somme  des  inclinaisons 
des  orbites  sera  conq>ri8e  dans  les  limites  <p — <  et  <p-^t. 

Ai^Uqnons  cette  fi>rmuie  aux  orbites  des  t)IaDétes.  La  somme 
des  inclinaisons  des  orbites  des  planètes  à  celle  de  la  terre,  était 
de  gi*,4i87  au  commencement  de  1801  :  il  y  a  dix  orbites,  sanï 
7  comprendre  Féd^tii^e ;  on  a  donc  ici  isss  10.  Ifous  ferons 
«nsuite 

*+i  =  9i%4i87. 

Lafi>rmule  précédente. devient  ainsi,  en  observant  que  fv,  ou  le 
quart  de  la  circonférence  est  de  100% 

....3!...o:(°>9'^'87)" 

Cest  Texpression  de  la  probabilité  que  la  somme  des  inclinaisons 
des  orbites  serait  comprise  dans  les  limites  zéro  et  9i'',4i87,  si 
toutes  les  inclinaisons  étaient  également  possibles.  Cette  probabilité 
estdoncD,ooooooii355.Efie  est  déjà  très-petite;  mais  iliaut  encore 

53 


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sdS  THtiOaiË  ANALTTIQIIE 

ta  .combiqçr  ftTOc.I«  ptob^ùbtë  d'une  circonstasce  tléârPemoitqimble 
dans  le  systèiue  clv;inoiide^  et  qui  conâate  «a  ce  itfaê  itâutos  1«3 
[^èteç^ç  K^envçnt  dan»  le  mêpae  senâ  que  la  tebre.:&k«niou>>, 
yeo^^is  diriqcts  .et  rétrogrades  sçnt  svqtpoaés  égatementipossiUtcs, 

cette  demièye  probabilité  est  ^  -  j  j  il  faut  donc  multiplier 
OjQQOoooaiaSS  par  ^^  V,  pour  avoir  la  pT<^)alûlité  que  tous  les 

mouvemens  des  planètes  et  de  la  terré  sefont  dirigés  dans  le  même 
scDs,  et  que  la  somme  de  leurs  inclinaisons  à  l'orbite  de  la  terre , 
sera  comprise  dans  les  limites  zéro  et  9i',4i87  ;  on  aura  ainsi 
Y^~  pour  cette  p:çob.abi]i;té  ;  ce  ^  d^nne  i  —  ^^^pourlapr^or 

habilité  que  c^  n'a  pas  dû  avoir  lieu ,  si  toutes  les  iiuïlipaisons , 
ainsi  que  les  mouvemens  directs  et  rétrogrades ,  ont  été  également 
feciles.  Cette  juvbabilité  approche  t^ement  de  la  c^^itude,  que  le 
iléaultat  observé  devient  invraisemblable  «Jans  cette  hypothèse  ;  ce 
résultat  indique  donc  avec  une  très-grapde  prohabilité ,  l'existence 
d'une  cause  primitive  qui  a  déterminé  les  mouvemens  des  planètes 
à  se  rapprodier  du  plan  de  Fécliptique ,  ou  plus  naturellement  y  du 
plan  de  l'équatear  -solaire ,  et  à  se  mouvoir  dans  le  sens  de  la 
çofiiltion  du  soleil.  Si  Fon  considère  ensuite  que  les  ^-hi^t  satel- 
^8  çh^errés  jusqu'ici ,  foaat  leur  révolution  ^ns  le  même  sens  j  et 
^e  1^  rotations  observées  an  nombre  de  traÎEe  dans  les  [danètes , 
1^9  A9-teUites.  et  Tanneaii  de  Saturne.,  sont  encoi%  dirijgées  dans  le 
même  sens-  enfin,  si  l'on  considère  que  la  moyenne  des  indinai- 
8ons  des  orbes  de  ces  astres ,  et  de  teurs  équateurs  à  Téquateur 
solaire ,  est  fort  éloignée  d'îateiodre  «n  demi-angle  droit  j  on  verra 
cpie  l'existence  d'une  cause  commune  qui  a  dirigé  tous-ces  mouf 
Temensdansi  le  sens  de  la  rotation  du  soleil,  et  sur  des  plans  peu 
inclinés  à  celui  de  son  équatexir,  est  indiquée  avec  une  probabilité 
bien  supérieure  à  celle  du  plus  grand  noinbre  des  faits  historiques 
eor  lesquels  on  ne  se  permet  aucun  doute. 

s  maisfçnapt  ai  ,oeflije  .ca^se  a  influé  .sur  ■  }^  in^uv^çoept  de^ 
le  pjoçiibre  de^jles  qji'Qo  a  obïjmrp^  jfi9qu'àla.ftn,<^ 
comptant  pour  ta.méoie  les  diverses  aiipf^ritfoqs  de  oeil» 
&'éi«ve  à  cent ,  dont  çinquan|;e-trois  6.opt  <^ectes ,  et  qi^<r 


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ISeS  PItOBABlLrfÉS.  aSj 

rantc-sept  Sônlrétrogrades.  La  somme  âhs  inclinaisbns'deSi'drbUeS 
des  premières,  est  de  a65.7%9û5,  et  celle  des  incllDaïsons  des  autre»' 
orbites ,  est  de  35ifi%6âi(  ;  l'incliiiaisori  môyemie  de  toutes  ces  or- 
bites est  donc  de  5i%75677j  par  conséquent  la  somme  de  tDUI«s  les 
inclinaisons  est  i^+i.1%75677  ,  i  étant  ici  égal  à  100.  On  voit 
déjà  que  l'inclitiaison  iuOyenne  surpassant  le  demi-angle  dfoit,  les 
comètes ,  loin  de  participer  à  la  tendance  des  corps  du  système. pla^ 
netairé,  poui- se  mouvoir  dans  des  plans  p'eu  inclinés  "à  Pécïïptîqûe ," 
pairaissent  avour  'une  tendance  contraire,  iïais  lâ  probabilité  dé* 
celte  tèùdancè,  éât  très-petite.  En  effet,  si  l'on  suppose  dans  la 
formule  (o),  . 

.»  =  ^  .    <=i.i*i75677V' 
elle  devSeM    i, 

l^^iltè  .■(f.-:^-'-'-7^^-4')'.f  etc;        ) 

V  i.a        \  «■        .  /  .   /  . 

«  étant  aoo*.  C'est  l'expression  de  la  probabilité  qae  la  somme 
des  incUnaisoDS  des  <^bite^  d^  i  comètes,  doit- être  compris* 
dans  les  limites  de  1. 1*,75€77.  Le  nombre  des  termes  de  cette  for- 
mule, et  la  précision  avec  laquée  il  faudrait  avoir  chacun  d'eux  , 
en  rend  le  calcul  impraticaïdè;  il'Ëtut  donc  recdurir  aux  méthodes 
d'approximation  développâmes  dans  la  seconde  partie  du  premier 
livrtï.  On  a  par  le  a*  4a  du  même  livre, 

les  puissances  des  quantités  négatives  étant  ici  exclues ,  comme 


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a6o  THÉORIE  ANALYTIQUE 

«lies  le  sont  dans  la  formule  précédente  ;  en  Ëiîsant  donc 

la  formule  (p)  devient 

Va»-'  lo.i'     V  9W       *■  '  ' 

fintégrale  étant  prise,  depuis  r  nul.  On  trouve  ainsi  0,474  pour  kt 
probabilité  que  l'inclinaison  des  100  orbites  doit  tomber  dans  les 
limites  5o*zb  i",!  7577  ;  la  probabilité  que  finclinaison  moyenne  doit 
être  inférieure  à  l'inclliiaison  observée,  est  donc  0,757.  Cette  pro- 
babilité n'est  pas  assez  grande  pour  que  le  résultat  observé  ^sse 
rejeter  l'hypothèse  d'une  égale  ^cîlité  des  indlnaisons  des  orbites, 
et  pour  indiquer  l'existence  d'une  cause  primitive  qui  a  influé  sur 
ces  inclinaisons ,  cause  <|ne  l'on  ne  peut  s'empéclrar  d'admettre  dans 
les  inclinaisons  des  orbes  du  système  planétaffe. 

La  même  chose  a  heu  par  rapport  au  sens  du  mouvement  La 
probabilité  que  sur  200  comètes,  quarante -sept  au  plus  seront 
rétrogrades,  est  la  somme  des  48  premiers  termes  du  binôme 
(p+yj"",  en.feisant  dans  lé  résultat  du  calcul  ;)=3  ^  =3  ^.  Hais  la 
somme  des  5o  premiers  termes ,  plos  la  moitié  du  61""*  ou  du  terme 
moyen^est  la  moitié  du  binôme  eatier,oud£(sH-T)'%c'est-à-dîre;j 
la  probabilité  cherchée  est  donc 

1  100.99. ..5i      /'a.^-i-^:^\- 

l       i.a.5.....5o.fl'- •  Va ^  5i  ^  STTW' 
OU 

. I  __    i.a.g....iQo.i^ 

■~â       (i.a.5 5o)Var.6^' 

En  verta  du  théorème 

on  a ,  à  très-peu  près , 

,      j.,.3...,oo=(>oo)-"+4.o-".(i  +  j^).^/5;, 
^■".(i.a.S. .  .60)-=  100'°°  +  ■ .  o-'~.(.  +  jl;)>. 


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DES  PROBABILITÉS.  a6i 

tsi  probabilité  précédente  devient  ainsi , 

i _i^  .  ii9Zd^==  o,5o46. 

a        t/5o.îT    iaoo.663  ' 

Cette  probabilité  est  beaucoup  trop  grande  pour  indiquer  tme  cause 
qui  ait  iavorisé,  dans  l'origine,  les  mouyemens  directs.  Ainsi  la 
cause  qui  a  déterminé  le  sens  des  mouvemens  de  révolution  et  de 
rotation  des  planètes  et  des  satellites ,  ne  parait  pas  avoir  influé  sur 
le  mouvement  des  comètes. 

i4.  La  méthode  du  numéro  précédent  a  l'avantage  de  s'étendre 
fiu  cas  où  le  nombre  des  boules  de  l'urne ,  qui  portent  le  même 
buméro,  n'est  pas  égal  à  l'unité,  mais  varie  suivant  une  loi  quel- 
conque.  Concevons,  par  exemple  ,  qu'il  n'y  ait  qu'une  boule  por- 
tant le  n'  o,  qu'une  boule  portant  le  n'  i^  et  ainsi  de  suite  jusqu'au 
u*  r  inclusivement  Supposons  de  plus  qu'il  j  ait  deux  boules  por- 
tant le  n"  r+i,  deux  boules  portant  le  n*  r+a,  et  ainsi  de  suite 
jusqu'au  u*  n  inclusivement.  Le  nombre  total  des  boules  de  l'urne 
sera  an—r-^i.,  la  probabilité  d'en  extraire  un  des  numéros  infé- 
rieurs à  r+i ,  sera  donc  — _^  _:  ■  j  et  la  probabilité  d'en  extraire 
le  n'r+i  ou  l'un  des  numéros  supérieurs,  sera  __°  :  nous  la  re- 
présenterons par  _■  —  j  mais  nous  ferons  /  =  i  dans  le  résul- 
tat du  calcul.  Quoiqu'il  n'y  ait  point  de  numéros  au-delà  du  n*  n, 
nous  pouvons  cependant  considérer  dans  l'urne  des  numéros  su- 
périeurs à  n,  jusqu'à  l'infini,  pouryu  que  nous  donnions  à  leur 
extraction ,  une  probabilité  nulle ,  nous  pourrons  donc  représenter 
cette  probabilité  par  ^  ait— 7^ —  »  ®°  Élisant  /  =  i  dans  le  ré- 
sultat du  calcul  Par  cet  artifice,  nous  pourrons  représenter  géné- 
ralement la  probabilité  d'un  numéro  quelconque,  par  l'expression 
précédente  ;  pourvu  que  nous  ne  usions  commencer  r*'  que  lors- 
qu'un des  numéros  commencera  à  surpasser  r ,  et  que  nous  ne 
fessions  commencer  /^'  que  lorsqu'un  des  numéros  commencera 
à  surpasser  n.  Cela  posé,  on  trouvera,  en  appliquant  ici  lesraison- 
Qemens  du  numéro  précédent,  que  la  probabiÙté  d'amener  le  nombre 


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969  THÉORIE  ANALYTIQUE 

s  dam  i  tirages,  est  égale  à 

C<+i-0-(H-i-^)-(j+i-31-...-0+0  r,a-*^— aï^'V 
i.a.3....(.-i).(an-^i)J tl+f"—  a*"  }  f 

pourvu  que  dans  le  déreloppemeot  de  cette  fonction,  suirant  les 
puissances  de  l,  on  diminue  dans  chaque  terme,  s  de  Fexposantde 
la  puissance  /,  qu'on  suppose  ensuite  /=  i ,  et  qu'on  arrête  la  série 
lorsque  l'on  parvient  à  des  Ëicteurs  négatif. 

i5.  Appliquons  maintenant  cette  méthode  à  la  recherdie  dà  ré- 
sultat mojen  que  doit  donner  un  nombre  quelconque  d'obsenra- 
tions  dont  les  lois  de  facilité  des  erreurs  sont  connues.  Ponr  ceki , 
nous  allons  résoudre  le  prc^Ième  suivant  ^ 

Soient  i  quantités  variables  et  positives  t,  t, ,  i, ,. . . f|_,  dont  la 
somme  soit  s ,  et  dont  la  loi  de  possibilité  soît  connue  ;  on  proposé 
de  trouver  la  somme  des  produits  de  chaque  vaieor  que  peut  rece^ 
voir  une  fonction  donnée  4  (';  '<  r  '•>  ^^^■)  ^  ces  variables, multi- 
pliée par  la  probabilité  correspondante  à  cette  valeur. 

Supposons  pour  plus  de  généralité, que  les  fonctions qatexi^rîment 
les  possibilités  des  variables  t,  t, ,  etc.  soient  discontinues ,  et  repré-' 
seiitDiispar  ^ (t)  la  possibilité  de  t ,  d^oia  t^sio  jusqu'à  t=:q  ; 
par  ^'(*)4-^((),  sa  possibilité  depuis  *  =  ff  jusqu'à  ts=g';psr 
♦"(0"^"P'(')+?(')'  ^*  possibilité  depuis  (=  y' jusqu'à  t=^g",  et 
ainsi  de  suite  jusqu'à  rinfinL  Désignons  ensuite  les  mêmes  quantités 
relatives  aux  variables  ^, ,  f. ,  etc.  par  les  mêmes  lettres ,  en  écrivant 
respectivement  au  bas,  les  nombres  1,  a ,  3,  etc.;  ensorte  que  y,, 
g\ ,  etc.  ;  ip,((,),  ?^  {i,),  etc.  correspondent ,  relativement  à  /,,  à  ce 
que  g,  q\  etc.;  ^>(<),Ç'((),  etc.  sont  respectivement  à  ï,  et  ainst 
de  suite.  Dans  cette  manière  de  représenter  les  possibilités  des  va^ 
riables,  il  est  clair  que  la  fonction  7  (2)  a  lieu  d^tds  f  cso  jusqu'à 
r infini;  que  la  fonction  (p'{t)  a  U^  depuis  t^g  Jusqu'à  t  inâm, 
et  ainsi  de  8uît&  Pour  reconn£^b*e  les  valeurs  de  t ,  t„  ^t  etc^  lors- 
«pie  ces  diverses  fonctions  ccmmeacent  à  avoir  lieu,  nous 'multi- 
plierons conformément  à  la  méthode  exposée  dans  les  numéros 
précéden8,ç(ï)par  ?•  ou  l'unité,  <ff  (t)  par  l'}^"it)  par  /^,etci 
nous  multiplierons  pareillement  ^.  (t,)  par  l'unité,  ç[  (t,)  par  f'j  et 
i^insî  de  suite  :  les  exposans  des  puissances  de  /  indiqueront  alors 


y  Google 


T^S  PROBABILITÉS.  »65 

^  Tdleurs.  Il  suffira  ensuite  de  làire  /=:  i  dans  le  dernica-  résal- 
tat  4v  calcul  Jdï  moyen  de  ces  artifices  très-simples ,  on  peut  &ci- 
lement  résoudre  le  problème  proposé. 

La  probabilité  de  la  fonction  4  (*>  '.>  '*)  etc.)  est  évidemment 
égale  au  produit  des  probabilités  de  i,  f,^f,,etc.,eiisoirtequ6siron 
substitue  pour  t  sa  yaleur  «  —  t, —  f.— •  «te.  que  domie^équi^OB 

Je  produit  de  la  fonction  proposée  par  sa  probabilité ,  sera 

4C* — *i~< — etc.,  f,,*„  etc.) 

X[^(i--(,—ï;—etc.)+/'.^'(«—(,—ï,—eèc.)4-K.*"(5— #,—/,— etc.)-f-etc.j 

X{.Mt')-\-^'-<l>:  {t)+f''.<p\  (/.)-|-etc.]j  (A) 

Xetc. 

on  am^  donc  la  somme  de  tous  ces  produits,  i*.  en  multi^diKDt  la 
quantité  précédente  par  dt^ ,  et  en  Tint^raut  pour  toutes  les  valeurs 
doat  t.  est  6uaceptU>Ie  ;  a*  ea  multipliant  cette  intégrale  par  dt, ,  et 
en  l'intégrant  pour  fa>i;Aes  les  valoirs  dont  t^  est  susceptible,  et  amsi 
4e  suite  joac^'à  la  4ermère  yatiajale  ^,  ;  mais  ces  intégratirais  suc- 
et^ves  exigent  quelques  attaitions  particulières. 
^Osjdéroos  un  ten^e  quelconque  de  la  quantité  (A) ,  tel  qu« 

/Ï+''' "'■'•+'*''"■  .4  C*-(.-(.-etc.,(.,/.,etc.) 
X^'C*— (,—/.— etc.). ?;(*.).?;  (/.).etc.; 

enle  multipliant  par  (ft, ,  fl  fautïntégrer  pour  toutes  les  valeurs  pos- 
sibles de  ï^j  or  la  fonction  f'  (s — t, —  t^ — etc.)  n'a  lieu  que  lorsque  f, 
dontla  valeur  est*— f,— *,• — etc.,  égale  ou  surpasse  y  ;k  plus  grande 
valeur  que  (,  poisse  réceyoU-,  est  donc  «  — 51— (,— fj — ietc.  De 
plus,  (pî  (£,)  n'ayant  lieu  que  lorsque  t,  est  égal  ou  plus  grand  que 
q,t  cette  quantité  est  la  plus  petite  valeur  que  t,  puisse  recevoir  ; 
Û.  £iut  donp  proxtre  l'intégrale  dont  il  s'agît ,  depuis  f.  =  g,  jusqu'à 

(4  =  *—^  —  '»— 's — etc.; 
OQ,  qeq^i  revient  au  nn^iae , depuis  t,^—^,=s:o  jusqu'à 
t,-^  y,:=  f—gr— y,— /,—  /,— etc. 


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«64  THÉORIE  ANALTTIQXJE 

On  trouvera  de  la  même  manière  qu'en  multipliant  cette  nourell* 

intégrale  par  dt„  il  làudra  l'intégrer  depuis  /, — g',  =so  jusqu'à 

4 — g',=  *— y— y,  — 9^— ^— etc. 

En  continuant  d'opérer  ainsi ,  on  arrirera  à  une  fonction  dé 
4— ç— y,  — j^_etc.,  dans  laquelle  il  ne  restera  aucune  des  va- 
riables*,*,, f„elc.Cettefonctiondoitêtre  rejetée,  si* — g—Çt — jl— etc. 
est  nul  ou  négatif;  car  il  est  visible  que  dans  ce  cas,  le  système  deç 
fonctions  ^'(t),  ^',  ((,),  <pl  (/,)»  «te.  ne  peut  pas  être  employé.  En 
e^t,  les  plus  petites  valeurs  de  f„  ^,  etc.  étant  par  la  nature  de  ces 
fonctions ,  égales  k  q,f  q[ ,  etc.  ;  la  plus  grande  valeur  que  t  puisse 
recevoir  est  j  —  y, — g[  —  etc. }  ainsi  la  plus  grande  valeur  de- 
*— j-.est 

«— y— jf,— y^— etc.j 

or  ta  fonction  <p'{t)  ne  peut  être  employée  qu'autant  que  t-^^ 
est  positif. 

De  là  résulte  une  solution  très-simple  du  problème  proposé.  Que 
l'on  substitue,  i*.  ^-|-< au  lieu  de  f,dan8  ^'(f);9'+£aulîeudef, 
dans  ^"(i)j2"Hr/8uJdeude(,dan8^'"((),etainMde8uite;a'.  y.-H, 
au  lieu  de  t, ,  dans  (p[  (t,)  j  q[  + 1,  au  lieu  de  t, ,  dans  ?'  ((,)  ;  etc.  ; 
Z".  <?,+/,  au  lieu  de  ^,  dans  «pi  (f.)  ;  çl+t,  au  lieu  de  /, ,  dans 
^1  ('0*  ^^-i  ^^  ^Dsi  ^B  suite;  4*.  enfin,  A:-f-/  au  lieu  de  t,  £.4-'i 
au  lieu  de  t, ,  et  ainsi  du  reste,  dans  4  (f»  h ,  /. ,  etc.)  j  la  fonction  (AJ 
deviendra 

•4-  (*+*— f  1 — tj—ti— etc. ,  *,+/. ,  A,+f, ,  etc.) 
X  if  (*—«.— /,—fe—etc.)+/*.<p'  (j-i-y— (.— f,— etc.) 

+;»'.?"  (^y'—/,— fr-^ta)+etc.]  j(A') 

xr?.(f.)4-i''.*;  (?.+<.>+•/''.<  (î:H-(,)+etc.] 

X[«P.(f,)-f''*.fl»;(î.+f.)-(-etc.] 

^  multq;iliant  cette  fonction  par  dt, ,  on  l'intégrera  depuis  t,  nul 
jusqu'à  f,=« — *. —  /, —  etc.  On  multipliera  ensuite  cette  pre- 
mière intégrale  par  d(. ,  et  on  l'intégrera  depuis  /,  nul  jusqu'à 
f,=* — tî-^U — etc.  En  continuant  ainsi,  on  parviendra  à  un« 
«derniers  intégrale  qui  sera  fonction  de  «,  et  qi;e  nous  désignerons 

par 


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DES  PROBÀBarrÉs. 


afiS 


par  n  (s);  et  cette  ibnction  sera  la  somme  cherchée  de  tontes  les 
valeurs  de  4  ('}'>*  ^  >  ^tc.)  multipliées  par  leurs  probabilités  re»- 
pectives.  Mais  pour  eela  ,  il  faut  avoir  soiu  de  changer  dans  un 
terme  quelconque ,  multiplié  par  une  puissance  de  Ij  telle  que 
^-»-9i+?.+e  c-^  ^  ^jjjjg  |g  parijg  ^e  l'exposant  ^la  puissance  relative 
à  la  variable  t^  et  qui  dans  ce  cas  est^j  et  s^ctte  partie  manque  , 
il  £iut  supposer  k  égal  à  zéro.  Il  Ëiut  pareillement  changer  k,  dans 
la  partie  de  Texposant  relative  à  la  variable  t^y  et  ainsi  de  suite; 
il  &ut  diminuer  s  de  l'exposant  entier  de  la  puissance  de  l,  et 
écrire  ainsi  dans  le  cas  présent,  s — q — q, —  q'^  —  etc. ,  au  lieu 
de  £ ,  et  rejeter  le  terme ,  si  s,  ainsi  diminué ,  devient  négatif.  Enfin, 
il  £tut  supposer  l^si. 

Si  >[/(«,  ï,,f.,  etc.),  4>{ï),(p'(/),  etc.  ;?,((,),  etc.  sont  des  fonctions 
rationnelles  et  entières  des  variables  f,  f,,  t„  etc.;  de  leurs  expo- 
nentielles ,  et  de  sinus  et  cosinus  |  tontes  les  intégrations  successives 
seront  possibles ,  parce  qu'il  est  de  la  nature  de  ces  fonctions ,  de  se 
reproduire  par  les  intégrations.  Dans  les  autres  cas,  les  intégra- 
tions pourront  n'être  pas  possibles  ;  mais  l'analyse  précédente 
réduit  alors  le  problème  aux  quadratures.  Le  cas  des  fonctions 
rationnelles  et  entières ,  o&e  quelques  simplifications  que  nous 
allons  e^oser. 

Supposons  que  l'on  ait 

*(0+^-'P'(î  +  *)+^'/'(/+0+etc.=-/4-5.*+C.i*H-etc., 
<P.(t,)-\-^'-f[  (?'.+f.H-''';'Pl  C?;+'.)+etc.=^.+5,.(,+C,.(tH-etc.,  - 
«P.  ('.H-i^'-^l  (î.+O+^'-'p;  (s;-H.)+«tc.=^,-f-5../,-|-C..(;+etc., 
etc. 

et  désignons  par  /r.(".("'.^.etc.  un  terme  quelconque  de 
4  (*+*,  *.+'■,  *.+/.,  etc.);  il  est  facile  de  s'assurer  que  la  partio 
de  n  {s)  correspondante  à  ce  terme ,  est 

i.a.5...B.i.a.3...n..i.3.5...B..etc.fl'.*^''+"'+"*+"*'=-' 

X[^  +  («+i).S.*-Hn-f-i).(n+a).C.*'H-etc.] 

X  [^,^-(/^.^-l).5..H-(«.+l)■(n.^-a).a.*^^-etc.]  ;  (B) 

x[^,+(rt,+i)..ff..iH-(n.-|-l).(n,-|-3).C..J*-l-elC.i 

xetc. 

34 


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tm  THÉORIE  ANALTTIQrE 

pourm  qae  dans  le  développement  de  cette  quantité,  an  Uea d'usé 

puissance  quelconque  a  de  « ,  on  écrire  ■■'  »  '  '  ■  On  aura  enamte 
la  partie  correspondante  de  la  somme  entière  des  râleurs  de 
4  {i,  tt  t  '»  etc.) ,  multipliées  par  leurs  probabilités  respectives ,  en 
changeant  un  tenu%quelconque  de  ce  développement  »  tel  que 
/A.  ^.a'  dans  JI>^.(s—fi)',  et  eu  substituant  dans  H,  au  lieu 
de  tf  la  partie  de  l'exposant  /a,  qui  est  relative  à  la  raiiable  ty  au 
lieu  de  jt, ,  la  partie  relative  à  2, ,  et  ainsi  du  reste. 

Si  dans  la  formule  (B)  on  suppose /f=:i,  etn,  n,,».,  etc.  nuls; 
on  aura  la  somme  des  valeurs  de  Tunité,  multipliées  par  leur  pro- 
babilité respective  ;  or  il  est  visible  que  cette  somme  n'est  autre 
chose  que  la  somme  de  toutes  les  combinaisons  dans  lesquelles 
l'équation 

*+/,  +  ',.... -l-ft_.=* 

a  lieu ,  multipliées  par  leur  probabilité  ;  elle  exprime  conséquem- 
ment  la  probabilité  de  cette  équation.  Si  dans  les  hypothèses  pré- 
cédentes ,  où  suppose  de  plus  que  la  loi  de  probabilité  est  la  même 
pour  les  r  premières  variables  «,(,,/;,...  ^, ,  et  que  pour  les  i  —  r 
dernières,  cite  soit  encore  la  mêmej  mais  diffêrente  que  pour  les 
premières  j  on  aura 

^  =  ^.  =  J,...=  >/_,, 
B  =  B,  =  5....=  J^,, 
etc. 

J,=  J^, s=  ^^i, 

Br^B,^, =  5.-., 

'»  etc., 

et  la  formule  (fi)  se  changera  dans  la  suivante , 

*^'.(^-f-5.H-3<?-*'H-etc.)'.(^,H-5,.i-|-3C;.*"+etc.)'-'.        (C) 

Cette  formule' servira  à  déteminer  la  probabi^  que  la  somme  des 
erreurs  d'un  nombre  quelconque  d'observations  dont  la  loi  de 
facilité  des  erreurs. est  comme,  £era  ctHnprise  dans  des  limites 
données. 


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D£S  FROBAfiniTÉS*  107 

Sopposons,  par  exemple ,  que  Ton  ait  î—  l  obsemtti«iis  dont 
les  erreurs  pour  cfaaqHe  observation  puissent  s'étendre  depuis  —A 
jusqu'à  -hg;  et  qu'en  nommant  z  l'erreur  de  la  première  de  cea 
obserrations  ,  la  loi  de  fecilité  de  cette  erreur  soit  exprimée  par 
a+bz  +c;s*.  Supposons  ensuite  que  cette  loi  soit  la  même,  pour 
les  erreurs  r., »,,...«*_,  des  antres  observations,  et  dierchon» 
la  [tfobabilité  que  la  aomma  de  ces  erreurs,  sera  comprisa  dons  les^ 
ïœîtes;»  ^j7-)-«. 

Si  Ton  lait 

zssc— A,    x,!=/,— A,    s,=s/,— A,    etc.; 

il  est  clair  que  r,  ^,  /,,  etc.  seront  -positif  et  pourront  s'étendre 
depui»  zéro,  jusqu'à  A-f*^  j  de  plus,  on  aura 

«-f.r,-f-r....-|-r(_,=  *+«.+  f....-H_,— (»— l).A; 

donc  la  plus  grande  valeur  de  la  somme  r+2,-t-£>*  •  •+£i-.  étant 
par  la  sùpf)osition ,  égale  àji-^7,et  la  plus  petite  étant  égale  kpi 
la  plus  ^ande  râleur  de  <+«,+*,..  .•+-^_,  sera  Ct—i).A-f-3ï-H# 
ft  la  plus  petite  sera  (i—i).A-Hpj  en  faisant  aioai 

(»— i).A+i7+e=:» 
et      ■■  ■ 

^,  sera  toujours  positif,  et  pouira  s'étendre  depuis  zéro  jusqu'à  e. 
Cela  posé,  si  l'on  applique  à  ce  cas,  la  formule  {C);  on  aura 
q7=ih-\rg-  D'ailleurs  la  loi  de Ëioilité des ureurs  z étant  a+bz-^cz*, 
on  en  conclura  la  loi  de  Ëtcilité  de  £,  en  j  changeant  z  en  t—  A  ; 
soit 

a'=:a— M+cA*,    y=s  6— acA, 

on  aura  o'+ô'^-f-cC  pour  cette  loi;  ce  sera  donc  la  fonction 
<p,(i).  ïfois  toouae  depuis  <asA+^  iusqu'à  t  infini^  la  fadlité  des 
valeurs  de  f  ^  nujl^  par  l'hypothèse;  on  aura 

■      ?'(i)+>(Os=o; 
ee  qui  donne 


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aBg  THÉORIE  ANALYTIQUE 

donc  si  Ton  fiût 

a"=a'  +  b'  {h-^g)-^cih-j-gr, 

on  aura 

..      ?(/)  +  /'.<p'(î+0=a'H-6'iH-ci'— ?+'.(a"4-6"'  +  ci')j 

et  cette  équatioii  aura  encore  tieu,  en  y  changeant  ten  t,,  f,,  etc.  ; 
puisque  la  loi  de  facilité  des  erreurs  est  supposée  la  même  pour 
toutes  les  observations. 

Quant  à.  la  variable  /,_, ,  on  observera  que  la  probabilité  de 
réquation 

«+«.••• -H- Zi—=^ 

étant,  quel  que  soit^  égale  auin^duit  des  probabilités  âejr,Z[,z„  etc.; 
la  probabilité  de  réquation 

sera  égale  an  produit  des  probabilités  de  f,  t,,tt,  etc.  ;  la  loi  de  pro- 
babilité defj_,  est  donc  constante  et  égale  àTunité;  et  comme  cette 
variable  ne  doit  a'^codre  que  depuis  fi_,  =so  jusqu'à  ^,_,sse> 
on  aura 

et  par  conséquent 
ce  qui  donne 

la  formule  (C)  deviendra  donc 

«•— .  [a'-K'H-acy— i»+' .  (a'*+6"H-aM')]'—  •  (i— /*)•     (C) 
Soit 

{a'-hh'a-^acs*)'-'  =  a<''4-i'''^4-c<''«'-f /('V+etC, 
(a'+6'*H-2c«*)'-'.  (a"+6"H-3w')  =  fl**-|-6<»'H-c*''*H-  etc., 
(a'+ô'H-acJ*)'-* .  (a"-f-6"^+ac«'}  =  at«4-i(«,+c(»i*H-  etc., 
etc. 

La  formule  précédente  (C)  donnera,  en  j  diai^eant  un  terme  qnel- 


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.  DES  PROBABILITÉS.  969 

conque  tel  que  X.f'.s*,  en 

i.a.3....a  * 

etc. 

%^*^.l(s—ah^-3gy~^—(s — sA— a^— e)*-^] 


_fc0Ji=?). 


1+7-'  [(*--aA— fl^)'—  (5—  aA— 3^— e)Q 
-etc. 


\  — etc. 


n  faut  rejeter  de  cette  expression,  les  termes  dans  lesquels  la  quait- 
tité  élevée  sous  le  signe  des  puissances ,  est  native. 

Supposons  maintenant  que  x ,  z, ,  z, ,  ^c. ,  représentant  toujouis 
les  erreurs  de  i  —  1  observations ,  la  loï  de  fiiciÛté ,  tant  de  TerreiH* 
t  que  de  l'erreur  négative  — *,  soitÇ(A-^z),  et  que  k  et  — h 
soient  les  limités  de  ces  erreurs.  Siqyposons  de  plus  que  cette  loi 
soit  la  même  pour  toutes  les  observations;  et  cherchons  la  pro- 
babilité que  la  somme  des  erreurs  sera  çonc^rise  dans  les  limite» 
jjet^  +  e. 

SironÈiitr=*— A,js,  =  i.— A,  etc.;  il  est  clair  que  t,  t,,  etc- 
seront  toujours  positife,  et  pourront  s'étendre  depuis  zéro  jusqu'à 
ah;  mais  ici  la  loi  de  &cilité  est  discontinue  en  deux  points.  Depuis 
t=o  jusqu'à  t=sh,  elle  est  exprimée  par  Ct.  Depuis  f =A)U3qu'à 
t  =:  3hj  elle  est  exprimée  par  f  (aA— f)  ;  enfin,  eUe  est  nuUe  depui» 


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a?©  THÉORIE  ANALTTIQUE 

f  ss  a  A  jusqu'à  t  iofim.  On  a  donc 

'gs=hi     q'tssih  ; 

on  a  ensuite 

ce  qui  donne  , 

<p'(^  =  (ithst).C,    (p"{t)=s{t—ah)'.Ç, 
ainsi  Ton  a  dans  ce  cas , 

.    .     9(0H-/'.?'C!H-0+P'-'P"Cî'+0=ff-*-(i-O'ï 

équation  qui  a  encore  lieu  en  y  changeant  f  en  «,,  f„  etc.  Frésen-" 
tement  on  a 

donc  la  somme  des  erreurs  x,  £, ,  etc.  devant  être  par  hypothèse, 
renfermée  dans Jes limites  p  etp-t-e,  la  somme  des  valeurs  de 
*,/„..../)_i  sera  comprise  dans  les  limitea  (i  — i).AH-p  el 
(i--i}.h'^P'^e-f  ensorte  que  si  Ton  Ëtit 

fêtant  supposé 'égal  à  (i—i).A+p-|-e;ft_,  pourra  s'étendre  de* 
puis  zéro  jusqu'à  e  j  et  l'on  verra ,  comme  dans  Fexemple  précé- 
dent ,  que  sa  &cilité  doit  être  supposée  égaie  à  l'unité  dans  cet 
intervalle  j  et  qu'elle  doit  être  supposée  auUe  au-delà  de  cet  intep- 
ralle;  ainsi  Ton  a  2i_,=s:  Cf  et 

Cela  posé ,  si  Ton  observe  que  a€fd£.(h-~s)  étant  la  probabilité' 
que  l'erreur  d'une  observation  est  comprise  dans  les  limites  •—  h 

et  +  ^»  ce  qui  est  certain,  on  a  €=;^;  la  fônoole  (C)  donnera 

pour  l'expression  de  la  probabilité  cherchée. 


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DES  FROBABILITÉS.  «71 

(—etc.  ) 

en  ajant  soin  de  rejeter  tous  les  termes  dans  lesquels  la  quantité 
élevée  à  la  puissance  ai— a,  est  négatire. 

Nous  allons  encore  appliquer  cette  analyse  ail  problème  suivant. 
Si  l'on  conçoit  un  nombre  i  de  points  rainés  en  ligne  droite ,  et 
sur  ces  points ,  des  ordonnées  dont  la  première  soit  au  moins 
égale  à  la  seconde ,  celle-ci  au  moins  égale  à  la  troisième,~et  ainsi 
de  suite  ;  et  que  la  somme  de  ces  i  ordonnées  soit  constamment 
égale  à  s.  En  supposant  s  partagé  dans  une  infinité  de  parties ,  on 
i  peut  satisfaire  aux  conditions  précédentes ,  d'une  infinité  de  ma- 
nières. On  propose  de  déterminer  la" valeur  de  chacune  des  ordon- 
nées ,  moyenne  entre  toutes  les  valeurs  qu'elle  peut  recevoir. 

Soit  z  la  plus  petite  ordonnée,  ou  l'ordonnée  i'™*;  soit  z4-r, , 
Tordonnée  {i — i)*"';  soit  «-Hz,-h«,,  l'ordonnée  (i — a)'™*,  et  ainsi 
de  suite  jusqu'à  la  première  ordonnée  qui  sera  i-f-z,. . . . .+«;_,. 
Xes  quantités  r ,  z,,  «.,  etc.  seront  ou  nulles  ou  positives,  et  leur 
somme  (.a-t-fi— i).z^-4-(»— a).z,...+zi-i  sera,  par  les  condi- 
tions du  problème ,  «gale  à  3.  Boit 

i.z=itj    (»-— i).i,c3ï(,,    (»— a).r,Œ:(,,  ...z,_,=fj_,j 
OU  aura 

les  variables  t,  t^,  t^y  etc.  pourront  s'étendre  jusqu'à  s.  L'ordonnée 
/>"'  sera 

t  +  J^ +  îhL. 

n  feut  déterminer  la  somme  de  toutes  les  variations  que  cette 
quantité  peut  recevoir ,  et  la  diviser  par  le  nombre  total  de  ces 
variations ,  pour  avoir  l'ordonnée  moyenne.  La  formule  (B)  donne 
très-£icUement  cette  somme ,  en  observant  ^'ici 

4-(«j'.,'oetc.)=;4-j^ -f-'^î 


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S79  THÉORIE  ANALYHQUE 

et  on  la  troure  égale  à 

En  divisant  cette  quantité  par  le  nombre  total  des  combinaisons , 
'qui  ne  peut  être  qu'une  fonction  de  i  et  de  ^ ,  et  que  nous  dési- 
gnerons par  Nf  on  aura  pour  la  valeur  moyenne  de  l'ordounétt 


5...i.N'  V  "^  n^*  "  '"^  r/ 


Pour  déterminer  N ,  nous  observerons  que  toutes  les  valeurs 
moyennes  doivent  ensemble  égaler  «  ;  ce  qui  donne 


■" —  i.a.3....Ct— 0' 
la  valeur  moyenne  de  Tordonnée  r^  est  donc 

Supposons  qu'un  effet  observé  n'ait  pu  être  produit  que  par  l'un* 
des  »  causes  J^  B^  C,  etc.j  et  qu'une  personne ,  après  avoir  ap- 
précié leurs  probabilités  respectives ,  écrive  sur  un  biliet,  les  lettres 
qui  indiquent  ces  causes ,  dans  l'ordre  des  probabilités  qu'elle  leur 
attribue ,  en  écrivant  la  .première ,  la  lettre  indiquant  la  cause  qui 
lui  semble  la  plus  probable.  Il  est  clair  que  Ton  aura  par  la  formule 
précédente,  la  valeur  moyenne  des  probabilités  qu'il  peut  supposer 
a  chacune  d'elles ,  en  observant  qu'ici  la  quantité  s  que  l'on  doit 
répartir  sur  chacune  des  causes,  est  la  certitude  ou  l'unité,  puisque 
la  personne  est  assurée  que  l'efièt  doit  résulter  de  Tune  d'elles.  La 
valeur  moyenne  de  la  probabilité  qu'elle  attribaci  à  la  cause  qu'elle 
a  placée  sur  son  billet  au  rang  r*™*,  est  donc 

?-C'+réT +0- 

De  là  il  suit  que  si  un  tribunal  est  appelé  à  décider  sur  cet  objet, 
et  que  chaque  membre  exprime  son  opinion  par  un  billet  semblable 
Ml  précédent;  alors,  en  écrivant  sur  chaque  billeti  à  cdté  deslettres 

'  qui 


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DES  PROBABÏtrrÉS.  jyS 

qot  iiiâiqiien{  lès'  causes  y  les  vïdeiirs  moyennes  qiii  r^xMKlent  an 
rang  qu'elles  ont  sur  le  billet;  en  Ëiisant  ensqite  tme-  sctaffie'dd 
tontes  les  valeurs  qui  oorrespondent  à  chaque  cause ,  sur  les  divers 
billets;  la  coase  à  -laquelle  répondra  la  plus  grande  soixmte,  sértf 
celle  que  le  tribunal  jii^era  la  plus  prbbîdile. 

'  Cette  règle  n'est  point  applicable  atix  choix  des  assemblées  élec-  ' 
totales^  parce  que  le»  électeurs  ne  sont  point  astreints,  comme 
les  juges»  à  répartir  une  même  somme  prisé  pour  unité ,  sur  les 
divers  partis  entre  lesquels  ils  doivent  se  déterminer  :  ils  peuvent 
Supposer  à  chaf[ue  candidat  y  toutes  les  nuances  de  mérite  com- 
prises entre  le  mérite  nul  et  le  maxirmtm  de  mérite ,  que  noua 
désignerons  par  a  :  l'ordre  des  noms  sur  chaque  billet,  ne  Mt  qu'in- 
diquer que  i'électeUr  préfêre  le  premier  au  second,  le  second  au 
troisième ,  etc.  On  déterminera  ainsi  les  nombres  qu'il  &ut  écrire 
sur  le  billet,  à  cdté  des  noms  des  candidats. 
.  Soient  ^,,  ^,  f,. .  ./î  les  mérites  respectif  des  i  candidats,  dans 
Topinion  de  l'électeur ,  t,  étant  le  mérite  qu'il  suppose  à  celui  des 
èandîdats  qu'il  a  mis  au  premier  rang,  /,  étant  le  mérite  qu'U  suppose 
au  second,  et  ainsi  de  suite.  L'intégrîdey>>-df*..A.. .  .^,  exprimera, 
la  somme  des  mérites  que  l'électeur  peut  attribuer  au  candidat  r, 
pourvuquel'on  intègre  d'abord  par  rapporta  f|,  depuis  f^  =  o  jusqu'à 
t,  =:  t,-,  ;  ensuite  par  rapport  à  (t_, ,  depuis  f^_,  jusqu'à  *,_„  et  iiinsi  de 
suite ,  jusqu'à  l'intégrale  relative  à  t, ,  que  l'on  prendra  depuis  t,' 
nul  jusfpi'à  (,=:a.  Car  il  est  visible  qu'alors  ti  ne  surpasse  jamais 
*!_„  **-!  ue  surpasse  jamais  ii_ ,  etc.  £n  divisant  l'intégrale  précé-. 
dente  par  celle-ci /<2f,.^...  .dt,  qui  exprime  la  somme  totale  des. 
combinaisons  dans  lesquelles  la  coaditioin  précédente  est  retpplie„' 
on  aura  l'expression  moyenne  du  mérite  que  l'électeur  peut  attri- 
buer au  candidat  r*™.  En  exécutant  les  intégrations,  on  trouve  . 
-'^— .  a  pour  cette  ezpresàon. 

De  là  il  suit  que  l'on  peut  écrire  sur  lé  billet  de  chaque  ^ecte^j: 
i  à  côté  du  premier  nom,  »— i  -à  côté  du  second,  *'— a  à  c6té  du 
troisième ,  etc.  En  réunissant  ensuite^-tous  les  nombres  relatif  à 
chaque  candidat ,  sur  les  divers  billets  ;  celui  des  candidats  qui  aura 
la  plus  grande  somme ,  doit  être  présumé  le  candidat  qui ,  aux  yeux 

55 


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*74  THÉORIE  ANALYTIQUE 

^  fasMot^d^  âect(Nrale,ale  ^iisgradd mérite,  et  doHpar  CoiH 
y^qn^  être  cboisL  - 

,  C^,inode  d'élection  serait  sans  doute  le  mciUear,  si  des  consi- 
déi:atipa8,.«traiigèfes  au  mérite  n'infliuûcaat  pdint  souvectt  sur  la 
choix  des  électeurs,  m^me  les  plus  faoïmétes,  et  De  les  détermi* 
xtaiçnt  point  à  placer  aux  derniers  rangs ,  tes  candidats  les  {dos 
redoutables  à  celui  qu'ils  préfèrent  ;  ce  qui  doipie  un  grand  ayan-- 
tage'aux  candidats  d'un  mérite  médiocre.  Aussi  l'espérience  Tart-ello 
Eût  abandonner  aux  établissemens  qui  l'avai^it  adopté. 

Supposons  que  les  erreurs  d'nne  observation  puissent  s'étendre 
dans  les  limites  +a  et  — a;  mais  qu'^orant  la  loi  de  probabi- 
lité de  ces  erreurs ,  on  ne  rassujëtisse  qu'à  la  condition  de  leur 
donner  une  probîibilîté  d'autant  plus  petite  ,  qu'elles  SQ|it  phia 
grandes  j  là  probabilité  des  erreurs  positives  étant,  siipposée.  la  màne 
que  celle  des  erreurs  négatires  correspondantes,  toutes  choses  qu'il 
est  naturel  d'admettre,  La  formule  (e)  donnera  encore  la  loi  moyenne 
des  erreurs.  Pour  cela  on  concevra  l'intervalle  à  partie  dans  un 

nombre  infini  i  de  parties  représentées  par  i£r,  ensorte  que  ias^* 
©n  fera  enwât©  rss  ^  j  îa  formule  (i)  devient  ainsi  ' 


s-th;     /'dx 
a     'J    X  ' 


rintégrale  étant  joise  depuh  st=x  jusqu'à  x=a;  dans  la  question 
présente  5=^5  car  l'erreur  devant  tomber  dans  les'Hmites— o  et 
+  a,  la  probabilité  qt^eSft  tombera  dans  les  limites  o  et  a  est  i; 
c'est  la  quantité  s  qu'il  Aut  répartir  sur  tous  les  points  de  Hnter- 
TaHe  a  ;  la  formule  (<)  devient  donc  alors 

^.log2. 

Ainsi  la  loi  moyenne  des  probabilités  des  erreurs  positives  XjOa 
né^tivee-i<iryÎKt^    '■  '    ■       ■,■'•'  ■   '    i   ■■ 


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DES  ^aOBABIUTÉS.  9-^5 


CHAPITRE  ïHv 

Des  lois  ât  laprobahUité  ,  fui  résulteni  de  la  multiplication 
vndéHnie  des  épénemerts» 

16.  A.  MESURE  que  lee'é^f^éaraAëUs  semnoltiplieiit,  leurs  probabi- 
lités, respeetives  se  dereloppeat  déplus  en  plus  :  leurs  résultats 
moyens _et Ifes  bénéfice»  ou les^ertesq^  end^pendfcnt^ convergent 
vers  des  Iltaitës  dont  tts'approchent  avec  des  probàbfUtés  toujours 
1tro)astuites.,.f»  dét^nÛBAti^ii^^  ces  aqiîroiseemen»  et  de  ces  li- 
mites ,  est  une  des  parties  les  plus  intéressaates  et  les  plos  délicates 
de  l'analyse  des  hasards.     . 

Considérons  d'abord  la  manière  dont  les  possibilités  de  deux 
jÇTénem^ns  simples  dont  un,  seul  doit  arriver  à  chaque  coup ,  ^e  dé- 
veloppent lorsqu'on  multipUe  te  nonÀre  de  coups.  Il  est  visible  que 
Févéaenient  dont  la  ÊiClÈté  est  là  ^!us  grande,  doit  probablement 
arriver  plus  Souvent  dans  un  nombre  dùnne  de  coupsi  etTôn  est 
porte  naturellement  à  penser  qu*en  répétant  les  coups  un  très- 
grand  nombre  de  fois ,  (3iacun  de  ces  événemens  arrivera  prppot^- 
tionnellement  à  sa  fecilitp,  que  l'on  pourra  ams(.  dA^ouvrir  par 
l'eigérience.  Nous  allons  démontrer  fmalytiquànènt  cet  ïînportant 
théorème.  7_  ■   _    j^' 

On  a  vu  dans  le  n*  6  que  si  j>  et  1  — ^  sont  tes  preteibilitcs  res- 
pectives de  deux  événemens  a  et,  6;  la  probabilité  que  -dans  x-^sf 
coups ,  révénement  a  arrivera  x  fois ,  et  l'événement  b ,  x''  fois ,  ett 
égale  à  .  {  .       •     '      .   .  1         ,''-*.         .  ,      r  ..  , 

i.«.3...a....a.3..vP^-  y^—pr^ 

Û.il     I     1.  ;;     ■> 

c'est  le  (ar'+i)'~  terme  du  binôme  [p-\-  (1— p)]*^^-  Considérons  le 
plus  grand  de  ced  termes  que  nous  désignerons  par  k.  I<e  tenue 


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'»76  TlïÉORlE  ANALYrtOUE 

antérieur  sera  — ^ .  — -— ,  et  le  terme  suivant  sera  Jt.— ~^ .  ->v-- 
JPouT  que  A  8Ôît  le  plus  grand  terme ,  il  faut  que  l'on  ait  à  la  fois 

il  est  &cUe  d'en  conclure  que  si  Ton  fait  x+  0^';=  n ,  on  aura 

'    "x<(*4-ï)./»>(n+i).i'— !;■    ■■ 

ainsi  x  est  le  plus  grand  nombre  entier  compris  dans  (  n-f-i).p  j 
en  ^sant  donc 

ce  qui  donne 


rje'+-i-rj' 


'  i' sera  moindre  que  Fnnité.  Sixet  j[/eont  de  très- grands  nombre^, 
^ on  aura  à  très-peu  près ,  -        •■ 

p     _  a:.  ■  > 

-■     ■  ■   ■■!    ■  "  i-^/»       ^' 

c'est-^-dire  que  les  exposans  dejjet  de  \—pi  dans  le,  plus  grand 
-terEae  du  binôme^  sont  à  fort  peu  près  dans  le  rapport  de  ces  quan- 
tités; ensorte  que  de  toutes  les  combinaisons  qui  peurent  avoir 
lieu  daus  un  très-grand  nond)re  n  de  couf  s ,  la  plus  probable  est 
celle  dans  laquelle  chaque  événement  est  répété  proportiomielle- 
ment  à  sa  probabilité. 
Le  terme  i^,  apo^a  le  i^us  grand,  est 

i.a.3....R 

On  a  par  le  n"  Sa  du  premier  Livre , 

i.a,5.. .»=»";*'•. c"".|/5ï.{i-f;^-hete.}î  ''        ' 
ce  qui  donne  ' 


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:  «DES  PROBABILITÉS.  ■177 

1     '  '  '    j/    j     '    (,ï'-»-i      f  '       1  1 


Développons  le  terme  (*  —  /)  .  .  '.  Son  logaritlime  hyperbo- 
lique est 

or  on  a     . 

nous  négligerons  les  quantités  de  Tordre  - ,  et  nous  suppo8aH)ns  que 
/*  ne  surpasse  point  l'ordre  n;  alors  on  pourra  négliger  les  termes 
de  l'ordre  -j-,  parce  que  ^  et  x'  sont  dt  Tordre  n.  On  aura  ainsi 

(f_x-i).[log:r-f-log(i-  ^)] 
•ce  qui  donne ,  en  repassant  des  logarithmes  aux  nombres, 

on  aura  pareillement , 

On  aenOûte  par  ce  qin  précède, ^7  =  ^^,  s  étant  taMMndre  que 
funité;  en  &isant  donc^  =:  ^^^ ,  z  sera  compris  dans  les  limites 
«TT  *'  ""  ^l^T'^  **  P^  conséquent  il  sera,  abstraction  Êiite  du 
signe ,  aa-de980us  'de  runitér-Lct  valeur  d»jî  donsç  ~i  r-j»  =  ~T^' 


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978  TBÉORIE  ANALTnOp: 

on  aura  dono  par  l'analyse  précédente , 

de  là  on  tire 

i.».8.  ■  .(:rll^'..".a'.3:.";(V+o--p^''^^~^^''' 


-i^ 


'  v^».  \/âxï^ 


■  (* + ^+ '"^^ — g&+ ï:?^) 


On  anra  le  tenne  antérieur  au  plus  grand  terme ,  et  qui  en  est  élo^é 
à  la  distance  /,  en  Ëiiaant  /  négatif  dans  cette  équation;  en  réuni»-; 
saut  ensuite  ces  deux  termes ,  leur  somme  sera 

_  "^ 
ù.\/n         '   axx^    ■ 

L'intégrale  finie 

-.  "^    ■ 
T        a.  V^  ta? 

prise  depuis  1=0  inclusivement,  exprimera  donc  la  somme  de 
■tous  les  termes  du  {ùnome  Cp-h  (i-^i*)]'»  comprise  entre  les  detit 
termes,  dont  l'un  a  p*-^'  poxir  facteur,  et  l'autre  a  /i^'poxu-  Êc- 
teur,  et  qui  sont  ainsi  équicfetans  du  plus  ^«nd  terme;  mais  il 
&ut  retrancher  de  cette  somme ,  le  plus  grand  terme  qui  j  est  évi- 
demment compris  deux  fois. 

Maintenant,  pour  avoir  cette  ùilégrale  finie,  nous  observerons 
qu^  l'on  a,  par  le  n*  10  diï  premier  livre ,  jr  étant  fbnctjoa  de./, 

tfoù  i'on  tire  par  le  m^e  numéro ,  ^ 

S -^  =T>6''*'— î -if + A*  aji- et*ï. + constante' 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  «79 

_  _    n? 

y  étant  ici  ëgalà    ;°--j^Li^^.c    ^  ,  les  dififérestielles  successires 

de  y  acquièrent  pour  Êicteur  ——7  et  ses  puissances  \  ainsi  /  étant 

supposé  ne  ponroir  être  au  plus  que  de  l'ordre  \/n ,  ce  fiicteur  est 

de  Tordre  -~ ,  et  par  conséquent  ses  différentielles  divisées  par 

lés  puissances  respectives  de  dî.,  décroissent  de  pïué  es  ptos;  en 
négligeant  donc ,  comme  on  Ta  feit  précmleounent ,  les  termes  de 

l'ordre  ' ,  on  aura ,  en  faisant  commencer  avec  /  les  deux  inté- 
grales finies  et  infiniment  petites,  et  désignant  par  Kle  plus  grand 
terme  du  binôme , 

Ta  somme  de  tous  les  tenues  du  binôme  [p+Ci— p)?  compris  enfr* 
les  deux  termes  équidistans  du  plus  grand  terme  du  nombre  l^ 
étant  égale  à  S-j*  — ^.I^elle  sera 

fydt~\-y\ 

et  si  Fon.  y  f^'oute  la  somme  de  ces  tetmes  extrêmes ,  m  aura  pour 
la  somme  de  tous  céâ- termes, 

'    Jyàl^\.^-  ■  ■     > 

Si  l'on  fidt       ,    .        '  ... 

cette  somme  dévient  :  .  - 

Les  termes  ipie  l^oif  a  négligés  étant  de  l'ordre  - ,  cette  expresàon 
est  d'autant  plus  exacte,  que  n  est  plus  jgrand  :  elle  est  rigoureuse, 
lorsque  n  est  infini.  Il  serait  &cjle,j)ar  l'açmljsç  précédente ,  d'avoir 

égard  aux  termes  4e  l'ordre  - ,  et  des  ordres  supérieurs. 
On  a,  par  ce  qui  précède,  a!=s=»p-f-z,  «  étant  ua  nombre  plu4 


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98d  THÈOÏUE  ANAXrnQtîE 

petit  que  l'unité  ;  on  a  donc 

ainsi  la  formule  (o)  exprime  la  probabilité  ^e  la  diâerence  entre 
le  rapport  du  nombre  de  fois  que  TéTénement  a  doit  arrÎTer ,  an 
nombre  total  des  coups ,  et  la  Ëtdlitép  de  cet  éréneiq.eatj  est  coiqt 
pçi^e  .<Uai9  les  limites 

s/%M^  étant  égal  k 

on  Toit  que  rinterralle  compris  entre  les  limites  précédentes  est 
de  l'ordre  -^. 

Si  la  linute  de  / ,  que  nous  désignerons  par  T,  est  supposée  inva- 
riable, kl  probabilité  déteimioée  par  La  fonction  (o),  reste  la  niême 
à  très-peu  près  ;  mai*  l'intervalle  compris  entre  les  limites  {t)  ,  di7 
mînOe  sans  cesse  à  mesure  que  les  coups  se  répètent,  et  il  devient 
nul ,  lorsque  leur  nombre  est  inânL 

Cet  intervalle  étant  supposé  inviariable  j  lorsque  les  événemens  se 
multiplient,  T  croit  sans  cesse,  et  à  fort  peu  près  comme  la  racine 
carrée  dii  nombre  des  coups,  lHAaia.. lorsque  T  est  considérable, 
la  formule  (o)  devient ,  par  le  n"  37  du  premi^  Livre, 


.-T'a 


inu< 

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«  (Sjottt  égal  à -jî,  Lorsqu'on  Élit  croître  r,  c    ,  diminue  avec  une 

extrême 


DES  PROBABItrrÉS.  a8i 

Extrême  rapidité ,  et  la  probabilité  précédente  s'approche  rapide- 
ment de  l'unité  à  laquelle  elle  devient  égale ,  lorsque  le  nombre  des 
coups  est  infini. 

II  y  a  ici  deux  sortes  d'approximations  :  l'une  d'elles  est  relative 
aux  limites  prises  de  part  et  d'autre  de  la  fadlité  de  Pévénement  a  ; 
l'autre  approximation  se  rapporte  à  la  probabilité  que  le  rapport 
des  arrivées  de  cet  événement,  au  nombre  total  des  coups ,  sera 
renfermé  dans  ces  limites.  La  répétition  indéfinie  des  coups  accroît 
de  plus  en  plus  cette  probabilité ,  les  limites  restant  les  mêmes  :  elle 
resserre  de  plus  en  plus  l'intervalle  de  ces  limites,  la  probabilité 
restant  la  même.  Dans  l'infini ,  cet  intervalle  devient  nul,  et  la  pro- 
babilité se  change  en  certitude. 

L'analyse  précédente  réunit  à  l'avantage  de  démontrer  ce  théo- 
rème, celui  d'assigner  la  probabilité  que  dans  un  grand  nombre  n 
de  coups,  le  rapport  des  arrivées  de  chaque  événement  sera  com* 
pris  dans  des  limites  données.  Supposons,  par  exemple,  que  (es 
Ëicîlités  des  naissances  des,  garçons  et  des  filles  soient  dans  le  rap- 
port de  18  à  17 ,  et  qu'il  naisse  dans  une  année,  i4ooo  en&ns  ;  on 
demande  la  probabilité  que  le  nombre  des  garçons  ne  surpassera 
pas  7365,  etne  sera  pas  moindre  que  7067, 

Dans  ce  cas,  on  a 

ps:~,    jt:=7aoo,    x'=69oOf    re=:i4ooo, /=si65j 

la  formule  (o)  donne  à  fort  peu  près  0,994503  pour  la  probabilité 
cherchée. 

Si  l'on  connut  le  nombre  de  fois  que  sur  n  coups ,  l'événement 
a  est  arrivé  ;  la  formule  (o)  donnera  la  probabilité  que  sa  fiicilité  p 
supposée  inconnue ,  sera  comprise  dans  des  lûnites  données.  En 
effet,  si  Ton  nomme  i  ce  nombre  de  fois,  on  aura ,  par  ce  qui  pr'é- 
céde  ,  la  probabiUté  que  la  diflereuce  -  — p  sera  comprise  dans  les 
hmites ±  •*^-  4- ^ ;  par  conséquent,  on  aura  la  probabilité 
que  p  sera  compris  dans  les  limites 

i        T.y'axx'        ï 

5Q 


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s89  THÉORIE  ANALTTIQUE 

La  fonction  •  -■  °5-étant(ie  l'ordre  -^,  on  peut  en  négl^eaut 
les  quantités  de  l'ordre  -  ,  y  substituer  »  au  lieu  de  ar,  et  »— i  au 
lieu  de  x';  les  limites  précédentes  deviennent  aittsi,  en  négligeant 
les  termes  de  l'ordre  -  ; 


et  la  probabilité  que  la  facilité  de  FéTénement  a  est  contenue  dans 
ces  limites,  est  égale  à 

On  rait  ainsi  qu'à  mesure  que  les  événemms  se  mahipUeDt,  llnter- 
valle  de»  limites  se  resserre  de  plus  en  plus,  et  la  probabilité  que 
la-  valeur  de  p  tombe  dans  ces  limites,  approche  de  plus  eu  plus  d& 
^unité  ou  de  la  certitude.  C'est  ainsi  que  les  événemensi,  en  se  dére* 
loppaut,  font  connaître  leurs  probabilités respectÏTes. 

On  parvient  directement  à  ces  résultats,  en  considérait^  comme 

"  une  Tariable  qui  peut  s'éteudr»  depuis  zéro  jusqu'à  l'unité,  et  en 

déterminant ,  d'après  les  événemens  observés,  la  probabilité  de  ses 

diverses  valeurs,  comme  on  le  verra  lorsque  nous  traiterons  de 

ta  probabilité  des  causes,  déduite  dies  événemens  observés. 

Si  l'on  a  trois  ou  un  plus  grand  nombre  d'événemens  a ,  6 ,  c,  etc. , 
dontun  seul  doive  arriver  à  chaque  coup;  on  aura,  par  ce  qui  pré- 
cède, la  probabilité  que  dans' un  très-grand' nombre  n  de  coups, 
le  rapport  du  nombre  »  de  fois  qu'un  de  ces  événemens,  a  por 
«xemple,  arrivera,  au  nombre  n,  sera  compris  dans  les  limites 
p±«,  a  étant  une  trè»-petite  fraction;  et  l'on  voit  que  dans  le  cas 
extrême  du  nombre  n  infini,  l'intervalle  aet  de  ces  limites  peut  être 
supposé  nul ,  et  la  probabilité  peut  être  supposée  égale  à  la  cer- 
Utudc ,  ensorte  que  les  nombres  des  arrivées  de  chaque  événement 
seront  proportionnels  à  leurs  facilités  respectives. 

Quelquefois  les  événemens ,  au  lieu  de  Ëiire  connaître  directement 
les  Hautes  de  la  valeur  de  j? ,  donnent  celles  d'une  fonction  de  cette 


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DES  PROBABILITÉS.  >8$ 

iraletil'  ;  alers  en  en  conclst  les  Tuiittes  de  p^  par  la  résolution  ^cs 
équations.  Foar  en  donner  un  exemple  fort  simple,  considérons 
deux  joueurs  A  fsX  B,  dont  lee  adresses  respectives  soient  p  et 
1  — i?,  et  jouant  ensemble  à  cette  condition ,  que  la  partie  soit 
igagnée  par  celui  des  deux  joueurs  qui,  sur  trois  coups ,  aura  vaincu 
^  deux  fois  son  adversaire,  le  troisième  coiq>  .n*étafit  pas  joué  , 
«omme  inutâe ,  lorsque  l'un  des  joueurs  a  vaincu  dans  les  deux: 
premiers  coups. 

La  probabilité  de  A  pour  gagner  la  parde ,  est  la  somme  des 
deux  premiers  termes  du  binôme  [pH-(i  — /7')]';dle  estparcon- 
séqueat  égale  à  p"  -{-  3p' .  (i  ~p\  Soit  /*  cette  fonction  ;  en  élevant 
le  binôme  /*  -f-  (  i  — 'P)  à  la  puissance  n ,  on  aura ,  par  l'analyse 
.précédente, la  probabilité  q«e4m".leiiondire«  départies,  le  nombre 
des  parties  gagnées  par^  aéra  compris  ijans  des  limites  données.  H 
juflit  pour  cda'  de  changer  /kcb  .JP  dans  la  ibrmide  (o). 

Si  l'on  nomme  i  le  nombre  des  partie  gagnées  par  A ,  la  for- 
mule (o')  donnera  la  probabilité  que  P  ^era  compris  dans  les 
limites 

&àt  donc  j^'la  racine  reeHe  et  positive  deréquation 

«n  dêsi^iant  par  j>'qci;r;>  les  limites  de  j7,  les  limites  correspon- 
jdantcs  de  P  seront  à  très-peu  près  5p'' — ^p'^^^Gp' ■(i-—p').J'pi 
«en  égalant  ces -limites  aux  précédentes  ,  on  aura 


'^       6/.(.-p').».(/» 

ainsi  la  formule  (o*)  donnera  la  probabilité  que  p  sera  compris  dans 
les  ]imil£8    - 

,  r.Vai.(n— 0 


Le  nombre  n  des  partie5.ne  détermine  ppfl  le  nombre  des  coups , 
fiùisqu'il  peut  y. avoir  des  parties  de  deux  coups,  et  d'autres  de 


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•^H  THÉORIE  ANALYTIQUE 

trois  conps.  On  aura  la  probabilité  que  le  nombre  des  parties  de 
deux  coups,  sera  compris  dans  des  limites  données,  en  observant 
que  la  probabilité  d'une  partie  à  deux  coups,  est;7"+(i — p)'j 
désignons  ccttefonction  par  P".  En  élevant  le  binôme  i"  +(i  — i*') 
à-Ia  puissance  n ,  la  formule  (o)  donnera  la  probabilité  que  le  nombre 
des  parties  de  deux  cot^  sera  compris  dans  les  limites  nP'  ±  /; 
or  le  nombre  des  parties  de  deux  coups  étant  nP'  ±  / ,  le  nombre 
des  parties  à  trois  coups  serï^n(i— i^)^/;  le  nombre  total  des 
coups  sera  doncSn — nP'^l;  la  formule  (o)  donnera  donc  la  ^oba- 
bitité  que  le  nombre  des  coups  sera  compris  dans  les  limites 

an.(i  +p^p*)  =F  T.^/sinP'.{x—P'). 

17.  Considérons  une  urne  j4  renfermant  un  trés^;rand  nombre 
n  de  boules  blanches  et  noires,  et  supposons  qu'à  chaque  tirage , 
on  tire  une  boule  de  l'urne ,  et  qu'on  la  remplace  par  une  boule 
noire.  On  demande  la  probabilité  qu'après  r  tirages ,  le  nombre  des 
boules  blanches  sera  x.  ^ 

r7oaunons^,,,cetteprobabilité.Après  un  nonveau  tirage,  elledçTÏent 
^,,^,.Maiâ  pour  qu*il  yait  x  boules  blanches  après  r+i  tirages ,  il  Ëiut 
qu'il  y  ait  ou  x-^i  botdes  blanches  après  le  tirage  r,  et  que  le  tirage  sui- 
vant Ëiâse  sortir  une  boule  blanche ,  ou  x  boules  blanches  après  le  ti- 
rage r,  et  que  le  tirage  suivant  &sse  sortir  une  boule  noire.  lit  proba- 
bilité qu'il  y  aura  x+i  boules  blanches  après  7- tirages ,  e3t_j',^,_, ,  et 
laprobabihté  qu'alora  le  tirage  suivant  fera  sortir  une  boule  blanche  y 

est ^^jlaprobabilitéderévénementcomposé est  donc -^!^^^.^,+,,^ 
c'est  la  première  partie  de  /",,,+;.  La  probabilité  qu^l  y  aura  x  boules 
blanches  après  le  tirage  r ,  est  ^,,,  ;  et  la  probabilité  qu'alors  il  sor- 
tira une  boule  noire ,  est  "~^- ,  parce  que  le  nombre  des  boules 
noires  de  l'iHUe  est  n^x;]a  probabilité  de  l'érénement  composé 
est  donc  •^-^— .^,,,;  c'est  la  seconde  partie  de  ^.,,^.|.  Ainsi 
l'on  a 


zedbyGoOgle 


BES  PROBABILITÉS.  a85 

cette  équation  devient 

R  étant  supposé  un  trèa-grand  nombre,  on  peut  réduire  en  sâries 
couTergeutesj'^       ,,  etj'-'    ,     ;  on  aura  donc, en  négligeant  les 

canes  et  les  puissances  supérieures  de  ^» 

rintégrale  de  cette  équation  aux  dififêrences  partielles  est 

^(j/.{^)  étant  une  fonction  arbitraire  de  j^.tf*j  qu'il  &utdétenn£^ 
ner  par  la  valeur  dey^, ,.  , 

Supposons  que  Furne  ^  ait  été  remplie  de  cette  manière.  On 
projette  un  prisme  droit  dont  la  base  étant  un  polygone  régulier 
de  j?  +  ?  côtés ,  est  assez  étroite  pour  que  le  prisme  ne  retombe 
.  ■  jamais  sur  elle.  Sur  les  p  +  9  ^ces  latérales ,  p  sont  blanches  et 
g  sont  noires ,  et  Fon  met  dans  Fume  ^ ,  à  chaque  projection ,  une 
boule  de  la  couleur  de  la  Ëtce  sur  laquelle  tè  prisme  retombe. 
Après  n  projections ,  le  nombre  des  boules  blanches  sera  à  fort 

peu  près ,  par  le  n"  précédent ,  -^^ ,  et  la  probabilité  qu'il  sera 

-^^^'^l,e&tj  par  le  même  numéro. 


Si  l'on  m 

celte  fonction  derient 

(r-m 

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»8«  THÉORIE  ANALÏTIQUE  ^ . 

c'est  la  valeur  de^,,„  ou  Aey'^.y,  mais  la  Talcnr  précédente  do 

^-,.=  <P(;)-. 


on  a  done 
partant, 
d'où  l'on  tire 


La  valeur  de  *  la  plus  probable  esteejle  qui  rend  luil  «-c"-^-^» 
fit  par  conséquent  elle  est  égale  à 

■       "P . 


la  probabDUié  ^e  Ja  rdeur  de  r  sera  contenue  dons  les  Ëmites 

e«t 

/i<ii(      — iV' 

l'intégrale  étant  prise  depuis  j»=3o, 

CherchouB  maintenant  la  yaleur  moyenne  4u  nombre  des  boules 
blanches  contenues  dans  l'urne  A,  après  r  tirages.  Cette  Tâleurest 
la  siHmne  de  tous  les  nonibres  possibles  de  boules  blanches,  mul- 
^pljéspar  leurs  probabilités-respectives;  elle  est  donc  égale  à 


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DES  PROBABILITÉS.  2*7 

fintégraie  étant  prise  depuis  f».=  o  jusqu'à  jti.  =  oo.  Cette  vaïetù^ 


est  ainsi 


par  conséquent ,  efle  est.  la  même  que  la  inaleur  de  x  la  plus 
probable. 

Coneidérous  maintenant  deus  lu'ncs  A  el  B  reoTermant  chacune 
le  nombre  n  de  boulea ,  et.  supposons  que  dans  le  nombre  total 
an  des  boules ,  ily  en  aît.autant  de  blanches  que  de  noires.  Conce- 
vons que  l'on  tire  en  mâme  tems ,  une  boule ,  de  chaque  unie ,  et 
qu'ensuite  on  mette  dans  une  urne ,  la.  boule  extraite  de  l'autre. 
Siqiposona  que  l'on  répète  œttc  opônttioB^  un  jutmbre  quelconque. 
F  de  fois ,  en  autant  à  chaque  lois  les  urnes,  pour  en  bien  mêler  leS: 
boules  ;  et  cherchons  la. probabilité  qu'après  ce  noijobra^  d'opéra- 
tions,  il  y,  aura  x  boules  blanches  dans  l'unie^. 

Soit  z.,,  cette  probabilité.  Le  nombre  des  combinaisons  possibles 
claus  r  opérations ,  est  n";  car  à  chaque  <^>émtion,  les  n  boules  de. 
l'urne  A  peuvent  se  combiner  ayec  chacune  des  n  boules  de  l'urne 
£,  ce  qui  produit  /^  combinaisons;  n" ,  r^ ,  est  donc  le  nombre  des 
(jombinaisons  dans  lesquelles  il  peut  y  avoir  x  boules  blanches  dans 
l'urne  A  après  ces  opérations.  Maintenant,  il  peut  arriver  que  l'opé- 
ration (  r-f- 1  )'""  fasse  sortir  une  boule  blanche  de  l'urne  .^ ,  et  y 
fasse  rentrer  une  boule  blanche  ;  le  nombre  de  cas  dans  lesqueb 
cela  peut  arriver,  est  le  produit  de  «".z^^par  le  nonibre  x  des. 
Ixmles  blanches  de  l'urne  A,  et  par  le  nombre  n — x  dés  boules 
blanches  qui  doivent  être  alors  dans  l'urne  By  puisque  le  nombre 
total  des  boules  blanches  des  deux  urnes ,  est  n.  Dans  tous  ces  cas, 
il  reste  a- boules  blanches  dans  l'urne  j^;  le  produit  a:.(n — x).n".js,^, . 
est  donc  ime  des  parties  de  n'^'.z,,,^.,. 

Il  peut  arriver  encore  que  l'opération  (r-Hi)"**  iàsse  sordr  et 
rentrer  dans  l'urne  A ,  une  boule  noire ,  ce  qui  conserve  dans  cette 
tiroe,  X  boules  blanches.  Aiost  n  —  x  étant  après'  l'opération  r*™*, 
le  nonabre  des  boules  noires  de  l'urncf  ^ ,  et  »  étant  celui  des 
boules  noires  de  l'urne  B  y{tt—x).x.T^'.z,,  est  encore  une  partis 
de  «•'*'.  «,_,^,. 

^'il  y  a  X— 1  boules  blanches  dansl'umç  A  après  l'opération  r*^, 


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â88  THÉORIE  ANALYTIQUE 

et  qne  l'opération  suivante  en  fasse  sortir  une  boule  Doire ,  et  y 
fesse  rentrer  ime  boule  blanche  ;  il  y  aura  x  boules  blanches  dans 
l'urne  ^ après  Topéralion  (r4-i)'™';Ienombredescas  dans  lesquels 
cela  peut  arriver,  est  le  produit  de  «".ïj—.^fpar  le  nombre n — *+i 
des  boules  noires  de  l'urne  ^  après  le  tirage  /*",  et  par  le  nombre 
Rw^x^-i  des  boules  blanches  de  l'urne  B ,  après  la  même  opé- 
ration; (n—x+i)'. »".«._,_,  est  donc  encore  une  partie  do 

Enfin,  s'il  y  a  «-f- 1  boules  blanches  dans  l'urne  J  après  l'opé- 
ration r'™',  et  que  l'opération  suivante  en  fesse  sortir  une  boule 
blanche ,  et  y  fesse  rentrer  une  boule  noire;  il  y  aura  encore,  après 
cette  dernière  opération ,  x  boules  blanches  dans  Fume.  Le  noinbre 
des  ras  dans  li^squels  oola  pcui  arriver,  est  le  produit  de  if.t,^,) 
par  le  nombre  s  -4- 1  des  boules  blanches  de  l'urne  J ,  et  par  le 
oombre  «+1  des  boules  noires  de  l'urne  B  après  l'opération  r*"*; 
(a:'+-i)'.B".«,^.,,;  est  donc  encore  une  partie  den*^'.*,,^^,. 

En  réumssant  toutes  ces  parties ,  et  en  égalant  leur  somme  à 
it*c:^*.£.,,^,,  on  aura  féqnation  aux  différences  finies  partielles^ 

Quoique  cette  équation  soit  aux  dififêrences  du  second  ordre  par 
tapport  à  la  variable  x ,  cependant  son  intégrale  ne  renferme  qu'une 
fonction  arbitraire  qui  dépend  de  la  probabilité  des  diverses  valeurs 
de  X  dans  l'état  initial  de  l'urne  A.  En  efibt,  il  est  visible  que  si 
l'on  connaît  les  valeurs  de  £,,.  correspondantes  à  toutes  les  râleurs 
de  «,  .depuis  x:^o  jusqu'à  «=  n;  l'équation  précédente  donnera 
toutes  les  valeurs  de  «,_,,  r,,,,  etc. ,  en  observant  que  les  valeurs 
négatives  de  x  étant  impossibles ,  r,,,  est  nul  lorsque  x  est  négatif. 

Si  n  est  un  très-grand  nombre,  cette  équation  so  transforme  dans 
qne  équation  aux  diffêrences  partielles  que  l'on  obtient  ainsi.  On  9 
fljors  à  très^u  près. 

Soit 


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DES  PROBABILITÉS.  aSg 

Soit 

n  +  u..  y^ 
X—     ^7       ,    r=nr',    x.,,^U; 

réquation  précédente  aux  différences  finies  partielles  deviendra,  en 
négligeant  les  termes  de  l'ordre  —^ 

Pour  intégrer  cette  équation  qui ,  comme  on  peut  s'en  assurer  par 
la  méthode  que  j'ai  donnée  pour  cet  objet  «  dans  les  Mémoires  de 
PAcadémîe  des  Sciences,  de  l'année  1773,  n'est  intégrabk  en  termes 
finis  y  qu'au  moyen  d'intégrales  définies  ;  fusons 

p  étant  fonction  de  t  et  de  /.  On  aura 

*'*•(©"  ac~^./fl»—  îi/c~^.(^<û+  ft*p), 

Féqoation  aux  différentielles  partielles  en  17,  devient  ainsi 

/>.(*).A=«-*'.^+/c-*'.*.[<-*-«.(g)]. 

En  égalant  entre  eux  les  termes  affectés  du  signe  /,  on  aura  l'éipisr 
tion  aux  difierentielles  partielles , 


G^)='^-«-C 


Le  terme  hors  du  signe/,  égalé  à  zéro,  donnera  pour  l'équation 
aux  limites  de  l'Intégrale , 


L'intégrale  de  l'équation  précédente  aux  difierentielles  partielles  de 
ç,  est  . 

37 


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190  THÉORIE  ANALYTIOUE 

4  Càp)  étant  une  fonction  arbitraire  de  ^;  on  a  donc 

Soit 

l'expression  de  U  preodra  cette  fonue , 

V^o-''\/J..c-^.T(p!^);    (A) 

U  est  &cOe  de  Toir  qne  l'éqtMtion  précédente,  aux  linùbes  de  Tinté- 
grale,  exige  que  les  limites  de  riiit^;rale  relative  à  i,  soient  prises 
depuis  j  =  —  co  jusqu'à  «  =  oo.  En  prenant  1q  radical  V — i ,  arec 
le  signe  — ,  on  aurait  pour  Jf  une  expression  de  cette  forme, 

r= -"■./*. -'■.n(ï±i^), 

la  fonction  arbitraire  n  (s)  pouvant  être  di£fêrente  de  T{s).  La  somme 
de  ces  deux  expressions  de  U  sen  sa  valeur  complette.  Mais  i]  est 
&cile  de  s'assurer  que  les  intégrales  étant  prises  depuis  «=•— oo 
jusqu'à  ssstXy  l'addition  de  cetle  DourèOe  expression  de  U  n**- 
ioute  rien  à  la  généralité  de  la  première ,  dans  laquelle  elle  est 
comprise. 
Développons  maintenant  le  second  membre  de  l'équation  (A), 

suivant  les  puissances  de  -^^  et  considérons  un  des  termes  de  ce 
développemeot  ^  tel  que 

ce  terme  devient ,  après  les  int^;rations , 

l.3■5■■■(a^-0      .-  gW.ç-^' 
L  1-3       '  i.a.3.4  1.9,3.4. 5. s  J 

Considérons  encore  un  terme  de  ce  développement,  relatif  aux 


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©ES  PROBABILITÉS.  agi 

pmssancea  impures  de  -^ ,  tel  que 

Ce  terme  deWent ,  après  les  intégrations  »' 

a-.c^HM^)'^ |_i—  Txr ^  i.a.3.4.5 —  *'"'•  J 

On  aura  donc  ainn  Texpression  générale  de  la  probabilité  V,  àé- 
veloppée  dans  une  série  ordoBaée  suivant  les  piussanees  de  -^ , 
série  qui  devient  très-couTergente,  lorsque  /  est  un  nombre  con- 
sidérable. Cette  expression  doit  ^e  tefle ,  qaeJtTdx  ou  j  ./Udfit .  \/n 
soit  égale  à  l'unité ,  les  intégrales  étant  étendues  à  toutes  les  va- 
leurs dexet  de^,  c'est-à-dire  depuis  X  nul  jusqu'à  j:=n,  et  depuis 
/*.=:—'  Vn  jusqu'à  /*  =  V»  ;  CM"  il  est  certain  que  l'une  des  valeurs 
de  X  devant  avoir  lieu,  la  somme  des  probabilités  de  toutes  ces 
valeurs  doit  être  égale  à  l'unité.  £n  prenant  l'intégrale  fc-f' .  d/i  dans 
les  limites  de  ju,  on  a  le  même  résultat  à  très-peu  près,  qu'en  la 
prenant  depuis  ft  =—  00  jusqi^à  ^  ^  co  :  la  dii^rence  n'est  ^ve  de 
l'ordre  -—zr  ',  et  vu  réxtiêtne  xapidité  avec  laquelle  c~'  diminue  à 

mesure  que  n  augmente ,  on  voit  ^e  cette  dlffêrence  est  insensible 
lorsque  n  est  un  grand  nonïbre.  Cela  posé,  considérons  duis  l*intég?riilQ 
\.fUdfJi.,y/n,  le  terme 

i.3.5....Ca;-i).igt')VOT 

XyH>..^-.C.-i#  +  ^^^^-  etc.]. 

En  étendant  Tintégraie  depuis  fissi-^ec  jusqu'à  ^  ss  oo ,  ce  terme 
devient 

■  .5.5...(a.— ).i  gW.Tl^;    r.     .■■•■f— )       i-Çi— )■(■-»)  1   .t--!. 

a^ci"  ■  L'   '^    ns Tïa — i-etc.j 

Ire&cteuri— »+''^|~''  —  etc.  est  égala  (i— i)';il  est  donc  nul, 


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99a  THÉORIE  ANALYTIQUE 

excepté  dans  le  cas  de  tcso,  où  il  se  réduit  à  Punhé.  Il  est  Tisîble 
que  les  termes  de  Texpression  de  17  qui  renferment  des  puissances 
impaires  de  j»,  donnent  un  résultat  nul  dans  l'intégrale  ^./E7ci|(t-\/n» 
étendue  depuis  ^  =  —  00  j  osqu'à  ^  s=  00  j  car  ces  termes  ont  pour 

Ècteur  c~  j  et  Ton  a  généralement  dans  ces  limites , 

-  91+1       ,         ^-U.' 
ffJk  .flÇM-.C  =0. 

Il  n'y  a  donc  que  le  premier  terme  de  l'expression  de  Uy  terme 
que  nous  représenterons  par  H.c~^  ^  qui  puisse  donner  un  ré- 
sultat dans  l'intégrale  \.fUdfi.  v'n,  et  ce  résultat  est  î-lf .  V»^» 
on  a  donc 

par  conséquent, 

ynw  ..    ., 

L'expression  générale  de  27  a  ainsi  la  forme  suiratkte, 

■r  -p    (        "y-i    — -f  -^ i-«e.j 

(^'\  QC»>,  etc.,  L^\  L^'\  etc.  étant  des  constantes  indéterminées  qui 
dépendent  de  la  râleur  initiale  de  U. 

Supposons  que  27  devienne  X  lorsque  r  est  nul,  X  étant  une 
fonctioa  donnée  de /c.  On  a  généralement  ces  deux  théorèmes, 

o  a^  Q».//*"  .  dfi.  D  .c"^', 

lorsque  q  est  moindre  que  i;  r^j  et  V,  étant  des  fonctions  de  ju, 
par  lesquelles  ""  '"  ■  et  •  >_'^^^^' sont  multipliés  dans  l'ex- 
pression  de  U.  Pour  démontrer  ces  théorèmes,  nous  obserrerons 


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DES  PROBABILITÉS.  993 

que ,  par  ce  qui  précède  ,  -^ — -;= — -  est  égal  a 

il  £tat  donc  faire  roir  que  Ton  ft 

les  intégrales  étant  prises  depuis  /&  et  «  égaux  à  -—  co  jusqu'à  fi 
et  ê  égaux  à  +«>■  Eu  internant  d'abord  par  rapport  à  ^,  ce 
terme  derieot 


En  continuant  d'intégrer  ainsi  par  parties  relatirement  à  fi  ^on  par- 
vient enfin  à  des  termes  de  la  forme 

c  n'étant  pas  zéro ,  et  par  ce  qui  précède ,  ces  termes  sont  nuls. 
On  prouvera  de  la  même  manière ,  que  l'on  a 

De  là  il  suit  que  l'on  a  généralement 


i  et  i'  étant  des  nombres  di£fêrens.  Car  si ,  par  exemple ,  i'  est  plus 
grand  que  i, toutes  les  puissances  de  ^  dans  P) ,  sont  moindres  que  a/'- 
chacun  des  termes  de  Ci  donnera  donc ,  par  ce  qui  précède  un  ré- 
sultat nol  dans  l'intégrale /Ï7j.  V^.dfi,.^" .  Le  même  raisonnement 
a.lieu  pour  l'intégrale  JVÎ  .U'y.dft. c""'**. 
Mais  ces  intégrales  ne  sont  pas  nulles,  lorsque  is^V.  On  les 


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394  THÉORIE  ANALYTIQUE 

obtiendra  dans  ce  cas ,  de  cette  manière.  Od  a ,  par  ce  qui  précède , 

'  i.3.5...(ai-i).ï/* 

Le  terme  qui  a  pour  acteur  /«■*'  dans  cette  ei^ressioB ,  est 

i.3.5...(2i— 0  • 

or  j  on  peut  nie  considérer  que  ce  terme  dauâ  le  premier  fitcteor  Ut 
de  l'intégrale  fV,.  T/i.dfx,.c^  ;  car  les  puissances  inférieures  de  /*, 
dans  ce  Êtcteur ,  donnent  un  résultat  nul  dans  l'intégrale.  On  a 
donc 


On  a,  en  intégrant  par  rapport  k  ji,  dt^is  }u  =  ^— «o  jusqu'à 

Le  premier  terme  du  second  membre  de  cette  équation  est  nul 
par  ce  qui  précède  ;  ce  membre  se  réduit  donc  à  son  second  terme. 
On  trouve  de  la  même  manière ,  que  Ton  a 

j7>"-'  .dfi.ds.  c"^'"^ .  (^4-,  v^^)"- 
et  ainsi  de  suite  ;  on  a  donc 
par  conséquent 


/R.c;.«..<r^-=î;^4^^^2LS5. 


i-5...Cai-0' 


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DES  PROBABILITÉS. 
On  trouvera  de  la  tDéme  manière , 


•95 


On  a  éridenuuent^ 


1  ,a.j.6...t;.'i/^ 
"a*  1.3.5.. .(ai+O* 


dans  le  cas  jx^ne  où  t  et  i'  sont  égaux ,  parce  que  le  produit 
Z7| .  Vy  ne  contient  que  des  puissances  impaires  de  fi.  Cela 
posé. 

L'expression  génénde  de  U  donne  pour  sa  valeur  initiale ,  que 
nous  avons  désignée  par  X, 

■r— •^~'"   I      i+C?".Ci— 3/*')+etc.  I 

Si  Von  multiplie  ^cette  é^tion  par  U,.df4,j  et  si  Ton  prend  les  in- 
tégrales depuis  ft^=-^(x)  jusqu'à  /!'=  00,  on  aura,  en  vertu  des 
théorèmes  précédens , 

d*où  l'on  tire 


on  trouvera  de  la  mémemanière , 

On  aura  donc  ainsi  les  valeurs  sucoessives  de  Çf'',  Çto^  etc.; 
X,w^  i(o^  etc. ,  au  moyen  dïntégraies  définies ,  lorsque  X  ou  la  valeur 
initiale  de  lésera  donnée. 

Dans  le  cas  où  X  est  ^al  à  — ser.o     ^  ,  l'expression  générale 

de  V  prend  une  forme  très  -  «mple.  Alors  la  fonction  arbitraire 


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396  THÉORIE  ANALVriQUE 

r  (î=i^=;)  de  la  formule  (A)  est  de  la  forme  i.c      ^      ^^      '' . 

Pour  déterminer  les  constantes  f  et  A^  nous  obserrerons  qu'en 
supposant 

on  aura 

En  disant  ensuite 

et  obserraut  que  l'intégrale  retatlre  à  a  devant  être  prise  depuis 
«  =  —  oo  just^u'à  a  =:  00 ,  l'intégrale  relatÎTe  à  a'  doit  être  prise 
dans  les  mêmes  limites,  on  aura 

£n  comparant  cette  expression  à  la  valeur  initiale  de  tT ,  qui  est 

F= -11.  -■■■'*"; 
et  observant  que  S  est  la  râleur  initiale  de  €',  on  aura 

d'où  l'on  tire 

*      I» .  '   *  —  K^'- 

On  doit  aroir  ensuite 

k.\/7   _     ai 

ce  qui  donne 

k.  y'^  =  -^, 

valeur  que  Ton  obtient  encore ,  par  la  condition  que  ;  ./U.âfi.  x/nësn , 

l'intégrale 


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DES  PROBABILITÉS.  a^f 

rîDtégrale  étant  prise  depuis /t=—oo  jusqu'à /«^oo;  on  aitradonc 
pour  l'cxpresùon  de  Uj  quel  que  soit  /, 


^=5- 


i//W.Cl+f} 


On  trouve  en  c£fet,  que  cette  valeur  de  U,  substituée  dans  l'équo'- 
tionaux  différentielles  partielles  en  U^  j  satisËiit. 

C  diminuant  sans  cesse  quand  r'  augmente ,  la  valeur  de  U 
varie  sans  cesse, et  devient  à  sa  limite,  lorsque /est  infini^ 

Four  donner  une  application  de  ces  formules ,  ima^ons  dans  une- 
urne  C,  un  très^and  nombre  m  de  boules  blanches ,  et  un  pareil 
non^re  de  boules  noires.  Ces  boules  ayant  été  mêlées,  supposons 
que  l'on  tire  de  l'urne,  n  boules  que  Ton  met  dans  l'urne  ^.  Sup- 
posons ensuite  que  Ton  mette  dans  l'urne  £f  autant  de  boules 
blanches ,  qu'il  j  a  de  boules  noires  dans  l'urne  J ,  et  autant  da 
boules  noires ,  qu'il  y  à  de  boules  blanches  dans  la  même  urne.  I! 
est  clair  que  le  nombre  des  cas  dans  lesquels  il  y  aura  x  boules 
blanches ,  et  par  conséquent  n  —  x  boules  noires  dans  Pume  ^ , 
est  égal  au  produit  du  nombre  des  combinaisons  des  m  boules 
blanches  de  Turne  C,  prises  x  k  x,  par  le  nombre  des  combinai- 
sons des  m  boules  noires  de  la  même  urne,  prises  n— x  à  n— x. 
Ce  produit  est,  par  le  n*  3  ,  égal  à 

m. (m — i).(fB— a).  ..(m— »+i)     jn.(m — Q.Çnt — g).  ..(w— n-f-J^-f*') 
i.a.3.. .a:  '  I.2.3..  .(n— ^r)  ' 

ou  à 

(i.n.g      m)' 

l.a.3..  .X.  1.3.3.  ..(n — ce).  1.3. 3..  -Cm — a:).i.3.3. .  .(m— B-fjc)* 

Le  nomln'e  de  tous  les  cas  possibles  est  le  nombre  des  combt* 
naisons  des  am  boules  de  l'urne  C,  prises  n  à  n;, ce  nombre  est 


i.3...(am— n)' 


en  avisant  la  fraction  précédente  par  celle-ci,  on  aura,  pour  la 

38 


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ag»  THÉORIE  ANALYTIQUE 

prc^abiUté  de  i: ,  ou  pour  k  yalenr  initiale  de  V , 

(i.fl.5...m)*.i.3.5...n.i.a.5...(am— fi) 

i.a.3...x.i.a.3...Cni— a:).i.a.3...(n— «).i.a.3.  ..(m— n-fo:).i.».3f...a7n* 

Maintenant. ,  si  Ton  observe  que  Ton  a  à  trèsrpeu  près ,  lorsque 
«  est  un  grand  nombre , 


on  troorera  fecilement  après  toutes  les  réductîoiis,  en  fitissoit 

a  * 

et  en  négligeant  les  quantités  de  l'ordre  -,  qui  ne  sont  pas  multi- 
pliées par  /i', 

U  —      "  /m  am— »_ 

en  faisant  donc 


Si  l».aoiiibr«  m  est  infiui,  alors  i*  =  i,  et  la  valeur  initiale  de 
Cest 

Sa  valeur,  après  un  nombre  quelconque  de  tirages,  est 


V».(.4-rï) 


Le  cas  de  m  infini  rerient  à  «elui  dans  iequel  les  urnes  A  ^X  B 
seraient  remplies ,  en  projetant  R.fois  une  pièce  qui  amènerait  in- 
diffîremi&eat  trove  ou  pile,  et  mettant  dws  l'urne  ^^une  boula 


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DES  FROBABILITËS.  «99 

blanche ,  chaque  fois  que  croix  anirerait^  et  une  boule  ooîre ,  chaque 
fois  que  pile  arriTerait  ;  et  Ëûsant  rinrerse  pour  l'ume  S.  Cac  il  est 
visible  que  la  probabilité  de  tirer  ime  boule  blanche  de  l'ume  C,  est 
alors  ;,  comme  celle  d'amener  croix  ou  pite. 

Ënprenant  l'intégrale /{7dr,  ou  j/J7dfi.  \/n,  depuis  fiz=:^a 
jusqu'à  /As=af  on  aura  la  probabilité  que  le  nombre  des  boules 
Manches  de  l'urne  j^,  sera  compris  dans  les  limites^ta.  y/n. 

On  peut  généraliser  le  résultat  précédent,  en  supposant  l'urne  ^ 
rempHe  comme  an  commencement  de  ce  numéro ,  par  la  projection 
d'un  prisme  de.p  4-9  &ce8  latérales ,  dont  p  sont  blanches  et  q  sont 
noires.  On  a  ru  qu'alors  si  Pon  &it 


on  a  à  Torigine,  ool<M»qae  r  est  nul, 

.      -i-Y^ T-\ 

ynw 
Supposons  p  et  ^  très-peu  diffêrens,  ensorte  que  r<»iait 


*=^-('-^)^ 


a 
1  — - 


OU  à  très-peu  près  î»  œ:  a  j  donc 

.     jt  \        a        a  / 


En  bisant  donc 


"+yV" 


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5oo  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Snpposoiu  maintenant  qu'après  un  nombre  quelconque  de  tirages^ 

on  ait 

ê  et  «  étant  des  fonctions  de  /.  Si  l'on  substitue  cette  Taleur 
dans  réquation  aux  dilTérences  pfirtielles  en  Z7>  on  aura 

-4.(e-i).[i  -'•'Y*''^- 8.  ■(>.-»)•, 

d'où  Ton  tire  les  deux  équations  suivantes, 

£n  les  intégrant ,  et  obserrant  qu'à  l'origine  de  r',  «^  a  et  f =3, 

on  aura 

ce  qui  donne 

Cherchons  maintenant  la  valeur  moyenne  du  nombre  des  boules 
blanches  contenues  dans  l'urne  J ,  après  r  tirages.  Cette  valeur  est 
la  somme  des  produits  des  divers  nombres  des  boules  blanches , 
multipliées  par  leurs  probabilités  respectives  ;  elle  est  donc  égale 
à  rintégrale 

J  à  '       '       a       ' 

prise  depuis  ju=—  ce  josqu'à  fis^oo.Efi  substituant  pour  C^sa  valeur 
donnée  par  la  formule  (k) ,  on  aura ,  en  vertu  des  théwèmes  pré- 
cédens ,  pour  cette  inté^e , 

ar 
^,n  +  \M-\c     ». 

A  rorig^e  où  r  est  nul,  cette  valeur  est  i  n  -+-i  A^iainai  l'on  aura 


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DES  PROBABILITÉS.  Soi 

ï,w  au  moyen  dû  nombre  des  boules  blanches  que  Vaine  J  cod- 
tient  ft  cette  çrîgine. 

On  peut  obtenir  fort  simplement  de  la  manière  suivante,  la  valeur 
moyenne  du  nombre  des  bi>ules  blanches ,  après  r  tirages.  Imaginons 
que  chaque  houle  blanche  ait  une  valeur  que  nous  représente- 
rons par  l'unité ,  les  boules  noires  étant  supposées  n'avoir  aucune 
valeur.  Il  est  clak  que  le  prix  de  l'urne  A  sera  la  somme  des  produits 
de  tous  les  nombres  possibles  de  boules  blanches  qui  peuvent  exister 
dans  l'urue ,  multipliés  par  leurs  probabilités  respectives  ;  ce  prix 
est  donc  ce  que  nous  avons  nommé  valeur  moyenne  du  nombre  des 
boules  blanches.  Nommons-le  e  ,  après  le  tirage  H"".  Au  tirage  sui- 
vant ,  s'H  sort  une  boule  blanche ,  ce  prix  diminue  d'une  unité  ;  or 
si  l'on  suppose  que  x  est  le  nombre  des  boules  blanches  contenues 
dans  Tume  après  le  tirage  r"™',  la  probabilité  d'en  extraire  une  boule 

blanche  sera  ^  ;  en  nommant  doue  U  la  probabilité  de  cette  suf^o- 

sîtion,  l'intégralej  ,  étendue  depuis  3c;^o  jusqu'à  xssrty 

sera  la  diminution  de  e,  résultante  de  la  probabilité  d'extraire  une 
boule  blanche ,  de  l'urne.  Si  l'on  feit ,  comme  ci-dessus ,  -  =  r', 
et  si  l'on  désigne  la  fraction  très-petite  -  par  d/,  cette  diminution 

sera  égale  à  zdr';  car  s  est  égal  à  fUxdx ,  somme  des  produits  des 
nombres  des  boules  blanches ,  par  leurs  prohabilités  respectives. 
Le  prix  de  l'urne  J  s'accroît,  si  l'on  extrait  unelioule  blûiche  de 
l'urne  B,  pour  la  mettre  dans  l'urne  ^^  or,  s  étant  supposé  le 
nombre  des  boules  blanches  de  l'urne  -4',  n  — x  sera  celui  des 
boules  blanches  de  l'urne  £ ,  et  la  probabifité  d^extraire  ime  bouk 
blanche  de  cette  dernière  unie,  sera  2^^;  en  mnttipMant  cette 
probabilité  par  la  probabilité  U  de  xj  l'intégrale   /V.^^^.dr, 

prise  depuis  x  nul  jusqu'à  x  =  n,  sera  l'accroissement  de  z. 
fV.  (n — x^ .  dx  est  le  prix  de  Tume  B  ;  en  iiommanl  donc  «'  ce  prix, 
z'dr^  sera  l'accroissement  de  e  :  on  aura  d<»ic 

rfz  ==  z'dr''—  iéi-', 

Xék  sonime  .des  pris  des  ^ux  urnes  e$t  évidemment  é^e  à  n  > 


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Soi  THÉORIE  ANALYTIQUE 

nombre  des  bouks  blanches  qu'elles  contiennent»  ce  qtû  donne 

z'  =  n — z;  substituant  cette  Taleur  de  z'  dam  Téqualion  préeé- 
dente^élle  derient 

&  =  (« — a£).dr'; 

d*où  l'on  tire  en  intégrant , 

^  — i»  +  4?T. 

jjf'i  étant  une  constante  arbitraire  ;  ce  qui  est  cwifi>rme  À  ce  qiù 
précède. 

On  peut  étendre  toute  cette  analyse  ,  au  cas  d'an  nombre  quel- 
conque d'urnes  :  nous  nous  bornerons  ici  à  chercher  la  valeur 
moyenne  du  nombre  des  boules  blanches  que  chaque  urne  contient 
après  r  Uragea. 

Considérons  un  nombre  e  d'unies ,  dbposëes  cinrulairement ,  et 
renfermant  chacune  le  nombre  n  de  boules ,  les  unes  blanches , 
et  les  autres  noires  ;  n  étant  supposé  un  très-grand  nombre.  Suppo- 
sons qu'après  r  tirages,  z,,  x„r,,...«,_,  soient  les  prix  respectif 
des  diverses  urnes.  Chaque  tirage  consiste  à  extraire  en  même 
tems ,  une  boule  de  diaque  urne ,  et  à  la  mettre  dans  la  suivante , 
en  partant  de  l*nne  d'elles  dans  un  sens  déterminé.  &  l'on  fitît 
^==/  et  ^  =  dr*  ;  on  aura,  par  le  raisonnement  que  nous  Tenons 
.  de  faire  relativement  à  deux  urnes , 

â£t^=  (2*_,— Zl).d/j 

cette  équation  a  lieu  depuis  *  se  i  jusqu'à  i  sse-^  i.  Dans  le  cas 
de  i3=^,ona 

en  intégrant  ces  équations ,  et  8iq)po3ant  qu'à  l'origine  les  prix  res- 
pectif de  chaque  orne ,  ou  les  nombrês.des  boules  blanches  qu'eUes 
contiennent,  soient 

OnpàrTÎexd  à  ce  résultat  qui  a  Ueu  depuis  ts=o  jusqu'à  iss«—i, 


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DES  PROBABILITÉS.  5o3 

A..co8(î^-or') 

z.=  -.S.c    »■  •''    ■j+;,..e„s(!£j;=2).-_a/) 

le  signe  ^  s'éteadant  à  toutes  les  valeurs  de  Sj  depuis  s=  i  jus- 
qu'à  s  =  e,  et  a  étant  égal  à  sin  ^  Le  terme  de  cette  expres- 
sion, correspondant  à  f  =  « ,  est  indépendant  de  r',  et  égal  à 
~.(X,-^?i,,.  ..+  A;_,);  c'est-à-dire,  à  la  somme  entière  des  boules 

blanches  des  urnes,  divisée  par  leur  nombre.  Ce  terme  est  la  limite 
de  l'expressioD  de  Zt  ;  d'où  il  suit  qu'après  un  nombre  infini  de  tirages, 
les  prix  de  chaque  urne  sont  égaux  entre  eux. 


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THÉOME  AWALTHOtlE 


CHAPITRE  IV. 

De  la  probabilité  des  errairs  des  résultats  moyens  d'un  grand 
nombre  d'observations ,  et  des  résultats  moyens  les  plus 
avantageux. 

18.  Vjonsidérons  maintenant  les  résultats  moyens  d'un  grand 
nombre  d'observations  dont  on  connaît  la  loi  de  facilité  des  erreurs. 
BnpposoDS  d'abord  quepour  chaque  obserration^Iesarearspiàssent 
être  également 

— n,  — n+i,  —  n-f-9,^..— ij  Oji,  j,..^— a,  n— j,  n 
La  probabilité  de  diaque  orair  sera  ——■'  Si  Fan  nomnie  s,  le 
nombre  des  observations,  le  coefiRcient  de  c'*V^  dans  le  dévelop- 
pement du  polynôme 

f  c-n-V^î  +  cH— »•»/"+ C-(»->)-V^ 1» 

{         ....4-c— ^^^+i+c-V^ +c»-»^^} 

sera  le  nombre  des  combinaisons  dans  lesquelles  la  somme  des 
erreurs  est  /.  Ce  coefiFicient  est  le  terme  indépendant  de  c^' 
et  de  ses  puissances ,  dans  le  développement  du  même  polynôme 
multiplié  par  c~^*'V^^  et  il  est  visiblement  égal  au  terme  in- 
dépendant  de  19'  dans    le  même   développement   multiplié  par 

X i- ou  par  cos  ftr,  on  aiffa  donc  pour  rexpreasion 

de  ce  coefficient , 

-.yîf'W.cos/*.(i+aco8'»+acosa'W. . . . -h  a  cos  n»)'? 

l'intégrale  étant  prise  depuis  ■w=o  jusqu'à  «r=-7f. 

Ou  a  vu  dans  le  n'  56  du  premier  livre,  que  cette  intégrale  est . 


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DES  PROBABaiTÉS.  5oB 

le  nombre  total  des  combiDâisons  des  erreurs  est  (an 4^  i)*;  en 
divisant  la  quantité  précédente  par  celle-ci,  on  aura 

•8  i.(»+i)' 


t/».Cn+0.!U»  .   ^ 

pour  la  probabilité  que  la  somme  de»  erreurs  des  t  obserratioiu 
sera  L 
Si  l'on  feit  

la  probabilité  qne  ta  somme  dea  erreurs  sera  comprise  dans  les 
limites  +  ar.  y/?'-("+')-^  et  —  ar.  ^"•C"+0-'  ggj^  ^gale  à 


»/;r 


.fdt.c~*\ 


Vîntégrale  étant  prise  depuis  t=sio  jusqu'à  tznT.  Cette  expression 
a  lieu  encore  dans  le  cas  de  n  infini.  Alors  en  nommant  sa  l'inter- 
valle  compris  entre  les  limites  des  erreurs  de  chaque  observation , 

on  aura  n^a,  et  les  limites  précéduites  deviendront  zt. -  'yL—  : 
ainsi  la  probabilité  qne  la  somme  des  erreurs  sera  con^rise  dans 
les  tbnitea  Aar,  V«  est 


.s/l./dr^ 


c^est  aussi  la  probabilité  que  Terreur  moyenne  sera  comprise  dan» 
les  limites  =t  -^  ;  car  on  a  Terreur  moyenne ,  en  divisant  par  « 

la  somme  des  erreurs. 

La  probabilité  que  la  somme  des  inclinaisons  des  orbites  de  0 
comèteSjSera  comprise  dans  des  limites  données,  en  supposant  toutes 
les  inclinaisons  également  possibles,  depuis  zéro  jusqu'à  l'dngle  droit, 
est  évidemment  la  même  que  la  probabilité  {Mrécédente  ;  l'interralle 
sa  des  limites  des  erreurs  de  diaque  observation  est,  dans  ce  cas, 

5a 


db,  Google 


So«  THÉORIE  ANALTllQim 

rinterr^e  '  dés  Bmites  des  inclinaisons  poseîMeii  ;  alors  la  pro- 
babilité que  la  somme  des  mclinaisons  doit  être  comprise  dans  les 
limites  ds-'^'  est  s.\J  -^Jctr.c  ;  ce  qui  s'accorde  avec  ce 
que  l'oB  a  trouvé  dans  le  n'  i5. 

Supposons  géuéralunent  que  la  probabilité  de  chaque  erreur 
positire  ou  négatÎTe,  soit  exprimée  par  p(f),  x  et  /i  étant  des 
nombres  infinis.  Alors ,  dans  la  fonction 

I  +  a  cos  <»■  "i-  2  coa  3'»+  a  ciss  3ot  . . .+  a  cos  ww , 

chaque  terme ,  tel  que  a  cos  «<»■ ,  doit  être  multiplié  par  ?  (^  ; 
or  os  a 

aip  0) .  C(»  JOT  =  3fl /0  —  ^ .  ^  Q .  n*w'-h  etc. 
En  Msant  donc 

laibnction 

'    '^C»)"'^'*'^  QYcos'»  +  af  ^Vcosfl'W — 4-3f  (0.COS  »w, 

devient 

an.yîfo;' .  ^  («')-"«*'»■' ■7â/*fte' .  ^(fl/)  H- etc.  j 

les  intégrales  devant  être  ét^adues  depuis  x'sso  jusqu'à  a:'s=i. 
Soit  alors 

•k='ifdoé.(^{3d)^    1^'=fx''<y,(p{x')j    etc." 

La  sme  précédente  devient 

(v  \ 

1  — -r.n'flr'  +  etcj. 

Hamlenant  la  probabifité  que  la  somme  des  errcôrs  des  «  cdfser- 
vations  sera  comprîser  dans  lès  limites  =b:  /,  est ,  comme  il  est 
iïœile  de  s'en  Assurer  par  les  rai8(Hmemen8  précédens  ^ 


dbyGoOgk 


~./fàa:dl.C03l^, 


DES  PROBABBLITÉS.  5oy 

....  +  a^f-YcosMi 


Vintégrale  étant  prise  depuis  «•  nul  jusqu'à  «■  :=  *  j  cette  probabilité 
est  donc 

a'^^''j7''**'<^-co8**-(i— ^•«^^— etc.)'.    <«) 

Supposons 

(i  —  j.  n*^  — etc.  Y=  c     ; 

en  prenant  les  logarithmes  hyperboliques ,  on  aura  à  très-peu  près  ^ 
lorsque  a  est  un  grand  non4>re , 

ce  qui  donna 

Si  Ton  obsenre  ensuite  que  ni  ou  ù.fdx.p  (^  exprimant  la  pro-^ 
babitité  que  Terireur  d*une  obserratkm  est  comprise  dans  les  limites 
d^rtf  cette  quantité  doit  être  é^Àe  à  Tunité  ;  la  fonction  (u) 
deTÎeadra 

Tintégrale  relatire  à  t  devaiit  4tre  prise  depuis  t  nul  jusqu'à 

fss  it.n.  y-^,  ou  jusqu'à  <;=soo,  n  étant  supposé  infini;  or  on  a, 

par  le  n*  35  dU'  premier  livre , 

F     k 

en  faisant  donc 


db,  Google 


\fk: 


5o8  THÉORIE  ANALYTIQUE 

la.  fonction  (u)  devient 

Ainsi  en  nommant ,  comme  ci-dessus,  aa  l'intervalle  compris  entre 

les  limites  des  erreurs  de  chaque  observation,  la  probabilité  que 
la  somme  des  erreurs  des  a  observations ,  sera  comprise  dans  les 
limites  ±  ar .  V«,  est 

si  fl  (^  est  constant;  alors  p^=  6 ,  et  cette  probabilité  devient 

ce  qui  est  conforme  à  ce  que  Ton  a  trouvé  ci-dessns. 

Si  ip  (^  ou  4>  (V)  est  uue  fonction  rationnelle  et  entière  die  -xt', 
on  aura ,  par  la  méthode  du  n"  i5  j  la  probabilité  que  la  somme 
des  erreurs  sera  comprise  dans  les  limites  db  ar.  \/s ,  exprimée  par 
ùné  suite  de  puissances  »  »  a« ,  etc.  de  quantités  de  la  forme 
«  — ^±r.  y/a ,  dans  lesquelles  pt.  augmente  en  pr(^ession  arith- 
'  métique,  ces  quantités  étant  continuées  jusqu'à  ce  qu'elles  deviennent 
négatives.  En  comparant  cette  suite  à  l'expression  précédente  de 
la  même  probabilité ,  on  obtiendra  d^une  manière  fort  approchée ,  la 
valeur  de  la  suite  ;  et  Fon  parviendra  ainsi  sur  ce  genre  de  suites , 
à  des  ^éorèmes  analogues  à  ceux  que  nous  avons  donnés  dans  le 
'  n°- 43>  du  premier  Livre ,  surles  différences  finies  des  puissances 
d'une  variable. 

Si  la  loi  de  &ciUté  des  erreurs  est  exprimée  par  une  exponen- 
tielle négative  qui  puisse  s'étendre  jusqu'à  rinfîni,'et  généralement 
si  les  erreurs  peuvent- s'étendre  à_l'iE(&i\;  aI<H's  a  devient  infini,  et 
l'application  i  de  la  méthode -^écédbnfc  peut  offrir  quelques  diffi- 
cultés. Dans  tous  ces  cas ,  on  fera 


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DES  PROBABILITÉS.  509 

h  étant  une  quantité  quelconque  finie ,  et  en  suivant  exactement 
l'analyse  précédente,  on  trouvera  pour  la  probabilité  que  la  soimne 
des  erreurs  des  «  obserrations  est  comprise  dans  les  limites 


'V^./rfr.. 


Al* 
'4k' 


expression  dans  laquelle  on  doit  observer  que  p (j\  ou  <p (x')  ex- 
prime la  probabilité  de  Terreur  dzx,  et  que  l'on  a 

k=a/d^.f(x'),     k'^fx'-âx'.ipia:'), 
les  intégrales  étant  prises  depuis  x'=  o  jusqu'à  x'  =s  00. 

19.  Déterminons  présentement  U  probabilité  que  la  somme  des 
erreurs  d'un  très^and  nombre  d'observations  sera  comprise  dans 
des  limites  données^  abstraction  £ùte  du  signe  de  ces  erreurs, 

c'est-à-dire ,  en  les  prenant  toutes  positivement.  Pour  cela ,  consi- 
dérons la  suite 

9 (^  étant  l'ordonnée  de  la  courbe  de  probabilité  des  erreurs, 
correspondante  à  l'erreur  d=  x ,  et  x  étant  ainsi  que  n ,  considéré 
comme  formé  d'un  nombre  infini  d'unités.  Si  l'on  élève  cette  suite 
à  la  puissance  s,  après  avoir  changé  le  signe  des  exponentielles 
négatives;  le  coefficient  d'une  exponentielle  quelconque,  telle  que 
^{*+/mJ-K— i^  sera  la  probabilité  que  la  somme  des  erreurs  prises 
abstraction  £tite  du  signe ,  est  l+fia\  cette  probabilité  est  donc 

Tintégrale  relatire  à  ■»•  étant  prjçe  depuis  «r  =— «  jusqu'à  tr^T^ 


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5ip  THÉORIE  ANALTnQUE 

car  dans  cet  ïnterralle  , l'intégrale  fâar.c^^  *  ~' ,  ou 

yH«-.(cosrv  —  V — i.wDP») 
disparaît ,  quel  que  soit  r ,  pourvu  qu'il  ne  soit  pas  nul. 
On  a ,  en  développant  par  rapptHt  aux  puissances  de  4r , 

j  ♦a)+^o+»'C) +>♦©) 

l—  etc.  J 

En  Élisant  donc 

n  'a  ' 

/x"dx'.^(x')  =*"',    /x'*da:'.^  (x')  =  A",     etc., 

les  intégrales  étant  prises  depuis  x'  oui  jusqu'à  x'  ^  i  ;  le  second 
membre  de  Féquation  (i)  devient 

s.lo$nk+a.log(l-i'~-.Tvm-\/^^—~jt*'m*—eiC^—fUV\^- 

l'erreur   de   chaque  observation  devant  tomber  nécessairement 
dans  les  limites  zk  n ,  oa  &  nk  =^  i  ;}&  quantité  précédeote  dericot 

ainsi  , 

'\T—n)  ■  n*  V—  1 p etc.; 

en  disant  donc 


et  négligeant  les  puissances  de  w  supérieures  an  carré ,  cette  quan- 
tité se  réduit  à  son  second  terme,  et  la  probabilité  précédeatt 


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DES  PROBABILITES, 
devient 


(tt'-aft")  . 


l'intégrale  précédente  devient- 


(-^)- 


Cette  intégrale  doit  être  prise  depuis  <:=  ^  oo  jusqu'à  /=:x;  et 
alors  la  quantité  précédente  devient 


al/ir.Ti.  V^ï' 

En  la  mtdjipliant  par  dl  ou  par  mfr.  v^  y  l'intégrale 

sera  la  probabilité  que  la  râleur  de  ^,  et  par  conséquent,  la 
somme  des  erreurs  des  observations  est  comprise  dans  les  limites 

^  .(M=tar-  V^  )  ^=a  étant  les  limites  des  erreurs  de  diaque  obser- 
vation ,  lùoites  que  nous  désignons  par  ±  n ,  quand  nous  les  Conce- 
vons partagées  dans  une  ii^nité  de  parties^ 

On  voit  ainsi  que  la  somme  des  erreurs,  la  plus  probable,  abs- 
traction faite  du  signe ,  est  celle  qui  répond  à  rr=  o.  Cette  somme 

est  V'os-  Dans  le  cas  où  ^(x)  est  constant,  -r-  :s  -,  la  somme 
des  erreurs ,  la  plus  probable ,  est  donc  alors  la  moitié  de  la  plus 
grande  somme  possible  ,  somme  qui  est  égale  à  sa.  Mais  si  p  (x) 
n'est  pas  constant  et  diminue  à  mesure  que  l'erreur  x  augmente  , 

alors  -r  est  moindre  que  i ,  et  la  somme  des  erreurs ,  abstraction 


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5ia  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Ëiite  dii  signe ,  est  au-dessous  de  la  moitié  de  la  plus  gi^de  somme 

possible. 

On  peut,  parla  même  analyse,  déterminer  la  probabilité  que  la 
somme  des  carrés  des  erreurs ,  sera  l-i-  fis;  il  est  &cile  de  voir 
que  cette  probabilité  a  pour  expression ,  Tintégrale 

prise  depuis  «a-:^-— -ff,  jusqu'à  'srss^.  £n  suivant  exact^neQti'ana* 
I  jse  précédente ,  on  aura 

_  an'.A' . 

et  en  Ëùsant 

€'  = 


la  probabilité  (jue  la  somme  des  carrés  des  erreurs  des  s  obserra-f 

k 


lions  sera  comprise  dans  les  limites-^  .a's^a'r.  V«,  sera 


La  somme  la  plus  probable  est  celle  qui  répond  à  r  nul  j  elle  efil 
donc  ^.a*.«.  Si  «  est  un  très-grand  nombre,  le  résultat  des  obser* 
vations  s'écartera  très-peu  de  cette  valeur ,  et  par  conséquent  il  fera 
connaître  à  très-peu  près  le  Ëicteiir  --jr-< 

flo.  Lorsque  Ton  veut  corriger  un  élément  déjà  connu  à  fort 
peu  près,  par  l'ensemble  d'un  grand  nombre  d'observations,  on 
forme  des  équations  de  condition  de  la  manière  suivante.  Soit  z 
la  correction  de  l'élément ,  et  ê  l'observation  ;  l'expression  analy-. 
tique  de  celle-ci  sera  une  fonction  de  l'élément  En  y  substituant, 
au  lieu  de  l'élément,  sa  valeur  approchée,  plus  la  correction  z  ; 
tgx  réduisant  en  série  par  rapport  à  x ,  et  négligeant  le  carré  de  z; 

cette 


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DES  PROBABILITÉS.  5i5 

catte  fonction  pren<lra  la  forme  A-f>/jz;  en  régalant  à  la  quantité 
obserrée  € ,  on  aura 

€  =  A  +  Jjz; 

r  serait  donc  déterminé ,  si  robserration  était  r^oureuse;  mais 
conune  elle  est  susceptible  d'erreur,  en  nommant  i  cette  erreur, 
on  a  exactement,  aux  quantités  prés  de  l'ordre  z', 

et  en  Ëùsant  C— Asaa,  on  a 

l=J)Z  — «t. 

Chaque  observation  fournit  une  équation  sranblable ,  que  Von  peut 
représenter  pour  l'observation  (i+i)'"',  par  celle-ci 

En  réunissant  toutes .  ces  équations  y  on.  a 

le  signe  S  se  rapportant  à  toutes  les  valeurs  de  i,  depuis  l'ss  o 
jusqu'à  i:=s~-i,s  étant  le  nombie  total  des  observations.  En 
supposant  nulle  la  somme  des  erreurs ,  cette  équation  donne 

c'est  ce  que  Ton  nomme  ordinairement ,  résultat  moyen  des  obser' 
vationa. 

On  a  va  dans  le  n*  18 ,  que  la  pr(^abilité  <pie  la  somme 
des  erreurs  des  «  observations  sera  comprise  dans  les  limites 
dsar.Vf ,  est 


v^ 


l,.far.r^.. 


.Nommons  =ktf  Terreur  du  résultat  x;  eu  substituât  dans  Téqua- 


■tion  (1)^  :±:ar.  V/^  au  lieu  de  ^'C^*^;  et  7^  ±u  au  lieu  de  z-^ 


tile  dMw  ,.    . 


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»i4  THÉORIE  ANALYTIQUE 

ta;  [^dtalalité  quel'esretf  dtti:ésattats>aera  comqHiw  âansl«a  li- 
mites ±  u  est  donc , 

Au  lieu  de  supposer  nulle  la  somme  des  erreurs ,  on  peut  snppo-^ 
aer  nulle  une  fonction  quelconque  linéaire  de  ces  erreurs,  que 
nous  3représenterons  ainst,- 

mfm^%  m^^  etc.  étant  des  nombres  entiers  positife  ou  négatif.  En 
sujoistikiaat  dan»  cette  fonction  (m),  au  lien  de  e,  e^'^,  etc.,  leivs 
valeurs  données  par  les  équations  de  condition ,  eBe  dewnt 

en  ég^dant  donc  à  zéro ,  la  fonction  (m) ,  on  a  ' 
Soit  u  Terreur  de  ce  résultât ,  ensorte  que  Ton  ait 

la  fonction  (m)  deyient 

îïéterjninons  la  probabilité'  de  l'erreur  u, lorsque  les  obserraUon* 
'sont  en  grand  nottilire. 

Pour  cela ,  considérons,  le  produit  .   ■  .  -  , 

^(f)--'^xy*©.«"■■"-'-^....x/<î).c~■— v=, 

le  signe  /  s^étendant  à  tdute^  ïes  Taleurs  de  x,  depuis  la-Tafcnr 
^négati^e  extr^mi  de  i:,-  itïsqn'à  sa  valeur  poutife  eitrêiM- 
^  (^  est ,  comme  dam  les  numéros  précédens ,  la  probaMHté  d'oA 
erreur  x ,  dans  chaque  observation  j  x  étant  supposé ,  ainsi  que  a , 

DigilizedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  5ifi 

£)mié  d'une  âofimté  de  poHles  piises  pour  màiê.  1!  est  elair  que 

le  coefficieHt  d'une  esponentiâlle  queleonque  c'*  ^^^,  dans  le  dé- 
veloppement de  ce  produit,  sera  la  probabilité  que  la-sonmie  des 
erreurs  des  observations,  multipUées  re^ectivement  par  m,  m^'\  etc^ 
c'est-à-dire,  la  fonction  (mj,  sera  égale  à  /^  en  miiltipUant  donc  le 
produit  précédent  par  c~  ''*'"',  le  terme  indépendant  de  «*  V^~' 
et  de  ses  puissances, dans  ce  nouveau prodmt,  exprimera  cette  pro- 
babilité. Si  l'on  siq>pose,  comsie  nous  le  ftrons  id,4a  probabilité 
des  erreurs  positives ,  la  même  que  ceUe  des  erreurs  négatives  ; 

on  pourra ,  dans  la  somme  /•?  ^-  c"**  ^"^j  réunir  les  termes 

iiinit^>IîéB,  Vwi  par.  c"^  *'^,  et  fseala^  par  e"  "*^~'j  dors oetlB 

somme  prend  la  forme   aJ^(^.co&7ttx^.  H  en  est  de  même  da^ 

toutes  les  sommes  semblables.  De  là  il  suit  que  la  probabilité  que  la 
fonction  (m)  sera  égale  à  i ,  est  égale  à 


l'intégrale  étant  prise  depuis  «-sss  —  *  jusqu'à  i»  =x.  On  a  en 
réduisant  les  cosinus  en  séries , 

/pQ.cosmxflr=y^(g-i.m'o'.^./^.ç(D-i-etc. 

Si  l'on  fait  ^  =  ^)  et  si  Ton  observe  que  la  variation  4e  x  étant 

Funité ,  on  a.  da^  ss  '  j  <m  aura 

Nommons ,  comme  dans  Les  mmiéros  précedens  ,  k  l'intégrée  : 
a/î2r' .  9  (x') ,  [Hdse  d^uis  a^  nul  jusqu'à  sa  valeur  positive  extrême  ; 
nommons  pareillement  A"  l'intégrale  yV*f/x'}  prise  dans  les  mêmes 
Umites,  et  ainsi  de  suite;  nous  aurons 

a/^(|)*co8ma?»=aA:/i — j.ro'a'-»'+-Y2ç-.»Wir*— etc.). 

DigilizedbyLjOOQlC 


Si6  THÉORIE  ANAITTIQUE 

Le  logarithme  4n  second  membre  de  cette  équation  est 

T .  m'a*m*-^ ^ .  m^a*'»^ —  etc^  -f-  log  oA , 

ak  on  ia.fdaf.^{3f)  exprime  la  probabilité  que  Terreur  de  chaque 
obeerration,  sera  comprise  dans  ses  limites,  ce  qui  est  certain;  on 
a  donc  «t  silice  qui  réduit  le  logaritbme  précédent  à 

—  j.mfifm'-i-  ""^  — .m4B<»*— etc. 

De  là  il  est  aiaé  de  condore  que  le  produit 

ay^0).co8  BUJ»  X  a/^Q.C08m<''a>»...  X  ay»(j).C08i«*^'>i»> 


('+  ""i^""  •a''»*-g-'»"*+e'c).  ~^' 
rintégrale  précédente  (i)  se  réduit  donc  à 

»4"— a» 


—%-.*^.S.iifir 


X»  ' 

ija*>v*=<*,  cette  int^rale  devient 

>         /-j,  f      ■     iSi"— 64"     *.!»»<  j   ,     .    » 


Xc      «V^'  *'      '     ■  / 

S.rnf^,  S.m^'^y  etc.  «ont  éTÏdemmenf  des  goantitéa  de  Tordre  f, 
ainà  -—,  —  est  de  l'ordre  -  ;  en  négligeant  donc  les  terme»  de  ce 
dernier  ordre ,  Tis-à-vis  de  Pamté ,  la  dernière  int^rale  se  réduit  à 


—;•/*- 


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DES  PROBABILITÉS.  Si? 

7a\Dté^à]fi  relàtire  à  ■»■  devant  être  prise  depuis  w=— ir.  jusqu'à' 
0-=  -»■ ,  l'intégrale  relative  à  t  doit  être  prise  depuis  (  ^  —a-jr.  v^ 
jusqu'à  t  =aT.\/^;  et  dans  ces  cas,  l'exponentielle  sous  le  signe/ 
est  insensible  à  ces  deux  limites ,  soit  parce  que  «  est  un  grand 
nombre ,  soit  parce  que  a  est  ici  supposé  divisé  dans  une  infîmté  de 
parties  prises  pour  unité  ;  on  peut  donc  prendre  Tintégrale  depub 
/'=■—«!  jusqu'à  tsssoo.  Faisons 

^—V s -V-^      M.A'.5.mt>     /' 

la  fonction  intégrale  précédente  devient 

«■ 


'VP- 


^.fâi.o 


mt» 


L'intégrale  relative  à  *'  doit  être  prise,  comme  l'intégrale  relative 
à  f,  depuis  ('== — oo  jusqu'à  /'c=5  0oj  ce  qui  réduit  la  quantité  pré- 
cédente à  celle-ci , 


"îir: 


■^■V¥- 


i.m'v 


Si  l'on  &it  /:=ar.v^,  et  siFon  observequelavariation  de /étant 
Tunité ,  Fon  a  atfr=  i ,  on  aura 

■     '   '     fa*-' 


V^ 


pour  la  probabilité  que  la  fonction  (m)  sera  comprise  dans  les  limites 
zéro  et  ar.y/sy  l'Intégrale  étant  prise  depuis  r  nol. 

Nous  avons  besoin  ici  de  connaître  la  probabilité  de  l'erreur  u  , 
de  l'élément  déterminé  en  Ëiisant  nulle  la  fonction  (m).  Cette  fonc- 
tion étant  supposée  égale  à  /  ou  à  ar.\/s;  on  aura ,  par  ce  qui 
précède, 


y  Google 


Si8.  THÉORIE  ANALYTIQUE 

eu  subfltibuitf  cette  râleur  duw  la  feoetioB  inté^e  préoédette, 

elle  jdeTÙnt 

hi'.tS.inlOpB)' 
^■"■'V  y;,,,    ,. a-..-.J.m<')- . 

c'est  rexpreasion  de  la  probabilité  que  la  Taleur  de  u  sera  com- 
prise dans  les  limites  zéro  et  u  :  c'est  aussi  l'expression  de  la  pro- 
babilité que  u  sera  compris  dans  les  limitea  zéro  et  — u-  Siïoa 
fiit 

la  probabilité  précédente  devient 

MaintesEmt  la  prob^HËté  restant  la  m&ne*  trettele  même ,  et  Tio- 
terralle  «Les  deux  liiaites  de  u ,  8e  reaserre  d'autant  (dus  que 

"•  V  T*  ^■nJV'^'  **'  P^""  î**^**  *^'  intervalle  restant  le  même, 
la  râleur  iet,  et  par  conséqnent  la  probabilité  que  reirear  i^ 
l'élément  tombe  dans  cet  intervalle ,  est  d'autant  plus  grande ,  que 

la  même  quantité  a.yj .  g^^^^  est  plus  petite  ;  il  Ëiut  doac 
choisir  le  systèmç  de  &cteurs  m®,  qui  rend  cette  quantité  un 
rmmmums  et  comme  a,  kj  k'  sont  les  mêmes  dans  tons  ces 

systèmes ,  fl  Ëtut  choisir  le  système  qui  rend  ^^^^  un  minimum. 

On  peut  parvenu-  au  même  résultat,  de  cette  manière.  Repre- 
nons l'e^tresàon  de  la  probabilité  que  u  sera  compris  dans  les 
limites  zéro  et  u.  Le  coefficient  de  du  dans  la  di£fêrentieKe  de  cette 
expression ,  est  l'ordonnée  de  la  courbe  des  probabilitcs  des  areiu^ 
u  de  rélément ,  erreurs  représentées  par  Tabscisse  »  de  cette  eoan)^ 
que  Tcm  peut  étendre  à  l'infini ,  de  diaque  c6té  de  l'ordoiuiee  qo* 
répond  à  u  doL  Cela  posé ,  toute  erreur,  soit  positive,  sûit^' 
tive,  doit  être  considérée  comme  un  désavantage  ou  anep^ 
réelle,  àtm  jeu  quelconque  ;  or,  par  les  principes  de  Ift  tbeo"^ 


y  Google 


DES  PROBABILITÉS.  5ig 

dea  probabilités^  exposés  au  ctumnencemezit  de  ce  livre,  on  éva- 
lue ce  désavantage,  en  prenant  la  sonune  de  tous  les  produits  de 
chaque  désavantage  par  sa  probabilité  ;  la  valeur  moyenne  de 
l'erreur  à  craindre  en  plua,  est  donc  la  somme  des  produits  de 
chaque  erreur  par  sa  probabilité  ;  elle  est  par  conséquent  égale  à 
l'intégrale 

fudu.S.mf.'ipiO.c  -  4*- "■•J"'*-^- 


"V^ 


T' 


.J.ntO 


I«îse  depuis-  u  nul  }asqn'à  a  infini  ;  alnâ  cette  erreur  est 

,/v  i/jns^ 

Cette  quantité  prise  avec  le  signe  ~-,  donne  l'erreur  moyenne  à 
craindre  en  moins.  Il  est  visible  que  lé  système  des  &cteurs  rnf^. 
qu'il ftiut  choisir,  doit  être  telque  ces  erreurs- soient  des  minùna,et 

par  conséquent  tel  que  -^ — ^g-gy  sort  un  minimum. 

Si  l'on  djffêrentie  cette  foncticm  par  rapport  à  m^^  on  aura 
en  égalant  sa  diffîrentielle  à  aéro,  par  la  condition  du  nUmmum^ 

Cette  équation  a  Ben  quel  que  soit  i;  et  comme  la  variation  de  i 
ne  fait  point  changer  la  &actkn  ^y-^^ui;  î  en  nommant  /*  cette 
firaction  ,  on  aura  < 

et  l'on  peut,  quels  que  soient  p,  //'>,  etc.,  prendre  fâ,  tel  que  les 
.nomt»'es  m,ni,('',  etc.  soient  des  nombres  entiers,  cottùnèyanalyM 
précédente  le  suppose.  Alors  on  a 


db,  Google 


5ao  THÉORIE  ANALYTIQUE 

et  l'erreur  moyenne  à  craindre  devient 

c'est  dans  tontes  les  hypothèses  que  Ton  peut  foire  sur  les  focteurs 
m ,  m^'\  etc. ,  la  plus  petite  erreur  moyenne  possible. 

Si  l'on  Élit  les  valeurs  de  m ,  m*'^  etc.  ^ales  à  =b  i  j  l'erreur 
moyenne  à  craindre  sera  plus  petite  lorsque  le  signe  ±  sera  déter- 
miné de  manière  que  irf^p^'^  soit  positif;  ce  qui  revient  à  supposer 
i  =  m=m^'^=etc.,  et  à  préparer  les  équations  de  condition  « 
de  sorte  que  le  coefficient  de  z  dans  chacune  d'elles ,  soit  positif; 
c'est  ce  que  l'on  fait  dans  la  méthode  ordinaire.  Alors  le  résultat 
moyen  des  observations  est 

'  =  57^' 
et  l'erreur  moyenne  à  craindre  en  plus  ou  en  moins,  est 

mais  cette  erreur  surpasse  la  précédente  qui ,  comme  on  l'a  vu  , 
est  la  plus  petite  possible.  On  peut  s'en  convaincre  d'ailleurs  de 
cette  manière.  Il  suffît  de  £ure  voir  que  l'on  a  Finégalité 

ou 

En  effet,  2pp^'^  est  moindre  que  p*'{-p^'\  puisque  {p^'^—p}*  est 
une  quantité  positive  ;  on  peut  donc,  dans  le  second  membre  de  l'ioe'- 
galité  précédente  ,  substituer  pour  spp^'"^,  p*~^p^''^ — f,  f  étant 
une  quantité  positive.  En  faisant  des  substitutions  semblables  pour 
tous  les  produits  semblables ,  ce  second  membre  sera  égal  au  pre- 
mier, moins  une  quantité  positive. 

Le 


DigilJzed 


b,  Google 


DES  PROBABILITES.  5a  i 

Le  résultat 

auquel  corresponcl  le  rmnimum  d'erreur  moyenne  à  craindre ,  est 
celui  que  donne  la  méthode  des  moindres  carrés  des  erreurs  des 
obserrations  j  car  la  sonmie  de  ces  carrés  étant 

(i7.z—  *)'+  {f^'Kz—  *«)'. . .  +  (/)<'-".ï— aC-'ï)'; 

la  condition  du  minimum  de  cette  fonction ,  en  Ëiisant  varier  r , 
donne  pour  cette  variable,  rexpreaaion  précédente;  cette  méthode 
doit  donc  être  employée  de  préférence ,  quelle  que  soit  la  loi  de  fitci- 

lite  des  erreurs,  loi  dont  dépend  le  rapport  -j. 

Ce  rapport  est  ;,  si  f{x)  est  une  constante;  il  est  moindre 
(pie  7,  si  9  (x)  est  variable ,  et  tel  qu'il  diminue  à  mesure  que  x 
augmente ,  comme  il  est  naturel  de  le  supposer.  En  adoptant  la 
loi  moyenne  des  erreurs  que  nous  avons  donnée  dans  le  n'  i5 ,  et  * 

suivant  laquelle  ^  (x)  est  égal  à  —  .log  -  ,  on  a  -r-  ^  -s-  Quant  aux 

limites rt  a,  on  peut  prendre  pour  ces  Umitea,  les  écarts  du  résultât 
moyen ,  qui  feraient  rejeter  une  observation. 

Mais  on  peut,  par  les  observations  mêmes ,  déterminer  le  Ëicteur 
a.y  T-  de  l'expression  de  l'erreur  moyenne.  En  effet ,  on  a  vu 
dans  le  n*  précédent ,  que  Ja  somme  des  carrés  des  erreurs  des  obser- 
vations, est  à  très-peu  près  3«'^j  et  que  si  elles  sont  en  grand 
nombre ,  il  devient  extrêmement  probable  que  la  somme  obser- 
vée ne  s'écartera  pas  de  cette  valeur ,  d'une  quantité  sensible  ;  on 
peut  donc  les  égaler  ;  or  la  somme  observée  est  égale  à  S.é-'^^  ou 

kS.{jP.z-^d'>Yj  en  substituant  pour  z  sa  valeur  -^-^i  oa 
trouve  ainsi , 

^'•'T-  =  - s7p^F^ •■ 

L'expression  précédente  de  Terreur  moyenne  à  craindre  sur  le 

4i 


dby  Google 


523  THEORIE  ANALYTIQUE 

rcsultat  £,  devient  alors 

exprcssicH)  dam  laquelle  il  n'y  a  rien  qui  ne  soit  donné  par  les 
observations  et  par  les  coefïiciens  des  équations  de.conditioD. 

31.  Supposons  maintenant  que  l'on  ait  deux  élémens  à  corriger 
par  Vensemble  d'un  grand  nombre  d'(^servations.  En'nommaQt 
z  et  z'  les  corrections  respectives  de  ces  ctcmens  ,  on  formera , 
comme  dans  le  numéro  précédent,  des  équations  de  conditioD, 
qui  seront  comprises  dans  cette  forme  générale 

(M  étant,  comme  dans  ce  numéro, rerreurderobserTation(i+i)'*'. 
Si  l'on  multiplie  respectivement  par  m,  m^%.,  .m*""'' ces  équations, 
et  que  l'on  ajoute  ensemble  ces  produits ,  on  aura  une  première 
équation  finale 

En  multipliant  encore  les  mêmes  équations  respectivenaent  par 
n_,  n^'\r.  .n^'~'\  et  ajoutant  ces  produits,  on  aura  une  seconde 
équation  finale 

S.  nW^=z .  S.n^Y'^  -\-z'.S.  n«j»—  S,  n«««'^ 

lesigne^s'étendant  ici,  comme  dans  le  noméro  précédent,  à  toutes 
les  valeurs  de  i,  depuis  i  =  o  jusqu'à  i=« — j. 

Si  l'on  suppose  nulles  les  deux  fonctions  S.  m^'^f%  S.  n*'V",  fonctions 
que  nous  désignerons  respectivement  par  (m)  et  (n);  les  deas 
équations  finales  précédentes  donneront  les  corrections  s  et  s' 
des  deux  élémens.  Mais  ces  corrections  sont  susceptibles  d'erreurs 
relatives  à  celle  dont  la  supposition  que  nous  venons  de  fàiro ,  est 
elle-même  susceptible.  Ck)ncevons  donc  que  les  fonctions  {m)  et  (n), 
au  lieu  d'être  nulles,  soient  respectivement  /  et  /',  et  nommons  « 
ei  «Mes  erreurs  correspondantes  des  correcUonsz  et  z',  délermi- 


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DES  PROBABILÏTÉS.  5*3 

nées  par  ce  qui  précède;  tes^deux  équations  finales  deriendront 

H  Êiut  maintenant  déterminer  les  Ëicteurs  m ,  m^%  etc.  j  n ,  n^'\  etc., 
de  manière  que  Terreur  moyenne  à  craindre  sur  chaque  élément,' 
soit  un  minimum.  Pour  cela ,  considérons  le  produit 

/»'©•''"'"'"""■"  "^  X/»  0)- '="'""""'"'"*''**^- ■•  • 

■  •  •  •  x/K:)- °~"'""**"'~"^'^^' 

le  signe  /  se  rapportant  à  toutes  les  râleurs  de  x ,  depuis  xzx  —  a 

jusqu'à  x=a  ,  f  f-j  étant ,  comme  dans  le  numéro  précédent , 

la  probabiKté  de  Terreur  * ,  ainsi  que  de  Perrcvff  —■  x.  La  fonc- 
tion précédente  devient,  en  réunissant  les  deux  e^K)aentJelle8 
relatives  à  x  et  à  —  *, 

a/(P^).C08  {mxv-i-nx^')  X  3fp(^.C0d(m^''^x<v-j-i^'''x'Jr').. . 

le  signe  /  s'étendant  ici  à  toutes  lea  valeurs  de  x,  depuis  a;=:o 
jusqu'à  a:=a;  x  étant  supposé,  ainsi  que  a ,  divisé  dans  une  infi- 
nité de  parties  prises  pour  unité.  Présentement,  il  est  clair  que  le 
terme  indépendant  des  exponentielles ,  dans  le  produit  de  la  fonc- 
tion précédente,  par  c  •*'^~'  y— i^  ^^^  1^  probabilité  que  la 
somme  des  erreurs  de  chaque  observation ,  multipliées  respecti- 
vement par  m ,  m*"',  etc.  ou  la  fonction  (m),  sera  égal  à  / ,  en  même 
tems^que  la  fonction  (n) ,  somme  des  erreurs  de  chaque  observa- 
tion,  multipliées  respectivement  par  n,  n^'\  etc.,  sera  é^  à  /'; 
cette  probabilité  est  donc 

,   i , i'        afa^.coa(mw4-n<9')x I 

^.ff^.<i^.o-"^-'-'^-'.\     '^;l   '      '^      [ 


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324  THÉORIE  ANALYTIQUE 

les  intégrales  étant  prises  depuis  -w  et  'w'  égaux  à  — ^,  jusqu'à  la 
et  la'  égaux  à  *.  Cela  posé  ; 

En  suivant  exactement  l'analyse  du  numéro  précédent,  on  trouve 
^e  la  fonction  précédente  se  réduit  à  très-peu  près  à 

■    ,  — l-V/^— r^'V^— ^•"'■[•■■■'y-»»<'>H-!««»'-y-m<'>n«+«''.J.n«'] 

k  et  ^'  ayant  ici  la  même  sigmficatton  que  dans  le  numéro  cité.  On 
.voit  encore,  par  le  même  numéro,  que  les  intégrales  peuvent 
s'étendre  depuis  a4r= — oo,  ais-'^s  — oo,  jusqu'à  attssioo  et 
an^  =  00.  Si  l'on  fait 

■      hl.  V^i 

"  ,  k        (/.5.m«„W_/'.5.mC0»).|/Z:r 

si  l'on  Ëiit  ensuite 

E  =  8.  /»<■>• .  5.  i^'^—  {S.m<-'>rP)% 
la  double  intégrale  précédente  devient- 

*         X>.S.Tm^~-ali!.S.Tnf-'>nP)-\-e*.S.mVi^-} 


.-j_,S.„a«_j-j_^ 


En  prenant  les  intégrales  dans  les  limites  infimes  positives  et  né- 
gatives ,  comme  celles  relatives  à  «aw  et  air',  on  aura 


'  4A  V  ■  E 


(o) 


11  Ê)ut  maintenant,  pour  avoir  la  probabilité  que  les  valeurs  de  / 
.et  de  l'  seront  comprises  dans  des  limites  données ,  multiplier 
cette  quantité  par  dl.  dV,  et  l'intégrer  ensuite  dans  ces  limites.  En 
Bommaut  X  cette  quantité,  la  probabilité  dont  il  s'agit  sera  donc 


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DES  PROBABILITÉS.  5>5 

jfXâl.dl'.yiMS  pour  avoir  ia  probabilité  que  les  erreurs  u-et  u' 
'  des  corrections  des  étémens  seront  comprises  dans  des  limites 
données,  il  faut  substituer  dans  cette  intégrale ,  au  lieu  de  /et  de  T, 
leurs  valeurs  en  w  et  u*.  Or  si  l'on  diffîrentie  les  expressions  de  /  et 
de  r,  en  supposant  V  constant,  on  a 

dl=.  du.S.m'y>  +  dii!.S.m">q<'>, 
o=<4i.4.»<«/)«i  +  dB'.i.n<V'>i 
ce  qui  doime 

dl=—u c -^jfg^ 3— . 

Si  l'on  diflerentie  ensuite  Texpression  de  f,  en  supposant  u  consr 
tant,  on  at 

dr  =  du'.S.n'y>; 

on  aura  donc 

dl.dl'=lS.m^Y^.S.n<-'>q">—S.iifY''.S.m'Y''].du.du'. 
£n  Élisant  ensuite 

F-:S.nf'>-..(S.i^Y«j-—aS.m"'ifi>.S.m'y'>.S.n<'>jfi> 
+  S.nf'>-.(S.i^Y''); 

C  =  5'.n<'>-.5.m'V=.5.n.(V>4-J.m'*.*.rfV''.*.n<V'- 
—  i.in<'V».[*.nty»..y.m<V''+.ï.m''y.5.nBy<'1, 

iîr=*.n<'>'.(i.7n<V)'— a.5.m«>)lO.J.m»yM.J.n<■Y''■ 
+5.m<»•.(*.n<•y')^ 

/=  i.m'V'.'S-n'V— «•«'V'"^-'»V> 

la  fonction  (o)  devient 

h .  (  Fu'+2Gaït'4-  gu"  ) 

Intégrons  d'abord  cette  fonction  depuis  u'  c= —  oo  jusqu'à  u'scco. 
Si  l'on  fiiit 


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5ii6  THÉORIE  ANALTTIQtJE 

«X  91  l^on  prend  l'intégrale  depuis  t= — oo  jusqu'à  tss  oo,onaani 

en  ne  considérant  que  la  variation  de  i/, 


Or  on  a 

Fg— G'  _ 


l'intégrale  précédente  devient  donc 

On  aura ,  par  le  numéro  précédent ,  l'eirear  moyenne  à  craindre 
en  plus  ou  en  moins,  sur  la  correction  du  premier  élément,  en 
multipliant  la  quantité  sous  le  signe  /  par  =£:  u ,  et  prenant  l'in- 
tégrale depuis  u^o  jusqu'à  u  =  oo,  ce  qui  donne  pour  cette 
erreur , 

le  signe  -f-  indiquant  Terreur  moyenne  à  craindre  en  pins ,  et  le 
signe  — *  l'erreur  moyenne  à  craindre  en  moins. 

Déterminons  présentement  les  facteurs  m<'^  et  n^'^,  de  manière 
que  cette  erreur  soït  un  minimum.  En  Élisant  varier  m^'^  seul ,  ou  a 

rf.log  ^=  dm^'>.  C-P^'^-^"^V'H^^'>-y-"^'V"3 

11  est  Ëtcile  de  voir  que  cette  dîflfêrenlieUe  disparait,  si  l'on  sup- 
pose dans  les  co^ïiciene  de  dm% 

/«étant  un  coefficient  arbitraire  indépendant  de  i-,  et  au  moyen 
duquel  on  peut  rendre  m'-^  et  n®  des  nombres  entiers;  La  suppo- 


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DES  PROBABILITÉS.  3a»; 

ntion  précédante  rend  donc  nulle  la  difierentielle  de  ■—  ,  prise  par 

rapport  à  m^".  On  verra  de  la  même  manière,  que  cette  suppo- 
sition rend  nulle  la  différentielle  de  la  même  quantité ,  prise  par 
tapport  à  n^^.  Ainsi  cette  supposition  rend  un  mimmum,  l'erreur 
moyenne  à  craindre  sur  la  correction  du  premier  élément  ;  et  l'on 
verra  de  la  même  manière  ,  qu'elle  rend  encore  un  minimum , 
l'erreur  moyenne  à  craindre  sur  la  correction  du  second  élé- 
ment, erreur  que  l'on  obtient  en  changeant  dans  l'expression  de  la 
précédente,  H  en  F.  Dans  celte  supposition,  les  corrections  des 
deux  élémens  sont 

^■qCO'.^.pCO«t('')— ^.pCV')..$.<;Wa(0 

n  est  facile  de  voir  que  ces  corrections  sont  celles  que  donne  la 
méthode  des  moindres  carrés  des  erreurs  des  observations ,  ou  du 
minimum  de  la  fonction 

d'où  il  suit  que  cette  méthode  a  généralement  lieu,  quel  que  soit 
le  nombre  des  élémens  à  déterminer  ;  car  il  est  visible  que  l'ana- 
lyse précédente  peut  s'étendre  à  un  nombre  quelconque  d'élémens. 

En  substituant  pour  o.  y  j;^,  la  quantité  i/-^-— ,  à  laquelle  on 
peut,  par  le  n"  ao,  le  supposer  égal ,  e,  j''',  etc.  étant  ce  qui  reste 
dans  les  équations  de  condition ,  après  y  avoir  substitué  les  cor- 
rections données  par  la  méthode  des  moindres  carrés  des  erreurs  ; 
l'erreur  moyenne  à  craindre  sur  le  premier  élément ,  est 


L'erreur  moyenne  à  craindre  en  plus  ou  en  moins  sur  le  second 
élément,  est 


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538  THÉORIE  ANALYTIQUE 

d'où  l'on  voit  que  le  premier  élément  est  plus  on  moins  bien 
^étertniné  que  le  second,  suivant  que  S.^'^  est  plus  petitou  plus 
grand  que  5.j)*^. 

Si  les  r  premières  équations  de  condition  ne  renferment  point  g, 
et  si  les  s  —  r  dernières  ne  renferment  point ^;  alors  S.jfi'^^'^—o, 
et  les  formules  précédentes  coïncident  avec  celle  du  numéro 
précédent. 

On  peut  obtenir  ainsi  l'erreur  moyenne  à  craindre  sur  diaque 
élément  déterminé  par  la  méthode  des  moindres  c^arrés  des 
erreurs ,  quel  que  soit  le  nombre  des  élémens ,  pourvu  que  l'on 
considère  un  grand  nombre  d'observations.  Soient  z ,  z',  «",  z'",  etc., 
les  corrections  de  chaque  élément ,  et  représentons  généralemeDl 
les  équations  de  condition ,  par  la  suivante, 

rfo— ^o.x+/o.2'^_  ^0.2"+  (W.z"'4-etc.— ««. 

Dans  le  cas  d'un  seul  élément ,  l'erreur  moyenne  à  craindre  esf , 
comme  on  l'a  vu, 


««■    '  y'S.t^'y* 


w 


Lorsqu'il  y  a  deux  élémens ,  on  aura  l'erreur  moyenne  à  craiudrc 
sur  le  premier  élément,  en  changeant  dans  la  fonction  (a),  S.f' 

dans  S.^'^ —  ^^^to^'  *^^  'I"^  donne  pour  cette  erreur. 


i5f   M 


Lorsqu'il  y  a  trois  élémens,  on  aura  l'erreur  à  craindre  sur  le  pre- 
mier élément,  en  changeant  dans  cette  expression  (a'),  S.g^'^àans 

ce  qui  donne  pour  cette  erreur, 


/ 


^.-  (»") 


—S.r<'>'.(.S.|f•>(|'•>^)'+2.S.^i'>l^'>.S./'>!V>.S.1'■V). 


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'  DES  PROBABaiTÉS.  Sag 

ty*  is  le  Câsde  quîttre  élémens,  on  aura  Terreur  moyenne  à  craindre 
siff  le  premier  élément ,  en  changeant  dans  cette  espression  (a") , 
S.ffO;àm.S.i^o._iJ^y.  5.yo,<o,  dans  S.pV-'-^Tvf''- 
etc.  En  continuant  ainsi ,  on  aura  Terreur  moyenne  à  craindre  sur 
le  premier  élément,  quel  que  soit  le  nombre  des  clémens.  En 
changeant  dans  l'expression  de  Cette  erreur,  ce  qui  est  relatif  au 
premier  élément,  dans  ce  qui  est  relatif  au  second,  et  récipro- 
qaement;  on  aura  Terreur  moyenne  à  craindre  sur  le  second  élé- 
ment, et  ainsi  des  autres. 

De  là  résulte  un  moyen  simple  de  comparer  entre  elles  direrses 
tables  astronomiques ,  du  côté  de  la  précision.  Ces  tables  peuvent 
toujours  être  supposées  réduites  à  la>méme  forme,  et  alors  elles 
ce  diffèrent  que  par  les  époques,  les  moyens  monremens,  et  les 
coefificiens  de  leurs  albumens  ;  car  si  Tune  d'elles ,  par  exemple  ^ 
contient  un  Eirgument  qui  ne  se  trouve  point  dans  les  autres ,  il  est 
clair  que  cela  revient  à  supposer  dans  celles-ci,  ce  coefficient  nul. 
Maintenant ,  si  Ton  comparait  ces  tables  à  la  totalité  des  bonnes  obser- 
THtions ,  en  les  rectifiant  par  cette  comparaison  ;  ces  tables  ainsi  rec- 
tifiées ,  satisfelt'aieDt,  par  ce  qui  précède ,  à  la  condition  que  la  somme 
des  carrés  des  erreurs  qu'elles  laisseraient  subsister  encore ,  soit 
un  minimum.  Les  tables  qui  approcheraient  le  plus  de  remplir  cette 
condition ,  mériteraient  donc  la  préiërence  ;  d*où  il  suit  qu'en  com- 
parant ces  diverses  tables ,  à  un  nombre  considérable  d'observa- 
tions ,  la  présomption  d'exactitude  doit  être  en  &veur  de  celle 
dans  laquelle  la  soDune  des  carrés  des  erreurs  est  plus  petite  que 
dans  les  autres. 


.  33.  Jusqu'ici  nous  avons  supposé  les  &cifités  des  erreius  posi- 
tives ,  les  mêmes  que  celles  des  erreurs  négatives.  Coiisidéronâ  nùin- 
tenant  le  cas  général  dans  lequel  ces  fecilités  peuvent  être  dififé- 
rentes.  Nommons  a  Tintervalle  dans  lequel  les  erreurs  de  chaque 
observation  peuvent  s'étendre,  et  8upposons4e  partagé- dans  un', 
nombre  infini  n  +  V  de  parties  égales  et  prises  pour  Tunité,  »  étant 
le  nombre  des  parties  qui  répondent  aux  erreurs'  négatives ,  et  h' 
étant  le  nombre  des  parties  qui  répondent  aux  erreurs  positives. 


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350  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Sur  clhaque  point  de  l'interralle  a ,  éler^His  une  ord(»uiée  qui  ex~ 
prime  la  ^^abiUté  de  l'aTeur  correspondante ,  et  désignons  par 
f  (jj^^V  l'ordonnée  ooirespMiâaxUe  à  reireur  x.  Cela  posé,  coo- 
tàdéTOM  la  8u^ 

Reprégentons  cette  aoite  par  fçf-  ^-  ,Y  c''**^'y  le  ôgne  f 
s'étendant  à  tontes  les  valeurs  de  x  y  depnis  s  == — n  jusqu'à  x  =:  n'. 
ha  terme  indépendant  de  c  '  et  de  ses  puissances,  dans  le  dé- 
Teloppeœent  de  la  fonction 

...X  /•»©.c"-""'^-. 
dera,{>ar  le  n*  âi,  la  {irobabflité  que  la  fonction 
ç«+ffW<?o„..  +  ^.-.V-o^     (m) 
sera  égaleà  /i(-jk>  ««tte  probabflité  est  donc 
-./d^.c-'"  *^'  -c"'"^^  X  r9(~^y  c'""'-'x  etc. ,    (i) 

riiitégrale  étant  prise  depuis  -s- as — «■  jusqu'à  io-^?.  Le  lo^ 
rithme  de  la  li»kction 

^'~^'  X  /,  (j^).„«~'^x./l.(^).c'"~*^Xetc.,  {.) 
est 

-y^i/^r+log  [/^>(^,).c''-»^^4-ete,, 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  55i 

R  et  n'  étant  supposés  des  nombres  inSnis,  si  Ton  Eût 

si  de  plus  on  suppose 

ks=/dx'.<p(x'),     Ji^=/x'dx'.<p{jc'),     k'—fi^"dx'.ip{xr),    etc., 

les  îttt^r^es  étant  prises  depuis  x'  =  —  -—^  îusqu'à  *^=  -—^  ; 
on  aura 

^»+»^  {   -Ï5.5-.Cn+»')-.»-+etc.J 

L'erreur  de  chaque  obserration  devant  tomber  dans  les  linûtes  — n 
et  +  »',  et  la  probabilité  que  cela  aura  lieu  étant  /ç  (-t~^)  î  *** 
(n  +  n').Â^,  cette  quantité  doit  être  égale  à  l'unité.  De  là  il  est 
facile  de  conclure  que  le  logarithme  de  la  fonction  (  a  )  est ,  eu 
feîsant  fi.'  =  ^;£^  t 

{^.5./0-;»').(/H-R')-'^*/=^-^^"y-9*'^.(«+n?.'»'-hetc., 

le  signe  S  embrassant  toutes  les  valeurs  de  i ,  depuis  i  nul  jus- 
qu'à î=£^i.  On  fera  disparaître  la  première  puissance  de  -ir, 
en  Élisant 

et  si  Von  ne  considère  que  sa  seconde  puissanc«  ,  ce  qôe  Ton  peut 
faire  par  ce  qui  précède  ,  lorsque  s  est  un  très-^and  nombre ,  on 
aura ,  pour  le  logarithme  de  la  fonction  (a) , 

Ed  repassant  dea  logarithmes  aux  nombres,  la  fofikction  (a)  se  tran»* 
forme  dans  la  suivante  , 


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35a  THÉORIE  ANAIYTIQUE 

l'intégrale  (i  )  devient  ainsi , 

— /«ï/rï     —  ^*'  7,  *"  ■  (B+n')*.*'.^  Y'^ 

Supposons 

i  =(»+»')•'■•  V^^^î 

'="V^^ SÂ^^^-CH-B')-» 5 — VEïcir:- 

Ia  variation  de  /  étant  limité,  on  aura 

l'intégrale  précédente  devient  ainsi,  après  l'avoir  intégrée  depuis 

i  =  —-00  jusqu'à  tssooj 

ft'f* 


k'a.CW— A").t' 


Ainsi  la  probabilité  que  la  fonction  (m)  sera  comprise  dans  les 
limites 

est  égale 

___    ky 

a        r         hdr  â\kk'—h"i 

l'intégrale  étant  prise  depuis  r  nut 

^  est  l'abscisse  de  l'ordonnée  qui  passe  par  le  centre  de  gra- 
vité de  l'aire  de  la  courbe  des  probabilités  des  erreiurs  de  chaque 
observation}  le  produit  de  cette  abscisse  par  >$./'^,  est  donc  le 
résultat  moyen  vers  lequel  la  fonction  (m)  converge  sans  cesse.  SI 
l'on  suppose  1=9=9*''=  etc.j  lalÎMiction  (m)  devient  la  somme  des 
erreurs,  et  alors  5./''  devient  s;  en  divisant  donc  par  s  la  somme 
des  erreurs ,  pour  avoir  l'erreur  moyenne  ;  cette  erreur  converge 
sans  cesse  vers  l'abscisse  du  centre  de  gravité,  de  manière  qu'en 


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DES  PROBABItmêS.  553 

pretiant  de  part  et  d'autre  un  uiterralle  quelcoAque  aussi  petit  que 
ToD.  voudra,  la  probabilité  que  Terreur  moyeime  tombera  dans 
cet  intervalle ,  finira ,  en  multipliant  indéfiniment  les  observations , 
par  ne  dlffêrer  de  ia  certitude,  que  d'une  quantité  moindre  que 
toute  grandeur  donnée. 

a5.  Nous  venons  de  rechercher  le  résultat  moyen  que  des  obsep 
rations  nombreuses  et  non  liutes  aicore ,  doivent  indiquer  avec 
le  plus  d'avantage ,  et  la  loi  de  probabilité  des  erreurs  de  ce  ré- 
sultat Considérons  présentement  le  résultat  moyen  des  observations 
déjà  Ëtites  ,  et  dont  on  comijùt  les  écarts  respectif.  Pour  cela ,  con- 
cevons un  nombre  s  d'observations  du  même  genre ,  c'est-à-dire , 
telles  que  la  loi  des  erreurs  soit  la  même  pour  toutes.  Nommons  A 
le  résidtat  de  la  première;  A  +  q,  celui  de  la  seconde;  J-i-q'-'^ 
celui  de  la  troisième,  et  ainsi  de  suite;  7,  q^'\  (f-%  etc.  étant  des 
quantités  positives  et  croissantes ,  ce  que  l'on  peut  toujours  obte- 
nir par  une  disposition  convenable  des  observations.  Dessous 
encore  par  9  (z) ,  la  probabilité  de  l'erreur  z  pour  chaque  obser- 
vation, et  supposons  que  J-\-x  soit  le  vrai  résultat.  L'erreur  dé 
la  première  observation  est  alors  —  x  ;  q  —  x ,  ^'' —  x ,  etc.  sont 
les  erreurs  de  la  seconde ,  de  la  troisième,  etc.  La  probabilité  de 
l'existence  simultanée  de  toutes  ces  erreurs,  est  le  produit  de  leurs 
probabilités  respectives  ;  elle  est  donc 

<p{ — «).?(?— "«).<p  (9^''— a:). etc. 

Maintenant,  x  étant  susceptible  d'une  infinité  de  valeurs;  en  les 
considérant  comme  autant  de  causes  de  l'événement  observé  la 
probabilité  de  chacune  d'elles  sera ,  par  le  n"  1 , 

/(tc.f  (— xj.f  (ç— ^e).ç  (çt'J— a;).etc.  ' 

l'intégrale  du  dénominateur  étant  prise  pour  toutes  les  valein-s  dont 
X  est  susceptible.  Nommons  ~  ce  dénominateur.  Cela  posé  ima- 
ginons une  courbe  dont  x  soit  l'abscisse ,  et  dont  l'ordonnée  y 
aoit 

/f .  <p  (— ») .  ç  (y— *) .  ^  C9':o_a:) .  etc.  j 


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354  THÉORIE  ANALYTIQUE 

cette  courbe  so'a  celle  des  probabilités  des  râleurs  ie  x.  La  râleur 
qu'il  faut  ctiaisir  pour  résultat  moyen»  est  celle  qui  rend^erreur 
iBoyaiDe  à  craindre,  ula  mmwMtm-  Toute  erreur,  soît  poMdve, 
soit  négative,  djerant  être  considérée  comme  tm  désaTantage, 
ou  une  perte  réelle  au  jeu;  on  a  le  désaTantage  mcjen,  ea 
prenant  la  somme  des  produits  de  cHaque  désavantage ,  par  sa 
j[»robalMlité;  la  valemr  moyenne  de  l'erreur  à  craindre,  est  donc 
la  somme  des  produits  de  diaqoe  erreur,  abstracticm  Ëtîte  dtt 
signe ,  par  sa  probabHité.  Détermintms  FabsGÏsae  qu'il  feut  cIhàuf 
pour  que  cette  somme  soit  un  minimum.  Four  cekt,  donnons  aux 
abscissee ,  pour  origine ,  la  première  extrémité  de  la  courbe  ipré- 
cédente,  et  noBomons;!/ étales  coord<mnées  delà  courbe,  à  partir 
de  cette  origine.  Soil  l  la  valeur  qu'il  feut  cboisir.  11  est  clair  que 
si  le  vrai  réankat  était  a/,  Perreur  du  résultat  t  serait ,  abstraction 
feite  du  s^n«,  t — x'^  tant  que  jt'  serait  moindre  que  /;  or  y  est 
la  probabiBté  que  x'  est' te  résidtat  vrai  ;  ta  somme  des  erreurs  à 
craindre,  abstraction  fiiite  do  signe,. multipliées  par  leur  probabi- 
lité, est  donc  pour  toutes  les  valeurs  de  jt',  moindres  que  /, 
f{l  —  jt').  y  die',  l'intégrale  étant  {srise  depuû  x'=io  jusqu'à 
V  =  /.  On  verra  de  la  mâne  manière  ,  que  pour  les  vakurs  de  x' 
supérieures  à  /,  la  s<Mmne  des  erreiov  à  craindre ,  multipliées  par 
leur  probabilité ,  est  /(jc' — t)  .y'éa^,  Intégrale  étant  prise  depuis 
s^=s=l  jusqu'à  l'abscisse  x'  correspondante  à  la  dernière  exÈrémité 
de  la  courbe  ;  la  somme  entière  des  erreurs  à  craindre ,  abstrac- 
tion feite  du  signe ,  et  multipliées  par  leurs  probabilités  respec- 
tives, est  donc 

/(/-x')  .yd^  4-/(  ^-^  i),^^^- 

La  différentielle  de  cette  fonction,  prise  par  rapport  à  /,  est 

dl.ffdx'—dl.£/d3l  % 

car  on  a  la  difKrenlieUc  de  /(  /  —  je')  .y<tc',  en  difiEérentiant  d'abord 
la  valeur  de  l  sous  le  signe  /,  et  en  ajoutant  à  cette  différentielle , 
raccroissement  qui  résulte  de  la  variation  de  la  limite  de  l'inté- 
grale, limite  qui  se  change  en  /+  dl.  Cet  accrussement  est  égal  à 
l'élément  {l — x'^.y'dx'^  à  la  limite  où  x'=i;  il  est  donc  nul, 
et  dl-fy'dx'  est  la  diffërenlieUe  de  l'intégrale /(/—*') .y d»'.  On 


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DES  PROBABUrrÉS.  535 

verra  de  la  même  manière,  que  — di.fydx'  est  la  difië^ntièUe 
de  l'intégrale  /(x*— /).yd;a7'.  La  somme  de  ces  diffirenticUes 
est  nulle  relativement  à  l'abscisse  / ,  pour  laquelle  l'erreur 
moyenne  à  craindre  est  on  minimum f  on  a  donc,  relativement  à 
cette  Ed>9cÎ38e, 

fydx'=fydjc\ 

la  première  intégrale  étant  prise  depuis  y=o  jusqu'à  x'  =  /,  et 
la  seconde  étant  prise  depuis  y;=i  jusqu'à  la  Videur  extrême  dex'. 

Il  suit  de  là  que  l'abscisse  qui  rend  l'erreur  moyenne  à  craindre , 
un  minimum ,  est  celle  donft  Pordoonée  divise  l'aire  de  la  courbe  en 
deux  parties  égales.  Ce  point  jouit  encore  delà  propriété  d'être  celui 
en  deçà  duquel  il  est  aussi  probable  que  le  vrai  résultât  tombe , 
qu'au-delà  ;  et  par  cette  raison,  il  peut  encore  être  nommé  milieu 
de  probabilité.  Des  géomètres  célèbres  ont  pris  pour  le  milieu  qu'il 
Ëtut  choisir ,  celui  qui  rend  le  résultat  observé ,  le  plus  probable , 
et  par  conséquent  l'abscisse  qui  répond  à  la  plus  grande  ordonnée 
de  la  courbe  ;  mais  le  milieu  que  nous  adoptons ,  est  évidemment 
indiqué  par  la  théorie  des  probabilités. 

Si  Ton  met  f  (x)  sous  la  forme  d'exponentielle,  et  qu'on  le  dé»gne 

par  c  *  ,  afin  qu'il  puisse  «gdement  convenir  aux  erreurs  po- 
sitives et  n^atives  ;  on  aura 

Si  l'on  ïàit  x=a-f-*»  et  que  l'on  développe  l'exposant  de  c  par 
rapport  aux  puissances  de  z ,  ^  [N'endra  cette  forme , 

„_„    — Jf— aTVs— P»»— 0^3— etc. 

expression  dans  laquelle  on  a 

M^  4  (a')  +  4  C«^'-f-  4  («— /■*}'-!-  etc. , 

JV=a.4V)  +  (a— y).4'Ca— ?)'+  {«— 9*'')-4'(a— ï^'')'+etc. , 

P  —  4'(a')  +  4' («—?)'+  4'  (a— ?")•+  etc.  +  Jia'.  4  (a') 

+  3(a— y)'.4"(a— 9}'  +  a(a— 9*'^)'.4"(a— V')'+etc., 

etc., 


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536  THÉORIE  ÀNALYTIOUE 

4'(')  étant  le  coefficient  de  dt  dans  la  diffîrentîene  de  4  (')» 
•<j."(/)  étant  le  coeSlcient  de  <A  dans  la  di£fêrentielle  de4'(0)  etainsi 
de  suite. 

iSupposons  le  nombre  5  des  observations,  très-grand,  et  détermi- 
nons a  par  l'équatiou  N=o  que  donne  la  condition  du  maximum 
de  ^  ;  alors  on  a 

— j!f— i»»'— Qb>— «te. 

'M,  P,  Q ,  etc.  sont  de  Tordre  «  :  or ,  si  e  est  très-petit  de  Tordre  -^ , 
Qe.'  devient  de  Tordre  -^,  et  Teiponentielle  c~^  ^'  peut  se 
réduire  à  Tunité;  Ainsi  dans  Tinterralle  depuis  r  =3  o  jusqu'à 
jBs=  -— ,  on  peut  supposer 

y^H.c 


'Au-delà,  et  lorsque  z  est  de  Tordre  s    ",»i  étant  plus  petit  que 

Tunité ,  Pz'  devient  de  Tordre  s        j  par  conséquent  c"      devient 

ainsi  que^,  insensible;  ensorte  que  l'on  peut,  dans  toute  l'étendue 

de  la  courbe ,  supposer 

— jtf— p*' 
y^H.c 

Xa  valeur  de  o  donnée  par  l'équation  ^=0,  ou 

0  =  0. 4'(o')  +  {a—q) .  4'(a— ?)'+  f<i-V*)  ■+'(«— î^'*)'+etC-  » 

est  alors  Tabscisse  x  correspondante  à  Tordonnée  qui  divise  Taire 
de  la  courbe  en  parties  égales.  La  condition  que  Taire  entière  de  la 
courbe  doit  représenter  la  certitude  ou  Tunité ,  donne 

I       .,     —M—Pi.^ 

â^fdz.c 

Tintégrale  étant  prise  depuis  z=  —  00  jusqu'à  z  =  <»,  ce  «^ 
doQLue  _ 

^ — VF' 

L'erreur 


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DES  PROBABILITÉS.  53? 

L'erreur  moyenne  à  craindre  en  plus  ou  en  moins ,  en  prenant  a 
pour  résultat  moyen  des  obserrations  ,  est  làzfzydz,  Tintégrale 
étant  prise  depuis  z  nul  jxisqu'à  z  infini,  ce  qui  donne  pour  cette 
erreur 

Mais  rignorance  entière  où  Ton  est  de  la  loi  c  ^^^  des  erreur» 
de  chaque  observation ,  ne  permet  pas  de  former  l'équation 

o  =a.4'(o')  +(a— 9)-4'C<'"^)'+  ^^• 
Ainsi  la  connaiseance  des  valeurs  de  q,  <f%  etc.,  ne  donnant  à  poa^ 
teriori ,  aucune  lumière  sur  le  résultat  moyen  a  des  observations  ; 
il  Êtut  s'en  tenir  au -résultat  le  plus  avantageux  déterminé  d  priori  y 
et  que  Ton  a  vu  être  celui  que  fournit  la  méthode  des  moindres 
carrés  des  erreurs. 

Cherchons  la  fonction  4(^)  <I^  donne  constamment  la  rè^e 
des  milieux  arithmétiques ,  admise  par  les  observateurs.  Four  cela , 
concevons  que  sur  les  s  observations,  les  i  premières  coïncident, 
ainsi  que  les  s — i  dernières.  L'équation  AT  =;  o  devient  alor» 

o  =  ( .  a .  4'(fl-)  +  («— i) .  (a— 9) .  4,'(a— 9)', 
La  règle  des  milieux  arithmétiques  donne 

réquation  précédente  devient  ainsi 

+'C(^)>>4'$.^> 

Cette  équation  devant  avoir  lieu  quels  que  soient  -  et  7,  il  est  aè-^ 
eessaire  que  4'  (')  soit  indépendant  de  tj  ce  <]ui  donne 

Jt  étant  one  constante.  En  intégrant,  on  a 


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558  THÉORIE  ANALYTIQUE 

î,  étant  une  constante  arbitraire  ;  putant, 

Telle  est  donc  la  fonction  qui  peut  seule ,  donner  généralement  la  règle 
des  milienx  arithmétiques.  La  constante  L  doit  être  déterminée  d& 

manière  que  l'intégrale  fdx.c  ,  prise  depuis  jces-^co  jusqu'à 

^r  =  00 ,  soit  égale  à  l'unité  ;  car  il  est  certain  que  l'erreur  x  d'Une 
obserratiou  doit  tomber  dans  ces  limites  ;  on  a  donc 

par  conséquent  la  probabilité  de  l'erreur  x  est  U-.c 

■  A  la  Terité ,  cette  expresùon  donné  l'infini-  pour  la  limite  des 
erreurs,  ce  qui  n'est  pas  admissible  j  mais ,  vu  la  rapidité  avec  laquelle 
ea  gem-e  d'esponentiell«s  diminue  à  mesure  que  x  augmente-,  on 
peut  prendre  i  assez  grand ,  pour  qu'aunietà  de  ta  limite  admissible 
des  erreurs,  leurs  probabilités  s(ùent  insensibles,  et  puissent  étire 
supposées  nulles. 

La  loi  précédente  des  erreurs  donne  pour  l'expression  générale 
(i)  de  Y, 


-s/§- 


en  déterminant  H  de  manière  que  l'intégrale  entière  fydx  soit 
l'unité,  et  iàisant  ^ 

L'ordonnée  qui  divise  l'aire  de  la  courbe  en  deux  parties  égales,  est 
v^t  qui  répond  à  u  S3  o,  et  par  consoquentà 


c'est  donc  la  valeur  de  x  qu'il  fout  choisir  pour  résultat  moyen  des 
observations  ;  or ,  cette  valeur  est  celle  que  donne  la  règle  déh 
nùlieus  arithmétiques;  la  loi  précédente  des  erreurs  de  chaque 


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BES  probabilités.  359* 

observation ,  donne  donc  constamment  les  tnémes  résultats  que, 
cette  règle ,  et  l'on  a  vu  qu'elle  est  la  seule  loi  qui  iouisse  de  cette 
proprie'té. 

En  adoptant  cette  loi,  la  probaLilrté  de  l'erreur  é^  de  Tobserva- 
tion(iH-i)^',est 


or  on  a  TU  dans  le  n*  ao,  que  z  étant  la  correction  d'un  élément  / 
cette  obsetration  fournit  Féquation  de  condition 

La  probatilité  de  la  valeur  de />*''.«—  *®,  est  donc 

la  probabilité  de  l'existence  simultanée  deâ  £  Valeurs  p.g^-tt  ^ 
p^'^.z— «ï'V  ..jï^~''.z  — *^~'*,sera  donc 


(VIT 


■S-S-Cpt")»-^»)' 


Cette  probabilité  varie  avec  x  ;  on  aura  donc  la  probabilité  d'une 
valeur  quelconque  de  z,  en  multipliant  cette  quantité  par  dz ,  et 
divisant  le  produit  par  l'intégrale  de  ce  produit ,  prise  depuis 
c  =  —  00  jusqu'à  z  =  oc.  Soit 

«ette  probabilité  devient 

ensorte  que  si  l'on  décrit  une  courbe  dont  le  coefficient  de  du  soit 
l'ordonnée,  et  dont  u  soit  l'abscisse;  cette  courbe  étendue  depuis 
u  =  _  00  jusqu'à  u  =s  00  ^  peut  être  considérée  conoBS  la  courbe 
des  probabilités  (k»  erreurs  »,  dont  le  résultat 


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B4o  THÉOHtE  ANALYTIQUE 

est  sascéptible.  L'ordonnée  qtû  divise  Taire  de  la  couri>e  en  detuc 

parties  égales  ,  est  ceUe  qui  répond  à  u  =  o ,  et  par  conséquent  à 

X  égal  à  ■  ^  ^-  j  ce  résultat  est  donc  celui  qu'il  feut  choisir  ;  or , 

il  est  le  même  que  celui  que  donne  la  méthode  des  moindres  carrés 
des  erreurs  des  observations;  la.  loi  précédente  des  erreurs  de 
chaque  observation ,  conduit  donc  aux  mêmes  résultats  que  cette 
.  méthode. 

La  méthode  des  moindres  carrés  des  erreurs  devient  nécessaire, 
lorsqu'il  s'agit  de  prendre  un  milieu  entre  plusieurs  résultats  doonés, 
chacun,  par  l'ensemble  d'un  grand  nombre  d'observations  de  divers 
genres.  Supposons  qu'un  même  élément  soit  donné,  i*.  par  le  ré- 
siiltât  moyen  de  s  observations  d'un  prenlier  genre ,  et  qu'il  8<ût 
par  ces  observations ,  égal  à  A,  a',  par  le  résultat  moyen  de  ^ 
observations  d'un  secgnd  genre ,  et  qu'il  soit  égal  à  ^H-  y;  5".  par 
le  résultat  moyen  de  *"  observations  d'un  troisième  genre,  et  qu'il 
soit  égal  à  ^+  ?'>  et  ainsi  du  reste.  Si  l'on  représente  par  ^+«, 
l'élément  vrai^  l'erreur  du  résultat  des  observations  s  sera  — r; 
en  supposant  donc  C  égal  à 


/, 


si  l'on  Ëiit  usage  de  la  méthode  des  moindres  carrés  des  erreurs, 
pour  détenniner  le  résultat  moyen;  o&  à 

si  l!on  &it  usage  de  la  méthode  ordinaire;  la  probabilité  de  cett« 
erreur  sera,  par  le  n"  ao , 

L'erreur  du  résultat  des  observations  s'  sera  y — a: ,  et  en  désignant 
par  €'  pour  ces  observations ,  ce  que  nous  avons  nommé  €  pour 
}es  observations  ij]a  probabilité  de  cette  erreur  sera 


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SES  PROBABILITÉS.  «Mi 

iParaficment  l'errtfnr  du  résultat  des  obaerratioDS  *"  sera  7'—*  ; 
et  en  nommaDt  poor  elles ,  €",  ce  que  nous  arons  nommé  €  pour 
les  obserrations  s;  la  probabilité  de  cette  erreur  sera  . 

et  ainsi  de  suite.  Le  produit  de  tontes  ces  probabilités  sera  k 
probabilité  que  — x,  9— x,  g'--x,  etc.  seront  les  erreurs  des 
résultats  moyens  des  observations  a ,  ^,  «",  etc.  £n  le  multipliant 
partir,  et  prenant  l'intégrale  depuis  x=— 00  jusqu'à  xc=:oo,  on 
aura  la  probabilité  que  lés  résultats  moyens  des  observations 
s'y  s",  etc. ,  surpasseront  respectivement  de  q,  q't  etc. ,  le  résultat 
moyen  des  observations  s. 

Si  l'on  prend  Tintégrale  dans  des  limites  déterminées ,  on  aura 
la  probaMlité  que  la  condition  précédente  étant  remplie,  t'eireur 
du  premier  résultat  sera  comprise  dans  ces  limites  ;  en  divisant 
cette  probabilité  par  celle  de  la  condition  elle-même ,  on  aura  la 
probabilité,  que  l'crreiu'  du  premier  résultat  sera  comprise  dans  de& 
limites  données ,  lorsqu'on  est  certain  que  la  condition  a  e£fectiver 
ment  lieu  ;  cette  probabilité  est  donc 

l'intégrale  du  numérateur  étant  prise  dans  les  Hmites  données,  et 
celle  du  dénominateur  étant  prise  depnis  x  ^-^  co  jusqu'à  xssoo. 
On  a 

Cx^+C'-C*— 9)"+€"'.(«— î'}'4-  etc. 
s=CÊ'+^"-fff"H-etc.).»'— 3x.(C"y+CV+elc.) 

Soit 

la  pr(d»abilité  précédente  deviendra 

/rff.c-<f'-'^'+^'+*'°0-''  . 


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54a'  THÉORIE  ANALtTlOlJE 

rintégrale  dn  numérateur  ëtant  prise  dans  des  limites  domiées ,  et 
celle  du  dénominateur  étant  prise  depuis  <=:^oo  judqu'a  t^oc^ 
Cette  dernière  intégrale  est 

_t^ :. 

£n  disant  donc 

t'  =  «  Vé''+ér"+é"*+etc.  ; 
la  probabilité  précédente  devient 

La  valeur  de  f'  la  plus  probable ,  est  celle  qui  répond  à  /  nul  ; 
d'où  il  suit  que  la  valexu:  de  x  la  plus  probable ,  est  celle  qui  répond 
à  (=!0,  ainsi  la  correction  du  premier  résultat,  que  l'ensemble 
de  toutes  les  observations  s,  s',  s",  etc.  donne  avec  le  plus  de  pro- 
babilité, est 

fr+.C»^C^  etc.* 

Cette  correction  ajoutée  au  résultat  ^ ,  donne  pour  le  résultat  qulT 
Ëiut  choisir, 

^■^■K^+g).c"+U4•'n^g'M-rtc. 

La  correction  précédente  est  celle  qui  rend  un  minimum  ,  la 

fonction 

Or  la  phis  grande  ordonnée  de  la  courbe  des  probabilités  du  pre- 
mier résultat  est ,  comme  on  vient  de  le  voir ,  —7=-  ;  celle  de  la 

courbe  des  probabilités  du  second  résultat,  est  — r=-,  et  ainsi  de 

suite  ;  le  milieu  qu'il  feut  chcHSir  entre  les  divers  résultats  , 
est  donc  celui  qui  rend  un  minimum ,  la  sonune  des  carrés  de 
Terreur  de  chaque  résultat,  multipliée  parla  plus  grande  ordonnée 
de  sa  courbe  de  probabilité.  Ainsi  la  loi  du  minimum  des  carrés 


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t^S  PROBABUTTÉS.  5^ 

desetretirs^  derient  nécessaire ,  lorsque  Toa  doit  proiidre  un  milieu 
entre  des  résultats  donnés ,  chacun ,  par  un  grand  nombre  d'ob- 
servations. 

34.  On  a  m  préeédenûseid ,  que  de  toutes  les  manières  de  comr 
biner  les  équatioas  de  conditioD,  pour  en  former  des  équations 
finales  Unéaires ,  nécessiàres  à  la  détermination  des  élémensj  la  {dus 
avantageuse  est  celle  qui  résoUe  de  la  méthode  des  moindres  carrés 
des  errenrs  des  obs^ratioBS  ^  du  moins  lorsque  les  observatii»» 
sont  en  grand  noioère.  Si  au  heu  de  considérer  le  minimum-  des 
carrés  des  erreurs  »  on  conaidérftic  le  minimum  d'autres  puissances 
des  erreurs ,  ou.  même  de  toute  autre  fonction  des  erreurs  ;  les 
équations  finales  cesseraient  d'être  linéaires  y  et  hvx  résolution  de- 
viendrait impraticable ,  si  les  obserrations  étaient  en  grand  nombre 
Cependant  il  est  un  cas  qui  mérite  iHie  attention  particulière^  ea.  ce 
qu'il  donne  le  système  daos  lequel  la  plus  grande  erreur,  abstrac- 
tion Ëute  du  signe ,  est  moindre  que  dans  tout  autre  système.  Ce 
cas  est  celui  dû  nUnimtmt  des  puissance»  infinies  et  paivea  des 
erreurs.  Ne  considérons  ici  que  la  correction  d'un  seul  élément  j 
et  z  exprimant  cette  correction,  représentons,  comme  précédem- 
ment, les  équations  de  condition,  par  la  suivante , 

i  pouvant  varier  depuis  z.éro  jusqu'à  &  —  \fS  étant  le  nombre  des 
observations.  La  somme  des  puissances  an  des  erreurs ,  sera 
S,{ay>—p^'^.z)"y  le  signe  ^s'étendant  à  toutes  les  valeurs  de  i.  Ou 
peut  supposer,  dans  cette  Somme ,  toutes  les  valeurs  de  p^'^  po- 
sitives ;  car  si  l'une  d'elles  était  négative ,  elle  deviendrait  positive 
en  changeant ,  comme  on  peut  le  fkire ,  les  signes  des  deux  termes 
du  binôme  élevé  à  la  puissance  an ,  auquel  elle  correspond.  Nous 
supposerons  donc  les  quantité&a-— j?.z,  a^'^— *^'^z,  a^'^— t/j^'^z,  etc., 
disposées  de  manière  que  les  qifântités  p,  />'■',  p^''\  etc.  soient  po^ 
sitivea  et  croissantes.  Cela  posé,  si  an  est  infini,  il  est  clair  que 
le  plus  grand  terme  de  la  sonune  5.(ciW— p^'^.e)",  sera  la  somme 
sidère ,  à  moins  qi^iL  n'y  ait  un  ou  pUuiieurs  autres  termes  qù 
-lui  soient  égaux,,  et  c'e&t.ce  cpii.  doit  avoir,  lieu  dao^Ife  *^A^ 


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544  THÉORIE  ANALYTIQUE 

■  minimum  de  la  somme.  En  aflfet ,  s'il  n'y  avait  qu*ime  sente  dnazi- 
tité  la  plus  grande  y  abstraction  Ëtite  du  signe ,  telle  que  a® — ^ .  z  ; 
on  pourrait  la  diminuer  en  Ëtisant  varier  z  convenablement,  et  alors 
la  somme  S.  {a<'>—fp>.z)*'  diminuerait  et  ne  serait  pas  un  minimum. 
U  jàut  de  plus  que  si  *w — ^o.^  eta^'^ — f^-*  *ont,  obstractioB? 
Ëiite  du  signe ,  les  deux  quantités  les  plus  grandes  et  égales  entre 
elles,  elles  soient  de  signe  contraire.  En  effet,  la  somme  (af-'*-~j/^^.z)" 
4-  (at*^ — ffi^.z)"  devant  être  alors  un  minimum  ,  sa  diffîreutleUe 
^anA:.(>(o.(a«_p(0.jjM-.4.y:o.(4tiT_pCO.e)«'-']  doit  être  nulle, 
ce  qui  ne  peut  être  lorsque  n  est  infini,  que  dans  le  cas  où  aff^-^'^.s 
et  aff^ — jj^'^.s  sont  infiniment  peu  différons,  et  de  signe  contraire. 
S'il  y  a  trois  quantités  les  plus  grandes ,  et  égales  entre  elles 
abstraction  faite  du  signe  ;  on  verra  de  la  même  mamère  que  leurs 
Aiguës  ne  peuvent  être  les  mêmes. 
Maintenant,  considérons  la  suite 

«c.->_^-o  j ,  «('—'— p('-«^ ,     afi-'i—jfi-'U, . . .  a— p j ,        (o) 
—x^p.z, ....  «--«o-w+p^»  ï,  — «c-.)4.p&-.î;,,  __«&-.)+pC-o.,. 

Si  Ton  suppose  z=x — '  w,  le  premier  terme  de  la  suite  surpasse 
les  suivans ,  et  contioue  de  les  surpasser  en  faisant  croître  z ,  jus- 
qu'au moment  où  il  devient  égal  à  l'un  d'eux.  Alors  celui-ci,  par 
l'accroissement  de  z ,  devient  le  plus  grand  de  tous  ;  et  à  mesure 
que  l'on  Eut  cxottre  z ,  il  continue  toujours  de  surpasser  ceux  qui 
le  précèdent  Pocor  déterminer  ce  terme ,  on  formera  la  suite  des 
quotiens 

Supposons  que  ^^,^_  ,^  soit  le  plus  petit  de  ces  quotiens  en  avant 

^ard  au  ^ne,  c'est-à-dire  en  regardant  une  quantité  négative  plus 
grande,  comme  plus  petite  qu'une  autre  quantité  négative  moindre. 
8'il  7  a  plusieurs  quotiens  les  plus  petits  et  égaux,  nous  conaidé- 
renHis  celui  qui  se  rapporte  au  terme  le  plus  éloigné  du  premier 
4ans  la  suite  (o);  ce  terme  sera  le  plus  grand  de  tous,  jusqu'au 
fnoment  où,  par  L'aqcroiâsemeat  de  z,  il  devient  égal  à  l'mi  des 

fiUivans  j 


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CES  PROBABILITÉS.  345 

suivans  >  qui  commence  alors  à  être  le  plus  grand.  Pour  déterminer 
ce  uouyeau  terme ,  on  formera  la  nourelle  suite  de  quotiens 

fe  terme  de  la  suite  (o) ,  auquel  répond  le  plus  petit  de  ces  quotiens , 
sera  le  nouveau  terme.  On  continuera  ainsi  jusqu'à  ce  que  l'un  des 
deux  termes  qui  deviennent  égaux  et  les  plus  grands,  soit  dans  la 
première  moitié  de  la  suite  (o) ,  et  l'autre  dans  la  seconde  moitié. 
Soient  a<?*—p«.z  et  — a<^H-jj^.«  ces  deux  termes;  alors  la  valeur 
dé  £  qui  correspond  au  système  du  minimian  de  la  plus  grande  des 
erreurs,  abatractîoii  ^te  du  signe ,  est 

««+  aCf  > 

â*il  7  a  plusieurs  élémens  à  corriger,  les  équations  de  condttton 
qui  déterminent  leurs  corrections ,  renferment  plusieurs  mconnues , 
et  la  recherche  du  système  de  correction ,  dans  lequel  la  plus  grande 
erreiu*  est ,  abstractiou  &ite  du  signe,  plus  petite  que  dans  tout 
autre  système ,  devient  plus  compliquée.  Ftd  considéré  ce  cas 
d'une  manière  générale  ,  dans  le  troisième  Livre  de  la  Mécanique 
Céleste.  J'observerai  seulementici,  qu'alors  ta  somme  des  puissances 
andes  erreurs  des  observations  est»  comme  dans  le  cas  d'uno 
seule  inconnue,  un  mi>zûnz«m , lorsque  an  est  infini;  d'où  il  est 
Ëicile  de  conclure  que  dans  le  système  dont  U  s'ï^t,  il  doit  y 
avoir  autant  d'erreurs  plus  une,  égales,  et  les  plus  grandes  abs- 
traction faite  du  signe ,  qu'il  y  a  d'élémens  à  corriger.  On  conçoit 
que  les  résultats  correspondans  à  sn  égal  à  un  grand  nombre  » 
doivent  peu  di£fêrer  de  ceux  que  donne  an  infini.  Il  n'est  pas  même 
nécessaire  pour  cela  ,  que  la  piùssance  an  soit  fort  élevée  ,  et  j'ai 
reconnu  par  beaucoup  d'exemples,  que  dans  le  cas  même  où  cette 
puissance  ne  surpasse  pas  le  carré ,  les  résultats  difiE&rent  peu  de 
ceux  que  donne  le  système  du  nûnimum  des  plus  grandes  erreurs  ; 
ce  qui  est  un  nouvel  avantage  de  la  méthode  des  moindres  cairrés 
des  erreurs  des  observations. 

Depuis  tongtems ,  les  géomètres  prennent  un  milieu  arithmétique 
«Are  leurs  observations  i  et  pour  déterminer  les  élémens  qu'ils 

44 

Digilized 


byCoogk 


546  THÉORIE  ANAtYTIQUE 

veulent  connaître,  ils  choisissent  les  circonstances  les  plus  favorables 
pourcrt  objet, savoir,  celles  dans  lesquelles  les  erreurs  des  observa- 
tions îdtèrent  le  moins  qu'il  estpossible,  la  yaleurde  ces  élémens.Mais 
Côtes  est,  si  je  ne  me  trompe ,  le  premier  qui  ait  donné  une  régie 
générale  pour  faire  concourir  à  la  détermination  d'un  élément, 
plusieurs  observations ,'  proportiOnilellement  à  leur  in&uence.  En 
considéi-ant  chaque  observation  comme  une  fonction  de  l'élément, 
et  regardant  l'erreur  de  l'observation  Comme  une  diSerentielle  infi- 
niment petite  ;  elle  sera  égale  à  la  ^fférentielle  de  la  fonction ,  prise 
par  rapport  à  cet  élément.  Plus  le  coefficient  de  la  diSerentielle 
.de  l'élément  sera  considérable,  moio^il  faudra  feire  varier  l'élé- 
ment ,  pour  que  le  produit  de  sa  variation ,  par  ce  coefficient ,  soit 
égal  à  l'erreur  de  l'observation;  ce  coefficient  exprimera  donc 
rinfluence  de  l'observation  sur  la  valeur  de  l'élément.  Cela  posé  , 
Côtes  représente  toutes  les  valeurs  de  réiément,  données  par  chaque 
obserradon,par  les  parties  d'une  droite  indéfinie,  toutes  ces  parties 
ayant  une  commune  origine.  Il  conçoit  ensuite ,  à  leurs  autres 
extrémités ,  des  poids  proportionnels  aux  influences  respectives 
des  observations.  La  distance  dej!acigifie  conununedes  parties, 
bu  centre  conmnnrde^  gravité  de  tous  ces  poids ,  est  la  râleur  qu'it 
choisit  pour  l'élément. 
Reprenons  l'équation  dû  condition  du  n*  20 , 

€«  =  ;>«.«  —  «« 

é^  étant  l'erreur  de  l'observation  (i-f-i)'™',  et  s  étant  la  correction 
de  l'élément  déjà  cMinu  à  fort  peu  près  j  p^'^  que  l'on  peut  tou- 
jours supposer  positif,  eiprimeta  l'influence  de  l'observi&tion  cor- 
respondante.^ étant  la  valeur  de  z  résultante  de  l'observation, 
la  règle  de  Côtes  revient  à  multiplier  cette  valeur  par  p%  à  faire 
une  somme  de  tous  les  produits  relatifs  aux  diverses  valeurs,  et  à 
la  diviser  par  la  somme  de  tous  \e%p%  ce  qui  donne 

J.a(0 

C'était  en  effet  la  correction  adoptée  par  les  obserrateurs ,  avant 

DigiUzedbyLjOOQlC 


-  DES  PaOBABILlTÉS.  U7 

Fusage  de  la  méthode  des  moindres  carrés  des  erreurs  des  ob- 
servations. 

Cependant  on  ne  voit  pas  que  depms  cet  esceflent  géomètre , 
on  ait  employé  sa  régie  ,  jusqu'à  Euler  qui  dans  sa  première 
pièce  de  Jupiter  et  Saturne ,  me  paraît  s'être  servi  le  premiw  , 
des  équations  de  condition ,  pour  détennîncr  les  élemens  du  mou- 
vement elliptique  de  ces  deux  planètes.  Presqu'en  même  tems, 
Tobie  Mayer  en  fit  usage  dans  ses  belles  recherches  sur  la  Ubra- 
tion  de  û  lune ,  et  ensuite  pour  former  ses  Tables  lunaires. 
Depuis ,  les  meilleurs  astronomes  ont  suivi  cette  méthode  ,  et  le 
succès  des  Tables  qu'ils  ont  construites  à  son  moyen ,  en  a  constaté 
l'avantage. 

Quand  on  n'a  qu'un  élément  à  détierminer,  cette  méthode  no 
laisse  aucun  embarras;  mais  lorsque  l'on  doit  corriger  à  la  fois 
plusieurs  élémens  ^  H  faut  avoir  autant  d'équations  finales  formées 
par  la  réumon  de  plusieurs  équations  de  condition ,  et  au  moyeu 
desquelles  on  détermine  par  l'élimination ,  les  corrections  des  élé- 
meos.  Mais  quelle  est  la  manière  la  pl|is  avantageuse  de  combiner 
les  équations  de  condition  ,  pour  former  les  équations  finales  ? 
Cest  ici  que  les  observateurs  s'abandomuik>ikt  k  des  tâtonnement 
arbitraires  qui  devaient  les  conduire  à  des  résultats  diffërens,. 
quoique  déduits  des  mêmes  observations.  Pour  éviter  ces  tâton- 
nemens,  M.  Legendre  eut  l'idée  simple  de  considérer  la  somme  des 
carrés  des  erreurs  des  observations,  et  de  la  rendre  un  minimum  ; 
ce  qui  fournit  directement  autant  d'équations  finales ,  qu'il  y  a  d'élé- 
mens  à  corriger.  Ce  savant  géomètre  est  le  premier  qiii  ait  publié  celte 
méthode  ;  mais  on  doit  à  M.  Gauss  la  justice  d'observer  qu'il  avait 
«u,  plusieurs  années  avant  cette  piditication,  la  même  idée  dont 
il  faisait  un  usage  habituel ,  et  qt^il  avait  communiquée  à  plusieurs 
astronomes.  M.  Gauss ,  dans  sa  Théorie  du  Mouvement  elliptique , 
a  cherché  à  rattacher  cette  méthode  à  la  Théorie  des  ft'obabi- 
lités,  en  faisant  voir  que  la  même  loi  .des  erreurs  des  observations, 
qui  dorme  généralement  la  règle  du  miUeu  arithmétique  entre  plu- 
«ieurs  observations ,  admise  par  les  observateurs ,  donne  pareil- 
lement la  règle  des  moindres  carrés  des  erreurs  des  observations  ; 
et  c'est  ce  qu'on  a  vu  daoa  le  n*  a3.  Mais  comme  rien  ne  prouve 


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348  THÉORIE  ANALYTIQUE 

que  la  preimére  de  ces  règles  donne  le  résultat  le  ptua  STantagenx^' 
la  même  incertitude  existe  par  rapport  à  la  seconde.  La  recherche 
de  la  manière  la  plus  avantageuse  de  former  les  équations  finales, 
est  sans  doute  une  des  plus  utiles  de  la  Théorie  des  Probabilités  : 
son  importance  dans  la  physique  et  l'astronomie ,  me  porta  à  m'en 
occuper.  Pour  cela ,  je  con»dérai  que  toutes  les  manières  de  com- 
Inner  les  équations  de  condition/  pour  en  former  une  équation 
finale  linéaire,  revenaient  à  les  multiplier  respectivement  par  des 
£icteurs  qui  étaient  nuls  relativement  aux  équations  que  l'on  n'em- 
ployait point ,  et  à  faire  une  somme  de  tous  ces  produits  ;  ce  qui 
donne  une  première  équation  finale.  Un  second  système  de  facteurs 
donne  une  seconde  équation  finale,  et  ainsi  de  suite,  jusqu'à  ce 
que  l'on  ait  autant  d'équations  finales,  que  d'élémens  à  corriger. 
Maintenant ,  il  est  visible  qu'il  faut  choisir  les  systèmes  de  Ëicteurs, 
de  sorte  que  l'erreur  moyenne,  à  craindre  en  plus  ou  en  moins 
sur  chaque  élément,  aoit  un  minimum  ;  l'erreur  moyenne  étant 
la  somme  des  produits  de  chaque  erreur  par  sa  probabilité.  Lors- 
que les  observations  sont  en  petit  nombre ,  le  choix  de  ces  systèmes 
dépend  de  la  loi  des  erreurs  de  chaque  observation.  Mais  si  l'on 
considère  un  grandjqoîûhiie-^»l^«'rTîttions ,  ce  qui  a  fieu  le  pFus 
souvent  -deinr^es' recherches  astronomiques j  ce  choix  devient 
indépendant  de  cette  loi;  et  l'on  a  vu  dans  c«  qui  précède,  que 
Tanalyse  conduit  alors  directement  aux  résultats  de  la  méthode  des 
moindres  carrés  des  erreurs  des  observations.  Aina  cette  méthode 
qui  n'oETrait  d'abord  que  l'avantage  de.  fournir ,  sans  tâtonnement  ^ 
les  équations  finales   nécessaires  à  la    correction  des  élémens, 
donne  en  même  tems  les  corrections  les  plus  précises ,  du  moins 
lorsqu'on  ne  veut  employer  que  des  équations  finales  qui  soient 
linéaires,  condition  indispensable ,  lorsque  l'on  considère  à  la  ibis 
UD  grand  nombre  d'observations;  autrement',  l'élimination  des 
iDconnues  et  leur  détermination  seraient  impraticables. 


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DES  PROBABILITÉS.  349 


CHAPITRE  V. 

application  du  Calcul  des  Probahiliiés,  à  la  recherche 
des  phénomè/ies  et  de  leurs  causes. 

nS.  Xjss  phénomènes  de  la  nature  se  présentent  le  plus  sourent 
accompagnés  de  tant  de  circonstances  étrangères;  an  si  grand 
nombre  de  causes  perturbatrices  y  mêlent  leur  influence ,  qu'il 
est  très-difficile,  lorsqu'ils  sont  très^petits^  de  les  reconnaître.  On 
ne  peut  alors  y  parvenir,  qu'en  multipliant  les  observations,  afin' 
que  les  effets  étrangers  venant  â  se  détruire ,  le  résultat  moyen  des 
observations  ne  laisse  plus  apercevoir  que  ces  phénomènes.  On 
conçoit  par  ce  qui  précède ,  que  cela  n'a  lieu  rigoureusement , 
que  dans  le  cas  d'un  nombre  iuCni  d'ohservatiotis.  Dans  tout  autre 
cas ,  les  phénomènes  ne  sont  indiqués  par  les  résultats  mu^eas ,  quo 
d'une  manière  probable ,  mais  qui  l'est  d'autant  plus ,  que  les  obser- 
vations sont  en  plus  grand  nombre.  La  recherche  de  cette  proba- 
bilité est  donc  très-importante  pour  la  physique,  l'astronomie,  et 
généralement  pour  toutes  les  sciences  naturelles.  On  va  voir  qu'elle 
rentre  dans  les  méthodes  que  nous  veuons  d'exposer.  Dans  le 
chapitre  précédent,  l'existence  du  phénomène  était  certaine  ;  soH 
étendue  seule  a  été  l'objet  du  Calcul  des  Probabilités  ;  ici  l'esistehce 
du  phénomène  et  son  étendue,  sont  l'objet  de  ce  calcul. 

Prenons  pour  exemple,  la  variation  diurne  du  baromètre , que 
l'on  observe  entre  le»  tropiques,  et  qui  devient  sensible  même 
dans  nos  climats ,  lorsque  l'on  choisît  et  que  l'on  multiplie  conve- 
nablement les  observations.  On  a  recMinu  qu'en  général,  vers 
neuf  heures  du  matin,  le  baromètre  est  plus  élevé  que  vers  quatre 
heures  du  soir;  ensuite  il  remonte  jusque  vers  onze  heures  du 
soir ,  et  il  redescend  jusque  vers  quatre  heures  du  matin ,  poitr 
revenir  à  son  maximum  de  hAUteuf^^  vers  neuf  heures.  Supposon» 


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i 


-  35o  THÉORIE  ANALYTIQUE 

que  l'on  ait  observé  la  hauteur  du  baromèU'e  vers  neuf  heures  du 
matin  et  vers  quatre  heures  du  soir,  pendant  le  nombre  ^  de  jeurs; 

.  et  pour  éviter  la  trop  grande  influence  des  causes  perturbatrices , 
choisissons  ces  jours  de  manière  que  dans  l'intervfdle  de  neuf  heures 
â  quatre  heures,  le  baromètre  n'ait  pas  varié  au-delà  de  quatre 
millimètres.  Supposons  ensuite  qu'en  Msant  la  sonune  des  a  hau- 
teurs du  matin  ,  et  la  somme  des  s  hauteurs  du  soir,  la  preniière 

,  dé  ces  sommes  surpasse  la  seconde  de  la  quantité  q  ;  cette  dif^ 
rence  indiquera  une  cause  constante  qui  tend  à  élever  le  baro- 
mètre vers  neuf  heures  du  matin ,  et  à  l'abaisser  vers  quatre  heures 
du  soû*.  Pour  déterminer  avec  quelle  probabilité  cette  cause  est 
indiquée ,  concevons  que  cette  cause  n'existe  point ,  et  que  lâ 
diflërence  observée  9,  résulte  des  causes  perturbatrices  acciden- 
telles ,  et  des  erreurs  des  observations.  La  probabilité  qu'alors  la 
.différence  observée  entre  les  somiues  dce  hauteurs'  du  malin 
et  du  soir,  doit  être  au-dessous  de  qy  est,  par  le  n'  18, 
égale  à 


rintégrale  étant  prise  depuis  r  =  — »  jusqu'à  r=  — ^ ,  x  et  ** 

étant  des  constantes  dépendantes  de  la  loi  de  probabilité  des  diâe- 
rencea  entre  les  hauteurs  du  matin  et  du  soir,  et  =ba  étant 
les  limites  de  ces  différences  y  a  étant  ici  égal  à  quatre  millimètres, 

pr  étant  au  moins  égal  à  six,  comme  on  l'a  vu  dans  le  n*  30 

■jj-i  ne  peut  pas  être  supposé  moindre  <pie  |;  en  faisant  donc  fE=4oo, 

et  supposant  rétendue  de  la  variation  diurne,  d'un  millimètre,  ce 
qui  est  à  peu  près  ce  que  M.  Ramond  a  trouvé  dans  nos  climats  ,* 
par  la  comparaison  d'un  très-grand  nombre  d'observations ,  on  aura' 

i;=;4oo»^.  Ainsi  rs=5,  etTjp-  est  au  moins  égal  à  37,6 1  en  fiii-- 
«Oflt  5onc 


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DES  PROBABILITÉS.  5bi 

la  probabîtilé  précédente  devient  au  moins 

l'intégrale  étant  prise  depuis  tz=i\/Z^  jusqu'à  ^=00.  Cette  inté- 
grale est  à  fort  peu  près,  par  le  n*  37  du  premier  Livre, 

et  elle  approche  tellement  de  l'onité  ou  de  là  certitude  ,  qu'il  est 
extrêmement  probable  que  s'il  n'existait  point  de  cause  constante 
de  l'excès  observé  de  hi  sonune  des  hauteurs  barométriques  du 
matin ,  sur  celles  des  hauteurs  du  soir ,  cet  excès  serait  plus  ptetit 
que  ^uo"';  il  indique,  donc  avec  une  extrême  vraisenàblance , 
l'existence  d'une  cause  constante  qui  l'a  produit 

Le  "phénomène  d'une  Variation  diurne  étant  ainsi  bien  constaté, 
déterminons  la  valeur  la  plus  probable  de  son  étendue ,  et  l'erreur 
<jue  l'on  peut  commettre  sur  son  évaluation.  Supposons  pour  cela, 
que  cette  valeur  soit  2  d=  .^  ;  la  probaJîlUié  <juû  l'étendue  de  la 

variation  diurne  du  matin  au  soir,  sera  comprise  dans  ces  Mmîtes , 
est,  par  le  n*  18, 

nmégrale  étant  prise  depuis  r^o. 

On  peut  éliminer  j ,  en  observant  que  par  le  n°  30 ,  cette  fi-ao- 

Hon  est  à  peu  près  égale  à  -~-  ;  =fc  e®  étant  la  différence .  de 

5  à  l'étendue  observée  le  (»+i)''"'joar,  et  le  signe  5 s'étendant  à 

toutes  les  valetirs de  i ,  depuis  isso  jusqu'à  i  =s  s—  1  ;  en fiiisant 
donc  

<tr=sst.' 


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55a  THÉORIE  ANALYTIQUE 

la  probabilité  qne  l'étendue  de  la  rariation  diurne  da  matin,  aa 

soir,  est  comprise  dans  les  limites  -ifc— ri.i/ — ^— ,  sera 

-^.fdt.e~^\  l'intégrale  étant  prise  depuis  /  nul. 
Y' 

La  variation  diurne  des  hauteurs  du  baromètre ,  dépend  unique- 
ment du  soleil  ;  mais  ces  hauteurs  sont  encore  affectées  par  les 
marées  aériennes  que  produit  l'attraction  du  soleil  et  de  ht  lune 
sur  notre  atmosphère ,  et  dont  j'ai  donné  la  théorie  dans  le  qua- 
trième Livre  de  la  Mécanique  Céleste.  H  est  donc  nécessaire  de 
considérer  à  la  fois  ces  deux  variations ,  et  de  déterminer  leurs 
grandeurs  et  leurs  époques  respectives ,  en  formant  des  équations 
de  condition  analogues  à  celles  dont  les  astronomes  font  usage  » 
pour  corriger  les  élémens  des  mouveœens  célestes.  Ces  variations 
étant  principalement  sensibles  à  l'équateur,  et  les  causes  perturba- 
trices j  étant  extrêmement  petites  ;  on  pourra,  au  moyen  d'exceH 
lens  baromètres ,  les  déterminer  avec  une  grande  précision;  et  je 
ne  doute  point  que  l'on  ne  reconnaisse  alors ,  dans  l'ensemble  d'un 
très-grand  nombre  d'observations ,  les  lois  qu'indique  la  théorie  de 
la  pesanteur  dansjesjnaiweff  atmosphériques,  et  qui  se  mani- 
festentd^ttmmlânière  si  frappante  dans  les  observations  des  marées 
de  FOcéan ,  que  j'ai  discutées  avec  étendue ,  dans  le  Litre  cdté  de 
la  Mécanique  Céleste, 

On  voit,  par  ce  qui  précède,  que  Ton  peut  reconnaître  l'effet 
très-petit  d'une  cause  constante ,  par  une  longue  suite  d'observa- 
tions dont  les  erreurs  peuvent  excéder  cet  efifet  lui-même.  Mais 
alors ,  il  feut  avoir  soin  de  varier  les  circonstances  de  chaque  ob- 
«ervation  ,  de  manière  que  le  résultat  moyen  de  leur  ensemble , 
n'en  soit  point  altéré  sensiblement,  et  soit  presqu'entièremenC 
feCfet  de  la  cause  dont  il  s'agit  :  il  faut  ensuite  multiplier  les  obser- 
vations, jusqu'à  ce  que  l'analyse  indique  une  très^rande  probabi- 
Uté  (pie  l'errexu-  de  ce  résultat  sera  comprise  dans  des  limites  très- 
rapprochées. 

Supposons ,  par  exemple,  que  l'on  veuille  reconnaître  par  Pobser- 
vation ,  la  petite  déviation  à  l'est,  produite  par  la  rotation  de  la  terre, 
dans  la  chute  des  corps.  J'ai  feit  voir  dans  le  dixième  Livre  de  la 
Mécanique  Céleste,  que  si  du  soounet  d'une  tour  fprt  élevée,  on 

abanâomie 


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DES  PROBABILITÉS.  :  555. 

ahaDdoimc  un  corps  à  sa  pesanteur;  il  retombera  aur  un  plan  < 
horizontal  passant  par  le  pied  de  la  tour,  à  une  petite  distancé  à 
Test  du  point  de  contact  de  ce  plan  arec  une  boule  suspendue  par 
uu-til  dont  le  point  de  suspension  est  celui  du  départ  du  corps.  J'ai 
donné  dans  le  livre  cité ,  l'expression  de  celte  déviation ,  et  il  en 
résulte  qu'en  Élisant  abstraction  de  la  résistance  de  l'air ,  elle  est 
uiùquement  vers  Testj  qu'elle  est  proportionnelle  au  cosinus  de  la 
latitude ,  et  à  la  racine  carrée  du  cube  de  la  hauteur,  et  qu'à  la  latitude 
du  point  de  départ ,  eOe  s'élève  à  5,i  millimétrés ,  lorsque  la  hau-  -  - 
teor  de  la  tour  est  de  5o  mètres.  la  résistance  de  l'air  change 
ce  dernier  résultat  :  )*en  ai  donné  pareillement  l'expression  dans 
ce  cas,  au  Livre  cité. 

On  a  déjà  iàit  un  grand  nombre  d'expériences  pour  con6rmer , 
pap-oe-moyen,Ie  mouvement  de  rotation  delà  terre,  quid'aiUeurft 
est  démontré  par  tant  d'autres  phénomènes ,  que  cette  confirmation 
devient  inutile.  Les  petites  erreurs  de  ces  expériences  très-délicates, 
ont  souvent  excédé  l'effet  que  l'on  voulait  déterminer;  et  ce  n'est 
qu'en  multipliant  coBsidérablement  les  expériences ,  que  l'on  peut 
ainsi  constater  son  existence  et  flxn-  oa  valeur.  Nous  allons  sou- 
mettre cet  objet  à  l'analyse  des  probabilités. 

Si  l'on  prend  pour  origine  des  coordonnées,  le  point  de  contact 
du  plan  et  de  la  boule  suspendue  par  un  fil  dont  le  sommet  de 
suspension  est  celui  du  départ  d'une  balle  que  l'on  fiiit  tomber  ; 
si  l'on  marque  ensuite  sur  .ce  plan,  les  divers  points  où  ta  balle  va 
toucher  le  plan  dans  chaque  expérience  ;  en  déterminant  le  centre 
commun  de  gravité  de  ces  points ,  la  li^e  msnée  de  l'origine  des 
coordonnées  àce  centre,  déterminera  le  sens  et  la  qua^utité  moyenne 
dont  laballe  s'est  écartée  de  cette  origine;  et  l'un  et  l'autre  seront 
déterminés  avec  d'autant  .plus  d'exacUtude,  que  les  expériences 
seront  plus  nombreuses  et  plus  précises. 

Considérons  miuntenast,  comme  axe  des  abscisses,  la  lign« 
menée  de  Foraine  des.  coordonnées ,  à  Pest  ;  et  désignons  par 
ar,  a^'\a^'>..'.3c^~'^yyi^^%y^'^, .  .^y^^'Ues  coordonnées  respectives 
des  points  déterminés  par  les  e^^riences  dont  le  nombre  est  a. 
.En  «zprimant  par  X  et  Kles-coocdowéesdu  centre  de  gravité  do 

45 


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554  TïiÉOfilE  ANALYTIQUE 

tous  ces  points; on  aura 

,    x=5.^,  r=sJÇ. 

le  signe  S  s'éteudant  à  toutes  les  valeurs  de  i,  depuis  isso  jusqtt'à 
1=4  —  1.  Cela  posé ,  en  désignant  par  ±a  les  limites  des  erreurs 
de  chaque  expérience,  dans  le  ^ens  des  x  ;  la  probabilité  que  l'écart 
moyen  de  la  balle ,  du  point  origine  des  coordonnées ,  est  compris 
àaina  les  limites  X^  ~[,8era^  par  le  n'  18] 

"  r./rfr.c    ^, 


/; 


'4k' 

i  et  ^'  étant  des  constantes  qui  dépendent  de  U  loi  de  fàolîté  de* 
erreurs  de  chaque  expérience  dans  le  sens  des  x. 

Pareillemeat ,  ^  ti  étant  les  limites  des  erreurs  de  chaque  ex- 
périence dans  le  sens  des/-;  la  probabilité  que  la  valeur  moyenne 
de  la  déviation  dans  le  sms  dee  ^ ,  est  comf»we  daas  le»  limites 
r:b^.,8era  -       "" 

'  ^^ 

î  et  î"  étant  des  constantes  dépendantes  de  la  foi  des  eTTenr»  dès  expé^ 

*       JE 
rieaces  dans  le  sens  des  y.  Les  lractions27ï  et-^  étant,  par  ce  qu 

précède ,  plus  grandes  que  \  ;  on  pourra  juger  du  degré  d'approxlma- 
Uon  et  de  probabilité  des  valeurs  de  JT  et  de  K,  et  déterminer  la 
probabilité  de  l'écart  au  sud  et  au  uord,indiqué  parles  observations. 
L'analyse  précédente  peut  encore  être  appliquée  à  la  recherché 
des  petites  inégaHtée  des  te(Kive&iens  célestes  ^  dont  retendue  est 
comprise  dans  les  limites ,  sôit  des  «reurs  des  observations ,  soit 
des  perturbations  jH'oduites  par  les  causes  accîdenteUee.  Cest  à 
peu  près  ainsi  que  Ti<Jio-&ahé  reconnut  que  l'équation  du  tems, 
relatÏTe  ftU  soleU  et  aux  planètes ,  n'étût  point  appticabie  à  la  lune , 

DigiUzedbyLjOOQlC 


DES  PROBABILITÉS.  355 

«t  qu'il  fallût  en  retrancher  la  partie  dépendante  {!«  Tanoinalie  du 
«oleii ,  et  méine  une  quantité  beaucoup  plus  grande  ;  ce  qui  conduisit 
Flamsteed  à  la  découTerte  de  rinégalité  lunaire  que  Ton  nomme 
équation  annuelle.  C'est  encore  dans  les  résultats  d'un  grand  notodiro 
d'dMenraticHis,  que  Majer  reconnut  que  l'équation  de  la  préces- 
«ion ,  reiatlTe  aux  [rianètes  et  aux  étoiles ,  n'était  point  applicable 
à  la  luiiej  il  évalua  à  la"  décimales  environ,  la  quantité  doot  il 
Ëtllait  alors  la  diminuer,  quantité  que  Mason  élera  ensuite  à  prés 
de  s4",  par  la  comparaison  de  toutes  les  observations  de  Bradlejr, 
et  que  M.  Burg  a  réduite  à  ai",  au  mojen  d'un  bien  plus  grand 
nombre  d'observations  de  Ma^elîne.  Cette  inégalité ,  quoiqu'indi- 
quée  par  les  observations,  était  négligée  par  le  plus  grand  nombre 
des  astronomes  ;  parce  qu'elle  ne  paraissait  pas  résulter  de  la 
théorie  de  la  pesaôtear  universelle.  Mais  ayant  smimis  son  exis- 
tence au  calcul  des  probabilités ,  elle  me  parut  indiquée  avec  unii 
probabilité  si  forte ,  f{ue  je  crus  devoir  en  recha-cher  la  cause.  J« 
Vis  bientôt  qu'elle  ne  pouvait  résultu*  qne  de  l'ellipticité  du  sphéroïde 
terrestre ,  que  l'on  avait  négligée  jusqu'alors  dans  la  théorie  du 
mouvement  huiaipe ,  comme  ne  devant  y  prodiâre  que  des  termes 
insensibles  ;  et  j'en  conclus  quV  était  «xtWImement  vraisemblablft 
^e  ces  termes  devenaient  sùinbles  par  les  intégrations  Buoeeastves 
des  équations  diflferentielles.  Ayant  déterminé  ces  termes  par  une 
analyse  particulière ,  que  j'ai  exposée  dans  le  septième  Livre  ds 
la  Mécanique  Céleste;  je  découvris  d'abord  l'inégalité  du  mouve- 
ment de  la  lune  en  latitude,  et  qui  est  proportionnelle  au  sinus  ds 
sa  longitude  :  par  son  moyen,  je  reconnus  que  la  théorie  de  la  pesan* 
tenr  donne  effectivement  la  diminution  observée  par  les  astronomes 
cités ,  dans  l'inégalité  de  la  précession ,  applicaûe  au  mouvement 
lunaire  en  longitude.  La  quantité  de  cette  din^nutlon,  et  le  coe£S- 
cient  de  Finalité  en  latitude  dont  je  viens  de  parler ,  sont  dono 
très-propres  à  déterminer  l'aplatissement  de  la  terre.  Ayant  &it 
part  de  mes  recherches  à  H.  Bur^  qui  s'occupait  alore  de  ses  Tables 
de  la  Lune  ;  je  le  priai  de  déterminer  avec  on  soin  pMtiouher ,  les 
coefficienB  de  ces  deux  inégaUtés.  Par  un  coQcour»  remarqaàUe  t 
les  coeffîciens  qu'il  a  déterminés,  s'accordent  k  donner  à  la  terre, 

l'aplatiasement  ^,  aplatissement  qui  ^iffêre  peu  du  môùu  coudu 


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"  556  THÉORIE  ANALYTIQUE 

des  mesures  des  degrés  du  iaéridien  et  du  pendule^,  mais  qui-ttt 
l'influence  des  erreurs  des  observations  et  des  causes  perturba- 
trices ,  sur  ces  mesures,  me  paraît  plus  exactement  déterminé  par  ifea 
inégalités  lunaires.  M.  Bm-ckhardt  qui  vient  de  former  de  noaveties 
Tables  de  la  Lune,  très-précises,  sur  l'ensemble  des  observations 
de  Bradley  et  de  Maskeline ,  a  trouvé  le  même  coefficîeHt  que 
M.  Burg,  pour  Pinégalité  lunaire  en  latitude  :  iltrouve  nu  trente-qua- 
trième à  ajouter  au  coefficient  de  l'inégalité  en  longitude,  ce  qui 

■  ;réduit  l'aplatissement  à  J~  y  par  cette  inégalité.  La  diffiârence  très- 
légpre  de  ces  résultats  ,  prouve  qu'en  fixant  à  ^,  cet  aplatisse- 
ment, l'erreur  est  insensible. 

'  L*analyse  des  probabiTités  m'a  conduit  pareillement  à  la  cause 
-  des^  grandes  irrégularités  de  Ju{Mter  et  de  Saturne.  La  difficulté  d'«n 

reconnaître  la  Icâ,  et  de  les  ramener  à  la  tliéerie  de  l'attraction 
'  uiûveraelle ,  avait  ^t  ctmjecturer  qu'elles  étaient  dues  aux  actions 

■  passagères  des  comètes  ;  mais  un  théorème  auquel  j'étais  parveaiu 
■sur  l'attraction  mutuelle  des  planètes ,  me  fit  rejeter  cette  hypo- 

'  thèse,  en m'indtquantraUra£^Me»imitaêUe  des  deux  planètes,  comafte 
■la  vMttc-cattSe'de  ces;  irrégularités-  Suivant. ce  théorème,  si  le 
..•mouvement,  de  Jupiter  s-'accélère  en  vertu  de  quelque  grande  iné- 
'galité  à  très-longue  période  ;  celui  de  Saturne  doit  se  ralentir  de  la 
-ïnéme  manière ,  et  ce  ralentissement  est  à  l'accélération  de  Jupiter, 
-comme  le  produit  de  la  masse  de  cette  dernière,  planète,  par  la 
-racine  carrée  du  ^and  axe.  de  son  orbite,  est  au  [HTtduit-semi- 
.  blaUe  relatif  à  Saturne.  Ainsi  en  prenant  pour  unité ,  le  ralentisse- 

•  ment  de  Saturne ,  l'accttlération  correspondante  de  Jupiter  doit 
-être  o^4o884j.or  Halley  avait"  trouvé,  par  la  comparaison  des 

•  observations.modemes  auxanciennes,  que  l'accélération  de  Jupiter 

•  corre^ondaitauralenttssement  de  Saturne, et  qu'elle  était  o^4823 
<  de.  ce  ralentissement-Ces  résultats^  dbiend'accord  avec  la  théorie, 
I  me  portèrent  à  penser  .qu'il  existe  dans  les  mouvemens  de  ces  pla- 
.  nètes,  deuxjgrandes  inégalités  :  correspondantes  et  de  signe  con- 
,  traire,  qui  produisaient ■  ces  phénomènes.  J'avais  reconnu  que 
.  l'action  mutuelle  des,  planètes  ne  pouvait  point  occasionner  dans 

leurs  moyens  mOuremeiis ,  des  variations  toujoars  croissantes ,  ou 


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DES  PKOBABILlTEâ.  35f 

périodiques,  maiâ  d'une  période  indépendante  de  leur  configuration 
mutuelle  ;  c'étîdt  donc  dans  le  rapport  des  moyens  mouTcméns  de 
Jupiter  «t  de  Saturne ,  que  je  devais  chercher  celle  dont  il  s'agit  ; 
or  en  examinant  ce  rapport,  il  est-  facile  de  réconnaître  que  deux 
Ibis  le  moyen  mouTément  de  Jupiter  ne  surpasse  que  d'une  quan- 
tité très-petite,  cinq  fois  celui  de  Saturne  j  ainsi  les  inégalités  qui. 
dépendent  de  cette  différence,  et  dont  la  période  est  d'enviroa 
neuf  siècles,  peuvent  devenir  fort  grandes  par  les  intégrations 
successives  qui  leur  donnent  pour  diviseor ,  le  carré  du  coefficient 
très-petit  dti  tems ,  dans  l'argument  de  ces  inégalités.  En  fixant  ver» 
l'époque  de  Tycho-Brahé,  l'origine  de  cet  argument;  je  voyais  que 
HaÛey  avait  dû  trouver  par  la  comparaison  des  observations 
'  modernes  aux  anciennes,- les  altérations  qu'il  avait  observées^ 
tandis  que  la  coin|>araîson  des  observations  modernes  entre  eUes, 
"  devait  présenter  des  altérations  contraires  et  pareilles  à  celles  que 
Lambert  avait  remarquées.  L'existence  des  inégalités  dont  je  viens 
de  parler,  me  parut  donc  extrêmement  vraisemblable,  et  je  n'hési- 
tai pomt  à  entreprendre  le  calcul  long  et  pénible ,  nécessaire  pour 
m'en  assm^r  cwaplettement.  Le  résujtat  de  et  calcul,  non-seule- 
ment les  confirma  j  mais  ti  iBo  fit  connaître  beaucoup  d'autres 
inégalités  dont  l'ensemble  a  .porté  les  Tables  do  Jupiter  et  de 
Saturne,  au  degré  de  précision  des  observations  mêmes. 
'  On  voit  par  là  combien  II  ùmt  être  attentif  aux  indications  de 
la  nature ,  lorsqu'elles  sont  le'résultat  d'un  ^and  nombre  d'obser- 
vations,  quoique  d'ailleurs  tilles  soientinexpUcablés  par  les  moyens 
connus.  J'engage  ainsi  les  astronomes  à  suivre  avec  une  atten- 
tion particulière,  nn^alité  lunaire  à  longue  période,  qui  dépfflid 
principalement  du  mouvement  du  périgée  de  la  lune ,  ajouté  au 
doubie  du  moyen  monvement  de  ses  nœuds  ;  inégalité  dont  j^ai 
parié  dans  le  septième  Livre  de  la  Mécanique  Céleste,  et  que 
déjà  les  observatiobs  indiquent  avec  beaucoup  de  vraisemblance. 
-Les  cas  précédëns  ne  sont  psEs  les  seuls  dans  lesquels  les  obseàrva- 
'tions'  ont  re^esisé  les  analj'stes.  Le  mouvement  du  périgée  tù-' 
naire  et  l'accélération  du  mouvem&at  de  la  lune,  qui  n'étaient 
■poiM  dotinés  d'abOlrd  par  les  approximations,  out  fait  sentir 
"la  uécesdité  de  reçtiger  ces  approximations.  Aùuiiroa-pctït 


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5S8  THÉORIE  ANALYTIQUE 

dire  que  la  Dattire  elle-niéine  a  concouru  à  la  perfection  anal^tiqito 
des  théories  fondées  sur  le  principe  de  la  pesanteur  unirerseUe  ;  et 
c'est  à  mon  sens ,  une  des  plus  fortes  preuves  de  la  rérité  de  ce, 
princ^  admirable. 

On  peut  encore ,  par  l'analyse  des  probîibflités ,  vérifier  Texistence 
ou  rinâuence  de  certaines  causes  dont  on  a  cru  remarquer  TaclkHi 
sur  les  êtres  organisés.  De  tous  les  instrumens  que  nous  pouvons 
employer  pour  connaître  les  agens  imperceptibles  de  la  nature,  les 
plus  sensibles  sont  les  nerfe ,  surtout  lorsque  leur  sensibiUté  est 
exaltée  par  des  circonstances  particulières.  C'est  à  leur  moyen  ^ 
que  Fca  a  découvert  la  faible  électricité  que  développe  le  contact 
de  deux  méta,ux  hétérogènes;  ce  qui  a  ouvert  un  champ  vaste 
aux  recherches  des  physîdens  et  des  chimistes.  Les  phénomènes 
singuliers  qui  résultent  de  l'extrême  sensibilité  des  ncrfe  dans  quel* 
ques  individus,  ont  donné  naissance  à  diverses  opinion^  sur  Texis- 
teocB  d'un  nouvd  agent  que  l'on  a  nommé  magnétiame  animal^  sur 
Faction  du  magnétisme  ordinaire  et  l'influence  da  soleil  et  de  la 
lune,  dans  quelques  affections  nerveuses  ;  enfin,  sur  les  impressions 
que  pent^e  naUre  la  proxHnité  des  métaux  ou  d'une  eau  cou- 
rante. Il  est  aaturel  de  pensai  tjoe  Taction  de  ces  causes  est 
très-feible,  «t-peniËicilement  être  ti'oablée  par  un  grand  nombre 
de  circonstances  accidontdles ,  ainsi  de  ce  que ,  dans  quelque 
Gtts  ,  die  ne  s'est  p<rint  manifestée,  on  ne  doit  pas  conclure 
qu'elle  n'existe  lamais.  Nous  sommes  si  éloignés  de  connaître  tous . 
les  agens  de  k  native ,  qu'il  serait  peu  philosophique  de  nier  l'exis- 
tence des  ph^omènes,  uniquement  parce  qu'ils  sont  inexplicables 
dans  Fétat  actuel  de  dos  connaissances.  Seulement  nous  devons 
les  s^aniner  avec  nne  attention  d'autant  plus  scrupuleuse ,  qu'il 
parait  {to  difficile  de  les  admettre;  et  c'est  ici  que  Fanal3rse  des 
probabilités  devient  indispensaUe  pour  déterminer  jusqu'à  quel 
point  il  Ëtut  multiplier  les  observations  ou  les  expériences ,  pour 
avoir  en  &veur  àet  Texistence  des  agens  «|u'eUes  semblent  indi- 
quer, une  probabilité  supérieure  à  toutes  les  raisons  que  l'on  peut, 
avoir  d'alUeurs  de  la  rejeter. 

Lft  même  analyse  peut  être  étendue  anx  divers  résultats  de  b 
Rtédecifîe  et  de  l'économie  politique,  et  même  à  l'influence  des 


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DES  PROBABILITÉS.  SSg 

Causes  morales;  car  Taction  de  ces  causes,  loraqu'elle  est  répétée 
un  grand  nombre  de  fois ,  offre  dans  ses  résultats  autant  de  régu- 
larité j  que  les  causes  physiques. 

On  peut  encore  déterminer  par  l'analyse  des  probabilités,  compa- 
rée à  un  grand  nombre  d'expériences,  l'avantage  et  le  désavantage 
des  joueurs ,  dans  les  cas  dont  la  complication  rend  impossible  leur 
recherciie  directe.  Tel  est  l'avantage  de  la  main ,  au  jeu  du  piquet  : 
telles  sont  encore  les  possibilités  respectives  d'amener  les  différentes 
iàces  d'un  prisme  droit  rectangulaire  ,  dont  la  longueur ,  la  largeur 
«t  la  hauteur  scmt  inégales  ;  lorsque  le  prisme  projeté  en  l'air ,  re- 
tombé sur  un  plan  horizontal. 

Enân ,  on  pourrait  faire  usage  du  calcul  des  probabilités ,  pour 
rectifier  les  courbes  ou  carrer  leurs  surfaces.  Sans  doute ,  les  géo- 
mètrea  n'emploieront  pas  ce  moyen  ;  mais  comme  il  me  donne  lieu 
de  parler  d'ua  genre  particulûu-  An  combiaaiaona  dtt  basard ,  je  vais 
l'exposer  en  peu  de  mots. 

Imaginons  un  plan  divisé  par  des  lignes  parallèles ,  équidistantes 
de  la  quantité  a  ;  concevons  de  plus  un  cylindre  très-étroit  dont 
ar  soit  la  longueur,  supposée  égale  ou  mcMudre  que  a.  On  demande 
la  pr<Â>abilité  qu'en  le  projetant,  il  rencontrera  nao  den  divisitm&du 
plan. 

Elevons  sur  un  point  quelconque  d'une  de  ces  divisions  ^  une  per- 
pendiculaire prolongée  jusqu'à  la  division  suivante.  Supposons  que 
le  centre  du  cylindre  soit  sur  celte  perpéndicuUûre ,  et  à  la  hauteur^ 
au-dessus  de  la  première  de  ce's  deux  divisions.  En  fetsanl  tourner 
le  cylindre  autour  de  son  centre,  et  nommant  <p  l'angle  que  le  cy- 
Undre  fait  avec  .la  perpendiculaire ,  au  moment  où  il  rencontre  cette 
division;  stf  sera  la  partie  de  la  circonférence  décrite  par  chaque 
extrémité  du  cylindre ,  dans  laquelle  il  rencontre  la  cûvision  ;  U. 
somme  de  toutes  ces  parties  sera  donc  ^ffdy,  ou  ^Jf  —  iÔ'dfj 
or  on  a  y  =  r.cos  ?  ;  cette  somme  est  donc 

4^._y  —  4r.8in  ^  4-  constante. 

Pour  détfflininer  cette  constante,  nous  observerons  que  l'intégrale 
doit  s'étendre  depuis  j'  nul  jusqu'à  y  =  r,  et  par  conaéquent  depuis 

45"* 


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36o  THÉORIE  ANAIYTIQTIE 

ip  s=  -  jusqu'à  f  ^  o  ^  ce  qui  doaae 

constaDte  =  4r} 

ainsi  la  somme  dont  il  s'agit  est  4r.  Depuis  y^a^r  jostpi'à 
^  =  a  ;  le  cylindre  peut  rencontrer  la  division  suivante ,  et  il  e^ 
visible  que  la  somme  de  toutes  les  parties  relatives  à  cette  reo- 
contre ,  est  encore  ^r  ;  Br  est  donc  ta  somme  de  toutes  les  parties 
relatives  à  la  rencontre  de  Tune  ou  de  l'autre  des  divisions  par  le 
cylindre,  dans  le  mouvement  de  son  centre  le  long  de  la  perpeo- 
^culaire.  Mais  le  nombre  de  tous  les  arcs  qu'il  décrit  en  tournant 
en  entier  sur  lui-même ,  à  chaque  point  de  cette  perpendiculaire, 
est  sott;  c'est  le  nombre  de  toutes  les  combinaisons  posùbles; 
la  probabilité  de  la  rencontre  d'une  des  divisioHs  du  plan  par  lo 
cylindre ,  est  donc  ^.  Si  l'on  projette  un  grand  nombre  de  fois  ci 
cylindre ,  le  rapport  du  nombre  de  fols  où  le  cylindre  rencontrera 
Tune  des  divisions  du  plan ,  au  nombre  total  des  projections,  sera 
par  le  n'  16,  à  très-peu  près,  la  valeur  de— ,  ce  qui  fera  connaît» 
la  valeur  de  la  circonférence  a^r.  Os  aura ,  par  le  même  numéro, 
la  probabilité,  qu«  l'cmittr  de  cette  valeur  sera  comprise  dans  des 
limites  données  ;  et  il  est  fiicile  de  voir  que  le  rapport  —  qui,  pour 
im  nombre  donné  de  projections ,  rend  l'erreur  à  craindre  la  plus 
petite ,  est  l'unité  ;  ce  qui  donne  la  longueur  du  cylindre  égale  à 
l'intervalle  des  divisions,  multiplié  par  le  rapport  de  la  circonfëreoc» 
à  quatre  diamètres. 

Concevons  maintenant  le  plan  précédent  divisé  encore  par  des 
lignes  perpendiculaires  aux  précédentes ,  et  équidistantes  d'une 
quantité  b  égale  ou  plus  grande  que  la  longueur  ar  du  cylindre. 
Toutes  ces  lignes  formeront  avec  les  premières ,  une  suite  de 
rectîuigles  dont  h  sera  la  longueur  et  a  la  hauteur.  O>nsidéroas 
un  de  ces  rectangles  ;  supposons  que  dans  son  intérieur,  on  mène 
à  la  distance  r  de  chaque  côté ,  des  lignes  qui  lui  soient  parallèles. 
Elles  formeront  d'abord  un  rectangle  intérieur,  dont  b — arsera 
la  longueur,  et  a  —  ar  la  hauteur;  ensuite  deux  petits  rectangles» 
dont  r  sera  la  hauteur,  et  6—  ar  la  longueur j  puis  doux  autres 

petite 


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DES  PROBABILITÉS.  56i 

{>elîfs  rectangles  dont  r  sera  la  longueur,  et  a—3  r  la  hauteur  ;  enfin , 
quatre  petits  carrés  dont  les  côtés  seront  égaux  à  r. 

Tant  que  Je  centee  du  cylindre  sera  placé  dans  le  rectan^e 
intérieur ,  le  cylindre  en  tournant  sur  son  centre ,  ne  rencontrera 
jamais  les  côtés  du  grand  rectangle. 

Lorsque  le  centre  du  cylindre  sera  placé  dans  l'intérieur  d'un  de» 
rectangles  dont  r  est  la  hauteur  et  fi  —  ar  la  longueur  ;  il  est  &cile , 
de  Toir  par  ce  qui  précède ,  que  le  produit  de  8r,  par  la  longueur 
b—ar,  sera  le  nombre  des  combinaisons  correspondantes,  daxuf  . 
lesquelles  le  cylindre  rencontrera  l'un  ou  l'autre  des  côtés  6  da 
grûtd  rectangle.  Ainsi  8r.(fi— ar)  sera  le  nombre  total  des  combi- 
naisons correspondantes  aux  cas  dans  lesquels  le  centre  ducylindre 
étant  placé  dans  l'un  ou  l'autre  de  ces  petits  rectangles,  le  cy- 
lindre rencontre  le  contour  du  grand  rectangle.  Par  la  même  raison, 
8r,(a — ar)  «M'a  1«  oembrc  total. des  combinaisons  dans  lesquelles 
le  centre  du  cylindre  étant  placé  dans  l'intérieur  des  petits  rec- 
tangles dont  r  et  a  -^  ar  sont  les  dimensions ,  le  cylindre  rencontre 
le  contour  du  grand  rectangle. 

Il  nous  reste  à  considérer  les  quati"e  petits  carrés.  Soit  ÂBCD 
l'un  d'eus.  De  l'angle  A  commun  à  ce  carré  ei  au  grand  rec- 
tangle ,  comme  centre ,  et  du  rayon  r,  décrivons  un  quart  de 
circonférence ,  se  terminant  aux  points  B  et  D.  Tant  que  le 
centre  du  cylindre  sera  compris  dans  le  quart  de  cercle  formé 
|»ar  cet  arc ,  le  cylindre  en  tournant ,  rencontrera  dans  toutes  ses 
positions ,  le  contoxu'  du  grand  rectangle  ;  le  nombre  des  combi- 
naisons dans  lesquelles  cela  aura  Ueu ,  est  donc  égal  au  produit 
"de  a-TT  par  la  sur&ce  du  quart  de  cercle,  et  par  conséquent  il  est 
égal  à  —^—.  Si  le  centre  du  cylindre  est  dans  la  partie  du  carré 

qui  est  au-delà  du  quart  de  cercle  ;  le  cylindre  en  tournant  autour 
de  son  centre ,  pourra  i'encontrer  l'un  ou  l'autre  des  deux  côtés 
AB  eXJD  prolongés,  sans  jamais  les  rencontrer  tous  deils  à  la 
fois.  Pour  déterminer  le  nombre  des  combinaisons  relatives  à 
cette  rencontre ,  Je  conçois  sqr  un  point  quelconque  du  càtéJB, 
distant  de  x  du  point  A ,  une  perpendiculaire  y  dont  l'extrémité 
soit  au-delà  du  quart  de  cercle.  Je  pla6e  le  centre  du  cylindre  sur 
cette  extrémité  de  laquelle  j'abaisse  quatre  droites  égales  à  r,  et 

46 


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Saa  THÉORIE  ANALYTIQUE 

dont  deux  aboutissent  sur  le  cdté  JB  prolongé*  si  Cela  est  néc^ 
saire,  et  deux  autres  sur  le  côté  ^Z>pareiUement  prolongé.ieDonime 
:  a^  l'angle  compris  entre  les  deux  pr«mière8  lignes,  et  ^  Tangle 
compris  entre  les  deux  secondes.  Il  est  TÏaible  que  le  cylindre  en 
tournant  sur  son  centre,  rencontrera  le  côté  JB  [H-olongé,  tant 
qu'une  de  ses  moitiés  sera  dans  l'angle  g^ ,  ^t  qu'il  rencontre  le 
côté  AD  prolongé ,  tant  qu'une  de  ses  moitiés  sera  dans  l'au^  a^'; 
le  nombre  total  des  coiobinaisons  dans  lesquelles  le  cyliiK^  ren- 
contrera l'on  ou  l'autre  de  ces  côtés,  est  donc  4.(9+^');  ainsi  ce 
nombre,  relatireinent  à  la  partie  du  carré,  extérieure  au  quart  de 
cercle,  est 

or  on  a  évidemment , 

«î5=r.C05f',     ^sxr.COS^; 

nutégrale  précédente  devient  ainsi , 

4r'./(  ^  +  f ') .  rf(p .  dp' .  sin  ^  sin^'î 

et  il  «8t  fâcUfi  de  voir  qae  Ilntégrale  relatire  à  ip',  doit  être  prise 

depuis  fi'=  o  jusqu'à  ^':s-  —  f,  et  que  Finté^aJiB  relative  à  f 

doit  être  prise  depuis  ip=o  jusqu'à  ^=;'ice  qui  donne  Ir». (12— ît") 

pour  cette  intégrale.  En  lui  ajoutant ,  on  aura  le  nombre  des 

combinaisons  relatives  au  qiiarré  ;  et  en  quadruplant  ce  nombre , 
et  le  réunissant  aux  nombres  [o-écédens  des.  combinaisons  rela- 
tives à  la  rencontre  du  contour  du  grand  rectangle ,  par  le  cyb'ndrc; 
on  aura ,  pour  le  nombre  total  des  combinaisons, 

8.(a+6).r— 8r». 

Mais  le  nombre  total  des  c<Hnbinai5ons  possibles ,  est  évidemment 
égal  à  3:r  multiplié  par  la  surfece  ab  du  grand  rectai^e;  ti 
probabilité  de  la  rencontre  des  divisions  du  plan  par  le  ceindre, 
est  donc 


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J>ES  PROBABILITÉS. 


CHAPITRE  VI. 

De  la  probabilité  des  causes  et  des  évèneirtens  futurs , 
tirée  des  événemem  observés^ 

s6.  l^A  probabilîtë  de  la  plapart  des  éréDemens  sitnplés,  est 
inconnue  :  eu  la  considérant  â  priori ,  elle  nous  paraît  atisceptible 
de  toutes  les  valeurs  comprises  entre  zéro  et  l'unité;  mais  si  Ton 
a  observé  un  résultat  composé  de  plusieurs  de  ces  événcmens  , 
la  manière  dont  ils  y  entrent ,  rend  quelques-unes  de  ces  valeurs 
plus  probablds  que  I«8  auti'âs.  Ainsî  à  mesure  que  le  résultat  ob-* 
serve  se  compose  par  le  développement  des  évéuemens  simples , 
leur  vraie  possibilité  se  &it  de  plus  en  plus  connaître ,  et  il  devient 
de  plus  en  plus  probable  qu'elle  tombe  dans- dès  limites  qui  se  re»' 
serrant  sans  cesse ,  fînlraïetitpn'  coïncider,  si  le  nombre  des  évé- 
nemens  simples  devenait  inSni.  Pour  déterminor  les  lois  suivant 
lesquelles  cette  possibilité  se  décoBvre,  nous  U  nommerons  x.  La 
théorie  eiqK>sée  dons  les  chapitres  précédens,  donnera  la  proba- 
bilité du  résultat  observé ,  en  fonction  de  «.  SoU  y  cette  fonction  ; 
si  l'on  considère  les  différentes  valeurs  de  x  Gcnnme  autant  de 
causes  de  ce  résultat ,  la  probabilité  de  x  sera,  par  le  troisième 
principe  du  n'  i ,  égale  '&  une  fraction  dont  le  ûmnérateur  est  ^  , 
et  dont  te  dénominateur  est  la  somme  de  toutes  les  valeurs  de  y  ; 
en  roulti^iant  donc  le  numérateur  et  le  dénominateur  de  cette 
fraction  po*  àxy  cette  probabalité  s»a 

pi* 

l'inté^alâ  dû  détlomînatcur  étant  prise" depuis  x=^'a  jasqu*à  »=!, 
la  probabilité  que  la  valeur  de  x  est  comprise  dans  le»  limites 
X  =  6  et  x=i^i  est  par  conséquent  égale  à 


fydx 


(1) 


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364  THÉORIE  ANAtyTÎOtJÏ 

l'intégrale  du  numérateur  étant  prise  depuis  j;=fl  jusqu'à  Ji^sfi', 

et  celle  du  dénominateur  étant  prise  depuis  x=o  iosqu'àxaei? 

La  valeur  dexla  plus  probable,  est  celle  qui  rendy.un  maximum. 
Nous  la  désignerons  par  a.  Si  aux  limites  de  x,  j'  est  nid,  alors 
chaque  valeur  de  _y  a  tme  valeur  égale  correspondante  de  l'autre 
côté  du  maximum. 

Quand  les  valeurs  de  x ,  considérées  indépendamment  du  résultat 
observé ,  ne  sont  pas  également  possibles  ;  en  nommant  z  la  fonc-> 
tion  de  *  qui.  exprime  leur  prdsabilité;  il  est  facile  de.vijir,  par 
jçe  qui  a  été  dit  dans  le  premier  chapitre  de  ce  Livre ,  qu'en  chan- 
geant dans  la  formule  (i) ,  y  dans  yz ,  on  aura  la  probabilité  que 
la  valeur  de  *  est  comprise  dans  les  limites  x=:â  et  *=â'.  Cela 
revient  à  supposer  toutes  les  valeurs  de  x  également  possible» 
à  priori  t  et  à  considérer  le  résultat  observé,  comme  étant  formé 
de  deux  résultats  indcpendans ,  dont  les  probabilités  sont  y  et  z. 
On  peut  donc  ramener  ainsi  tous  les  cas  à  celui  où  l'on  suppose. 
à  priori ,  avant  l'événement,  une  égale  possibilité  aux  différ^ites 
valeurs  de  x ,  et  par  cette  raison ,  nous  adopterons  cette  hypo- 
thèse dans  cequLva  ©uirre. 

Nous  avons  donné  dans  les  n"*  as  et  suivans  du  premier  Livre , 
les  formules  nécessaires  pour  déterminer  par  des  approximations 
convergentes ,  les  intégrales  du  numérateur  et  du  dénominateur  de 
la  formulé  (i),  lorsque  les  évenemens  simples  dont  se  compose 
l'événement  observé,  sont  répétés  un  très-grand  nombre  de  fois  ; 
car  alors  y  a  pour  làcteurs ,  des  fonctions  de  x  élevées  à  de  grandes 
puissances.  Nous  allons,  au  moyen  de  ces  formules,  déterminer  la 
loi  de  probabitité  des  valeurs  de  « ,  à  mesure  qu'elles  s'éloignent 
de  la  valeur  a ,  la  plus  probable ,  ou  qui  reaây  un  maximum.  Pour, 
cela,  reprenons  la  formule  (c)  dun"  37  du  premier  Livre  , 

,+I..-^.f--r.Jl^-Kr.+o.^&^tc.}.w 

_r...-...{-£H.r._±^+(^.+.,_£-^+e.c.j 


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lïES  PROBABILITÉS.  S6ê- 

%-  est  égal  à    '    ^~°      ,Vt  T^'^'f^  ^'^ .  etc.  sont  ce  que  de- 

Tiennent  ♦- ,  -^,  ii  ■ ,  etc.,  lorsqu'on  y  change  après  les  dififêr 
rentiations ,  »  en  a ,  o  étant  la  Taleur  de  x  qui  rendj^.un  maximum  : 
T  est  égal  à  ce  que  devient  la  fonction  \/log  F— ^  logy ,  lorsqu'oa 
change  x  en  a  —  6  dans^,  et  7^  est  ce  que  devieht  la  même 
fonction,  lorsqu'on  y  change  <x  dçns  0  +  â'.  L'e^ression  précé- 
dente de^dx  donne  la  valeur  de.-cette  intégrale,  dans  les  limites 
jc=a— fl  et  «=«+0';  l'intégrale /di.c-«'  étant  prise  depuis 
i=—~T  jusqu'à  (=  î*. 

Le  plus  souvent,  aux  limites  de  Tintégrale  Jydx,  étendue  depuiâ 
«=o  jusqu'à  x^szi^y  est  nul;  ou. lorsque  j^  n'est  pas  nul,  il 
devient  si  petit  à  ces  hmites ,  qu'on  peut  le  supposer  ntd.  Alors  , 
OQ  peut  faire  à  ces  limites  T  et^î"  infinis,  ce  qui^oune  pour  l'inté-; 
gralej^f^jc,  étendue  depuis  «  =  o  jusqu'à  «==  1, 

ainsi  la  probabilité  que  la  valeur  clo  x  est  comprise  dans  les  limites 
x=:a— fl  et  x=a+fl'jestégale  à 

1        ,..ld.V.i„    d:V'     ,,-.,'   -     df.V*     ,     .    ip  P) 

^  {^+;T:r^  +  -?--....s.4.i^+"'°}-'^-    ' 

On  voit  par  le  d*  s3  du  premier  Livre,  que  dans  le  cas  où^  a  pour 
facteurs,  des  fonctions  de  *  élevées  à  de  grandes  puissances  de 
l'ordre  - ,  a.  étant  une  fraction  extrêmement  petite ,  alors  U  est 

le  plus  souvent  de  l'ordre  j/i,  ainsi  que  ses'  différences  succes- 

<f  17*    d*  I/^ 
sives;  U,  -^ ,   ^ ,  etc.  sont  respectivement  des  ordres  v^«^ 

j  ..' 

« ,  a',  etc.j  d'où  il  suit  que  la  convergence  des  séries  de  la  for- 
mule (3),  exige  que  y  et  2*  ne  soient  pas  d'un  ordre  supérieur 


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See  THÉORIE  ANALYTIQUE 

6i  l'on  suppose  9^6'^  alors  on  a  à  fort  pen  prés  7^  7*,  et  la 
formule  (3)  se  réduit ,  en  négligeant  les  termes  de  l'ordre  «  y  à  Vin- 

tégrale  ^  '".-    ,  prise  depuis  t^ — 7"  jusqu'à  <=:T'i  ce  qui  revient 

en  négligeant  le  carré  de  la  diflerence  7**—  7*,  à  doubler  Tinté- 
grale  précédente ,  et  à  la  prendre  depuis  (  nid  jusqu'à 


or  on  a 

7"=log  r— log^, 
et  l'on  peut  supposer 

Iog^  =  ;.log^, 

fp  étant  nne  fonction  de  a?  ou  de  a  -^  d ,  qui  ne  renferme  plus  de 
facteurs  élerés  à  de  grandes  puissances  }  en  nommant  donc 
^>^'^*  etc.,  ce  que  deviennent,  lorsque  8  est  nul,  9)^* 
2^>  etc.  ;  en  observant  ensuite  que  la  conditioD  de  7*  ou  4 ,  un 
maximum ,  donne  ^  :^  o ,  on  aura 

En  changeant  6  dans  —  9 ,  on  aura  la  valeur  de  aT*  ;  on  aura  donc , 
en  négligeant  les  termes  de  l'ordre  «% 


partant , 
Faisons 


3  'at.dxi'' 


a         »/:    V 


l=^/_^=^/Z: 

V  3*.ic»  V  ! 


la  probabilité  que  la  valeur  de  x  est  comprise  dans  les  limites 

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Digilized  b 


MS  PROBABILITÉS.  567 

a./df.c-" 


riutégrale  étant  prise  depuis  ttsso,  et  pourant  être  oMenue 
d'une  manière  fort  approchée,  par  les  Ë)nnule3  da  n*  37  du  pre- 
mier livre. 

Il  résulte  de  cette  expression,  que  !a  râleur  de  dr  la  plus  pro- 
bable est  a ,  ou  celle  qui  rend  l'événement  observé ,  le  plus  pro- 
bable; et  qu'en  multipliant  à  l'infini  les  événemens  simples  dont 
l'événement  observé  se  compose,  ou  peut  à  la  fois  resserrer  les 

limites  adb-^X^t  ^t  augmenter]»  probabUité  que  la  valeur  de  x 

tombera  entre  ces  limites;  ensorte  qu'à  rinfînl ,  cetinterralle  devient 
nul,  et  la  probabilité  se  coufijud-avec  ta  certitude. 

Si  l'événement  observé  dépend  d'événemens  simples  de  deux 
différens  genres,  en  nommant  j:  et  x'  les  possibilités  de  ces  deux 
genres  d'événemens,  on  verra  par  les  raisoimemens  précédens, 
que^  étant  alors  la  probabilité  de  révéuemcnt  composé ,  la  fractioo 

sera  la  probabilité  des  valeurs  simultanées  de  *  et  de  «',  les  inté- 
grales du  dénominateur  étant  prises  depuù  x=  o  jusqu'à  jr=i , 
et  depuis  3^=0  jusqu'à  ^=  1.  En  nommant  a  et  a'  les  valeurs 
de  X  et  de  jc^  qui  rendent^  un  maximum  y  et  disant  x=s=a+9, 
a:'  =  a'-H6',  on  trouvera,  par  l'analyse  du  n*  37  du  premier  Livre, 
que  si  l'on  suppose 

_!_    .  /     /âÀY\     -,  0:^5?)       /     3K" 
/ir*  V  ~V^?-;— ^— ï? — V  —Tâmr'b 

y  ,  //ddY\  /ddy\      Tddr'y      . 


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568  THÉORIE  ANALTnQUE 

la  fraction  (4)  prendra  cette  forme 


l.es  intégrales  du  âénomioateur  doivent  être  prises  depuis  f  =s  -~  oo 
jusqu'à  t==oo,  et  depuis  f*^  — oo  jusqu'à  t'=3o;  car  les  inté- 
grales relatives  à  x  et  x'  de  la  fraction  (4)  étant  prises  depuis  s=o 

.et  j;'=s=  o  jusqu'à  X  et  j:^  égaux  à  Ttinité,  et  à  ces  limites ,  les  va- 
leurs de  6  et  de  fl'  étant  —a  et  1 — a;  — a'  et  i—a',  les  limite» 
de  f  et  de  t*  sont  égales  à  ces  dernières  limites  multipliées  par  des 
quantités  de  l'ordre  — ^  :  tiinsi  responentielle  tr-**— ^*  est  excessi- 
vement petite  à  ces  limites ,  et  l'on  peut  sans  erreur  sensible , 

,  étendre  les  intégrale^  du  d^ominateur  de  la  fraction  précédente , 
jusqu'aux  valeurs  infinies  positives  et  négatives  des  variables  t  et/'; 
ce  dénominateur  devient  ainsi  égal  à  7;  et  la  probabilité  que  les 
valeurs  de  6'  et  do  9  sont  comprises  dans  les  limites 

B-n    fl—    ^V^  ._i •y^^g?;  /    »r 


les  intégrales  étant  prises  depuis  f  et  *'  nuls. 

On  voit  par  cette  formule,  que  dans  le  cas  de  deux  genres 
différera  d'événemens  sitQpIes ,  la  probabilité  que  leurs  possibilités 
respectives  gont  celles  qui  rendent  l'événement  composé  ,  le  plus 
probable,  devient  de  plus  en  plus  grande ,  et  finit  par  se  confondre 
avec  la  certitude;  ce  qui  a  lieu  généralement  pour  un  nombre  quel- 
conque de  genres  diflërens  d'événemens  simples,  (jui  entrent  dans 
l^rénement  observé, 


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DES  PaOBABILÏTÉS.  '  5^ 

Si  l'on  conçoit  une  urne  renfermant  une  infinité  de  boules  de 
plusieurs  coiûeurs  différentes ,  et  qu'après  en  avoir  tiré  un  grand 
.  -nombre  n ,  p  sur  ce  nombre ,  aient  été  de  la  première  couleur  , 
y  de  la  seconde ,  r  de  la  troisième ,  etc.  ;  en  désignant  par  x ,  x\ 
af'y  etc.  les  probabilités  respectives  d'amener  dans  un  seul  tirage, 
une  de  ces  couleurs ,  la  probabilité  de  l'événenaent  observé  sera  le 
terme quiapour&cteurx^.x''.x"'. etc.,  dans  le  développement  da 
polynôme 

(x  +  a:'  +  x"+etc.)", 
où  Ton  a 

x+x'+a/'+etc.  =  1 , 

P+  g  +  r-\-  etc.  =  B  ; 

on  pourra  donc  supposer  ici  ^=it'.j;'*.j:"'.etc.  ;  et  alors  on  a 
pour  les  valeurs  de  x,  «',  x",  etc.  qui  rendent  révénement  observé 
le  plus  probable,  - 


..=e. 


x's=2,    :e'=^L^ 


Ainsi  les  valews  les  plus  probables  sont  proportionnelles  aux 
nombres  des  arrivées  des  couleurs  ;  et  lorsque  le  nombre  n  eât 
un  grand  nombre,  les  probabilités  respectives  des  couleurs,  sont 
à  très-peu  près  égales  aux  nombres  de  fois  qu'elles  sont  arrivées , 
divisés  par  le  nombre  des  tirages. 

37.  Pour  donner  une  application  de  la  fî>rinule  précédente , 
considérons  le  cas  où  deux  joueurs  jéetJB  jouent  ensemble  avec 
cette  condition ,  que  celui  qui  sur  trois  coups  en  aura  gagné  deux, 
gagne  la  partie  ;  et  supposons  que  sur  un  très-^;rand  nombre  n  de 
parties ,  ^  en  ait  gagné  un  nombre  i.  En  nommant  x  la  probïdiilité 
de  A  pour  gagner  un  coup ,  et  par  conséquent  1  —  w ,  la  probabi- 
lité correspondante  de  if  j  la  probabilité  de  ^  pour  gagner  une 
partie,  sera  la  sonome  des  deux  premiers  termes  du  binôme 
(ar-l- 1 — xy-y  et  la  probabilité  correspondante  de  B,  sera  la 
eonunc  des  deux  derniers  termes.  Ces  probabilités  sont  donc 
«'.(5 — 3«)  et  (1 — x)'.(i-j~ax);  ainsi  la  probabilité  que  sur  n 
parties,  yi  .en  gagnera  t,  et  B,  n  —  i,  sera  proportionnelle  à 
x^-^S^  3xy.(  1 — ^x)""^.(i  H-  2x)'~';  en  nommant  donc^  cette 

47 


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^fo  THÉORIE  AI^ALYTIQUE 

rfonctlon,  et  A  la  valeur  de  x  qui  la  rend  un  maximum ^  ta  pro- 
baUlité  que  la  valeur  de  x  est  comprise  dans  les  Umites  a-^S  et 
a  4-  Ô,  sera 

•  fydx' 

l'intégrale  du  niimératear  étant  prise  depuis  «  =  a  —  fi  jusqu'à 
«=«+9,  et  celle  du  dénominateur  étant  prise  depuis  «s=o  jus- 
qu'à »==  1.  Si  Ton  fait 


on  aura  par  le  numéro  précédent , 

^  =  x*".(5  — fla;)*'.(i  —  x)— *'.(!+ ax)'-'. 
La  condition  du  maximum  de  ^  ou  de  ^ ,  donne  dp  =  o  j  par 

conséquent  a  étant  la  valeur  de  :f  corrospondouto  à  co  maximum, 
on  aura  - 

o  =5  ^'  —  „"''     _  "■(■— JQ        3(1  — JQ  _ 
""*  a  ~~  3  —  aa  1  —  a  i  4-aa   ' 

d'où  l'on  tire 

i'=a'.(5— ao),     1— i'=(i— a)'.(i-i-3a)j 
ensuite  on  a 

â*,itE-~  (3'-fi«).Ci+aa)~~ 
La  probabilité  que  la  valeur  de  x  est  comprise  dans  les  limites 
a  ±  --^  ,  sera  donc ,  par  le  numéro  précédent  y  égale  à 


6  Va  r^^^^CS— 3û).(i+3a)^ 


|/9r.(3— .aa).(i  +  aa)  * 

,  On  verra  lacilement  que  ce  résultat  s'accorde  avec  celui  que 
nous  avons  trouvé  dans  le  n*  i6,  par  une  analyse  moins  directe 
que  celle-ci. 

La  partie  finit  en  deux  coups ,  si  ^  ou  5  gagne  les  deux  pre- 
miers coupa  j  le  troisième  coup  n'étant  pas  joué,  parce  qu'il  devient 


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DES  PROBABILITÉS.  S71 

inutile.  Ainsi  les  nombres  des  parties  gagnées  par  l'un  et  Tautre 
des  joueurs ,  n'indiquent  pas  lé  nonibre  des  toups  joués  ;  -mais  ils 
mdiquent  que  ce  dmiiet  nombre  est  contenu  dans  des  limites 
données,  avec  une  probabilité  qui  croît  sans  cesse ,  à  mesure. que 
les  parties  se  multiplient.  La  recherche  de  ce  nombre  et  de  cette 
probabilité  étant  très-propre  à  édaircir  l'analyse  précédente  j  nous 
'  allons  nous  en  occuper.  ; 

La  probabilité  que  A  gagnera  une  partie  en  deqs  coups,  est  x% 
X  exprimant,  comme  ci-dessus ,  sa  probabilité  de  gagner  à  chaque 
coup.  La  probabilité  qu'il  gagnera  la  partie  en  trois  coups,  est 
ax'.{i — x),  La  somme  a:'.(5— ax)  de  ces  deux  probabilités  ,  est 
la  probabilité  que  À  gagnera  la  partie.  Ainsi  pour  avoir  la  proba- 
Inlité  que  sur  z  parties  gagnées  par  le  joueur  A^  »  seront  de  deux 
coups ,  il  £tut  élever  à  la  puissance  t ,  le  binraue 


x'.(3— ar)  *^  »•.  (3— 8J!)  ' 
3  — or  ~  * 

et  le  terme  c  •—  «  + 1  du  déreloppeotent  de  ceUe  pinssiuice,  sm% 
cette  probabilité  qui  est  ainsi  égale  à 

i.a.5....i'. &*"'■(!  — 3;)*~ 


,.(i_,).(3  — ax/ 

Le  plus  grtmd  terme  de  ce  développement  est ,  par  le  n*  16 , 
celui  dans  lequel  les  exposans  «  et  i^  s  tnx  premier  et  du  second 
terme  du  binôme  sont  «  très- peu  prés  dao»  le  rapport  de  ces 
termes ,  ce  qoi  donne 


Noua  nommerons  «'  cette  quantité ,  et  nous  ferons 

*  =  *'+/; 
on  aura ,  par  le  n*  16, 


.  /  i       ~     ,,     as'.ii  —  O 


■  ,Digi1ized 


b,  Google 


«7*  THÉORIE  ANALTHOrE 

ponr  la  probabOité  de  *  ^  coirespondaDte  à  Padresse  jc  Aa  Jooeiif  ^. 
On  trbuvera  pareillement ,  qne  si  Ton  nomme  z  le  nombre  des 
parties  de  denx  coups ,  gagnées  par  le  joueur  B ,  sur  le  nomlHv 
n—i  de  parties  qu'il  a  gagnées;  la  valeur  de  x  la  plus  probrite 

sera  —^'i  et  qu'en  désignaiU  par  z'  cette  quantité, et  disant 
la  probabilité  dé  z  correspondante  à  x  sera 


/: 


a»'.(n-i-*'). 


.dT. 


Le  produit  de  ces  deux  probabilités  est  donc  la  probabilité  corres- 
pondante à  X ,  que  le  nombre  des  parties  de  deux  coups ,  gagnées 
par  le  joueur  ^',  sera  s'-\-l,  taudio  <{ue  le  B<»cdl>rc  des  parties  do 
deux  coups,  gagnées  par  le  joueur  B  y  sera  z'~\-l'.  Soit 

(>u  aura  poiar  ceue  probabilité  composée  > 

11  faut  multiplier  cette  probabilité  par  celle  de  x,  qui,  comme  on 
l'a  TU  doDS  le  noméro  précédent ,  est  ^^  i  le  produit  est 

l'intégrale  du  dénominateur  doit  être  prise  depuis  x=o  jusqu'à 
jc  ^  1  j  et  par  le  u*  37  du  premier  Livre ,  cette  ÎDtégrale  e9t  à  très- 
peu  près , 

Si  l'on  nomme  X  la  fonction 

Digilizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABILITES.  SyS 

et  que  Von  désigne  par  a'  la  valeur  de  x ,  qui  rend  Xj^  un  maximum^ 
et  par  X'  et  Y',  ce  que  deviennent  X  et  ^ ,  lorsqu'on  y  change 
X  en  fl'j  on  aura,  par  le  numéro  précédent,  en  disant  a:=:a'H-fl, 

Il  est  facile  de  voir  que  a'  ne  diffère  de  la  valeur  a  de  x,  qui 
rendj'  un  maximum,  que  d'une  quantité  de  l'ordre  «,  que  nous 
désignerons  par  fa  ;  en-  substituant  dans  F,  a  -{-fi.  au  lieu  de  a', 
pour  en  former  y,  et  développant  par  rapport  aux  puissances  de 
a,  on  verraque  3-  étant  nul,  parce  que  Keat  \à  maximum  àfi  y , 
Y'  ne  diffère  de  Y,  que  de  quantités  de  l'ordre  a,  ;  ainsi  l'on  a , 
.  aux  quantités  prés  d'un  ordre  inférieur  à  celui  que  l'on  c«nserre, 
et  en  observant  que  ^7^  '^^  xQ;?  peuvent  être  négligées  par  rap-: 
porta  p^i 

j*.xr  __  d'Y 
la  fonction  (a)  devient  par  là 

On  doit  dans  cette  fonction ,  supposer  x^a,  ce  qui  donne ,  en 
substituant  pour  * ,  sa  valeur  no*. (3 — aa) , 

Ensuite ,  x  étant  égal  à  a' 4-  0,  il  est  égal  à  a  -f-/*  +  fl  ;  en  né- 
gligeant donc  les  quantités  de  l'ordre  a,  on  aura 


Maintenant  le  nombre  des  parties  de  deux  coups ,  étant 


dby  Google 


574,  THEORIE  ANAtïTIQUE 

ce  nombre  sera 


'      U3-»-)'      0+»)-J    ^  ^    ' 
et  désignons  par  9"  la  quantité 

ddr 


qui ,  apr^  toabes  les  réducttona,  se  réduit  à 

9.(3— ao).CH:ao)        ^ 

k  fonction  (e*)  deviendra 

En  l'intégrant  depuis  /=  —  oo  jusqu'à  /=oo,  et  depuis  /'^— oo, 
jusqu'à  ^=00,  on  aura  la  probabilité  que  le  nombre  des  parties 
de  deux  coups ,  sera  égal  à 


Cette  dernière  intégrale, prise  depuis  Z=— oo  jusqu'à  l=<x>,  est, 
par  ce  qui  précède. 


db,  Google 


DES  PROBABILITÉS.  576 

Ed  la  multipliant  par  dl\  et  la  mettant  sous  cette  forme, 

et  l'intégrant  depuis  r=— 00  jusqu'à  /=  w;  on  aura 

-    -?<?"■''  . 
'  .  (j    99'-hï?'-l-9  ?'_ 

.   V'îV'-Hv'+'ïV' 

La  fonction  (*")  intégrée  par  rapport  à  i  et  2*,  dans  les  limites  infi- 
nies positives  et  négatives  de  ces  variables ,  devient  fiinsi 

Ainsi  la  probabilité  que  le  nombre  de  parties  de  deux  coups,  sera 
compris  dans  les  limites 

5— 1-  —7"'-  db  (=  n.(a*-U  l—a*  )  ±t 

est  égale  au  double  de  l'intégrale  de  la  diBfêrentielle  précédente 
prise  depuis  /  nul.  On  doit  observer  que  ç ,  g',  g"  sont  de  l'ordre  - , 
ensorte  que  la  quantité  ^Jlji.jp  est  du  même  ordre.  Représen- 
tons-la par  — ,  et  Élisons  t=s-r.  y'n;  on  aura 

-ç^.fkdr.c  ,     (.") 

pour  rexpression  de  la  probabilité  que  le  nombre  de  parties  de 
deux  coups ,  sera  compris  dans  les  limites 

«.{«'+  1— 'a  )±r.y'n, 

l'intégrale  étant  prise  depuis  rnnl.  L'intervalle  de  ces  deux  limites 
est  arKi,  et  le  rapport  de  cet  interyallc  au  nombre  n  de  parUcs, 


db,  Google 


576  THÉORIE  ANALYTIQUE 

est  -^;  ce  rapport  diminue  sans  cesse,  à  mesure  que  n  aug- 
mente ,  et  r  peut  en  même  tems  croître  indéfiniment  ;  de  sorte 
que  rintégrale  précédente  approche  indéfiniment  de  l'unité. 

Le  nombre  total  des  coups ,  est  le  triple  du  nombre  des  parties 
de  trois  coups  ,  plus  le  double  du  nombre  des  parties  de  deux 
coups,  ou  le  triple  du  nombre  total  n  des  parties ,  moins  le  nombre    - 
des  parties  de  deux  coups  \  il  est  donc 

2n.(i  +  a  —q* )  =p  r.  »/n  , 

l'intégrale  (e"')  est  donc  l'expression  de  la  probabilité  que  le  nombre 
des  coups  sera  compris  dans  ces  limites, 

Si  au  lieu  de  connaître  le  nombre  i  des  parties  gagnées  par  le  . 
joueur  ^,  et  le  nombre  total  n  de  parties ,  on  connaît  le  nombre 
i  et  le  nombre  total  des  coups;  la  même  analyse  pourra  servir  à 
déterminer  le  nombre  inconnu  n  des  parties.  Pour,  cela,  désignons 
par  Ajle  nombre  total  des  coups^  on  aura,  par  ce  qui  précède  > 
les  deux  équations 

a         3  —  ao~~i  —  a  1+  aa' 

Ces  équations  donnent  a  et  n  en  fonctions  de  A±r.  kn.  Supposon» 

on  aura ,  en  réduisant  en'  série , 

n^ï.'4(^)=*=»''V«' — 2jp^  +  etc.j 

on  substituera  dans  t',  au  lieia  de  n  et  de  a ,  (.4  (j)  et  r  (J\  ; 
l'intégrale  (*'")  est  alors  la  probabilité  que  le  nombre  n  des  parties , 
est  compris  dans  le?  limites 

s8. 


3i1izedby  VjOOQIC 


MS  PROBABILITES.     "  377 

28.  Cesï  prîncîpaîemeot  aux  naissances,  que  l'analyse  précc-. 
dente  est  applicable ,  et  l'on  peut  en  déduire  non-seulement  pour 
l'espèce  humaine ,  inals  pijur  toutes  les  espèces  d'êtres  organisés  , 
des  résultats  intéressans.  Jusqu'ici  les  observations  àk  ce  genres 
n'ont  été  faites  en  grand  noinbre,  que  sut.  l'espèce  humaine  :  nous 
allons  soumettre  au  calcul ,  les  principales.  ■   - 

Considérons  d'abord  les  naissances  observées  à  Paris,  à  Londres, 
et  dans  le  royaume  de  Naples.  Dans  l'espace  des  4o  années  écoulées 
depuis  le  commencement  de  la^ ,  époque  où  l'on  a  commencé  à 
distinguer  à  Paris,  sur  tes  registres^  les  naissances  des  deux  sexes, 
jusqu'à  la  fin  de  1784,  on'a  baptisé  dans  cette  capitale,  'SgSSSâ 
garçons,  et  577655  filles,  les  enlâns  trouvés  étaiit  comprïs  dans 
ce  nombre  :  cela  donne  à  peu  prés  -7  pour  le  rapport  des  baptêmes 
^s  garçons  à  ceux  des  fiUêa, 

L  Dans  l'espace  des  95  aunées  écoulées  cle^aig  lé  coiiimencfement 
de  i664  jusqu'à  lafinde  1758,  il  est  né  à  Londres,  757639  garçons, 
et  698968  filles  ;  ce  qui  donne  ^  à  peu  près ,  pour  le  riçport  des 
naissances  des  garçons  à  celles  des  filles. 

Enfin,  dans  l'espace  des  neuf  années  écoulées  depuis  le  commen- 
cement de  1774  jusqu'à  la  fin  de  1783  ,il  est  né  dans  le  royaume 
de  Naples,  la  Sicile  non-comprise,  78a353  garçons,  et  746831  filles  ; 

ce  qui  donne  —  pour  le  rapport  des  naissances  des  garçon^  à  celles 
des  filles. 

Les  plus  petits  de  ces  nombres  de  naissances,  sont  relatifs  à 
Paris  ;  d'ailleurs ,  c'est  dans  cette  ville  que  les  n^sances  des  garçons 
et  des  filles,  approchent  le  plus  de  l'égalité.  Par  ces  deux  raisons  , 
la  probabilité  que  la  possibilité  de  la  nai$3ance  d'au  garçon  suçasse 

-,  4oit  y  être  moindre  qu'à  Londres  et  dans  le  royaume  de  Nazies.- 
Déterminons  numériquement  cette  probabilité. 

Nommons  p  le  nombre  des  naissances  masculines  observées  à 
Paris ,  g  celui  des  naissances  fêmimnes ,  et  x  la  possibilité  d'une 
naissance  masculine ,  c'est-à-dire  la  probabilité  qu'un  enfaut  qui 
doit  naître ,  aefa  un  garçon  ;  1  —  x  sera  la  poasii^ité  d'un^  nais.-, 
eauce  fémiiùue,  etTon  aurak  probabîËté  que  surp+V  naissances,'' 


dby  Google 


578  THEORIE  ANAirriQUE 

p  seront  masculines ,  et  q  seront  réminmes  y  égale  à 

COI  iàiaant  donc 

la  probabilité  que  la  valeur  de  x  est  comprise  dans  des  Hmites^ 
données^  sera  par  le  n*  96,  égale  à 


llntégrale  du  dénominateur  étant  [Mise  d^^mis  aezco  ju6qu*RX=siy 
et  celle  du  numérateur  étant  prise  dans  les  limites  données.  Si 
Ton  prend  zéro  et  ^  pour  ces  limites ,  on  aura  la  probabilité  que 
la  valeur  de  x  ne  surpasse  pas  7.  La  valeur  qui  currespoud  au 
nuucûnum  de^,  est -^  ;  et  vu  la  grandeur  des  nombres  j9  et  7,  l'«xoè8 
de  —^  sur  7,  est  trop  considérable  pour  employer  ici  la  for- 
mule (c)  du  n*  27  du  premier  Livre,  dans  l'approximation  de  l'in- 
tégrale _/j"^'aJ>  prise  depuis  j:=o  jusqu'à  :r=:~;  il  faut  donc,  dans 
ce  cas,  làire  usage  de  la  formule  (A)  du  n*  aa  du  même  Livre. 
Ici  l'on  a 

ydx g.(i — x) 

^  'fy  ~~        P  —  iP  +  <l)-^' 

la  formule  citée  (A)  donne  ainsi  pour  fintégrale^tfx,  prise  depula 
«  =  o  jua^'à  a;^7, 

Qiumt  à  l'întép^Iej^'-'^;  prise d^HÛSd:sE=o  jusqu'à  x=  i^ona, 
parle  n'  a6, 

^<te=r.[F+i.^+ete.].»/;, 

7*  étant  ce  que  devient^  à  son  maximum ,  ou  ](orsqu\>B  j  substituo 

^ P_ 

— ^  pottf  X.  V  est  ici  égal  à'  -p+g_        _  ^^   ^^^   ^^^^ 

'  Digilizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABIIJT£S.  379 

ce  que  deviennent  </,  -t^,  etc.,  Iorsqu*on  y  &it,  après  lès  diffô- 
rentiations,  jsa  ^-  .  On  trouve  ainsi  pour  l'intégrale j^'da:,  prise 
depuis  X  nul  jusqu'à  x  =  1  ^ 

la  probabilité  qiie  la  valeur  de  «  ne  surpasse  pas  f,  est  doue 
égale  à 

.      ■  .(,_„.^-..£^+* /+'.,'+*     . 

Pour  appliquer  de  grands  nomlirca  «  .cette  fofmule*  il  &udrait 
aToir  les  logarithmes  dep,^  dp- — g,  avec  douze  décimales  au 
inoins  :  on  peut  y  suppléer  de  cetxe  manière.  On  a 

'•«m:7-J=-'-'»«('+^-»-i<'6('-?^' 

X^orsque  les  logariliunes  sont  h  jpeii)oiiqué6 ,  le  second  membre  de 
«ïette  équation ,  réduit  en  série,  devient 

on  aura  donc  par  celle  série  très-convergente ,  le  logarithme  hjper- 
iwfique  de   ^V^-'  En  le  multipliant  par  o,454b9448,  on  le  con- 

Tertira  en  logarithme  tabulaire;  et  en  lui  iqoutant  le  logarithme 

î      ■ 
tdlHilure  de ^^-^^-y^x^y  <m  aura  ie  Iwarithmé  titulaire  du 

a.ip  —  q).Vapqw 

&cteur  qui  muItipHe  la  série  (o).  Si  Ton  nomme  -  ce  &cteur,  et  si 
tifa  Mi 

p  =3B  595586,      9  s=  577565;  ( 


y  Google 


58o  THÉORIE  ANALYTIQtE 

on  trouve  eu  logarithme  tabulaire 

log  jit  =  73,a5i  1 780, 
la  série  (o)  deyient 

i.(i  — 0,0050761  -f-  etc.). 

Cette  quantité  d'une  petitesse  èïce.ssire,  retranchée  de  l'unité, 
donnera  la  probabilité  qu'à  Paris ,  la  possibilité  des  naissances  des 
garçons ,  surpasse  celle  des  fiUes  ;  d'oïi  l'on  voit  que  Ton  doit  re- 
.  garder  cette  probabilité  comme  étant  égale,  au  moins,  à  celle  à^ 
laits  historiques  les  plus  avérés. 

Si  l'on  applique  la  formule  (o)  aux  naissances  observées  dans  les 
principales  villes  de  l'Europe ,  on  trouve  que  la  supériorité  des  nais- 
sances des  garçons  sur  les  naissances  de»filles,  observée  partout  de- 
puis Naples  jusqu'à  Pétersbourg ,  indique  une  plus  grande  possibilité 
des  naissances  des  garçnns;  «vec  une'  probabilité  extr^emcot 
approchante  de  la  certitude  j  ce  résultat  paraît  donc  éh*  une  1<m 
générale ,  du  moins  en  Em'ope;  et  si  dans  quelques  petites  vifles, 
où  l'on  n'a  observé  qu'un  nombre  peu  considéridale  de  naissances, 
-  la  nature  semble  s'en  écarter  ;  il  y  a  tout  heu  de  croire  que  cet 
écart  n'est  qu'apparent,  et  qu'à  la  longue,  les  naissauces  observées 
dans  ces  villes  offriraient,  en  se  multipHant ,  un  résultat  semblable 
à'célui  des  grandes  villes.  Plusieurs  philosophes,  trompés  par  ces 
anomalies,  ont  cherché  la  cause  de  phénomènes  qui  ne  sont  qne 
l'effet  du  ha^rdj  ce  qui  prouve  la  nécessité  de  feire  précéder  de 
pareilles  recherches  »  par  celle  de  la  probabilité  avec  laquelle  les 
observations  indiquent  los  phénomènes  dont  on  veqt  déterminer  la 
cause.  Je  prends  pour  exemple,  la  petite  ville  de  Vïtteaux,  dans 
laquelle,  sur  4i5  naissances  observées  pendant  cinq  années ,  il  est 
né  3o5  'garçons  et  sia  filles,  p  étant  ici  moindre  que  g,  l'ordre  na- 
lurelparaîtxenversé.  Voyons  quelle  eçt  d'après  ces  observations, 
la  probabilité  que  les  facilités  des  naissances  des  garçons  surpassent 
dans  cette  ViUe ,  celles:  deis  naissances  des  fill'és.  Cette.  ^rc^KïbiKté 
est  %^,;  l'intégrale  du  numérateur  étant  prise  depuis  *=i  jusqu'à 
x=:i,  et  celle  du  dénominateur  étant  prise  depuis  x=:o  jusqu'à 
»=i.  La  forinul^(<ï)-qui,  retranchée  de, l'unité,  donne  cette 


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DES  PROBABILITÉS.  '     38i 

fraction ,  devient  ici  divei^ente  j  noBa  emploierons  alors  la  formule 
(3  )  du  n'  a6 ,  qui  se  réduit  à  fort  peu  près  à  son  premier  terme 

^:1_    ,  Tintégrale  étant  prise  depuis  la  valeur  de  f  qui  correspond 

à  x=:j  jusqu'à  la  valeur  de  t  qui  correspond  à  x=  i.  Or  on  a, 
par  le  numéro  cité , 

*'=ïoig  T — 1(^^, 
j-  étant  a:*.(i-- la:)*,  et  T  étant  la  vîdeur  de\y  correspondante  aa 
maximum  de  ^ ,  qui  a  lieu  lorsque  x  :=  — ^  ;  la  valeur  de  /•  qui 

correspond  à  xsài,  est  — logl  ^  q*  1'^^  logarithme  étant  hy-; 
perbolique,  et  étant  donné ,  par  ce  qui  précède ,  par  une  série  très- 
convergente,  lia  valeur  de  t'  ijui  correspondà  a:=a,e8tr=ooj 
on  a  donc  ainsi  les  deux  limites  de  l'intégrale  yd/.c— *",  intégrale 
qu'il  sera  &cile  d'obtenir  par  leâ  formules  que  nous  avons  données 
pour  cet  objet.  On  trouve  ainsi  la  probabilité  qu'à  Vitteaux ,  les  feci- 
lités  des  naissances  des  garçons  l'emportent  sur  celles  des  filles , 
égale  à  o,33  ;  la  supériorité  de  la  facilité  des  naissances  des  filles , 
est  donc  indiquée  par  ces  observations ,  avec  ime  probabilité  égale 
à  0,67 ,  probabilité  beaucoup  trop  faible  pour  balancer  l'analogie 
qui  noua  porte  à  penser  qu'à  Vitteaux ,  comme  dans  toutes  les 
villes  où  l'on  a  olrâervé  un  nombre  considérable  de  naissances , 
la  possibilité  des  naissances  des  garçons  l'emporte  sur  celle  des 
naissances  des  filles.' 

ag.  On  a  vu  qu'à.  Londres ,  le  rapport  observé  dea  naissances 
des  garçons  à  celles  des  filles,  est  égal  à  ^,  tandis  qu'à  Paris, 
celui  des  baptêmes  des  garçons  à  ceux  des  filles ,  n'est  que  ^.  Cela 

semble  indiquer  une  cause  constante  de  cette  di£fêrence.  Détenni- 

nons  la  probabilité  de  cette  cause. 

Soient/?  et  7  les  nombres  des  baptémea  des  garçons  et  des  filles, 
faits  à  Paris  cUtns  l'intervalle  du  commencement  de  1745  à  la  fia 
de  i784j  ea  désignant  par  x,  la  possibilité  du  baptême  d'ungarçon, 


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38a  '  THÉORIE  ANALYTIQUl 

et  £ûsaBt,  comme  dana  te  ouiaéro  précédent, 

la  valeur  de  x  la  plus  probable,  sera  celle  qui  rendj'Ull  maximumi 
elle  est  donc  -~—  ;  en  supposant  ensuite 

"—-t — 1-6; 

ta' probabilité  de  la  T^eur  de  0  sera,  par  le  n*  96,  égale  & 

i/x  V   w  .   •   . 

En  désignant  par  p',  /  et  fl',  ce  que  deviennent  p,  ç  t><  ^  lionr 
Londres ,  on  aura 

l/<r     V     apY    •" 
pour  la  probabilité  de  6';  le  produit 


(p+oy ,.  y+oT 


'"'"'■  i/tp+<)'-(p'-H'y  -    w  ■''    v?" 


v 


""5?7t 


de  ces  deux  probabilités,  sera  donc  la  probabilité  de  l'existence 
simultanée  de  fl  et  de  fl'.  Faisons 


la  fonction  diffîrentielle  précédente  devient 
iP-Hf 

- ..  ■  ,-fy  - 


■»■<", /O'+tfO'-H')'  ^      w  "pY  A^     {i>+qW+<>'>) 

En  l'intégrant  pour  toutes  les  valeurs  possibles  de  fl,  et  ensuite 
pour  toutes  les  valeurs  positives  de  *;  on  aura  la  probabilité  que 
la  possibilité  des  baptêmes  des  garçons  est  plus  grande  à  Londres 

qji'à  Paria.  Les  valeurs  de  fl  peuvent  s'étendre  depuis  8  égal  à — -^ 

Digilizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABILITES.  583 

Josqu'à  fl  égal  à  i £— ;  mais  lorsque  p  et  y  sont  de  trés-granda 

nombres,  le  fecteur  c  ^^  est  si  petit  à  ces  deux  limites  , 
qu'on  peut  le  regarder  comme  mil  ;  on  peut  donc  étendre  l'inté- 
grale relative  à  À,  depuis  6:= — oo  jusqu'à  d=:po.  On  voit  par  la 
même  rais<m,  que  l'intégrale  relative  à  t,  peut  être  étendue  depuis 
l=o  jusqu'à  t  =  06.  En  suivant  le  précédé  du  n*  37  pour  ces 
intégrations  multiples,  on  trouvera  fecilement  que  si  l'on  lait 

ce  qui  donne  tMssi^j  la  di^entiene  précédente  intégrée  d'abord 
par  rapport  à  f'  depuis  ^=  —  00  jusqu'à  t' sa  00 ,  et  ensuite  depuis 
ts^o  jusqu'à  t  infini ,  domiera 


rudt 

Jl/w 


Mt     — R'.Çt— A)« 


pour  la  probabiVté  qu'à  Londres,  la  possibilité  des  baptâmes  des 
garçons  est  plus  grande  qu'à  Paris.  Si  l'on  fait 

cette  intégrale  devient 


l'intégrale  étant  prise  déliais  f"=  — Mjuaqa'à^^ssao;  et  il  est 
visible  qn'elle  est  égale  à 


-m 


l*mt^ale  étant  prise  depuis  ("=:  M  jusqu'à  f  iniîni.  De  là  H  suit, 
par  le  a'  37  .du  premier  livre,  que  ai  Ton  suppose  , 

•.     p''f  (.p +'i)'+pit-ip' +i'y 
0-  +?)•(/>'+  ?')■(/?  -m")" 


db,  Google 


584  THÉORIE  ANALYTIQUE 

la  probabilité  que  la  possibilité  des  baptêmes  des  garçons  est  plus 

grande  à  Londres  qu'à  Paris' ,  a  pour  expression , 


Eu  Élisant  dans  cette  formule , 


elle  devient 


p  =  593586  ,    7  Œ  377655, 
y=  73763g  ,     y'=  698968, 


n  y  a  donc  5a8a68  à  parier  contre  un,  qu'à  Londres,  la  possibîr 
lité'des  baptêmes  des  garçons  est  plus  grande  qu'à  Paris.  Cette 
probabilité  approche  tellement  de  la  certitude,  qu'il  y  a  lieu  d« 
rechercher  la  cause  de  cette  supériorité. 

Parmi  les  causes  qui  peuvent  la  produire ,  il  m'a  paru  que  les 
baptêmes  des  enfens  trouvés ,  qui  font  partie  de  la  liste  annuelle 
des  baptêmes  à  Paris ,  devaient  avoir  une  influence  sensible  sur  1« 
rapport  des  baptêmes  des  garçons  à  ceux  des  filles  ;  et  qu'ils  devaient 
diminuer  ce  rapport ,  si ,  comme  il  est  naturel  de  le  croire ,  les 
parens  des  campagnes  environnantes  ,  trouvant  de  l'avantage  à 
retenir  près  d'eux  les  en&ns  mâles ,  en  avaient  envoyé  à  l'hospice 
des  Enfans  trouvés  de  Paris ,  dans  un  i^apport  moindre  que  celui 
des  naissances  des  deux  sexes.  C'est  ce  que  le  relevé  des  registres 
de  cet  hospice  m'a  fait  voir  avec  une  très-grande  probabihté. 
Depuis  le  commencement  de  ly-iô  jusqu'à  la  fin  de  1809 ,  on  y  a 
baptisé  165499  garçons  et  i594o5  filles,  nombre  dont  le  rapport 
est  ^,  et  diffère  trop  du  rapport  -7  des  baptêmes  des  garçons  et 
des  filles  à  Paris,  pour  être  attribué  au  simple  hasard. 

3o.  Déterminons,, d'après  les  principes  précédens,  les  probabi- 
lités 


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DES  PR0BA3ILÎTÉS.  585 

lités  des  résultats  fondés  sur  les  tables  de  cQQrtalité  ou  d'assurance, 
construites  sur  un  grand  nombre  d'observations.  Supposons  d'abord 
que  sur  «n  nombre  p  d'individus  d'un  âge  donné  A,  on  ait  observé 
qu'il  en  existe  encore  le  nombre  y ,  à  l'âge  A -{-a;  on  demande 
la  probabilité  que  sur  p*  individus  de  l'âge  A,  il  en  existera  y'+z 
à  l'âge  A-\-a  j  la  raison  dep'  et  q'  étant  la  même  que  celle  de 

p  à   y. 

Soit  X  la  probabilité  d'un  individu  de  l'âge  A ,  pour  vivre  à  l'âge 
^-f-a;  la  probabilité  de  l'événement  observé  est  alors. te  terme 
du  binôme  {x  +  i—xy  qui  a  xi  pour  fecteur ;  cette  probabilité 
est  donc 

— — ':^ -P .3e>.U—xy-^i 

i.a.3..;p— fl.i,a.3...ç 

ainsi  la  probabilité  de  la  râleur  de  xy  prise  de  l'éTénement  ob- 
servé est 

'fx'dx.li—x'if-^' 

l'intégrale  du  dénominateur  étant  prise  depuis  x  =  b  )usqu'à  x^=i  i. 
La  probabilité  que  sur  les  p'  individus  de  l'âge  A ,  g' H-  z  vivront 
à  l'âge  A+a  ,  est 

5 — ; j  ,  \  '  "  'f — T-j— -7-^.a/"**'.fi-^xy'~!'~', 

i.fl.3...(ç'+*).i.a.3.  ..(p' — ^^^»j  ^  ■' 

En  multipliant  cette  probabilité  par  la  probabilité  précédente  de 
la  valeur  de  x;  le  produit  intégré  depuis  x  =  o  jusqu'à  x sn  i , 
sera  la  probabilité  de  l'existence  de  ç'+z  personnes  à  l'â^e  A -ha; 
en  nommant  donc  P  cette  probabilité ,  on  aura 

„ i.a  5. .  .p' .fjfi^'-*-'dx.(_i-'x)^*F^r-i'~' 

■^        i.a.3...C9'+i).i.a.3...(/)'— t'— »)./x'ic.O— xy-t* 

les  intégrales  du  numérateur  et  du  dénominateur  étant  prises  depuis 
X  =o  jusqu'à  x=i.Ou  a  parle  u*.  a8,  à  trés-peu  pi^, 


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586  T8È0R1E  ANALYTIQUE 

=i/--[(m')-(.+ï+7)i         , 

Ensuite ,  par  le  n*  53  do  prenrier  livre ,  on  a 

1.2.3 j,'^^"*"^. c~'' . »/S;, 

...5 (ç'+^W^+'+'-O+y/*'^*  •«-^-'-  ^"- 

„,3...(,._^._,)=(pW/-^-'^-0-,-é7) 

endii  ona  g'  =  ^.  Cela  posé  ,  on  trouye  après  toutes  les  ré- 
ductions, ^^ 

■      .X'+^)  <'-H?=i=?)    : 

a  l>Mi  prcad  le  li^aritiime  hyperboliqMe  àa  sBOond  membre  * 
cette  équation,  que  lion  nédinse  ce  legarithmemi série  ardonnte 
par  rapport  aux  puissances  de  j ,  et  que  l'on  néglige  les  puis- 
sances aupérieuM»  sa  «arre  ;  ea  «ara  «a  repassant  ^Jaiogarillims 
à  la  fonction , 

Pj^tp'  étant  supposes  de  très-grands  nombres  de  l'ordre  ;» '"^ 

Digilizedby  VjOOQIC 


DES  PROBABILITÉS.  58? 

coefficient  de  z  est  très-petit  de  l'ordre  a.  ;  celui  de.  —  **  est  trè»- 
petit  et  du  même  ordre.  Mais  si  l'on  suppose  z  de  l'ordre  \/»^ 
on  pourra  négliger  dans  l'expression  précédente ,  le  terme  dépen- 
dant de  la  première  paîsaance  de  z ,  comme  très-petit  de  Tordre 
V^.  De  plus ,  ce  terme  se  détruit  lui-même ,  lorsque  l'on  a  égard 
à  la  fois  aux  valeurs  positives  et  négatives  de  z.  Eu  le  négligeant 
donc,  on  aura 


'•Vçp'-cp-ç). 


JpWT^' 


•fdz.^ 


a^f^-ip—l)-(.P+p"> 


pour  l'expression  de  la  probabilité  que  sur  pf  individus  de  Fâge  ^ , 
le  nombre  de  ceux  qui  parviendront  à  l'âge  -^+a  sera  compris 
dans  les  limites  q'^z,  Tintégrale  étant  prise  depuis  znul. 

Supposons  maintenant  que  Ton  ait  trouvé  par  l'observation , 
que  sur  p  iaàmâas  de  l'âge  J^  q  vivaient  encore  à  l'i^e  A -{•a  y 
et  7-  à  l'âge  -^  +  o  +  «'  i  on  demande  la  probabilité  que  sur  p' 
individus  du  même  âge  -rf,  — +«  vivront  à  l'âge  d+a^  et 
yH-z'  vivront  à  l'âge  J-^a-\-a'. 

La  probabilité  que  sur  p'  individus  de  l'Âge  ^ ,  —  +  r  vivront  à 
l'âge  A  4-  a  est , .  par  ce  qui  précède ,  ' 

p'»' 

p*  *ï/-Cp-9J-CP+P0. 

»9P''C/>— 9)-Cp+P')-*' 

On  aura  la  probabilité  que  sur  ^+2  individus  de  l'âge  A-i-a, 

Q£^g\  ^  +  M  vivront  à  l'âge  A'^a-ho^,  en  changeant  dans 

la  fonction  précédente,  p'  dans  —  H~<>J>  en  ^,  7  en  r,  et  2  eu  u; 

ce  qui  donne ,  en  négligeant  z  par  rapport  à  — . 


v/= 


/-. 


52; "p'-Cï-OCHl''), 


%e  produit  de  ces  deux  pr<^)abi&tés,  'est  la  probabiMlé  dci  l'existctiee 


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588  THÉORIE  ANALYTIQUE 

simultanée  de  2  et  de  »  ;  or  on  a 


(f^+')J+"=?+'' 


ce  qui  donne 
en  faisant  donc 


«'■=- 


If 


"a>)>'.(9— r).(p+pT 

■La  probabilité  P  de  l'existence  simultanée  des  valeurs  de  r  et  d^ 
js'  sera" 

__  fiJi    C'd^-    -''■'■'-^'x—j) 

En  suivant  cette  analyse  ,  ou  trouve  généralement  que  si  l'on 
ftit 

"p'-Ct— •)(p+p')' 


—aip-.o-. ).(?  +  /)' 
etc.  ;   . 

la  probabilité  P  que  sur  p'  individus  de  l'âge  ^ ,  lés  nombres  de 
ceux  qui  vivront  aux  âges  ^+a,  -^-(-a+a',^-t-a-(-a'-t-a">etc. 
seront  compris  dans  les  limites  respectives 

est 

P=r£-.£i^;!:^.etc:.^-^^"<'^vT-^-('-^='".; 

J     Kir     y'-jr      v^w  •     • 

On  peut  apprécier  par  cette  formule ,  les  probabilités  respectives 
des  nombres  d'une  table  de  mortalité ,  construite  sur  un  grand 
nombre  d'observations.  La  manière  de  former  ces  tables ,  est  très- 
simple.  On  prend  sur  les  registres  des  naissances  et  des  morts ,  un 


Digi1Jzed*by 


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bES  PROBABILITÉS.  58g 

grand  nombre  ^enfiins  que  l'on  suit  pendant  }e  cours  de  leur  vie  , 
en  déterminant  combien  il  ça  reste  à  la  fin  de  chaque  année  de 
leur  âge;  et  l'on  inscrit  ce  nombre  vis-à-vis  de  chaque  année  finis- 
sante. Mais  comixie  dans  les  deux  ou  trois  premières  années  de  la 
vie,  la. mortalité  est  très  rapide;  il  feut,  pour  plus  d'exactitude, 
indiquer  dans  ce  prranler  âge ,  le  nombre  des  survivons  à  la  fin 
de  chaque  demi-année.  Si  le  nombre  p  des  enfàns  était  infini,  on 
aurait  ainsi  des  tables  exactes  qui  représenteraient  la  vraie  loi  de  la 
mortalité  dans  le  lieu  et  à  l'époque  de  leur  formation.  Mais  le 
nombre  d'enfons  que  l'on  choisit  étant  fini;  quelque  grand  qu'il 
soit,  les  nombres  de  la  table  sont  susceptibles  d'erreurs.  Repré- 
sentons par  p',  q',  r*,  *',  ^y  etc. ,  ces  divers  nombres.  Les  vrais 
nombres,  pour  un  nombre  p'  de   naissances ,  sont  ~,  —  ,  ^  i 

nT  P         P  P 

—  ,  etc.  Si  l'on  iàit  y'=s:5^-f-«,  z  sera  l'erreur  de  ç'j  pareillement 


L'expression  précédente  de  P  est  donc  la  probabilité  que  les  erreurs 
de  y',  r*,  s\  etc.  sont  comprises  dans  les  limites  zéro  et  z,  zéro  et 
2',  zéro  et  z",  etc.  Les  valeurs  de  f ,  C,  etc.  dépendent  de  j),  q, 
r,  etc.  qui  sont  inconnues  ;  mais  la  supposition  de  p  infiju  donne 

■     C'^—r^ ,.  - 

On  peut  substituer  sans  erreur  sensible  ,  ^  au  lieu  de  ^ ,  ce  aui' 
donne 


aq-.ip'  —  ^y 
On  aura  de  la  même  manière, 


etc. 

y 

ar- 

■w- 

■r'f 

ay 

■W- 

■A- 

Si  l'on  ne  veut  considérer  que  l'erreur  d'un  des  nombres  de  la 
table ,  tel  que  s'  ;  alOTS  on  intégrera  l'exiHresaiou  de  P,  relativement 


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Sgo  THÉORIE  ANALYTIQUE 

à  *'",  2'%  etc. ,  depuis  les  valeurs  infinies  négatives  de  ces  variables 

jus^'à  leurs  valeurs  infimes  positives  ;  et  alors  on  a 


Les  intégrâtes  relatives  à  2  et  2'  doivent  être  prise»  depras  leurs 
valeturs  inSnies  négatives,  jusqu'à  leurs  valeurs  infiues  positives; 
oïl  trouvera  ainsi,  par  le  procédé  dont  nons  avons  souvent  fait 
usage  pour  ce  gemre  d'int^ation?,  que  si  Ton  suppose 

on  aura 

La  probabilité  que  l'areur  d'un  nombre  ^elconque  de  la  table  , 
sera  comprise. dans  les  limites  zéro  et  une  quantité  quelconque, 
est  donc  indépendante ,  soit  des  nombres  intermédiaires ,  soit  des 
nombres  subséqueos. 
Si  Ton  feit  yz"  :c=  t\  ôû  aura 


■V'- 


a-(p'-»') 


et  la  probabilité  P  que  le  rapport  de  l'erreur  du  nombre  s'  de 
la  table,  à  ce  nombre  lui-  même,  sera  compris  dans  les  limites 


sfci.l 

Il       r^t     — 

J  V 

Fintégrale  étant  prise  depuis  (  nul.  On  voit  ainsi  que  la  valeur  de  f, 
et  par  conséquent  la  probabilité  P  restant  les  mêmes,  ce  rapport 
ïiugmentê  lorsque  *'  diminue  ;  ainsi  les  nombres  de  la  table  sont 
d'autant  moins  sûrs,  qii'ils  sont  plus  éloignés  du  premier />'.  On  voit 
ercore  que  ce  rapport  diminue  à  mesure  que  p'  augmente ,  ou  à 
mesmre  que  Ton  multiplie  les  observations;  de  manière  que  l'on 
peut  par  cette  multiplication,  diminuer  à  la  fois  ce  rapport  et 


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DES  PROBABILITÉS.  Sgi 

augmenter  if  ;  ce  rapport  devenant  nul  lorsque  p'  est  infini ,  et  P. 
devenant  alors  égal  à  Tunité. 

3i.  Appliquons  l'analyse  précédente  à  la  recherche  de  la  popu- 
lation d'un  grand  empire.  L'un  des  moyens  les  plus  simples  et  lea 
pins  -propres  à  déterminer  cette  population^  est  l'observation  des 
naissances  annuelles  dont  on  est  obligé  de  tenir  compte  pour  dé- 
terminer l'état  civil  des  en&n».  Mais  ce  moyen  suppose  que  l'on 
connaît  k  trés-peu  près  le  rapport  de  la  population  aux  naissances 
annuelles,  rapport  que  l'on  obtient  en  feisant  sur  plusieurs  points 
de  l'empire ,  le  dénombrement  exact  des  habitans ,  et  en  le  compa- 
rant aux  naissances  correspondantes  observées  pendant  quelques 
années  consécutives  :  on  en  conclut  ensuite,  par  une  simple  pro- 
portion ,  la  population  de  tout  l'empire.  Le  gouvernement  a  bien 
voulu ,  à  ma  prière ,  donner  des  ordres  pour  avoir  avec  précision , 
ces  données.  Dans  trente  départemens  distribués  sur  la  sur&ce 
de  la  France,  de  loaiûére  à  compenser  les  effets  de  la  variété  des 
climats ,  on  a  &it  choix  des  communes  dont  tes  maires ,  par  leur 
zèle  et  leur  înteUigence  ,  pouvaient  fournir  les  renseignemens  les 
plus  précis.  Le  dénombrement  exact  des  habitans  de  ces  com- 
munes, pour  le  23  septembre  iSoa ,  s'est  élevé  à  3037616  individus. 
Le  relevé  des  naissances ,  des  mariages  et  des  morts ,  depuis  le 
33  septembre  1799  jusqu'au  33  septembre  iSoa,  a  donné  pour  ce» 
trois  années , 

Naissances.  Mariages.  Décès. 

iio5i3  garç<ai8»  AfioSw  io565g  mâles, 

105387  filles^  99^45  femelles. 

Le  rapport  des  naissances  des  garçons  à  celles  des  fiUes ,  que  ce 
relevé  présente,  est  celui  de  a 3  à  31  ;  et  les  marines  sont  aux 
naissances ,  comme  5  à  i4  :  le  rapport  de  la  population  aox  nais- 
sances annuelles  est  38,5$a845.  En  supposant  donc  le  nombre  de» 
naissances  annuelles  en  France ,  égal  à  un  million,  ce  qui  s'éloigne 
peu  de  ta  vérité  \  on  aura ,  en  multipliant  par  le  rapport  précédent , 
ce  dernier  nombre,  la  population  de  la  France  égale  à  3835aS45 
individus.  Toyona  l'erreur  que  l'on  peut  craindre  dans  cette  éva- 
luation* 

49* 


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Sga  THÉORIE  ANALYTIQUE 

Pour  cela^  concevons  une  urne  qui  renferme  une  iofiiùté  de 
boules  blanches  et  noires  dans  un  rapport  inconnu.  Supposons 
ensuite  qu'ayant  tiré  au  hasard  un  grand  nombre  ^  de  ces  boules , 
q  aient  été  blanches,  et  que  dans  un  second  tirage ,  sur  un  nombre 
inconnu  de  boules  extraites ,  il  y  en  ait  q'  de  blanches.  Pour  en 
déduire  ce  nombre  inconnu,  on  suppose  son  rapporta  q'f  le  même 

que  celui  de  p  a  q;  ce  qui  donne  ^ pour  ce  nombre.  Cherchons 
la  probabilité  que  le  nombre  des  boules  extraites  au  second  tirage , 
est  compris  dans  les  limites  ^  =t  z.  Nommons  x  le  rapport  inconnu 

du  nombre  des  boules  blanches ,  au  nombre  total  des  boules  de 
l'urne.  L